山东潍坊市2025-2026学年高二下学期数学期末考试自编模拟卷（三）

**基本信息** 立足数列、导数、概率统计核心内容，以短视频粉丝增长、进博会机器人调查等真实情境为载体，考查数学抽象、数据观念与逻辑推理，适配高二期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|正态分布、等差数列、导数极值等|第2题折线图分析粉丝增长中位数，体现用数学眼光观察现实| |填空题|3题/15分|平均年龄、二项式系数、导数最值|第12题社区调人使平均年龄变大，培养数据观念| |解答题|5题/77分|等比数列、导数应用、概率期望、独立性检验|17题春节促销抽奖方案比较、18题进博会机器人调查，综合考查数学思维与应用意识|

山东省潍坊市2025-2026学年高二数学下学期期末考试自编模拟卷（三） 考试范围：人教B版选择性必修第三册第五章数列、第六章导数及其应用，一轮复习概率统计 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.5 2．在某短视频平台，某短视频发布者在最近一周内“粉丝”的增长数量绘制成如下折线图，则本周内“粉丝”增长数的中位数是（    ） A．26 B．35 C．36.5 D．37 3．记等差数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 4．某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（    ） A． B． C． D． 5．已知展开式中项的系数为30，则（   ） A．2 B． C．4 D． 6．若是函数的极大值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．某校高三年级准备在接下来的14周内，安排三次心理健康讲座，分别记为第周、第周、第周．为了让学生有足够的时间消化内容，学校要求：①第一次与第二次讲座之间至少间隔2周；②第二次与第三次讲座之间也至少间隔2周；③在第一次讲座之前至少预留1周准备时间，最后一次讲座之后至少预留1周总结时间，则符合要求的不同安排方案有（   ） A．120种 B．84种 C．70种 D．56种 8．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个. 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法中正确的有（    ） A．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B．采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C．在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D．在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 10．函数的部分图象如右图所示，是的导函数，给出下列四个结论中正确的是（  ） A． B． C． D．， 11．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第n个图形的边数为，第n个图形的边长为，第n个图形的周长为，第n个图形的面积为．则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．数列的前n项和为 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．某社区开展青少年实践活动，现有人在线报名，在线平台根据报名先后顺序将这人分为两组，两组成员的年龄（单位：岁）如下： 甲组：12、10、17、16、16、13、15、11； 乙组：13、15、11、10、11、16、14． 社区计划将甲组的人调到乙组，使得甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则应该将甲组年龄为_________岁的成员换到乙组． 13．已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则______． 14．设函数 ，若，则的最大值为______；当取得最大值时，_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知等比数列满足，且是，的等差中项． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求． 16．（15分） 已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 17．（15分） 2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 18．（17分） 2025年11月5日，第八届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举办，某企业参展的产品有甲、乙两款机器人，为调查消费者喜爱程度与产品的类型是否有关，在展览期间设置投票箱，随机抽取了部分观众进行现场投票，得到如下列联表： 类型 是否喜爱 合计 喜爱 不喜爱 甲 2m 4m 6m 乙 9m 3m 12m 合计 11m 7m 18m 并根据小概率值的独立性检验，得出了“消费者喜爱程度与产品的类型有关”的结论． 附：． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 (1)求正整数m的最小值． (2)为感谢现场参与的观众，主办方设置了一个挑战机器人对抗赛活动．每人挑战局，每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，若每局比赛参与者战胜机器人的概率为，胜者记3分，负者记1分．每局胜负不受其他因素的影响． （ⅰ）若参与者甲与机器人共对抗4局，求其得分不少于10分的概率． （ⅱ）记参与者的得分恰好比对抗的局数n多4分的概率为，若，求． 19．（17分） 设函数（）． (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求证：； (3)关于的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省潍坊市2025-2026学年高二数学下学期期末考试自编模拟卷（三） 考试范围：人教B版选择性必修第三册第五章数列、第六章导数及其应用，一轮复习概率统计 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【解析】服从正态分布，所以由正态分布的对称性知． 2．在某短视频平台，某短视频发布者在最近一周内“粉丝”的增长数量绘制成如下折线图，则本周内“粉丝”增长数的中位数是（    ） A．26 B．35 C．36.5 D．37 【答案】B 【解析】本周内“粉丝”增长数从小到大排列为：， 所以其中位数为35.故选：B 3．记等差数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由等差数列前项和性质可得，​， 因为，所以， 再根据等差数列中项性质：， 代入得，即， 又已知，设公差为，则，解得， 即等差数列的通项公式， 所以. 4．某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因男生，女生比例为. 设男生人数为，女生人数为，因全体学生的及格率为， 则及格学生人数为，又男生及格率为，则男生及格人数为， 女生及格人数为：，则女生及格率为. 5．已知展开式中项的系数为30，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】，其中的展开式通项为， 展开式中项来自两部分，当，，当，， 由题意可得，解得. 6．若是函数的极大值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由求导得， 因是函数的极大值点，则，即， 所以， 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故在处取极大值，符合题意； 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则在处取极小值，不符合题意； 若，则，在上单调递增，无极值，不符合题意； 则的取值范围是. 7．某校高三年级准备在接下来的14周内，安排三次心理健康讲座，分别记为第周、第周、第周．为了让学生有足够的时间消化内容，学校要求：①第一次与第二次讲座之间至少间隔2周；②第二次与第三次讲座之间也至少间隔2周；③在第一次讲座之前至少预留1周准备时间，最后一次讲座之后至少预留1周总结时间，则符合要求的不同安排方案有（   ） A．120种 B．84种 C．70种 D．56种 【答案】D 【解析】设之前的周数为，与之间的周数为，与之间的周数为，之后的周数为，由题目条件知 ，，，，， 令，，，，得 ，，，，， 由隔板法，符合要求的不同安排方案为. 8．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，可得， 因为，可得，所以在单调递减， 又因为，可得， 则不等式，即，可得， 即，所以，即不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个. 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法中正确的有（    ） A．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B．采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C．在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D．在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 【答案】AD 【解析】选项A，. 选项B，方法一抽取时零件之间没有区别，抽取概率为. 方法二抽取时各分层概率也均为，因此两方法每一个零件被抽取概率相同. 选项C，方法二的分层抽样按照比例从不同级别的样品中抽取比随机抽样更能反映总体的特征.选项D，和C同理. 10．函数的部分图象如右图所示，是的导函数，给出下列四个结论中正确的是（  ） A． B． C． D．， 【答案】ABC 【解析】由图可知，函数在上单调递增，恒成立， 所以，，②正确，④错误； 由函数在增长越来越缓慢，可知在单调递减， 所以，①正确； 如图，函数在点处切线的斜率小于割线的斜率， 所以，即，③正确． 11．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第n个图形的边数为，第n个图形的边长为，第n个图形的周长为，第n个图形的面积为．则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．数列的前n项和为 【答案】ABD 【解析】对于A，第n个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，并以中间段为边向形外作正三角形， 得第个图形，则原来每条边变为4条，即，而，则，故A正确； 对于B，第2个图形在第1个图形外增加3个边长为的正三角形， 第3个图形在第2个图形外增加12个边长为的正三角形，而所有正三角形都相似， 则，故B正确； 对于C，由作法知，，而，则，故C错误； 对于D，由选项AC知，， 所以数列的前n项和为，故D正确. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．某社区开展青少年实践活动，现有人在线报名，在线平台根据报名先后顺序将这人分为两组，两组成员的年龄（单位：岁）如下： 甲组：12、10、17、16、16、13、15、11； 乙组：13、15、11、10、11、16、14． 社区计划将甲组的人调到乙组，使得甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则应该将甲组年龄为_________岁的成员换到乙组． 【答案】13 【解析】由题可得：甲组年龄平均数为：，乙组年龄平均数为：， 要想使甲组的1人调到乙组后甲、乙两组人员的平均年龄都变大，只需保证甲里面调出的1人年龄小于，大于即可， 所以调出的人年龄为13岁. 13．已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则______． 【答案】 【解析】在的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则， 可得的二项展开式的通项， 当为整数时，该项为有理项，因为且，所以当时， 分别为是整数，即有理项有3项，可得. 14．设函数 ，若，则的最大值为______；当取得最大值时，_____. 【答案】 【解析】由题可知，对任意恒成立，取特殊值，代入函数有 ，即的最大值不超过. 若，则 原不等式转化为： 令，则，代入不等式，有 令，则对任意恒成立，且，故是的极小值点，所以. 因为， 所以 验证：将代入得 所以 当 ， 即在单调递减，在，单调递增. 所以在处取得极大值 故 所以当时，又 故当时，即函数单调递减； 当时，即函数单调递增； 所以在处取得最小值，即恒成立，符合条件. 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知等比数列满足，且是，的等差中项． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设的公比为， 因为是的等差中项，所以，……………………………2分 又，所以解得……………………………4分 所以.…………………………………………………………6分 （2）由（I）可得该数列为，，，，，，，，………………8分 则…11分 .…………………………………………………………15分 16．已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. (2) 【解析】（1）由题意可得，，……………………………1分 当时，在恒成立，所以函数在单调递增；……3分 当时，时，时， 故函数在单调递减,在单调递增，……………………………5分 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. ………………………7分 （2）因为对任意都有， 所以，即，……………………………………………9分 令，，则，……………………………11分 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，……………………………13分 所以，………………………………………………………………14分 故.………………………………………………………………………………………15分 17．2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】(1) (2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算 【解析】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则.………………………3分 所以两位顾客均享受免单优惠的概率为.…………6分 （2）若选择方案一，设实际付款金额为， 则的可能取值为0，500，700，1000.………………………………………………7分 ，， ，.………9分 所以（元）.………………10分 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故.……………………………………12分 所以（元）.……14分 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. ………………………15分 18．2025年11月5日，第八届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举办，某企业参展的产品有甲、乙两款机器人，为调查消费者喜爱程度与产品的类型是否有关，在展览期间设置投票箱，随机抽取了部分观众进行现场投票，得到如下列联表： 类型 是否喜爱 合计 喜爱 不喜爱 甲 2m 4m 6m 乙 9m 3m 12m 合计 11m 7m 18m 并根据小概率值的独立性检验，得出了“消费者喜爱程度与产品的类型有关”的结论． 附：． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 (1)求正整数m的最小值． (2)为感谢现场参与的观众，主办方设置了一个挑战机器人对抗赛活动．每人挑战局，每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，若每局比赛参与者战胜机器人的概率为，胜者记3分，负者记1分．每局胜负不受其他因素的影响． （ⅰ）若参与者甲与机器人共对抗4局，求其得分不少于10分的概率． （ⅱ）记参与者的得分恰好比对抗的局数n多4分的概率为，若，求． 【答案】(1) (2)（ⅰ）;（ⅱ） 【解析】（1）由题意可知，，2分 已知时，，且得出有关的结论，故：……………3分 ，解得：.……………………………4分 因为为正整数，故.…………………………………………………………5分 （2）（ⅰ）设4局中胜利局，则失败局，得分为. 得分不少于10分，即：，，……………………………7分 故：.……………………………9分 所以得分不少于10分的概率为.…………………………………………………10分 （ⅱ）设局比赛中获胜局，则总得分为. 得分恰好比局数多4分，即：，解得：， ，（） （） 所以，……………………………12分 设 则…………………………………………………13分 两式相减得： .…………………………………………………………15分 所以.…………………………………………………………16分 ……………………………17分 19．设函数（）． (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求证：； (3)关于的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)不可能有三个不同的实根，证明见解析 【解析】（1）由题设，且，………………2分 又点在切线上，所以，则，……………………………3分 又切线斜率为2，所以，故；……………………………4分 （2）要证， 即证， 即证时，， 即证，…………………………………………………………6分 令，则，……………………………7分 故在上单调递增，， 故；…………………………………………………………9分 （3）不可能有三个不同的实根，证明如下： 令，． 如果有三个不同的实根， 则至少要有三个单调区间， 则至少有两个不等实根， 只要证明在上至多有一个实根即可．……………………………10分 ， 令，则，……………………………11分 当时，，， ， 在上单调递增， 在上至多有一个实根；…………………………………………13分 当时，由（2）得， ∵当时，， ， 在上没有实根．……………………………………………………15分 综上所述，在上至多有一个实根，……………………………16分 所以不可能有三个不同的实根得证.………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $