山东省泰安市2025-2026学年高二下学期期末考试模拟卷

**基本信息** 以2024年新能源汽车销量调查等时代情境为载体，融合函数导数、概率统计等核心知识，突出数学建模与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、导数、二项式定理|基础概念与运算结合，如第4题古典概型与条件概率综合| |多选题|3/18|概率命题、排列组合|选项分层设计，如第10题捆绑法与插空法辨析| |填空题|3/15|回归方程、组合数|注重知识迁移，如第14题构造函数解导数不等式| |解答题|5/77|二项式定理、独立性检验、函数极值|情境真实且层次递进，如第18题结合卡方检验与分布列，第19题导数零点唯一性证明体现逻辑推理|

山东省泰安市2025-2026学年高二下学期期末考试模拟卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．1 D．3 3．（本题5分）在的展开式中，含项的系数是（   ） A．1139 B．1140 C．1329 D．1330 4．（本题5分）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 5．（本题5分）若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 6．（本题5分）某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 7．（本题5分）已知函数，若成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（   ）.    A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列命题正确的是（   ） A．若三个事件两两独立，则满足 B．若，，且，则相互独立 C．若事件满足，，，则 D．给定事件，且，则 10．（本题6分）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 B．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 C．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 D．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 11．（本题6分）已知函数，则（   ） A． B．曲线在点处的切线方程为 C．若方程有两个相异实根，，且，则实数m的值等于 D．已知函数无最小值，则a的取值范围是 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知由样本数据得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到的经验回归方程为，则______． 13．（本题5分）若，则的值为______． 14．（本题5分）设是函数的导函数，若对任意都有，则使得成立的的取值范围是______. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 16．（本题15分）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 17．（本题15分）已知函数且. (1)若，求函数的定义域及值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 18．（本题17分）近年来，中国新能源汽车进入高速发展时期．中国汽车工业协会最新发布的数据显示，2024年我国汽车销量达到3143.6万辆，其中新能源汽车销量达到1286.6万辆，占比达到，持续领跑全球．为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司采用问卷调查形式对200名消费者进行调查，统计后得到如下列联表： 青年人 中老年人 合计 购买新能源汽车 60 35 95 购买燃油车 40 65 105 合计 100 100 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为购买新能源汽车意向与年龄有关？ (2)现从上述问卷调查中的100名青年人中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取10人进行访谈，再从这10人中抽取3人赠送礼品，并记为这3人中购买新能源汽车的人数，求的分布列及数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19．（本题17分）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若对任意，有恒成立，求的取值范围； (3)证明：若在区间上存在唯一零点，则（其中）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市2025-2026学年高二下学期期末考试模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D D D D D BC ACD 题号 11 答案 AD 1．B 【详解】因为， 所以 2．A 【分析】先求出函数的导函数，再令得的值，代入，令可得答案. 【详解】由，得， 令得：， 解得， 所以， . 故选：A. 3．C 【分析】由的展开通项为，在展开式中含项的系数分别为 、、，根据组合式求和即可. 【详解】因为的展开通项为， 所以的展开式中含项的系数分别为 、、，其系数和为， 则， 其中，，，依次类推， 得出. 故选：C. 4．D 【分析】设出相关事件，根据和事件的概率公式求出，再根据条件概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件A：阅读过《红楼梦》；事件B：阅读过《三国演义》， 则，则， 而，即， 故， 故， 即现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为0.75， 故选：D 5．D 【分析】根据分段函数在上单调递增的要求：各分段分别单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解. 【详解】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当时，指数函数单调递增，因此； 当时，一次函数单调递增， 因此斜率，解得； 在分段点处，左端函数值不大于右端函数值， 即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 6．D 【分析】先将论文分成3组，再分配给专家. 【详解】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：和 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法； 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法. 因此总计种分配方式. 故选：D 7．D 【分析】先判断函数关于对称，然后对函数求导得出在上单调递增，在上单调递减，最后根据单调性和对称性列出不等式，进而求解即可. 【详解】因为函数， 所以. 所以函数关于对称. 当时，，求导得. 因为，所以，所以，又，所以. 所以在上单调递增，根据对称性，那么函数在上单调递减， 所以若成立，根据单调性和对称性可得 ，即， 平方得，化简得， 解得. 故选：D. 8．D 【分析】根据散点图的分布的趋势和集中程度可得正确的选项. 【详解】对于图1，散点总体斜向上分布，故变量与呈现正相关，故排除B； 对于图2，散点总体斜向下分布，故变量与呈现负相关，故排除C； 图1中散点图分布较为集中，图2中的散点图分布较为分散，故， 故选：D. 9．BC 【分析】根据独立事件的定义及条件概率的性质可判断各选项正误. 【详解】对于A，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数， 事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，A错误； 对于B， ，即，所以相互独立，B正确； 对于C，由，，则，， ，则0.4， 又，则， ，则 ，C正确； 对于D，当互斥时，； 当不互斥时，，D错误. 故选：BC. 10．ACD 【分析】由倍缩法即可判断A，由插空法即可判断B，由特殊元素优先法即可判断C，由捆绑法即可判断D. 【详解】对于A，由于甲乙丙按从左到右的顺序固定了，故有种方法，故A正确； 对于B，甲乙不相邻，先把其他人排成一排有种方法，有个空，然后将甲乙插空有种方法，故共有种，故B错误； 对于C，甲，乙都不排两端，则先从中间个位置选择两个将甲，乙安排好，有种方法，其他人安排到剩下的个位置，有种方法，所以共有种方法，故C正确. 对于D，甲，乙必须相邻，将甲，乙捆绑到一起有种方法，看成一个大元素然后与其他人排成一排有种方法，故共有种，故D正确； 故选：ACD 11．AD 【分析】求出导数计算判断A；求出切线方程判断B；结合三次函数性质求出方程有2个根时的，再验证判断C；作出函数图象及直线，数形结合判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 对于A，，A正确； 对于B，，曲线在点处的切线方程为，B错误； 对于C，当或时，；当时，， 函数在上递增，函数值集合为，在上递减，函数值集合为， 在上递增，函数值集合为，方程， 当，即时，直线与曲线有两个交点，即方程有两个根， 当时，，解得，，则， 当时，，解得，，不符合题意， 因此方程有两个相异实根，，且，则实数m的值等于，C错误； 对于D，作出函数的图象与直线， 由图知，当时，函数有最小值；当时，函数有最小值， 当时，函数没有最小值，因此a的取值范围是，D正确. 故选：AD 12．/ 【分析】先利用经验回归直线经过样本中心点，求得，在增加两个样本点后，分别计算出和，再代入中计算即得. 【详解】将代入，可得， 设增加两个样本点和后，，， 将其代入中，可得. 故答案为：. 13．34 【分析】先由组合数的性质求解，再由组合数的性质化简求解即可. 【详解】因为，所以或（舍去），解得， 所以 ． 故答案为：． 14． 【分析】由题意可设，判断其单调性，将化为，结合函数单调性，即可求得答案. 【详解】设，则，， 可知在R上单调递减， 由，得，即， 故，则，即使得成立的的取值范围是， 故答案为： 15．(1)1 (2)180 (3) 【分析】（1）依据题意得到，然后令计算； （2）写出二项式的通项公式，然后令计算； （3）根据二项式系数的对称性可知结果. 【详解】（1）由题意知，或（舍去），所以， 故令，可得展开式中各项系数的和为． （2）由于二项式的通项公式为， 令，求得， 故展开式中的常数项为． （3）要使二项式系数最大，只要最大，故， 故二项式系数最大的项为第6项． 16．(1) (2) 【分析】（1）先求解分式不等式，再根据交集运算求解即得； （2）将集合的不等式按照参数分类讨论其解集，利用集合间的包含关系得到不等式，分别求解后综合考虑即可. 【详解】（1）由可得或，即或， 当时，，故； （2）由或可得， 当时，，由可得，解得； 当时，满足，故符合题意； 当时，，由可得，解得. 综上，可知实数的取值范围是. 17．(1)定义域为，值域为； (2). 【分析】（1）当时，可得函数的解析式，进而求出函数的定义域，求出真数的取值范围，结合对数函数的单调性可求得函数的值域； （2）分、两种情况讨论，利用复合函数的单调性列出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 由，可得，解得， 所以函数的定义域为， 因为，所以， 又函数为增函数，所以， 故当时，函数的定义域为，值域为. （2）当时，函数为减函数， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，且在上恒成立， 所以，该不等式组无解； 当时，函数为增函数， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，且在上恒成立， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 18．(1)有关； (2)分布列见解析；数学期望为. 【分析】（1）利用数表中数据求出，再与临界值比对得解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）零假设：购买新能源汽车意向与年龄无关， 由数表中数据经计算得， 依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 即认为购买新能源汽车意向与年龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.01. （2）抽取的10人中，购买新能源汽车的有人，购买燃油车的有4人， 的所有可能值为， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 19．(1)极小值为，无极大值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）直接通过求导判断单调性，从而求得极值； （2）对和分类讨论，当时由知条件不满足，当时可通过求导得到单调性，推知条件满足，从而得到的取值范围是； （3）由条件可直接得到，然后通过导数判断在上的单调性，再证明，即可通过反证法得到结论. 【详解】（1）当时，，从而. 故对有，对有. 所以在上递减，在上递增. 从而有唯一的极值点，且是极小值点，对应极小值为，无极大值. （2）由，知. 若，则. 而对有，所以在上递减. 故，从而对不成立，不满足条件； 若，则对有，所以在上递增. 从而对任意，有，满足条件. 综上，的取值范围是. （3）据（2）的结果，当时对有，故对有. 此即，所以对任意的，在中取就有. 回到原题. 若在区间上存在唯一零点，根据（2）的结果，首先有. 此时对有，对有. 所以，在上递减，在上递增. 而，故上的零点满足. 由于，而对任意的，都有，取，就有，从而. 所以. 假设，由及有，所以. 由在上递增，且，即可从，推知. 但这与是的零点矛盾，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在小问（3）中，适当使用小问（2）的结论，进行进一步的拓展或适当的利用，从而证得小问（3）所求的结论. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $