山东潍坊市2025-2026学年高二下学期数学期末考试自编模拟卷（一）

**基本信息** 以AI词元、机器人销量等科技热点及重庆呆呆事件等社会情境为载体，融合数列、导数、概率统计核心知识，梯度设计突出数学思维与应用能力，适配高二期末及一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|概率（元件正常工作方差）、统计（词元调用分位数）、函数性质（奇函数表达式）|结合2026年科技热点，基础题与能力题分层| |填空题|3题/15分|等差数列求和、函数对称性与导数单调性|开放题型（函数解析式）考查创新意识| |解答题|5题/77分|导数极值与最值（15题）、回归分析与残差分布列（16题）、数列通项与不等式证明（17题）、导数零点与不等式证明（18题）、竞赛概率应用（19题）|以机器人销量、知识竞赛为情境，综合考查数学建模与逻辑推理，贴合高考命题趋势|

山东省潍坊市2025-2026学年高二数学下学期期末考试自编模拟卷（一） 考试范围：人教B版选择性必修第三册第五章数列、第六章导数及其应用，一轮复习概率统计 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．系统中共有3个元件，各个元件正常工作的概率为，各个元件正常工作的事件相互独立．记系统中正常工作的元件数为X，则X的方差为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式计算得解. 【解析】依题意，元件数， 所以所求方差. 故选：A 2．Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（    ） A．2875 B．5692 C．8509 D．16771 【答案】C 【解析】因为，所以这组数据的分位数为8509. 3．已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为，所以，再结合是定义在上的奇函数进行求解. 【解析】因为，所以， 对于A：但是不是奇函数，所以A错误； 对于B：，且，定义域为， 所以是奇函数，所以B正确； 对于C：，是偶函数，所以C错误； 对于D：,是奇函数，所以D错误； 4．若将6张互不相同的优惠券分给3名消费者，每名消费者至少分得1张，则不同的分法种数为（   ） A．240 B．540 C．630 D．1080 【答案】B 【分析】根据不同元素的分组分配问题求解，先分组，再分配. 【解析】先对6张互不相同的优惠券分组，再分配. 按“”分组后再分配，不同的分法种数为； 按“”分组后再分配，不同的分法种数为； 按“”分组后再分配，不同的分法种数为. 所以不同的分法种数为. 5．已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用等差数列通项公式与前项和公式列方程组求解首项和公差，再通过判断项的正负确定取最小值时的. 【解析】设等差数列的公差为，。 根据等差数列的通项公式及前项和公式得： 由，得，化简整理得 ①； 由，得，化简整理得 ②. 所以得，将代入①得， 故通项公式为， 所以等差数列的首项，公差的一个递增等差数列， 因此等差数列的前项和有最小值. 令，即，解得，又，因此. 所以当时，，；当时，，. 因此时取得最小值. 6．函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的图象得到的单调区间，从而得到的取值情况，从而得解. 【解析】由图可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以时，时， 时，时， 所以不等式的解集为. 故选：C 7．设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【解析】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 8．一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【分析】围绕有放回抽样中的互斥事件、独立事件、概率加法公式三个核心概念，通过对样本空间的枚举和概率计算，逐一验证选项的正确性． 【解析】选项A：事件是第一次取出编号1，事件是两次编号之和为5， 二者存在公共样本点（第一次取1，第二次取4，同时满足E和G），即，因此事件E与事件G不互斥，A错误． 选项B：（第二次取1的样本点共6个）， （两次和为5的样本点为 ，共4个）， （同时满足第二次取1、两次和为5的样本点仅，共1个）， 验证得，因此事件与事件不相互独立，B错误． 选项C：， （两次和为奇数等价于两次取出的数一奇一偶，总样本数为）， （第一次取1为奇数，第二次需要取偶数才能让和为奇数，第二次可取，共3个样本点）， 验证得， 满足独立事件定义，因此事件与事件相互独立，C正确． 选项D：根据概率的加法公式， 其中（两次都取1的样本点仅1个）， 代入计算：，因此D错误． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（   ） A． B．所调查市民年龄众数的估计值为40 C．所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D．所调查市民的平均年龄约为34.5岁 【答案】ACD 【解析】对于A，由题可得，解得，故A正确： 对于B，由频率分布直方图可知，年龄位于区间的频率最大，故所调查市民年龄众数的估计值为，故B错误； 对于C，设第75百分位数为，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，故第75百分位数在第4组，所以，解得，所以所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5，故C正确； 对于D，所调查市民的平均年龄约为岁，故D正确. 10．已知 f(x)的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则（    ） A． B．的展开式中所有项的二项式系数和为1 C．是5的倍数 D． 【答案】AC 【分析】首先根据最大的二项式系数公式求，判断A，根据二项式系数和公式判断B，将写为，再根据二项展开式的特征判断C，利用二项展开式两边取导数，根据赋值法，判断D. 【解析】由条件可知，只有第5项的二项式系数最大，所以展开式有9项，由，可得，故A正确； 的展开式中所有项的二项式系数和为，故B错误； ，展开式的每一项都能被10整除，即能被5整除，故C正确； ，两边求导数，， 令，得，故D错误. 11．已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．对任意，在定义域内恒有两个极值点 C．若在处取得极值，则的极大值为 D．若在上的最小值为，则 【答案】ACD 【分析】A选项，当时，求切点和切线斜率，根据点斜式即可写切线方程；B选项，求导，存在只有一个极值点的情况，从而作出判断；C选项，由极值点得，借助分析单调性判断在处取得极大值，从而求出极大值；D选项，讨论在上的符号，当时，单调递增，最小值为，当时，不满足条件，即可进行判断. 【解析】对于A：当时，，所以， 又因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，故A正确； 对于B：因为， 令，得或. 当时，不在定义域内，此时只有一个极值点，故B错误； 对于C：因为在处取得极值，所以，即， 所以，令，得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在时取到极大值，极大值为，故C正确； 对于D：，因为，所以只需讨论. 当时，，所以，所以在上单调递增， 所以最小值为，成立； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以最小值为， 令，即，因为，所以需， 设，则，所以，无解； 当时，，所以，所以在上单调递减， 所以最小值为，令， 则，验证可知不成立，综上，故D正确. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．记为等差数列的前n项和，若，，则______． 【答案】70 【分析】由等差数列通项公式基本量计算求得首项、公差，即可求解. 【解析】设等差数列的首项为​，公差为，通项公式为， 由，得： ① 由，得： ② 联立解得，， . 13．已知函数的图象关于点对称，且当时，和其导函数的单调性相反，请写出的一个解析式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据对称中心写成，再验证其单调性和导函数的单调性. 【解析】由的图象关于点对称，可设，则． 当时，单调递减，单调递增，满足题意．其他满足条件的解析式也可以． 故答案为： 14．一随机变量服从正态分布，则， _____.已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量表示走完8步后，粒子向右移动的总步数，与相互独立，则_____. 【答案】 【分析】由关于对称，推得；粒子8步右行步数服从二项分布且具有的对称性，结合与独立，用全概率公式展开，再将求和式配对并利用前一问结论相加化简，即可求得概率为. 【解析】①已知，正态曲线图像关于对称， 故， 因此. ②由题意，，满足，且与独立， 由全概率公式：  (1) 令，则, 即等价于  (2) (1)(2)两式相加 结合第一空的结论， 得. 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）由即可求解； （2）由函数单调性结合端点值即可求解. 【解析】（1）由题可得，…………………………1分 因为函数在时取得极值，所以，…………………………2分 此时，…………………………3分 所以当时，时，…………………………5分 所以函数在时取得极值，所以；…………………………7分 （2）由（1）可得，…………………………9分 且函数在上单调递增，在上单调递减， 又，…………………………12分 所以函数最小值为.……………………………………………………13分 16．（15分） 自“机器人扭秧歌”这一节目在2025年春晚舞台大放异彩后，宇树科技这家专注于四足机器人研发的中国科技公司在全球范围内倍受瞩目，旗下一款机器人Unitree Aliengo在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出机器人Unitree Aliengo在某地区2024年1月至5月的销售量如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y/台 26 37 50 64 93 (1)经计算样本的相关系数，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归方程； (2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数的分布列和数学期望． 附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 【答案】(1) (2) 的分布列如下： 0 1 2 数学期望为1.2 【分析】（1）由线性回归方程，分别计算各部分的值，代入公式求解即可； （2）先计算各组数据的残差，再结合超几何分布，得到所有取值的概率，从而得到分布列和数学期望. 【解析】（1）由表格可得，，， …………………………………………………………………………………………2分 ，， 所以，……………………………………4分 ，……………………………………………………5分 故y关于x的经验回归方程是.……………………………………………6分 （2）当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为. 所以“次数据”为第四组和第五组共两组数据. ……………………………………9分 故“次数据”对数的所有可能取值为0，1，2. …………………………10分 ，，. 所以的分布列如下： 0 1 2 ………………………………………………………………………………………………13分 的数学期望.……………………………………15分 17．（15分） 已知数列满足，且， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，记的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，化简求得，得到数列为等差数列，利用等差数列的通项公式，求得，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，求得，结合数列的单调性，即可证得. 【解析】（1）解：因为，两边同时取倒数得， 即，………………………………………………………………………3分 又因为，可得，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，……4分 所以，所以，…………………………5分 所以数列的通项公式.……………………………………………………6分 （2）解：由（1）知：，可得，………7分 则， 可得，…………………………8分 两式相减得 ，…………10分 所以，…………………………………………………………………………11分 因为，所以为递增数列，……………13分 则，……………………………………………………14分 又因为，所以，所以.……………………………………………15分 18．（17分） 已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； (2)若恰有两个零点，求实数的取值范围； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2) （3）见解析 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何性质求出切线方程，结合已知条件求出； （2）令，得，构造函数，求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合极限分析求出实数的取值范围； （3）把不等式转化为，构造函数，求导并分析函数单调性，求出的最大值，进而得出，命题得证． 【解析】（1）函数的定义域为，…………………………1分 所以，……………………………………………………2的 ，，……………………………………………………3分 曲线在点处的切线方程为， 把代入，得．………………………………………………………………5分 （2）令，得，…………………………………………………6分 令，则，……………………………………………………7分 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，， 当且趋近于0时，趋近于； 当趋近于时，且趋近于0， 要使函数有两个零点，只需，即实数的取值范围为． ……………………………………………………………………………………………10分 (3)当时，要证成立，即证成立， 记，则，．……11分 记，， 和在上均单调递减， 在上单调递减，……………………………………………………12分 又，， 存在，使得，即， ，，………………………………………………………………………13分 当时，，即， 在上单调递增， 当时，，即， 在上单调递减，……………………………………………………………15分 ，…………………………16分 ，故成立，原命题得证．…………………………17分 19．（17分） 某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设小张同学在初赛的得分为，则，结合二项分布运算求解即可； （2）设在复赛中每轮得分为，并求对应的概率.（i）分析可知2轮4分，1轮2分，进而求概率；（ii）可得，，利用导数求最值即可. 【解析】（1）设小张同学在初赛的得分为，则，………………………2分 所以小张同学成功晋级复赛的概率. ………………………………………………………………………………4分 （2）设在复赛中每轮得分为，则有： ； ； ，………………………………………………………………7分 （i）若，则，，，……………………10分 因为小张同学复赛总得分为10分，则2轮4分，1轮2分， 所以小张同学复赛总得分为10分的概率；……………………12分 （ii）由题意可知：，， ……………………………………………………………………………………………13分 则，……14分 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在内单调递减，…………………………16分 所以取到最大值.……………………………………………………17分 试卷第12页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省潍坊市2025-2026学年高二数学下学期期末考试自编模拟卷（一） 考试范围：人教B版选择性必修第三册第五章数列、第六章导数及其应用，一轮复习概率统计 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．系统中共有3个元件，各个元件正常工作的概率为，各个元件正常工作的事件相互独立．记系统中正常工作的元件数为X，则X的方差为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（    ） A．2875 B．5692 C．8509 D．16771 3．已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（     ）． A． B． C． D． 4．若将6张互不相同的优惠券分给3名消费者，每名消费者至少分得1张，则不同的分法种数为（   ） A．240 B．540 C．630 D．1080 5．已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 8．一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（   ） A． B．所调查市民年龄众数的估计值为40 C．所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D．所调查市民的平均年龄约为34.5岁 10．已知 f(x)的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则（    ） A． B．的展开式中所有项的二项式系数和为1 C．是5的倍数 D． 11．已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．对任意，在定义域内恒有两个极值点 C．若在处取得极值，则的极大值为 D．若在上的最小值为，则 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．记为等差数列的前n项和，若，，则______． 13．已知函数的图象关于点对称，且当时，和其导函数的单调性相反，请写出的一个解析式：______． 14．一随机变量服从正态分布，则， _____.已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量表示走完8步后，粒子向右移动的总步数，与相互独立，则_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 16．（15分） 自“机器人扭秧歌”这一节目在2025年春晚舞台大放异彩后，宇树科技这家专注于四足机器人研发的中国科技公司在全球范围内倍受瞩目，旗下一款机器人Unitree Aliengo在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出机器人Unitree Aliengo在某地区2024年1月至5月的销售量如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y/台 26 37 50 64 93 (1)经计算样本的相关系数，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归方程； (2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数的分布列和数学期望． 附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 17．（15分） 已知数列满足，且， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，记的前n项和为，证明：． 18．（17分） 已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； (2)若恰有两个零点，求实数的取值范围； (3)证明：当时，． 19．（17分） 某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 试卷第4页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $