2025-2026学年高二下学期数学期末复习试题精选

**基本信息** 聚焦高二下数学核心难点，以导数应用、概率统计为主体，通过14类压轴题型系统整合知识，强化数学思维与问题解决能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数应用|题型1-7（20题）|切线方程、单调性、零点、不等式恒成立等综合题|从导数几何意义到函数性质（单调性、极值），再到零点与不等式应用，构建“工具-性质-应用”逻辑链| |函数性质|题型8（5题）|抽象函数奇偶性、周期性综合判断|以函数性质（奇偶性、周期性）为核心，结合导数研究函数图像与零点，体现数学抽象与逻辑推理| |概率统计|题型9-14（15题）|排列组合、概率递推、分布列、统计分析|从排列组合基础到概率计算、分布列构建，再到统计推断，形成“计数-概率-统计”完整应用体系，培养数据观念与模型意识|

2025-2026学年高二下期末考试复习（压轴40题） 2025-2026学年高二下期末考试复习（压轴40题） 1 题型1 导数几何意义 2 题型2 函数单调性与极值最值问题 3 题型3 函数零点问题 9 题型4 不等式恒成立问题 14 题型5 构造函数解不等式 17 题型6 比较大小 22 题型7 导数与其他知识点结合问题 24 题型8 函数性质综合问题 27 题型9 排列组合 33 题型10 概率 35 题型11 离散型随机变量分布列 38 题型12 二项分布、超几何分布与正态分布 41 题型13 概率递推关系 41 题型14 统计 53 题型1 导数几何意义 1.（山东济南24-25高二下期末 14T） 过点可以作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设点为曲线上的一点，求得切线方程为，由切线过点，得到，令，求得，得出函数的单调性和极值，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设点为曲线上的一点，则， 又由，所以，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 因为切线过点，可得，即， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则当时，取得极小值，当时，取得极大值， 又因为， 当时，恒成立，且时，， 作出函数的图象，如图所示， 当时，函数的图象与直线在上有3个交点， 即过点的切线有3条，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型2 函数单调性与极值最值问题 2.（山东青岛九中24-25高二下期末 8T）已知定义在上的奇函数，当时，，若，，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求导判断函数在上的单调性和最值，求得值域，再利用奇函数的图象对称性，求出函数在上的值域，继而可求出参数范围. 【详解】由，求导得， 则当 时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，即当时，， 由奇函数的性质可知时，，故时有， 如图所示，，都有，所以， 故由恒成立可得. 故选：C. 3. （山东日照24-25高二下期末 14T）定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由为偶函数可得，转化题设不等式为，结合单调性分析易得解集为，的解集为，再结合题意可得3为方程的根，进而得到，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】由为偶函数，得，即， 不等式， 又函数在上单调递减，且，则函数在上单调递增， 则当时，，当时，， 当时，，当时，， 即的解集为，的解集为， 由不等式的解集为， 当时，不等式为，解集为，不符合题意； 当时，不等式解集为，解集为， 要使不等式的解集为，则，即； 当时，不等式解集为，解集为， 此时不等式的解集不为， 因此，， 当且仅当，即，时取等号，所以 即的最小值为. 故答案为： 4.（山东烟台24-25高二下期末 14T） 已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】整理等式构造函数，利用导数求得函数的单调性，从而化简等式，根据所得等量关系，整理代数式的函数解析式，利用导数求得最值. 【详解】由，则， 令，求导可得，令， 求导可得，由得，由得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故函数在上单调递增， 由，则，即， 令， 求导可得， 由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故. 故答案为：. 5.（山东枣庄24-25高二下期末 8T）函数在区间的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单调性得函数值域，从而转化为有两个不等的实根，再由导数确定新函数的单调性确定函数的性质得结论． 【详解】易知在上是增函数， 所以数在区间的值域为， 又值域为，所以， 有两个不等的实根， 记（），则， 设，则，所以是增函数，又， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，而时，，时，， 所以， 故选：B． 6.（山东烟台24-25高二下期末 19T） 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，且与有相同的最小值． （i）求a的值； （ii）已知，，且，求证：． 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由函数解析式求导，利用导数与函数单调性的关系，根据分类讨论思想，可得答案； （2）（i）利用导数求得函数的最值，整理方程并构造函数，利用导数求得新函数的单调性，根据方程与函数的关系，可得答案；（ii）由题意整理方程并构造函数，利用导数分别求得两个新函数的单调性与最值，再根据不等式性质，可得答案. 【小问1详解】 依题意， 当时，，在上单调递增． 当时，令得，，即． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 （i）由（1）知，当时，时取得最小值． ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 所以，当时取得极小值即最小值． 由题意可知，，即， 令，则， 令，， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以取得最小值， 所以在上恒成立，所以在上单增， 又，所以； （ii）因为，所以， 即． 令，则， 可知在时取得最大值0，所以，即， 所以，当且仅当时，“＝”成立． 令，则，当时，，单调递减． 所以，当时，，， 由，得． 当时，显然， 综上，，即． 题型3 函数零点问题 7.（多选）（山东泰安24-25高二下期末 11T） 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若函数，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 若直线与函数的图象有且只有4个公共点，则实数k的取值范围为 D. 函数的所有零点之和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设得，结合指数函数的性质及周期性求值域判断A、B；画出函数大致图象，数形结合判断C；解指数方程，利用周期性确定零点，最后求和判断D. 【详解】A：由题设，则定义域为，对； B：当时，当时，即为周期函数，故值域也为，对； C：由解析式可得函数图象如下，则直线与图象有且只有4个公共点， 若过则，过则， 结合图知，且，错； D：令，可得，结合周期性及函数图象知， 在上的零点有、、， 所以，所有零点的和为，对. 故选：ABD 8.（多选）（山东烟台24-25高二下期末 11T）定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 的图象在处的切线方程为 C. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 D. 的图象与直线恰有一个公共点，则实数 【答案】BCD 【解析】 【分析】先判断函数的对称性，周期性，对A，利用周期可得；对B，求出表达式，然后求导计算；对C，作出两个函数图象判断即可；对D，作出图形，然后分情况讨论，利用导数计算判断. 【详解】由函数为上奇函数，所以， 由，所以函数关于对称，且，则，所以4为函数的一个周期. 对A，，则，，所以， 由当时，，所以，错误； 对B，由A可知：当时，，所以当时，， 所以当时，，则， ，， 所以函数的图象在处的切线方程为，即，正确； 对C，作出函数与图象， 函数图象关于对称，当时，图象共有5个交点，由为奇函数，所以当时，图象也有5个交点，所以图象所有交点的横坐标之和为10，正确； 对D，如图： 当时，；当时，， 当为图中情况，，，令，， 所以切点为，所以； 当为图中情况，，，令，， 所以切点为，所以； 所以函数的图象与直线恰有一个公共点，则实数，正确。 故选：BCD 9.（山东日照24-25高二下期末 19T） 已知函数 （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若有3个零点，，，且. （i）求实数的取值范围； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】（1） （2）（i） （ii），证明见详解. 【解析】 【分析】（1）通过求导得出切线斜率，找到切点坐标，再利用点斜式得到切线方程. （2）（i）明确函数定义域，分析导数构成，其分子为二次函数，函数有三个零点时，该二次函数有两个不同的正根，进而确定参数的范围. （ii）已知三个零点的大小关系，其中一个零点可直接确定，结合二次函数根的性质及函数单调性，分析零点之和的范围，进而比较所求表达式与二倍参数的大小. 【小问1详解】 当时，， 则，即，切线的斜率为， 又，切点为， 故在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 （i）函数，则， ①当时，， 在单调递增，此时有1个零点，不满足题意，舍掉. ②当时，， 在单调递增，此时有1个零点，不满足题意，舍掉. ③当时，令，即，解得或， 令，得；令，得或， 在单调递减，在和单调递增， ，，，又， ，当时，，在上恰有一个零点， ，当时，，在上恰有一个零点， 又在上只有一个零点，故函数有三个零点， 综上所述，实数的取值范围为. （ii），且， 由以上可知，则， 且，， ，则，， 又，即， 而=， 令，，则， 故在上为增函数，， ，，， 故. 题型4 不等式恒成立问题 10.（山东泰安24-25高二下期末 14T）已知对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】变形得到对任意恒成立，设，则，根据单调性得到，参变分离得到，构造函数，求导得到单调性，求出最大值，从而得到，解得. 【详解】， 故对任意恒成立， 设，则， 因为在R上单调递增，所以， 故， 令，，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，且最大值为， 所以，解得. 故答案为： 11.（山东青岛五十八中24-25高二下期末 19T） 已知函数. （1）求的图象在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求正实数的取值范围； （3）当时，若正实数满足，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求切线方程即可； （2）对分类讨论，当时，设，二次求导得，再对分情况讨论，然后求解即可； （3）根据题意得出当且时， ，又当时，在单调递增. 设，其中，且，然后证明即可. 小问1详解】 由得，又，则， 故切线方程为. 【小问2详解】 由，当时，则； 当时，此时，故； 当时，设，，令 则， 若，则单调递增，，因此单调递增， 故，符合题意； 若，令，即， 此时，在上单调递增，在上单调递减，因此. 而，设为的零点，注意到单调递增， 当时，此时，故，从而单调递增，故，符合题意； 当时，则存在，使得，且在上单调递增，在上单调递减， 故，即，解得，此时，即，因此， 综上可知，. 【小问3详解】 由（2）可知，当且时，，故， 当时，，令，则，其中，故单调递增. 设，其中，且， ，因此单调递增， 从而， 从而可得， 进而可知， 故. 【点睛】方法点睛：1、切线方程的求法：，点斜式写切线方程； 2、单调递增；单调递减； 题型5 构造函数解不等式 12.（山东菏泽24-25高二下期末 14T） 已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先通过构造函数，结合已知条件求出所构造函数的导数，进而判断其单调性，再利用函数单调性求解不等式. 【详解】，则， 设，则，是常值函数， 又，，， ，由， 故不等式可转化为， ，设， 则，在上单调递增，， ，在上单调递增， 故，可得，不等式的解集是 故答案为：. 13.（山东济宁24-25高二下期末 8T） 已知是定义在上的偶函数，，且恒成立，，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得的取值范围. 【详解】设，由， 得， 令，则， 所以函数在上单调递减，因为是定义在上的偶函数， 所以，所以对任意的，， 所以，函数为上的偶函数，且， 由，得：， ，或，解得或 故选：C 14.（山东烟台24-25高二下期末 8T）已知为定义在上的偶函数，且当时，，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用函数的单调性与奇偶性来解不等式的解集. 【详解】设，对求导得：， 已知当时，，则时，， 所以在上单调递增. 因为是偶函数，即， 则 所以是奇函数，在也单调递增， 已知，则，由奇函数性质得， 分情况解不等式 当时，即， 因为在上递增，所以， 当时，即， 因为在上递增，所以， 综上，不等式得解集为 故选：A. 15.（山东淄博24-25高二下期末 8T）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用导数求得单调递增，得到，即可求解. 【详解】根据题意知，即，构造函数， 可得，因为，所以， 所以在上单调递增， 则，两边同乘，即． 故选:B 16.（山东日照24-25高二下期末 8T） 定义在的增函数满足：，且，.已知数列的前项和为，则使得成立的的最大值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】应用已知条件分别构造抽象函数模型计算得出再应用等比数列的求和公式计算可得. 【详解】，可令，又，则， ， ． ． 故选：B． 题型6 比较大小 17.（山东青岛五十八中24-25高二下期末 8T）已知，则这三个数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较，在同一坐标系中作出与的图象，结合图象与幂函数的性质可比较，即可求解 【详解】令，则， 由，解得，由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 因为， 所以，即， 所以，所以， 又递增， 所以，即； ， 在同一坐标系中作出与的图象，如图： 由图象可知在中恒有， 又，所以， 又在上单调递增，且 所以，即； 综上可知：， 故选：A 18.（山东泰安24-25高二下期末 8T） 已知正实数m，n，p满足，，，则m，n，p的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数单调性可得，再利用对数运算及对数函数单调性确定的范围，利用单调性确定的范围即可. 【详解】依题意，，则， 而函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 由，得，又 ，，，则，， 在上单调递增，，则， 所以m，n，p的大小关系为. 故选：D 题型7 导数与其他知识点结合问题 19.（山东济南24-25高二下期末 19T） 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围； （3）设，证明：． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调性. （2）利用导数讨论单调性，分和两者情况分别讨论求解. （3）由（2）的信息可得，取并代入不等式变形，利用裂项相消法求和推理得证. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 函数，求导得，, 令，求导得，， ①当，即时，由，则存在，使得当时，， 函数在上单调递增，当时，， 函数在上单调递增，因此与矛盾； ②当，即时，此时，， 下面证明恒成立即可，即证， 令，求导得， 函数在上单调递减，因此恒成立， 则，即，因此，即恒成立， 所以a的取值范围为. 小问3详解】 由（2）知，当时，， 取，则， 因此，即， 则 ， 所以. 20.（山东济宁24-25高二下期末 19T） 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）一袋中有大小、质地相同的25个小球，标号为1到25．从中有放回的取球，每次取一个，一共取次，并记录每次抽取的小球的号码，设记录的个号码都不相同的概率为． 证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义算出斜率，利用点斜式写出方程； （2）构建函数，求导判断即可； （3）得出，然后求和可得，利用不等式可判断结果. 【小问1详解】 ， ， ， 所以， 所以曲线在处的切线方程为． 【小问2详解】 当时，要证：，即证：，只需证：， 令，在上恒成立． 所以在上单调递减． 所以． 令，则，所以，证毕． 【小问3详解】 ，所以， 所以． 所以要证．即证：，即证：， 只需证：即证：， 由（2）知， 令，得，证毕． 题型8 函数性质综合问题 21.（多选）（山东济宁24-25高二下期末 11T） 设是定义在上的函数，满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由可推导可判断A；由，结合偶函数的定义可判断B；根据周期性可判断C；由周期性及对称性可知，，即可求得的值即可. 【详解】对于A，，， ，两式相减得，， 即，故A正确； 对于B，，， 即，所以是偶函数，故B正确； 对于C，当时，， 又，所以，所以的周期为4， 所以，故C错误； 对于D，，， 即，，故D正确； 故选：ABD. 22.（多选）（山东青岛九中24-25高二下期末 11T） 已知是定义在上的增函数，且可导，为奇函数，记函数分别是的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据为奇函数可得及，求导后可判断AC的正误，对于B，由求导后可判断其正误，对于D，可证，故可得，由的单调性及对称性可判断D的正误. 【详解】因为为奇函数，故，令则， 因为故， 故，故A正确. 对于B，因为，则， 故，故B正确. 对于C，因为，， 故，故，故C错误. 对于D，因为为上增函数，故， 而，故当时，，当时，， 故当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 而，故为图象的对称轴， 故， 设，其中， 故为上的增函数，故， 故，故， 故，故 即，故D正确. 故选：ABD. 23.（多选）（山东青岛五十八中24-25高二下期末 11T）已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（ ） A 函数图像关于直线对称 B. 函数为偶函数 C. 4是函数的一个周期 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过函数的奇偶性可判断B；通过联立函数与的方程组以及对函数进行赋值可推出函数的周期从而判断C； 计算出从而排除A；先通过赋值求出，再通过周期性计算出D。 【详解】因为是偶函数，所以， 所以函数图象关于直线对称， 因为是奇函数，所以， 即，代入，得， 所以.由，得， 所以，所以函数为偶函数.故选项B正确； 因为，所以，由， 得，所以，得， 所以，所以4是函数的周期.故选项C正确； 由，得，所以，所以， 由，得，，所以，， 因为，所以，故选项A错误； 由，得即， 所以，故选项D正确. 故选:BCD 【点睛】本题是一道综合性较强的关于抽象函数奇偶性，对称性，周期性的综合题，且包含两个函数。 解决抽象函数奇偶性，对称性，周期的问题的关键是通过赋值，找到这几个性质之间的联系，函数的赋值包括两大类：即赋具体值和抽象的表达式，对于赋具体值一般根据题目的要求即可找到题目所需要求的值；而赋抽象的表达式，则需要遵循赋值后的表达式与其它子式子之间能够联立的原则。另外对于一个题目里有两个抽象函数的综合问题，则需通过建立方程组，然后赋值（表达式）消去其中一个函数，从而得到另一个函数的性质。 24.（多选）（山东青岛24-25高二下期末 11T）已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对抽象函数采用赋值法，令、，结合题意可得，对A：令、，代入计算即可得；对B、C、D：令，可得，即可得函数及函数函数的性质，代入，即可得. 【详解】令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 令，则有， 即，故函数是奇函数， 有，即， 即函数是减函数， 令，有， 故B正确、C错误、D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到，再重新赋值，得到，再得到. 25.（山东青岛24-25高二下期末 14T） 函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的性质，可证明函数关于点成中心对称图形，即可求得. 【详解】由函数， 因为函数是定义在上的奇函数，所以有， 则， 所以可得函数关于点成中心对称图形， 因为函数的最大值为，最小值为， 所以最大值点与最小值点关于点成中心对称图形， 即， 故答案为：. 题型9 排列组合 26.（山东菏泽24-25高二下期末 8T）用1，2，3组成三位数，数字最多用次，其中，则满足条件的三位数个数是（ ） A. 15个 B. 18个 C. 19个 D. 27个 【答案】C 【解析】 【分析】分三个不同数字各出现一次，一个数字出现两次，一个数字出现三次，三种情况讨论即可. 【详解】当三个不同数字各出现一次时，有个； 当一个数字出现两次，其他两个数字各出现一次时，则重复出现的数字只能是， 则有个； 当一个数字出现三次，则仅有数字符合条件，则有个； 综上所述，满足条件的三位数共有个. 故选：C 27.（山东青岛九中24-25高二下期末 14T） 英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有__________种（用数字作答）. 【答案】216 【解析】 【分析】如图，将6个行政区标上序号，根据分步乘法计数原理，按照一定的顺序对各个区域进行涂色，同时考虑相邻区域颜色不同的限制条件即可求解. 【详解】如图，将6个行政区标上序号， 区域1有4种颜色可选，共4种方法； 区域2与区域1相邻，不能与区域1同色，有3种颜色可选，共3种方法； 区域3与区域1、2相邻，不能与区域1、2同色，有2种颜色可选，共2种方法； ①若区域4与区域2同色，有1种颜色可选，此时区域5与区域2不同色且有2种涂色方法，此时区域6有2种涂色方法； ②若区域4与区域2不同色，有1种颜色可选，此时若区域5与区域2同色，有1种涂色方法，区域6有3种涂色方法， 若区域5与区域2不同色，有1种涂色方法，区域6有2种涂色方法， 所以一共有种方法. 故答案为：216. 题型10 概率 28.（多选）（山东济南24-25高二下期末 11T） 与两人玩游戏，A有标号为的张卡片，B有标号为，的张卡片．规则如下：①双方交替从对方手中抽取一张卡片，若抽到的卡片与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃；②先从手中抽取；③当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束．记有张卡片，有张卡片时，获胜的概率为，则（ ） A. 若，则B恰好在两人共抽取4次后获胜的概率为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：分析可能的各种可能，利用独立事件概率公式分别计算，然后求和即得；对于B：利用状态转换方法建立方程即可求解；对于C：利用状态转化方法建立一般递推关系，然后得解；对于D：利用C中建立的一般递推关系，计算前面几项的值，可猜想出一般公式，然后验证满足递推关系，根据由递推关系确定的数列的唯一性，验证了公式的正确性，进而判定. 【详解】选项A：①A先抽则；②A第二次抽则 则B恰好在两人共抽取4次后获胜的概率为，A正确； 选项B：当时，有，有； 第一次抽中的概率 (胜)；抽中的概率，此时有，有； 此时有，有，后续获胜概率为， 所以，解得，故B错误； 选项C：当时， ①若先抽，则手中卡片的状态互换，接下来抽，胜的概率为，所以胜概率为， ②若先抽中一张之后，有张卡片，有张卡片（含有和手中卡片相同数字的所有卡片），后续抽后，状态必然变为有张卡片，有张卡片（包含与手中卡片数字相同的所有卡片），则后续胜概率为， 所以， 所以（＊）， 所以，故C正确； 选项D：猜测， 验证满足递推关系，由递推关系所确定奇数项的概率是确定的，故猜想成立. 所以，故D正确. 故选：ACD. 29.（山东济宁24-25高二下期末 14T）一袋中有大小、质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5．从中有放回的取球，每次取一个，一共取5次．把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为______． 【答案】##0.48 【解析】 【分析】由题可知，总共有种结果，再选出3个数进行排列，根据容斥原理共有，然后即可求概率. 【详解】根据题意，有放回的取5次共有种结果； 又这列数中恰有3个不同整数，首先选出3个整数有种方法， 3个整数中其中1个出现一次，另外2个出现2次， 根据容斥原理共有种方法， 所以这列数中恰有3个不同整数的概率. 故答案为：. 30. （山东青岛五十八中24-25高二下期末 14T）在一场三局两胜制的羽毛球比赛中，每一局甲获胜的概率为0.6，且每局比赛结果互不影响，已知甲获胜，则最终比分为2：0的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出甲获胜的概率，再由条件概率公式直接计算即可. 【详解】记事件A为甲获胜，由题意甲获胜的情况有2种： 打两局以甲乙比分为2：0结束比赛，记为事件B，此事件发生的概率为； 打三局以甲乙比分为2：1结束比赛，此时事件发生的概率为； 所以甲获胜的概率为，且， 所以已知甲获胜，则最终比分为2：0的概率为. 故答案为： 题型11 离散型随机变量分布列 31.（山东东营24-25高二下期末 14T）一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则________，数学期望________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】①把四种情况对应概率相加即可 ②（方法一）用表示红色，黄色，蓝色，绿色小球被取到，分别求出各自对应概率及数学期望，最后相加即可 （方法二）分别列出的所有可能取值，分别计算出，，，再计算期望即可. 【详解】①：. ②：（方法一） 设，则服从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，， 设，则也从两点分布，，， ， （方法二）， ， ， . 故答案为： ； 32.（多选）（山东菏泽24-25高二下期末 11T） 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔向左或向右移动一个单位．向左移动的概率为，向右移动的概率为，设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的有（ ） A. 当，则 B. 当，则 C. 当，该质点共经过两次3的概率为 D. 当，的期望 【答案】ACD 【解析】 【分析】设移动次后，向右移动次，则，，根据二项分布的相关知识逐一判断即可求解. 【详解】设移动次后，向右移动次，向左移动次，则， 则. 对于A：当时，要使得，则向左和向右移动的次数均为次， 根据二项分布概率公式， A正确； 对于B：当时，要使得，则向右移动次，向左移动次， ，B错误； 对于C：当时，R向右移动，L向左移动， 则该质点共经过两次3，前5次的移动情况共有2种情况：，， 所以概率为，C正确； 对于D：因为. 期望. 因为，所以，则. 当时，，D正确. 故选：ACD. 题型12 二项分布、超几何分布与正态分布 33.（山东济南24-25高二下期末 8T） 甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式，结合、方差的性质列式求出最大值. 【详解】依题意，合格项目的个数，则，， 由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分， 因此，， 则，又， 所以当时，取得最大值. 故选：C 题型13 概率递推关系 34.（山东东营24-25高二下期末 19T）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第i次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第i次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. （1）求该操作员第二次降落成功的概率； （2）记该操作员前两次降落成功的次数为X，求X的分布列和数学期望； （3）设第i次降落成功的概率为，求证：. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，再利用全概率公式即可求解； （2）可取值为，分别求出相应的概率，从而可列出分布列，求出期望值； （3）当时，整理可得，再结合数列知识由递推公式数列的构建等比数列，从而可求解. 【小问1详解】 设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，. 由全概率公式得 ， 该操作员第二次降落成功的概率为. 【小问2详解】 由题意得，，，，. 的所有取值为0，1，2， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 【小问3详解】 由题意得， 当时， 即， 整理得，又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故，即，易知单调递增 所以. 35.（山东青岛九中24-25高二下期末 19T）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中. （1）若，求的分布列和数学期望； （2）求； （3）求证：. 【答案】（1）分布列见解析， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别求出取所有可能的值时的概率，再列出分布列，求出数学期望即可； （2）设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和即可. （3）设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，另一个一直保持分裂为个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和得到的解析式，再借助导数求出其最值即可得证. 【小问1详解】 的可能取值为， 其中， ， ， ， 所以分布列为 ； 【小问2详解】 个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞， 此事件概率， 所以 . 【小问3详解】 个周期结束后共有3个细胞，设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞， 这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞， 另一个一直保持分裂为个细胞，此事件的概率 ， 得， ， 其中，. 令，， 记，，令，得. 当，，单调递增； 当，，单调递减， 故， 即. 36.（山东泰安24-25高二下期末 19T）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：①每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局；②总共进行奇数局比赛；③全部比完后，分数高者获胜.假设每局比赛甲队获胜的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响. （1）当时，若两队共进行3局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为X，现在规定：若，则甲队可额外获得一次特殊训练机会，求甲队获得一次特殊训练机会的概率； （2）若两人共进行局比赛，当且时，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”，事件B表示“甲最终获胜”，求，的值； （3）若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，已知，试判断与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）； （2），； （3），理由见解析. 【解析】 【分析】（1）应用独立重复试验的概率求法及互斥加法公式求概率； （2）由题设前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢局，则剩余2局的赢局数，总分满足，应用二项分布的概率及对立事件概率求法求，； （3）由全概率公式得，即，再应用作商、基本不等式得，即可得结论. 【小问1详解】 ， ∴甲队获得一次特殊训练机会的概率为； 【小问2详解】 由题设，前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢局， 则剩余2局的赢局数，总分满足， 所以对应，即，又，故， 对于对应，即，又，所以； 【小问3详解】 由全概率公式得 ， ∴， 当时，， ， ∵， ∴， ∴. 37.（山东枣庄24-25高二下期末 19T）“随机游走”在空气中的烟雾扩散等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位. （1）求质点移动6次后位于的概率； （2）设质点在第2秒末移动到点，记xy的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （3）记第n秒末质点回到原点的概率为. （i）求，； （ii）求. 参考公式： 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为0； （3）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）移动6次到，只能3次向右，3次向上，由此由独立重复试验概率公式计算； （2）根据第2秒末粒子的可能位置进行列举，确定随机变量的可能值，由古典概型概率公式计算概率得其分布列，再由期望公式计算出期望； （3）（i）根据第1秒末粒子的所有可能位置，易得第2秒末回到原点的概率，根据粒子在第4秒末回到原点，可分两种情况考虑，即按照四个不同方向的排列或按照两个相反方向的排列，利用互斥事件的概率加法公式计算即得；（ii）因第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动了步，向右移动了步，向上移动了步，向下移动了步，由此求出，利用组合式公式和题设公式化简即得. 【小问1详解】 质点移动6次后位于，6次移动中只能有3次向右，3次向上，因此概率为 【小问2详解】 因在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处，故在第2秒末可能运动到点各两种情形，各一种情形，有4种情形，共计16种情形， 随机变量表示的取值，故的可能取值为， 对应的概率分别为：，，， 故的分布列为： 0 1 期望为； 【小问3详解】 （i）因第1秒末，粒子等可能地出现在，，，四点，第2秒末，每个位置的粒子都有的可能回到原点，故； 对于粒子在第4秒末回到原点，分两种情况考虑：每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形； 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右，上上下下”，共有种情形.故； （ii）第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动了步，向右移动了步，向上移动了步，向下移动了步， 故 ， 因，故. 【点睛】关键点点睛：题中求时理解为第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动了步，向右移动了步，向上移动了步，向下移动了步最为关键，从而得到，其次利用组合公式，题设公式的结合是第二关键. 38.（山东淄博24-25高二下期末 19T）生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了400人，得到如下数据： 年龄 篮球运动情况 合计 经常运动 不经常运动 40及以上 130 70 200 40以下 100 100 200 合计 230 170 400 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？ （2）某校组织“篮球”比赛，分成了、、三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，且被挑战方拥有下一次的挑战权，若挑战权在组，挑战、组的概率为，，若挑战权在组，则挑战、组的概率为，，若挑战权在组，则挑战、组的概率为，.已知首先由组发起挑战，按此规则进行了多次挑战. ①前3次挑战后，求组拥有挑战权次数的分布列与数学期望； ②经过次挑战后，挑战权在组的概率为，求； ③数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于.根据数列的定义证明②中收敛. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7879 10.828 【答案】（1）能 （2）①分布列见解析，；②；③证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据列联表数据计算，再由独立性检验可判断； （2）①根据题意，的可能取值为，分别计算出概率，写出分布列并利用公式计算期望即可；②根据题意列出数量递推式，构造数列得到通项；③利用“收敛数列”定义即可证明. 【小问1详解】 零假设为：篮球运动情况与年龄无关， 由列联表数据可得， 因为，，， 所以根据小概率值的独立性检验，认为不成立，即认为篮球运动与年龄有关，此推断犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 ①依题意知，的可能取值为， 则， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 . ②设第次挑战权在、组的概率分别是、，，， 依题意可得， （1）+（3）得， 由（2）得， 所以， 即， ， ，其中， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. ③证明：对任意，总存在正整数，（其中表示取整函数）， 当时，， 所以收敛. 题型14 统计 39.（山东青岛24-25高二下期末 8T） 已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知数据求原数据的样本中心，再确定新数据的样本中心，进而得出新的回归直线方程，再结合残差的定义计算即可. 【详解】由题意可知，旧数据，则， 增加数据后，，， 将点代入中得， ，即，则， 当时，，故残差为. 故选：D 40.（多选）（山东枣庄24-25高二下期末 11T）某地新开了一条夜市街，每晚最多能接纳10万人.主办公司计划通过广告宣传提高客流量.通过调研，发现投入的广告费x与每晚客流量y存在如下关系： x/万元 1 2 3 4 5 y/千人 5 6 8.1 9 14.5 附，，，， 令，，，. 现用曲线拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，的最小二乘估计，依所求回归方程C为预测依据，则（ ） A. 曲线C经过点 B. C. 若投入广告费9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力 D. 广告费每增加1万元，每晚客流量增加3000人 【答案】BC 【解析】 【分析】利用题目的数据，得出，的最小二乘估计，即可得出回归方程，逐个逐项判断即可. 【详解】由题可知，令，，， ， 所以， ，故B正确； 所以， 令，， 所以曲线C不经过点，故A错误； 当时，千人， 所以若投入广告费9万元，则每晚客流量为万人， 因为每晚最多能接纳10万人，所以会超过夜市接纳能力，故C正确； 由可知，当时，， 所以当广告费从5万元增加到6万元，客流量增加千人，故D错误. 故选：BC 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下期末考试复习（压轴40题） 2025-2026学年高二下期末考试复习（压轴40题） 1 题型1 导数几何意义 2 题型2 函数单调性与极值最值问题 2 题型3 函数零点问题 3 题型4 不等式恒成立问题 4 题型5 构造函数解不等式 4 题型6 比较大小 6 题型7 导数与其他知识点结合问题 6 题型8 函数性质综合问题 7 题型9 排列组合 8 题型10 概率 9 题型11 离散型随机变量分布列 10 题型12 二项分布、超几何分布与正态分布 10 题型13 概率递推关系 11 题型14 统计 14 题型1 导数几何意义 1.（山东济南24-25高二下期末 14T） 过点可以作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是_______． 题型2 函数单调性与极值最值问题 2.（山东青岛九中24-25高二下期末 8T）已知定义在上的奇函数，当时，，若，，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. （山东日照24-25高二下期末 14T）定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为________． 4.（山东烟台24-25高二下期末 14T） 已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 5.（山东枣庄24-25高二下期末 8T）函数在区间的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6.（山东烟台24-25高二下期末 19T） 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，且与有相同的最小值． （i）求a的值； （ii）已知，，且，求证：． 题型3 函数零点问题 7.（多选）（山东泰安24-25高二下期末 11T） 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若函数，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 若直线与函数的图象有且只有4个公共点，则实数k的取值范围为 D. 函数的所有零点之和为 8.（多选）（山东烟台24-25高二下期末 11T）定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 的图象在处的切线方程为 C. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 D. 的图象与直线恰有一个公共点，则实数 9.（山东日照24-25高二下期末 19T） 已知函数 （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若有3个零点，，，且. （i）求实数的取值范围； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 题型4 不等式恒成立问题 10.（山东泰安24-25高二下期末 14T）已知对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 11.（山东青岛五十八中24-25高二下期末 19T） 已知函数. （1）求的图象在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求正实数的取值范围； （3）当时，若正实数满足，求证：. 题型5 构造函数解不等式 12.（山东菏泽24-25高二下期末 14T） 已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是________． 13.（山东济宁24-25高二下期末 8T） 已知是定义在上的偶函数，，且恒成立，，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 14.（山东烟台24-25高二下期末 8T）已知为定义在上的偶函数，且当时，，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 15.（山东淄博24-25高二下期末 8T）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 16.（山东日照24-25高二下期末 8T） 定义在的增函数满足：，且，.已知数列的前项和为，则使得成立的的最大值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 题型6 比较大小 17.（山东青岛五十八中24-25高二下期末 8T）已知，则这三个数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 18.（山东泰安24-25高二下期末 8T） 已知正实数m，n，p满足，，，则m，n，p的大小关系为（ ） A. B. C. D. 题型7 导数与其他知识点结合问题 19.（山东济南24-25高二下期末 19T） 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围； （3）设，证明：． 20.（山东济宁24-25高二下期末 19T） 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）一袋中有大小、质地相同的25个小球，标号为1到25．从中有放回的取球，每次取一个，一共取次，并记录每次抽取的小球的号码，设记录的个号码都不相同的概率为． 证明：． 题型8 函数性质综合问题 21.（多选）（山东济宁24-25高二下期末 11T） 设是定义在上的函数，满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 22.（多选）（山东青岛九中24-25高二下期末 11T） 已知是定义在上的增函数，且可导，为奇函数，记函数分别是的导函数，则（ ） A. B. C. D. 23.（多选）（山东青岛五十八中24-25高二下期末 11T）已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（ ） A 函数图像关于直线对称 B. 函数为偶函数 C. 4是函数的一个周期 D. 24.（多选）（山东青岛24-25高二下期末 11T）已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 25.（山东青岛24-25高二下期末 14T） 函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则________. 题型9 排列组合 26.（山东菏泽24-25高二下期末 8T）用1，2，3组成三位数，数字最多用次，其中，则满足条件的三位数个数是（ ） A. 15个 B. 18个 C. 19个 D. 27个 27.（山东青岛九中24-25高二下期末 14T） 英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有__________种（用数字作答）. 题型10 概率 28.（多选）（山东济南24-25高二下期末 11T） 与两人玩游戏，A有标号为的张卡片，B有标号为，的张卡片．规则如下：①双方交替从对方手中抽取一张卡片，若抽到的卡片与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃；②先从手中抽取；③当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束．记有张卡片，有张卡片时，获胜的概率为，则（ ） A. 若，则B恰好在两人共抽取4次后获胜的概率为 B. C. D. 29.（山东济宁24-25高二下期末 14T）一袋中有大小、质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5．从中有放回的取球，每次取一个，一共取5次．把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为______． 30. （山东青岛五十八中24-25高二下期末 14T）在一场三局两胜制的羽毛球比赛中，每一局甲获胜的概率为0.6，且每局比赛结果互不影响，已知甲获胜，则最终比分为2：0的概率为_____． 题型11 离散型随机变量分布列 31.（山东东营24-25高二下期末 14T）一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则________，数学期望________. 32.（多选）（山东菏泽24-25高二下期末 11T） 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔向左或向右移动一个单位．向左移动的概率为，向右移动的概率为，设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的有（ ） A. 当，则 B. 当，则 C. 当，该质点共经过两次3的概率为 D. 当，的期望 题型12 二项分布、超几何分布与正态分布 33.（山东济南24-25高二下期末 8T） 甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（ ） A. B. C. D. 题型13 概率递推关系 34.（山东东营24-25高二下期末 19T）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第i次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第i次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. （1）求该操作员第二次降落成功的概率； （2）记该操作员前两次降落成功的次数为X，求X的分布列和数学期望； （3）设第i次降落成功的概率为，求证：. 35.（山东青岛九中24-25高二下期末 19T）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中. （1）若，求的分布列和数学期望； （2）求； （3）求证：. 36.（山东泰安24-25高二下期末 19T）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：①每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局；②总共进行奇数局比赛；③全部比完后，分数高者获胜.假设每局比赛甲队获胜的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响. （1）当时，若两队共进行3局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为X，现在规定：若，则甲队可额外获得一次特殊训练机会，求甲队获得一次特殊训练机会的概率； （2）若两人共进行局比赛，当且时，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”，事件B表示“甲最终获胜”，求，的值； （3）若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，已知，试判断与的大小关系，并说明理由. 37.（山东枣庄24-25高二下期末 19T）“随机游走”在空气中的烟雾扩散等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位. （1）求质点移动6次后位于的概率； （2）设质点在第2秒末移动到点，记xy的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （3）记第n秒末质点回到原点的概率为. （i）求，； （ii）求. 参考公式： 38.（山东淄博24-25高二下期末 19T）生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了400人，得到如下数据： 年龄 篮球运动情况 合计 经常运动 不经常运动 40及以上 130 70 200 40以下 100 100 200 合计 230 170 400 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？ （2）某校组织“篮球”比赛，分成了、、三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，且被挑战方拥有下一次的挑战权，若挑战权在组，挑战、组的概率为，，若挑战权在组，则挑战、组的概率为，，若挑战权在组，则挑战、组的概率为，.已知首先由组发起挑战，按此规则进行了多次挑战. ①前3次挑战后，求组拥有挑战权次数的分布列与数学期望； ②经过次挑战后，挑战权在组的概率为，求； ③数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于.根据数列的定义证明②中收敛. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7879 10.828 题型14 统计 39.（山东青岛24-25高二下期末 8T） 已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 40.（多选）（山东枣庄24-25高二下期末 11T）某地新开了一条夜市街，每晚最多能接纳10万人.主办公司计划通过广告宣传提高客流量.通过调研，发现投入的广告费x与每晚客流量y存在如下关系： x/万元 1 2 3 4 5 y/千人 5 6 8.1 9 14.5 附，，，， 令，，，. 现用曲线拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，的最小二乘估计，依所求回归方程C为预测依据，则（ ） A. 曲线C经过点 B. C. 若投入广告费9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力 D. 广告费每增加1万元，每晚客流量增加3000人 1 学科网（北京）股份有限公司 $