山东潍坊市2025-2026学年高二下学期数学期末考试自编模拟卷（二）

**基本信息** 本试卷为高二下学期期末模拟卷，覆盖数列、导数、概率统计核心内容，通过等比数列计算、导数切线方程、泊松分布应用等试题，融合数学抽象、逻辑推理与数据建模，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|等比数列性质、频率分布直方图、导数几何意义、正态分布|基础题与能力题结合，如第5题以节目排序考条件概率，体现数学思维的逻辑性| |填空题|3题15分|数列递推、二项式系数、传球概率模型|第14题通过传球概率考查递推关系，培养数学建模能力| |解答题|5题77分|数列证明与求和、二项式定理、导数单调性与极值、泊松分布应用|第19题结合水电工需求估计概率，用数学语言解释现实问题，凸显应用意识；导数题分层设问，考查逻辑推理与创新思维|

山东省潍坊市2025-2026学年高二数学下学期期末考试自编模拟卷（二） 考试范围：人教B版选择性必修第三册第五章数列、第六章导数及其应用，一轮复习概率统计 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知数列 为等比数列,若 ,则 的值为 ( ) A. -4 B. 4 C. -2 D. 2 【答案】B 【解析】因为 ,所以 ,则 ,解得 ,所以 . 故选: B 2. 在样本的频率分布直方图中, 共有 5 个小长方形, 若中间一个长方形的面积等于其他 4 个小长方形面积和的 ，且样本容量为 210，则中间一组的频数为( ) A. 10 B. 20 C. 60 D. 70 【答案】 【解析】设中间一个长方形的面积为 ,所以 ,解得 ,即中间一组的频数为 . 故选: C. 3. 一个数阵有 行 列,第一行中的 个数互不相同,其余行都由这 个数以不同的顺序组成. 如果要使任意两行的顺序都不相同，那么 的最大值为( ) A. 1 B. C. D. 【答案】 【解析】由于 个数互不相同,故将这 个数全排列共有 ! 种排序方法,而一个数阵有 行 列, 要使任意两行的顺序都不相同,故有 的值最大为 ! . 故选: D. 4. 若曲线 在点 处的切线方程为 ,则 ( ) A. 2 B. 0 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】由 得 ,又曲线 在点 处的切线方程为 , 故当 时, 又点 在 上,则 ,故 . 5. 班长小杨要安排一场班级晚会的 6 个节目的演出顺序, 在“节目A不是第一个节目且节目B不是最后一个节目”条件下，节目C第一个出场的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】记事件 : 节目 不是第一个节目且节目 不是最后一个节目,事件 : 节目 第一个出场, 则 , 所以, . 故选: D. 6. 若函数 的图象上存在与直线 平行的切线,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解: 函数 存在与直线 平行的切线, 即 在 上有解,而 ,即 在 上有解, 得 在 上有解, ,当且仅当 时 “=” 成立. 的取值范围是 . 故选: D. 7. 已知函数 的图像与直线 相切，则 的值为( ) A. B. C. e D. 【答案】B 【解析】设函数 在 处的切线为 ， 由 ,可得 ,所以 ,所以 , 又 ，所以 ，解得 ，所以 . 故选:B. 8. 已知 ,则 的大小顺序为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ,令 ,则 ,当 时, ,函数 在 上单调递减, 又 ，所以 ，所以 ，所以 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9. 已知样本数据 的平均数为 2,方差为 1,则下列说法正确的是( ) A. 数据 的平均数为 6 B. 数据 的方差为 9 C. 数据 的方差为 1 D. 数据 的平均数为 5 【答案】BD 【解析】因为样本数据 的平均数为 2,方差为 1, 对于选项 A:所以数据 的平均数为 ，故 A 错误； 对于选项 B:数据 的方差为 ，故 B 正确； 对于选项 C: 因为 , 则数据 的平均数为 , 所以方差为 ,故 错误; 对于选项 D: 由 , 得 ,可得 , 所以数据 的平均数为 ,故 D 正确; 故选: BD. 10. 下列命题中,正确的是( ) A. 已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 B. 已知 ,则 C. 若 两组成对数据的样本相关系数分别为 ，则 组数据比 组数据的相关性较强 D. 将总体划分为两层,通过分层抽样,得到样本数为 的两层样本,其样本平均数和样本方差分别为 和 ,若 ,则总体方差 【答案】ABD 【解析】A 选项,由正态曲线的性质可得 ,根据对称性可知 , 则 , ,故 A 正确; B 选项; 由 得 ,即 , 所以事件 相互独立,所以结论正确: C 选项, 越接近于 1,相关性越强,故 C 错误; D 选项,设两层的数据分别是 和 ,总体的平均数为 ,则 ,又 , , 总体方差 ; 故原正确. 故选: ABD. 11. 已知 ,若 ,则下列关系式能成立的是( ) A. B. C. D 【答案】ACD 【解析】当 时, 等式成立,故 D 成立. 若 ,则 . 设 ,则 ,令 ,则 , 当 时, ; 当 时, . 所以 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 , 即 恒成立,所以 单调递增. 当 时, , 即 ,所以 ,故 成立, 不成立. 当 时, ,即 ,所以 ,故 成立. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12. 已知数列 满足: ( 为正整数),则 _____. 【答案】 【解析】当 时, , ,当 时 , 两式相减得 ,可得 代入 ,得 =1 故 时不满足此式,所以 13. 在 的展开式中,含 项的系数为_____. 【答案】15 【解析】由题意， 项的系数为 ，故答案为:15. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，甲有 的概率不传，有 的概率传给乙；乙有 的概率传给甲，有 的概率传给丙；丙有 的概率传给甲，有 的概率传给乙，每次传球相互独立，则两次传球后球在乙处的概率为_____， 次传球后，球在乙处的概率 _____. 【答案】 【解析】设 次传球后,球在甲处的概率为 ,则球在丙处的概率为 , 由题意可知 , 第二次传球后, 球在乙处, 只有一种可能, 即前一次在甲处, 然后传给乙, 所以 ; 次传球后,球在乙处,有两种可能: 前一次在甲处,由甲传给乙或前一次在丙处,由丙传给乙, 所以 , 设 ,即 ,所以 ,解得 , 故 ,且 , 所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列, 所以 ,故 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知数列 中， ， . (1)求证:数列 为等差数列； (2)令 的前 项和为 ，求证: . 【解析】(1)已知 ，且 ，由递推关系可知 对任意正整数 成立， 则该递推关系可整理为 ,………………………………………4分 又首项 , 因此数列 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.…………………………………………6分 (2)由(1)可得 ，所以 ，………………………7分 所以 ，…………………………………………9分 所以 ……………………………………………………………13分 16.（15分） 已知 ，且 的展开式中各项的二项式系数之和为 64 . (1)求 ； (2)求 的展开式中 的系数； (3) 求 . 【解析】(1)因为 展开式中各项的二项式系数之和为 64, 所以 ,解得 .……………………………………………………………4分 (2) 的展开式的通项 ,……………………6分 ,令 ,得 ,…………………………………………………………8分 所以 展开式中 的系数为 .…………………………9分 (3)令 ，得 ，………………………………………………………………10分 令 ,得 ,……………………12分 则 .……15分 17.（15分） 已知函数 . (1)讨论函数 的单调性 (2)若函数 在其定义域的一个子集 内存在两个极值点，求实数 的取值范围并求 的极值. 【解析】(1) ,…………………………1分 由 得 或 , …………………………………………………………2分 当 时, 在 上恒大于 0, 在 上恒小于 0, 在 单调递增,在 上单调递减;…………4分 时， 在 上恒成立， 在 上单调递增；…………5分 时, 在 上大于 0 恒成立, 在 上小于 0 恒成立, 在 上单调递增,在 上单调递减;……7分 综上, 时, 在 上调递增,在 上单调递减; 时, 在 上单调递增; 时, 在 上单调递增,在 上单调递减. ……………………8分 (2)由(1)知 的极值点是 ，………………………………………………………………9分 因此这两个极值点需在区间 内，………………………………………………11分 则 且 ,解得 , …………………………………………13分 的极大值为 ,极小值为 .……15分 18.（17分） 已知函数 . (1)求 的单调区间和极小值； (2)证明: 当 时, . 【解析】(1)函数 ,求导得 , ……………………………………………………………………………………2分 当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减, …………………………………………6分 所以 的递增区间为 ; 递减区间为 的极小值为 . ………………………………………………………………8分 (2)证明:当 时，令 ， 求导得 , …………………………………………10分 令 ,求导得 ,…………14分 函数 在 上单调递增,则 在 上单调递增, ………………………………………………………………16分 因此 ,所以 . ……………………………………17分 19.（17分） 泊松分布是一种重要的离散型分布, 用于描述稀有事件的发生情况. 如果随机变量X的所有可能取值为 ,且 其中 ,则称 服从泊松分布,记作 . (1)设 ，且 ，求 ； (2)已知当 ， 时，可以用泊松分布 近似二项分布 ，即对于 ,当 不太大时,有 . (i)已知甲地区共有 100000 户居民，每户居民每天有 0.00010 的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少 2 名水电工的概率; (ii) 在 (i) 的基础上, 已知乙地区共有 200000 户居民, 每户居民每天有 0.00004 的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要 3 名水电工的概率. 【解析】( 1 )由 得 ，且 ，解得 . ……2分 故 . …………………………………………4分 (2)(i)设 为甲地区某天需要的水电工数目，则 ，且 . 因为 ,……6分 所以 . …………………………………………8分 那么，某天至少需要 2 名水电工的概率约为 ………………10分 (ii) 设 为乙地区某天需要的水电工数目,则 ,且 . 因为 , 所以 . …………………………………………12分 于是 …………………………………………15分 那么，某天两个地区一起至少需要 3 名水电工的概率约为 …………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省潍坊市2025-2026学年高二数学下学期期末考试自编模拟卷（二） 考试范围：人教B版选择性必修第三册第五章数列、第六章导数及其应用，一轮复习概率统计 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知数列 为等比数列,若 ,则 的值为 ( ) A. -4 B. 4 C. -2 D. 2 2. 在样本的频率分布直方图中, 共有 5 个小长方形, 若中间一个长方形的面积等于其他 4 个小长方形面积和的 ，且样本容量为 210，则中间一组的频数为( ) A. 10 B. 20 C. 60 D. 70 3. 一个数阵有 行 列,第一行中的 个数互不相同,其余行都由这 个数以不同的顺序组成. 如果要使任意两行的顺序都不相同，那么 的最大值为( ) A. 1 B. C. D. 4. 若曲线 在点 处的切线方程为 ,则 ( ) A. 2 B. 0 C. -1 D. -2 5. 班长小杨要安排一场班级晚会的 6 个节目的演出顺序, 在“节目A不是第一个节目且节目B不是最后一个节目”条件下，节目C第一个出场的概率是( ) A. B. C. D. 6. 若函数 的图象上存在与直线 平行的切线,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 7. 已知函数 的图像与直线 相切，则 的值为( ) A. B. C. e D. 8. 已知 ,则 的大小顺序为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9. 已知样本数据 的平均数为 2,方差为 1,则下列说法正确的是( ) A. 数据 的平均数为 6 B. 数据 的方差为 9 C. 数据 的方差为 1 D. 数据 的平均数为 5 10. 下列命题中,正确的是( ) A. 已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 B. 已知 ,则 C. 若 两组成对数据的样本相关系数分别为 ，则 组数据比 组数据的相关性较强 D. 将总体划分为两层,通过分层抽样,得到样本数为 的两层样本,其样本平均数和样本方差分别为 和 ,若 ,则总体方差 11. 已知 ,若 ,则下列关系式能成立的是( ) A. B. C. D 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12. 已知数列 满足: ( 为正整数),则 _____. 13. 在 的展开式中,含 项的系数为_____. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，甲有 的概率不传，有 的概率传给乙；乙有 的概率传给甲，有 的概率传给丙；丙有 的概率传给甲，有 的概率传给乙，每次传球相互独立，则两次传球后球在乙处的概率为_____， 次传球后，球在乙处的概率 _____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知数列 中， ， . (1)求证:数列 为等差数列； (2)令 的前 项和为 ，求证: . 16.（15分） 已知 ，且 的展开式中各项的二项式系数之和为 64 . (1)求 ； (2)求 的展开式中 的系数； (3) 求 . 17.（15分） 已知函数 . (1)讨论函数 的单调性 (2)若函数 在其定义域的一个子集 内存在两个极值点，求实数 的取值范围并求 的极值. 18.（17分） 已知函数 . (1)求 的单调区间和极小值； (2)证明: 当 时, . 19.（17分） 泊松分布是一种重要的离散型分布, 用于描述稀有事件的发生情况. 如果随机变量X的所有可能取值为 ,且 其中 ,则称 服从泊松分布,记作 . (1)设 ，且 ，求 ； (2)已知当 ， 时，可以用泊松分布 近似二项分布 ，即对于 ,当 不太大时,有 . (i)已知甲地区共有 100000 户居民，每户居民每天有 0.00010 的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少 2 名水电工的概率; (ii) 在 (i) 的基础上, 已知乙地区共有 200000 户居民, 每户居民每天有 0.00004 的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要 3 名水电工的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $