第五章 二元一次方程组 培优训练2025-2026学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级上册第五章《二元一次方程组》培优训练 一．选择题 1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．2x+y＝3z B．x+y﹣2xy＝7 C．x﹣y＝0 D． 2．已知是的一组解，则m+n的值为（　　） A．3 B．﹣5 C．5 D．﹣3 3．把方程组中的方程①或方程②改写成用含x的式子表示y的形式，下列改写正确的是（　　） A．由①，得y＝1﹣2x B．由①，得y＝2x﹣1 C．由②，得 D．由②，得y＝8﹣3x 4．如果关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．0 5．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．1 D．2 6．我国古代数学著作《孙子算经》中记载“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设兔子有x只，鸡有y只，则下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如果关于x，y的方程组无解，则k值为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．2 8．在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝8cm，BC＝12cm，则阴影部分图形的总面积为（　　）cm2． A．27 B．29 C．34 D．36 9．已知关于x，y的方程组以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6则k＝1．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 10．如果是方程3ax+2by＝20的解，a，b是正整数，则a+b的最大值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 11．洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一．相传大禹治水时，洛阳西洛宁县洛河中浮出一只神龟，背上有图有字，这就是洛书（如图1）．洛书用今天的数学符号翻译出来是一个三阶幻方（如图2），就是将9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是不完整的幻方，△和〇各表示一个数，则〇﹣△的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 二．填空题 12．若方程（m+4）x|m|﹣3+2y＝6是关于x，y的二元一次方程，则m的值为　 　 ． 13．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组的解是 　 　 ． 14．在长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别；xcm，ycm，则可列方程组　 　 ． 15．已知关于x，y的方程组的解为整数，且关于y的多项式（a2﹣1）y2+4y+1为二次三项式，则所有满足条件的整数a的和为 　 　 ． 16．已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解为　 　 ． 三．解答题 17．已知关于x，y的二元一次方程组的解应为，嘉淇解题时把c抄错了，因此得到的解是，聪明的你知道嘉淇将c抄错成了什么数吗？ 18．解下列方程组： （1）； （2）； （3）； （4）． 19．某农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷． （1）求每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？ （2）农场要租赁两种型号的收割机一共10台，要求2小时完成的小麦收割任务不少于8公顷，则至少需要租赁大型收割机几台？ 20．为了迎接2025年的“双十二”购物节并刺激消费，某工厂推出了甲和乙两种型号的雪地靴．已知该工厂生产了甲型和乙型雪地靴共200双，其中每双甲型雪地靴的生产成本为150元，每双乙型雪地靴的生产成本为200元，生产这些雪地靴的总成本为35500元． （1）请问甲型和乙型雪地靴各生产了多少双？ （2）这200双雪地靴被运往商场销售，甲型雪地靴的售价为每双300元，乙型雪地靴的售价为每双350元．销售过程中，由于甲型雪地靴销量不佳，在卖出一定数量后，工厂决定将剩余的甲型雪地靴按原价的四折出售．最终甲、乙两种型号的雪地靴全部售出，共获得利润20640元．问甲型雪地靴在卖出多少双后开始打折销售？ 21．数学方法： 在解方程组：时，如果把方程组中的2x+y，x﹣2y分别看作一个整体，设2x+y＝m，x﹣2y＝n，则原方程组可化为，解此方程组得，代入2x+y＝m，x﹣2y＝n，得，解此方程组得，所以原方程组的解为． 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．这种解方程组的方法体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考这种做法，解决下面的问题： （1）类比探究：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为　 　 ． （2）知识迁移：请用这种方法解方程组． 北师大版八年级上册第五章《二元一次方程组》培优训练答案 一．选择题（共11小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B A C D B D A C A 1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．2x+y＝3z B．x+y﹣2xy＝7 C．x﹣y＝0 D． 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都为1的方程即为二元一次方程，据此进行判断即可． 【解答】解：2x+y＝3z含有三个未知数，则A不符合题意； x+y﹣2xy＝7中2xy的次数为2，则B不符合题意； x﹣y＝0符合二元一次方程的定义，则C符合题意； 含分式，不是整式方程，则D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．已知是的一组解，则m+n的值为（　　） A．3 B．﹣5 C．5 D．﹣3 【分析】将给定的解代入方程组，分别求出m和n的值，再计算它们的和． 【解答】解：已知是的一组解， ∵x＝﹣2，y＝1是方程组的解， ∴代入2x+3y＝m得：2×（﹣2）+3×1＝﹣4+3＝﹣1， ∴m＝﹣1． 代入nx﹣y＝3得：n×（﹣2）﹣1＝3， ∴n＝﹣2． ∴m+n＝﹣1+（﹣2）＝﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，正确进行计算是解题关键． 3．把方程组中的方程①或方程②改写成用含x的式子表示y的形式，下列改写正确的是（　　） A．由①，得y＝1﹣2x B．由①，得y＝2x﹣1 C．由②，得 D．由②，得y＝8﹣3x 【分析】根据等式的性质解答即可． 【解答】解： A．由①，得y＝2x﹣1，故选项A错误； B．由①，得y＝2x﹣1，故选项B正确； C．由②，得，故选项C错误； D．由②，得，故选项D错误． 故选：B． 【点评】本题考查了等式的性质，解二元一次方程，掌握等式的性质是解题的关键． 4．如果关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．0 【分析】联立不含a，b的两个方程求出x，y的值，把x，y的值代入另外两个方程，两式相加即可得到a+b的值． 【解答】解：联立， 解得：， 代入另外两个方程得：， 两式相加得：7a+7b＝7， ∴a+b＝1． 故选：A． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，体现了整体思想，直接两式相加求出a+b的值是解题的关键． 5．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．1 D．2 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x﹣y＝m+3，代入x﹣y＝4，即可解答． 【解答】解：， ①﹣②得2x﹣2y＝2m+6， ∴x﹣y＝m+3， 代入x﹣y＝4，可得m+3＝4， 解得：m＝1， 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 6．我国古代数学著作《孙子算经》中记载“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设兔子有x只，鸡有y只，则下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据上有三十五头，下有九十四足，列出二元一次方程组即可． 【解答】解：根据题意得：， 故选：D． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．如果关于x，y的方程组无解，则k值为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．2 【分析】先根据加减消元法将两个方程相加，得出，然后根据方程组无解，得出2k＝0，即可得出答案． 【解答】解：， ①+②，得2kx＝4， ∴， ∵关于x，y的方程组无解， ∴2k＝0， ∴k＝0． 故选：B． 【点评】本题考查了解二元一次方程，二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． 8．在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝8cm，BC＝12cm，则阴影部分图形的总面积为（　　）cm2． A．27 B．29 C．34 D．36 【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出x和y的值，即可解决问题． 【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm， 根据题意，得：， 解得：， ∴每个小长方形的面积为2×6＝12（cm2）， ∴阴影部分的面积＝8×12﹣5×12＝36（cm2）， 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．已知关于x，y的方程组以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6则k＝1．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 【分析】直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【解答】解：①当k＝0时，原方程组可整理得：， 解得：， 把代入x﹣2y＝﹣4得： x﹣2y＝﹣2﹣2＝﹣4， 即①正确， ②解方程组，得： 若x+y＝3k﹣1+k＝0， 则4k﹣1＝0， 解得：k＝， 即存在实数k，使得x+y＝0， 即②正确， ③解方程组，，得： ， ∴x+3y＝3k﹣2+3（1﹣k）＝1， ∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，故③正确； ④解方程组，，得： ， 若3x+2y＝6 ∴k＝，故④错误， 故选：A． 【点评】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解得定义． 10．如果是方程3ax+2by＝20的解，a，b是正整数，则a+b的最大值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】首先将方程化简然后分三种情况讨论即可． 【解答】解：将方程组的解代入方程3ax+2by＝ 20中， 得到：3a×2+26×1＝20，化简得：6a+2b＝20，两边同时除以2，得3a+b＝10，由于a，b为正整数，因此b＝10﹣3a＞0，即3a＜10，解得a＜≈3.33，故a的可能取值3为1、2、3， 当a＝1时，b＝10﹣3×1＝7，此时a+b＝1+7＝ 8， 当a＝2时，b＝10﹣3×2＝4，此时a+b＝2+4＝6， 当a＝3时，b＝10﹣3×3＝1，此时a+b＝3+1＝ 4， ∴a+b的最大值为8， 故答案选C． 【点评】本题主要考查二元一次方程的解的计算，正确进行计算和分类讨论是解题关键． 11．洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一．相传大禹治水时，洛阳西洛宁县洛河中浮出一只神龟，背上有图有字，这就是洛书（如图1）．洛书用今天的数学符号翻译出来是一个三阶幻方（如图2），就是将9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是不完整的幻方，△和〇各表示一个数，则〇﹣△的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【分析】根据第二列及第三行上的三个数之和相等，可列出关于△，〇（将△，〇当成未知数）的二元一次方程，变形后，即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：△+4＝7+〇， 解得：〇﹣△＝﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 12．若方程（m+4）x|m|﹣3+2y＝6是关于x，y的二元一次方程，则m的值为　4　 ． 【分析】根据二元一次方程的定义得出|m|﹣3＝1且m+4≠0，即可求出m的值． 【解答】解：若方程（m+4）x|m|﹣3+2y＝6是关于x，y的二元一次方程， 则|m|﹣3＝1且m+4≠0， 解得m＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，绝对值，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 13．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组的解是 　　 ． 【分析】先利用解析式y＝﹣x+4确定P点坐标，然后根据“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”求解． 【解答】解：把P（m，1）代入y＝﹣x+4得﹣m+4＝1， 解得m＝3， ∴一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象的交点P的坐标为（3，1）， ∴关于x、y的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 14．在长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别；xcm，ycm，则可列方程组　　 ． 【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的对边相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 【解答】解：依题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是正确列出二元一次方程组的关键． 15．已知关于x，y的方程组的解为整数，且关于y的多项式（a2﹣1）y2+4y+1为二次三项式，则所有满足条件的整数a的和为 　7　 ． 【分析】先解方程组，再根据其解是整数，确定a的可能值，再根据多项式的次数和项数，进一步求出a的值，然后求和即可． 【解答】解：， 得：， ∵关于x，y的方程组的解为整数且a为整数， ∴a﹣2＝±2，a﹣2＝±1， ∴a＝0或4或1或3； ∵（a2﹣1）y2+4y+1是二次三项式， ∴a2﹣1≠0，即a≠±1； ∴a＝0或4或3， ∴所有满足条件的整数a的和为0+4+3＝7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查解二元一次方程组、多项式等知识点，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 16．已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解为　　 ． 【分析】通过整体代换，将新方程组中的表达式转化为原方程组的形式，利用已知解求解． 【解答】解：由方程组可得，， 令 u＝x+1，v＝﹣（y﹣3）， 则可化为：， ∵方程组的解为， ∴方程组的解为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 三．解答题（共5小题） 17．已知关于x，y的二元一次方程组的解应为，嘉淇解题时把c抄错了，因此得到的解是，聪明的你知道嘉淇将c抄错成了什么数吗？ 【分析】根据题意可得：把代入方程cx+20y＝﹣224中得：12c+20×（﹣13）＝﹣224，然后进行计算即可解答． 【解答】解：把代入方程cx+20y＝﹣224中得：12c+20×（﹣13）＝﹣224， 解得：c＝3， ∴嘉淇将c抄错成3了． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．解下列方程组： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）利用加减消元法解方程即可； （2）利用加减消元法解方程即可； （3）利用加减消元法解方程即可； （4）利用加减消元法解方程即可． 【解答】解：（1）， ①+②得：9x＝3，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为； （2） ①×2﹣②得：﹣11y＝﹣29，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为； （3）， 整理得， ①×2﹣②得：﹣y＝5，解得y＝﹣5， 把y＝﹣5代入①得：x﹣5＝3，解得x＝8， ∴方程组的解为； （4）， 整理得， ①+②得：6x＝13，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，正确进行计算是解题 关键． 19．某农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷． （1）求每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？ （2）农场要租赁两种型号的收割机一共10台，要求2小时完成的小麦收割任务不少于8公顷，则至少需要租赁大型收割机几台？ 【分析】（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据“1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设大型收割机有m台，则小型收割机有（10﹣m）台，根据题意列不等式解答即可． 【解答】解：（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷， 根据题意得：，解得， 答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷． （2）设大型收割机用m台，则小型收割机用（10﹣m）台， 根据题意得：2×0.5m+2×0.3（10﹣m）≥8， 解得m≥5． 答：至少需要租赁大型收割机5台． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据题意找出不等关系． 20．为了迎接2025年的“双十二”购物节并刺激消费，某工厂推出了甲和乙两种型号的雪地靴．已知该工厂生产了甲型和乙型雪地靴共200双，其中每双甲型雪地靴的生产成本为150元，每双乙型雪地靴的生产成本为200元，生产这些雪地靴的总成本为35500元． （1）请问甲型和乙型雪地靴各生产了多少双？ （2）这200双雪地靴被运往商场销售，甲型雪地靴的售价为每双300元，乙型雪地靴的售价为每双350元．销售过程中，由于甲型雪地靴销量不佳，在卖出一定数量后，工厂决定将剩余的甲型雪地靴按原价的四折出售．最终甲、乙两种型号的雪地靴全部售出，共获得利润20640元．问甲型雪地靴在卖出多少双后开始打折销售？ 【分析】（1）设甲型雪地靴生产了x双，乙型雪地靴生产了y双，利用生产这些雪地靴的总成本＝每双甲型雪地靴的生产成本×生产甲型雪地靴的数量+每双乙型雪地靴的生产成本×生产乙型雪地靴的数量，结合工厂用35500元共生产甲型和乙型雪地靴200双，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲型雪地靴在卖出m双后开始打折销售，利用总利润＝每双甲型雪地靴的销售利润×销售甲型雪地靴的数量+每双乙型雪地靴的销售利润×销售乙型雪地靴的数量，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲型雪地靴生产了x双，乙型雪地靴生产了y双， 根据题意得：， 解得：． 答：甲型雪地靴生产了90双，乙型雪地靴生产了110双； （2）设甲型雪地靴在卖出m双后开始打折销售， 根据题意得：（300﹣150）m+（300×0.4﹣150）（90﹣m）+（350﹣200）×110＝20640， 解得：m＝38． 答：甲型雪地靴在卖出38双后开始打折销售． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 21．数学方法： 在解方程组：时，如果把方程组中的2x+y，x﹣2y分别看作一个整体，设2x+y＝m，x﹣2y＝n，则原方程组可化为，解此方程组得，代入2x+y＝m，x﹣2y＝n，得，解此方程组得，所以原方程组的解为． 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．这种解方程组的方法体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考这种做法，解决下面的问题： （1）类比探究：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为　　 ． （2）知识迁移：请用这种方法解方程组． 【分析】（1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【解答】解：（1）设u＝m+n，v＝m﹣n，则方程组化为：， 由已知得，则有， 解得：； 故答案为：； （2）设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可化为， 解得：， 即有， 解得， ∴原方程组的解为． 【点评】本题考查了换元法解二元一次方程，熟练掌握换元法是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/15 20:59:03；用户：刘睿；邮箱：15902885850；学号：58379475 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $