5.3二元一次方程组的应用——里程碑上的数 同步练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组应用，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一知识点到复杂情境的递进，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|列方程组基础|选择1-6题，以废电池、数字和等简单实际问题，强化建模基础| |能力提升|综合情境应用|选择7-10题、填空11-13题，通过里程碑数字、行程问题，提升方程应用能力| |综合应用|跨情境综合|综合题14-20题，结合经济、行程、分类讨论，发展逻辑推理与应用意识|

5.3二元一次方程组的应用——里程碑上的数 同步练习 一、单选题（每题3分，共30分） 1．在学习完“垃圾分类”的相关知识后，小明和小丽一起收集了一些废电池，小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”小丽说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”．如果他们说的都是真的，设小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，则可列方程组为（　　）． A． B． C． D． 2．爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 则10：00时看到里程碑上的数是（　　） A．15 B．24 C．42 D．51 3．爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下 时刻 9：00 9：45 12：00 碑上的数 是一个两位数，数字之和是9 十位与个位数字与9：00时所看到的正好相反 比9：00时看到的两位数中间多了个0 9：00时看到的两位数是（　　） A．54 B．45 C．36 D．27 4．某学校体育场的环形跑道长250m，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车，同时同地出发，如果反向而行，那么他们每隔20s相遇一次．如果同向而行，那么每隔50s乙就追上甲一次，设甲的速度为xm/s，乙的速度为ym/s，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 5．佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 12：00 13：00 14：00 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字和个位数字与12：00时看到的刚好相反 比12：00看到的两位数中间多了个0 则12：00时看到的两位数是（　　） A．16 B．25 C．34 D．52 6．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好为数字对调后组成的两位数，求这个两位数.设个位数字为x，十位数字为y，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 7．甲、乙两个仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%，结果乙仓库所剩的粮食比甲仓库所剩的粮食多30吨.若设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨，则有（　　） A． B． C． D． 8．商店用3000元购进甲乙两种货物，卖出后，甲种货物的利润率是10%，乙种货物的利润率是11%，两种货物共获利315元。设该商店购进这两种货物所用的费用分别为x元，y元，则列出方程组是（　　） A． B． C． D． 9．如图，分别用火柴棍连续搭建等边三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍.如果搭建等边三角形和正六边形共用了2018根火柴，并且等边三角形的个数比正六边形的个数多7，那么连续搭建的等边三角形的个数是（　　） A．291 B．292 C．293 D．294 10．某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架.已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架.设甲种型号无人机 架，乙种型号无人机 架.根据题意可列出的方程组是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每空2分，共14分） 11．若素数p，使得 是一个完全平方数，则p=　 　.（若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数.） 12．某出租车起步价所包含的路程为 ，超过 的部分按每千米另收费.小江乘坐这种出租车走了 ，付了16元；小北乘坐这种出租车走了 ，付了28元.设这种出租车的起步价为 元，超过 后每千米收费 元.根据题意，可列方程组为　 　. 13．今年4月23号，位于重庆两江新区的光环购物公园隆重开业。该购物公园最具吸引力的就是建跨7层，拥有42米立体垂直景观的“沐光森林”植物园.假设该植物园拥有6个出入口，每个出入口都是单向的且在单位时间内每个入口和出口经过的游客数量是一定的；并且植物园的最大承载游客数量也是固定的.由于疫情防控和现场安全的原因，目前植物园对外开放最大可承载游客量为设计数量的90％.假设植物园每天早上九点开始接待游客，若开放5个入口，1个出口，2个小时游客数量就将饱和；若开放3个入口，3个出口，4个小时游客数量将达到饱和.开业当天由于人流量激增，为了安全起见仅开放了2个入口，4个出口，且开业当天游客最大承载量定为总设计可承载人数的84％.请问从早上9点开始，经过　 　小时植物园游客数量达到饱和. 三、综合题（共7题，共58分） 14．一次越野赛跑中，当小明跑了时，小刚跑了．此后两人分别以和匀速跑．又过时小刚追上小明，时小刚到达终点，时小明到达终点，这次越野赛跑的全程为多少米？ 15．如图，已知点A、点B在数轴上表示的数分别是-20、64，动点M从点A出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点N从点B出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动．若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．动点M、N运动的速度分别是多少？ 16．有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18. （1）原来的两位数为　 　，新的两位数为　 　.（用含有、的代数式表示） （2）根据题意，列出二元一次方程组为　 　. （3）求原来的两位数. 17．时代的到来将给人类生活带来巨大改变.现有两种型号的手机，进价和售价如下表所示： 进价（元/部） 售价（元/部） 3000 3400 3500 4000 某营业厅购进两种型号手机共花费32000元.手机销售完成后共获得利润4400元. （1）营业厅购进两种型号手机各多少部？ （2）若营业厅再次购进两种型号手机共30部，其中型手机的数量不多于型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ 18．甲地到乙地全程5.5km，小明从甲地走路去乙地，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路.如果上坡路的平均速度为2km/h，下坡路的平均速度为5km/h. （1）若小明走路从甲地到乙地需 小时，从乙地走路到甲地需 小时，来回走平路分别都用了 小时，求出小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程（请用方程组的方法解）. （2）若小明从甲地到乙地，平路上的平均速度为v（km/h），上坡和下坡走的路程分别为1.5km和2km.若小明从乙地到甲地所用的时间与从甲地到乙地的时间相同，求小明从乙地到甲地平路上走的平均速度（用含v的代数式表示）. 19．某工厂将一批纸板按甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形 板块和正方形 板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒. 设x块纸板按甲方式进行加工，y块纸板按乙方式进行加工. （1）补全表格. 　 x块甲方式加工的纸板 y块乙方式加工的纸板 板块 2x 　 板块 　 \ （2）若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的 ， 板块恰好用完，能做多少个礼盒？ （3）若现有 板块4块，纸板a块，要使礼盒制作完毕后的 ， 板块恰好用完，则a的最小值为　 　. (请直接写出答案) 20．水是生命之源，“节约用水，人人有责”.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，m3表示立方米） 每户每月用水量（m3） 自来水销售价格（元/m3） 污水处理价格（元/m3） 不超出6m3部分 1.10 超出6m3不超出10m3的部分 1.10 超出10m3的部分 7.00 1.10 （注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）. 已知2026年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元. （1）请你根据以上信息，求表中 ， 的值； （2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水12.5吨，求小红家七月份预计应缴水费多少元？ （3）若小聪家四、五月份共用水20m3，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小聪家四、五月份的用水量各是多少？ 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】二元一次方程组的其他应用 【解析】【解答】解：由题意可知： ∵小明说：我比你多收集了7节废电池， ∴， ∵小丽说：如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍． ∴，即所列方程组为：． 故答案为：D 【分析】先求出，再求出，最后作答即可。 2．【答案】D 【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题；二元一次方程组的应用-数字问题 【解析】【解答】解：设小明9：00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，由题意列方程组得：， 解得：， ∴9：00时看到的两位数是15. 10：00时看到里程碑上的数是 故答案为：D. 【分析】设小明9∶00看到的两位数，十位数字为x，个位数字为y，则两位数可表示为10x+y，由题意可得10∶00看到的两位数为10y+x，11∶30看到的三位数为100x+y，由匀速行驶可得等量关系：10∶00~11∶30行驶的里程数÷1.5=9∶00~10∶00行驶的里程数，据此可得关于x、y的方程；根据9∶00看到的两位数的两个数字之和为6可得x+y=6，联立可得x、y的值，据此解答. 3．【答案】D 【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题 【解析】【解答】解：设小明9时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为10x＋y； 则9：45时看到的两位数为x＋10y，9：00～9：45时行驶的里程数为：（10y＋x）−（10x＋y）； 则12：00时看到的数为100x＋y，9：45～12：00时行驶的里程数为：（100x＋y）−（10y＋x）； 由题意列方程组得： ， 解得： 所以9：00时看到的两位数是27. 故答案为：D. 【分析】设小明9时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为10x＋y；则9：45时看到的两位数为x＋10y；9：00～9：45时行驶的里程数为：(10y＋x)−(10x＋y)；12：00时看到的数为100x＋y；9：45～12：00时行驶的里程数为：(100x＋y)−(10y＋x)；根据两位数数字之和为9及车的速度不变列出y与x的方程组，求解即可. 4．【答案】A 【知识点】列二元一次方程组 【解析】【解答】解：∵如果反向而行，那么他们每隔20s相遇一次， ∴20（x+y）＝250； ∵如果同向而行，那么每隔50s乙就追上甲一次， ∴50（y﹣x）＝250． ∴所列方程组为． 故答案为：A． 【分析】设甲的速度为xm/s，乙的速度为ym/s，根据题意直接列出方程组即可。 5．【答案】A 【知识点】二元一次方程组的其他应用 【解析】【解答】设小明12：00看到的两位数，十位数为x，个位数为y， 由题意列方程组得：， 解得：， ∴12：00时看到的两位数是16． 故答案为：A． 【分析】设小明12：00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，根据题意列出方程组求解即可。 6．【答案】B 【知识点】列二元一次方程组 【解析】【解答】 解：设个位数字为x，十位数字为y， 则 . 故答案为：B. 【分析】根据“十位数字与个位数字的和是8"可得方程x+y=7，个位数字为x，十位数字为y，则这个两位数表示为：x+10y， 对调后组成的两位数是10x+y；根据“这个两位数加上18，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数”再得方程x+10y+18=10x+y，然后联立两个方程求解即可. 7．【答案】C 【知识点】二元一次方程组的其他应用 【解析】【解答】解： 设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨， 则 . 故答案为：D. 【分析】设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨，根据“存量总质量为450吨”以及“运出存量后乙仓库所剩的粮食比甲仓库所剩的粮食多30吨.”，建立关于x、y的二元一次方程组，即可作答. 8．【答案】D 【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解： 设该商店购进这两种货物所用的费用分别为x元，y元， 根据题意得：. 故答案为：D. 【分析】 设该商店购进这两种货物所用的费用分别为x元，y元，根据总费用为3000元和总利润为315元列出方程组，即可得出答案. 9．【答案】C 【知识点】探索图形规律；二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【解答】解：设连续搭建等边三角形x个，连续搭建正六边形y个， 由题意，得 ， 解得 . 故答案为：C. 【分析】设搭建了x个正三角形，y个正六边形，则搭建正三角形用掉了（2x＋1）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（5y＋1）根火柴棍，根据“搭建正三角形和正六边形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多7个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 10．【答案】D 【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【解答】设甲种型号无人机 架，乙种型号无人机 架 ∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架， ∴ ∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架 ∴ 联立可得： 故答案为：D. 【分析】由题意可得相等关系“甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架”，根据相等关系可列方程组. 11．【答案】11 【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二元一次方程组的其他应用 【解析】【解答】解：设 ， 为正整数. 则 ，即 . ∴ . 由 为整数， 为正整数，且 ，得 ，或 ，或 ，或 . 解得 ，或 ，或 ，或 . 又 为素数，所以 . 所以当素数 时， 是一个完全平方数. 故答案为：11. 【分析】设4p2+p+81=n2（n为正整数），两边同时乘以16，再利用完全平方公式化简可得(8p+1)2+1295=16n2，利用平方差公式分解可得(4n-8p-1)(4n+8p+1)=5×7×37，据此可得n、p的方程组，求出n、p的值，结合P为素数就可得到p的值. 12．【答案】 【知识点】二元一次方程组的其他应用 【解析】【解答】解：设这种出租车的起步价为 元，超过 后每千米收费 元， 由题意得： ， 故填： . 【分析】设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，根据题意列出方程组即可. 13．【答案】 【知识点】二元一次方程组的其他应用 【解析】【解答】解：设每个入口1小时进入x人，每个出口1小时外出y人，植物园的总设计承载人数为a人. 根据题意，得， 解得， ∴ 故答案为： 【分析】设每个入口1小时进入x个人，每个出口1小时外出y个人，植物园的总设计承载人数为a个 人，由题意可得若开放5个入口，1个出口，2个小时游客数量就将饱和；若开放3个入口，3个出口，4个小时游客数量将达到饱，目前植物园对外开放最大可承载游客量为设计数量的90%，据此列出方程组求解，结合开业当天游客最大承载量定为总设计可承载人数的84％即可解答. 14．【答案】解：根据题意，得 ， 解得： . 所以m． 答：这次越野赛跑的全程为2050米． 【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题 【解析】【分析】根据题意直接列出方程组求解即可。 15．【答案】解：设动点M、N运动的速度分别是每秒x、y个单位长度， ∵点A、B表示的数分别是-20、64， ∴线段AB长为， ∴由题意有， 解得 ∴动点M每秒运动5个单位长度，动点N每秒运动2个单位长度． 【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题 【解析】【分析】设动点M、N运动的速度分别是每秒x、y个单位长度，根据点A、B表示的数可得出线段AB的长，由题意列出方程组，即可得出x、y的值。 16．【答案】（1）10x+y；10y+x （2） （3）解：由（2）可得： 整理为： 解得： 故原两位数是35. 【知识点】用字母表示数；二元一次方程组的应用-数字问题 【解析】【解答】解：（1）原来的两位数为10x+y，新的两位数为10y+x； 故答案为： 10x+y，10y+x； （2）由题意可列出二元一次方程组为： . 故答案为： 【分析】（1）根据十位数字×10+个位数字可表示出两位数； （2）根据新的两位数比原来的两位数大18可得(10y+x)-(10x+y)=18，根据十位数字与个位数字之和为8可得x+y=8，联立可得方程组； （3）根据加减消元法求解（2）中的方程组可得x、y的值， 进而可得原两位数. 17．【答案】（1）解：设营业厅购进两种型号手机分别为部，部， ， 解得， 答：营业厅购进两种型号手机分别为6部，4部； （2）解：设营业厅购进种型号的手机部，则购进种型号的手机部，获得的利润为元， ， 型手机的数量不多于型手机数量的2倍， ， 解得，. ， 随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时， 答：营业厅购进种型号的手机10部，种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元. 【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）设营业厅购进两种型号手机分别为部，部，根据“购进两种型号手机共花费32000元.手机销售完成后共获得利润4400元.”列出方程组并解之即可； （2）设营业厅购进种型号的手机部，则购进种型号的手机部，获得的利润为元， 由利润=单件的利润×销售量，根据总利润=A型号手机的利润+B型号手机的利润可列出W关于x的关系式，由B型手机的数量不多于型手机数量的2倍， 可求出x的范围，再利用一次函数的性质求解即可. 18．【答案】（1）解：设从甲地到乙地上坡路长xkm，下坡路长ykm，根据题意可得： ， 解得： ， 小明从甲地到乙地的上坡路路程为2km，下坡路的路程为2.5km （2）解： 小明从甲地到乙地，平路上的平均速度为vkm/h，上坡和下坡走的路程分别为1.5km和2km， 从甲地到乙地的平路路程为 km， 设从乙地到甲地平路上走的平均速度为akm/h，根据题意可得： ， 解得： . 经检验 是原方程的解，且符合题意， 小明从乙地到甲地平路上走的平均速度为 km/h. 【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题 【解析】【分析】（1）此题关键已知条件：小明走路从甲地到乙地需 小时，从乙地走路到甲地需 小时，据此设未知数，列方程组；然后求出方程组的解即可. （2）利用已知求出从甲地到乙地的平路路程，设从乙地到甲地平路上走的平均速度为akm/h，根据题意可得到关于a的方程，解方程求出a的值. 19．【答案】（1）解： 　 x块甲方式加工的原料 y块乙方式加工的原料 A板块 2x 4y B板块 6x \ （2）解：由题意得， ，解得 礼盒：6×4÷2=12（个） 答：要使礼盒制作完毕后的A，B板块恰好用完，能做12个礼盒. （3）9 【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题 【解析】【解答】解：（3） 解之： ∵x，a均为正整数， ∴ ∴a的最小值为2+7=9. 故答案为：9. 【分析】（1）现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的A ，B板块恰好用完，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；然后求出礼盒的个数. （2）利用现B板4块，纸板a块，要使礼盒制作完毕后的A ，B板块恰好用完，可得到关于x，y，a的方程组，解方程组求出x，y的值；然后根据x，a均为正整数，可得到a的最小值. 20．【答案】（1）解：由题意得， ， 解得 ； （2）解： （元） 答：小红家七月份应缴水费64.25元. （3）解：设小聪家四月份的用水量为x，则五月份的用水量为 . ∵ ， ∴ ，即四月份的用水量低于10m. ①当 时，缴费总量为： ， 解得 不合题意，舍去. ②当 时，缴费总量为： ， 解得 ，此时 ，符合题意. 答：小聪家四月份的用水量为 ，五月份的用水量为 . 【知识点】二元一次方程组的其他应用 【解析】【分析】（1）根据2026年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元列出方程组，解之即可； （2）根据阶梯计费价格表和a、b的值进行计算即可； （3）设小聪家四月份的用水量为x，则五月份的用水量为 ，分两种情况：①当 时，②当 时， 据此分别列出一元一次方程，求解即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $