应用题专项突破(一)（专项训练）-2026-2027学年人教版五年级数学上册

**基本信息** 聚焦小数运算与实际应用，通过“思路起点-易错分析-变式拓展”体系化提炼解题方法，强化知识逻辑与核心素养落地。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |小数乘除应用|1-5、9-10|基准量×倍数=比较量、剩余钱数÷单价=数量（去尾法）|从基础运算到购物、行程等实际问题，培养数感与应用意识| |分段计费|6-8|分段计算求和（基础量+超出量）|结合生活情境（水费、电费），发展模型意识与推理能力| |归一问题|11-13|双重归一（总工作量÷台数÷时间）|通过机器收割、面积换算，建立“单量-总量”关系，提升运算能力| |可能性|15-19|确定事件（不可能/一定）、可能性大小比较（比例）|从语言描述到数量分析，培养数据意识与逻辑思维|

人教版五年级数学上册应用题专项突破（一） 1. 陆地上奔跑速度最快的动物是猎豹，其最快速度大约是野兔最快奔跑速度的2.2倍。已知一只野兔的最快奔跑速度约为53千米/时，一只猎豹的最快速度大约是多少？(得数保留整数) 2. 某学校计划修建一块边长是 7.5m 的正方形绿化带。这块绿化带每平方米每天大约可释放 0.08kg 氧气。这块绿化带建好后每天可释放多少千克氧气？ 3. 学校为新教学楼采购课桌和课椅各 125 张。课桌每张 135.6 元，课椅每张 133.2 元。采购课桌比课椅多花了多少钱？ 4. 某市图书馆是市民阅读和学习的好去处，拥有丰富的藏书。李阿姨从家出发去市图书馆，乘地铁每小时行驶64.5km，0.4小时能到。如果改为骑电动自行车，她每小时骑行20.5km，1.2小时能到吗？ 5. 李叔叔带 150 元去超市购物，他买了 3 本笔记本(14.8元/本)和 0.8kg 散装糖果(29.9元/kg)，剩下的钱够买一盒 80 元的画笔吗？ 6. 某市自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取按月分段计费的方式收取水费。收费标准如下： - 每月用水量在 15 吨以内（含 15 吨），每吨水 2.4 元； - 超过 15 吨的部分，每吨水 3.6 元。 （1）小华家上个月用水 12 吨，应缴水费多少元？ （2）小明家上个月用水 22 吨，应缴水费多少元？ 7. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量在 15 吨以内（含 15 吨），按每吨 2.5 元收费；超过 15 吨的部分，按每吨 3.8 元收费。小明家上个月的用水量是 22 吨，应缴水费多少元？ 8. 某市居民用电实行分段收费，收费标准如下：每月用电量在 120 千瓦时及以下的部分，每千瓦时按 0.6 元收费；超出 120 千瓦时的部分，每千瓦时按 0.8 元收费。乐乐家上个月的用电量是 185 千瓦时，应缴电费多少钱？ 9. 某市环城绿道一期全长14.5km，是市民休闲健身的好去处。根据生态城市规划，绿道将向东西两端延伸，全线贯通后的总长度达118.9km。全线贯通后的总长度大约是一期长度的多少倍？(得数保留整数)(5分) 10. "绿色出行始于心，低碳生活践于行。"妈妈要用100元钱去超市购买牛奶和面包。她先用78.5元买了5箱牛奶，剩下的钱准备买面包，可以买多少个？(面包5.5元/个)(5分) 11. 某农场用3台同样的联合收割机收割小麦，4小时共收割18公顷。照这样计算，一台收割机每小时可以收割多少公顷？ 12. 一台收割机15小时可以收割小麦4.5公顷。照这样计算，这台收割机每小时可以收割小麦多少公顷？ 13. 1公顷的松树林每周可吸收4.9t二氧化碳。一片松树林有60000m²，3月份这片松树林一共吸收多少吨二氧化碳？(5分) 14. 先选择合适条件的序号填在横线上，再列式解答。 一辆冷链物流车运送海鲜到批发市场，去时用了0.6小时，平均每小时行驶60km。________，回来时平均每小时行驶多少千米？ ①回来时所用的时间是去时的1.5倍 ②去时的速度是回来时速度的1.5倍 15. 亮亮、小丽、军军各折了一盒纸鹤。根据他们的对话，判断横线上应该填什么，在正确答案的后面画“✓”。 亮亮：“我折了36只纸鹤。” 小丽：“我折的纸鹤比亮亮少12只。” 军军：“我折的纸鹤数量是小丽的2倍。” 军军折了______只。 24只 ( ) 48只 ( ) 72只 ( ) 16. 小奇说：“在我的文具盒里找不到铅笔。” 小妙说：“你会在我的文具盒里发现橡皮。” 小乐说：“你们从我的文具盒里随便拿出一件都是钢笔。” (1) 小奇的文具盒中 ________ 有铅笔。 17. 欢欢说：“在我的文具盒中找不到钢笔。” 乐乐说：“你会在我的文具盒中发现铅笔。” 迎迎说：“你们从我的文具盒中随便拿出一支都是圆珠笔。” (1) 欢欢的文具盒中 ________ 有钢笔。 18. 依依的花盆里栽有3株红玫瑰和2株黄郁金香。 （3）依依的花盆中（ ）有康乃馨。 19. A、B、C 三个盒子里分别装有不同数量的玻璃球（A盒20个，B盒32个，C盒48个，玻璃球除颜色外完全相同），并且每个盒子里都有 12 个红玻璃球。小明想从一个盒子里摸出一个红玻璃球。你建议他从哪个盒子里摸？请说出你的理由。 20. 阳光小区全年的物业管理费收费标准是：按建筑面积计费，每年每平方米25元。王阿姨家每年交物业管理费2450元，王阿姨家的建筑面积是多少平方米？ 21. 我国黄河全长约5464km。约比我国海河全长的5倍还长324km，海河全长多少千米？ 附：试卷深度教研解析与思路 ■ 第 1 题 深度解析： 1. 陆地上奔跑速度最快的动物是猎豹，其最快速度大约是野兔最快奔跑速度的2.2倍。已知一只野兔的最快奔跑速度约为53千米/时，一只猎豹的最快速度大约是多少？(得数保留整数) 【考点】小数乘法, 积的近似数 【难度】基础 最终答案 117 千米/时 思路起点 分析题目中的数量关系，已知野兔的最快奔跑速度（基准量）和猎豹速度与野兔速度的倍数关系（倍数），求猎豹的最快速度（比较量）。根据“基准量 倍数 = 比较量”的关系列出乘法算式。由于题目要求“得数保留整数”，在计算出精确结果后，需要使用“四舍五入”法保留到个位。 详细解答 根据题意，已知野兔的最快奔跑速度是 53 千米/时，猎豹的最快速度是野兔的 2.2 倍。 列式计算如下： (千米/时) 题目要求得数保留整数，根据“四舍五入”法，观察十分位上的数字是 6，大于或等于 5，向个位进 1： (千米/时) 答：一只猎豹的最快速度大约是 117 千米/时。 学生易错 1. 笔算小数乘法时，由于粗心导致积的小数点位置点错（如误写为 11.66 或 1166）。 2. 审题不仔细，忽略了“得数保留整数”的要求，直接将精确值 116.6 作为最终答案。 3. 在求近似数时，未能正确应用“四舍五入”规则进行进位，错误地写成 116。 变式拓展 小明的身高是 1.42 米，爸爸的身高大约是小明的 1.24 倍。爸爸的身高大约是多少米？(得数保留两位小数) ■ 第 2 题 深度解析： 2. 某学校计划修建一块边长是 7.5m 的正方形绿化带。这块绿化带每平方米每天大约可释放 0.08kg 氧气。这块绿化带建好后每天可释放多少千克氧气？ 【考点】正方形面积, 小数乘法, 实际问题 【难度】中等 最终答案 4.5 千克 思路起点 本题的思考起点是分析多步复合应用题的数量关系。首先，已知正方形的边长，需要根据正方形的面积公式 “面积 = 边长 边长” 计算出绿化带的总面积。其次，已知单位面积每天的氧气释放量，根据 “总释放量 = 总面积 每平方米每天释放量” 这一乘法关系列式计算，即可求得最终的结果。 详细解答 第一步：求正方形绿化带的面积。 已知绿化带的边长为 7.5m。 根据正方形面积公式：面积 = 边长 边长 列式计算如下： （平方米） 即这块绿化带的面积是 56.25 平方米。 第二步：求每天共可释放多少千克氧气。 已知每平方米每天大约可释放 0.08kg 氧气。 数量关系：总释放量 = 面积 每平方米每天的释放量 列式计算如下： （千克） 答：这块绿化带建好后每天可释放 4.5 千克氧气。 学生易错 1. 混淆正方形的周长与面积公式：部分学生在分析第一步时，容易将面积公式错套用为周长公式，列式算成 。 2. 积的小数位数定位错误：在进行小数乘法计算（如 ）时，因积的末尾出现零，学生容易在去掉末尾的 0 和点小数点时产生混淆，误将结果写成 0.45 或 45。 变式拓展 某公园计划修剪一块长为 12.5m，宽为 8m 的长方形草坪。这块草坪每平方米每天大约能吸收 0.05kg 粉尘。这块草坪修剪好后每天大约可吸收多少千克粉尘？ ■ 第 3 题 深度解析： 3. 学校为新教学楼采购课桌和课椅各 125 张。课桌每张 135.6 元，课椅每张 133.2 元。采购课桌比课椅多花了多少钱？ 【考点】小数乘法, 乘法分配律, 小数四则混合运算 【难度】中等 最终答案 300 元 思路起点 本题考查的是利用乘法分配律解决生活中的实际问题。题目要求“采购课桌比课椅多花了多少钱”，核心数量关系是“多花的钱数 = 课桌总价 - 课椅总价”。引导学生从两种思路切入：第一种是分别求出课桌和课椅的总价再相减；第二种是先求单张课桌比单把课椅贵多少钱，再乘以采购的数量（即“多花的钱数 = 单价差 数量”）。通过对比发现，第二种思路可以将算式列为 ，其中 可以转化为 ，利用 进行简便计算，能有效减少计算量并提高正确率。 详细解答 根据题意，有两种解题方法： 方法一：先求单价差，再求总差价（推荐简算方法） 1. 先求单张课桌比单把课椅贵多少钱： （元） 2. 再求 125 套多花的钱数： （元） 方法二：分别求出总价再相减 1. 采购课桌的总价： （元） 2. 采购课椅的总价： （元） 3. 多花的钱数： （元） 综合算式列式如下： （元） 答：采购课桌比课椅多花了 300 元。 学生易错 1. 笔算繁琐导致计算失误：部分学生采用分别算出总价再相减的常规思路，在笔算 和 这两个三位数乘法时，容易在进位或确定小数点位置时出错。 2. 简便运算拆分错误：在利用简便方法计算 时，部分学生不能灵活运用 的凑整规律，或在拆分 时（如拆分为 ）因混淆乘法和加法的运算律而导致计算错误。 变式拓展 某快递公司新购置了 80 个大号纸箱和 80 个中号纸箱。大号纸箱每个 4.25 元，中号纸箱每个 2.75 元。购置大号纸箱比中号纸箱多花了多少钱？ ■ 第 4 题 深度解析： 4. 某市图书馆是市民阅读和学习的好去处，拥有丰富的藏书。李阿姨从家出发去市图书馆，乘地铁每小时行驶64.5km，0.4小时能到。如果改为骑电动自行车，她每小时骑行20.5km，1.2小时能到吗？ 【考点】小数乘法, 行程问题, 小数大小比较 【难度】中等 最终答案 不能到 思路起点 解决本题的突破口在于寻找“不变的量”，即李阿姨家到图书馆的实际距离。首先，根据地铁的速度和时间，利用“速度 时间 = 路程”求出两地之间的实际路程；接着，计算出骑电动自行车在规定时间（1.2小时）内所能行驶的路程；最后，通过对比两个路程的大小，从而判断能否在规定时间内到达目的地。 详细解答 解： 第一步，计算李阿姨家到图书馆的实际路程： （km） 第二步，计算骑电动自行车 1.2 小时可行使的路程： （km） 第三步，比较两次路程的大小： 因为 ，说明 1.2 小时骑行的路程小于两地之间的实际路程。 答：1.2小时不能到。 学生易错 1. 数量关系混淆：未能提炼出“路程”这一连接两种交通工具的中间量。 2. 小数乘法计算失误：在计算 或 时，因忽视积的小数位数定位，导致计算结果不准确。 3. 答题不完整：部分学生计算出两个结果后，未进行明确的大小比较，或漏掉了最后的结论性答语。 变式拓展 张叔叔准备去距离他家 18 km 的科技馆。如果他骑摩托车，每小时行驶 42 km，0.4 小时能到吗？ ■ 第 5 题 深度解析： 5. 李叔叔带 150 元去超市购物，他买了 3 本笔记本(14.8元/本)和 0.8kg 散装糖果(29.9元/kg)，剩下的钱够买一盒 80 元的画笔吗？ 【考点】小数乘法, 小数加减混合运算, 实际应用问题 【难度】中等 最终答案 够 思路起点 本题的思考起点是根据“单价 数量 = 总价”这一核心数量关系，分别计算出已购买的两样商品所花费的金额。接着，用带来的总金额减去这两样商品的总花费，求出剩余的钱数。最后，将剩余的钱数与第三样商品（画笔）的售价进行大小比较，从而判断是否够买。另外，在实际生活场景中，也可以通过估算法（将单价适当往大估算）来快速做出判断。 详细解答 方法一：精确计算 1. 计算购买笔记本的总花费： （元） 2. 计算购买糖果的总花费： （元） 3. 计算购买这两样商品一共花去的钱数： （元） 4. 计算剩余的钱数： （元） 5. 比较大小并得出结论： 因为 ，所以剩下的钱够。 答：剩下的钱够买一盒 80 元的画笔。 方法二：估算 1. 将笔记本的单价 14.8 元往大估成 15 元，买 3 本大约需要： （元） 2. 将糖果的单价 29.9 元往大估成 30 元，买 0.8kg 大约需要： （元） 3. 估算前两样商品的总花费： （元）。因为两样商品的单价都往大估了，所以实际总花费一定会比 69 元少。 4. 估算剩余钱数： （元），因此实际剩余的钱数一定会比 81 元多。 5. 比较大小： 因为 ，所以剩下的钱一定够买一盒 80 元的画笔。 答：剩下的钱够买一盒 80 元的画笔。 学生易错 1. 小数乘法小数点定位错误：在计算 时，容易忽视因数中一共有两位小数，误将结果点成 239.2 或 2.392。 2. 连续退位减法计算出错：在计算 时，部分学生容易忘记补齐被减数小数末尾的 0，在退位减法中出现计算偏差。 3. 审题不完整遗漏结论：部分学生在正确计算出剩余钱数（81.68 元）后，没有与 80 元进行对比，导致最后遗漏了明确判断“够”或“不够”的答语。 变式拓展 张阿姨带 100 元去菜市场，她买了 3.5kg 西红柿(5.8元/kg)和 1.5kg 鸡蛋(9.8元/kg)，剩下的钱够买一桶 65 元的食用油吗？ ■ 第 6 题 深度解析： 6. 某市自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取按月分段计费的方式收取水费。收费标准如下： - 每月用水量在 15 吨以内（含 15 吨），每吨水 2.4 元； - 超过 15 吨的部分，每吨水 3.6 元。 （1）小华家上个月用水 12 吨，应缴水费多少元？ （2）小明家上个月用水 22 吨，应缴水费多少元？ 【考点】小数乘法, 分段计费 【难度】中等 最终答案 （1）28.8 元；（2）61.2 元 思路起点 本题属于生活中的分段计费问题。解决这类问题的核心是“分段讨论，各段计算再求总和”。 首先需要判断实际用量是否超过了分段的分界点（15 吨）： 1. 若实际用量未超过分界点，则属于基础计费，直接用 “实际用量 第一阶段单价” 求解。 2. 若实际用量超过了分界点，则需要将用量分成两部分：第一部分是分界点内的基础用量（即 15 吨），按第一阶段单价计算；第二部分是超出分界点的用量（即实际用量 15 吨），按第二阶段单价计算。最后将两部分的费用相加即得总费用。 详细解答 （1）因为小华家上个月用水 12 吨，12 吨未超过分界点 15 吨，所以全部按照第一阶段每吨 2.4 元计算。 列式计算为： （元） 答：小华家上个月应缴水费 28.8 元。 （2）因为小明家上个月用水 22 吨，超过了分界点 15 吨，需要分段计算。 第一部分：15 吨以内（含 15 吨）的基础费用为： （元） 第二部分：超出 15 吨的部分为 （吨），这部分的费用为： （元） 两部分费用相加求和，得到总水费： （元） 答：小明家上个月应缴水费 61.2 元。 学生易错 1. 混淆计算标准：部分学生在面对超过限制的用量时，容易直接用总用量乘以第二阶段的单价（如错误列式为 ），忽视了前 15 吨应按较低单价计费的规则。 2. 计算粗心：由于涉及小数乘法，部分学生在计算 或 时容易由于小数点定位错误或进位失误而导致结果不准确。 3. 步骤不完整：在计算第二问时，有些学生在求出超出部分的费用后，忘记加上第一阶段的基础费用。 变式拓展 某市出租车的收费标准如下：3 千米以内（含 3 千米）收费 10 元；超过 3 千米的部分，每千米收费 1.8 元（不足 1 千米按 1 千米计算）。小明乘出租车行驶了 7.2 千米，他应付车费多少元？ ■ 第 7 题 深度解析： 7. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量在 15 吨以内（含 15 吨），按每吨 2.5 元收费；超过 15 吨的部分，按每吨 3.8 元收费。小明家上个月的用水量是 22 吨，应缴水费多少元？ 【考点】小数乘法, 分段计费 【难度】中等 最终答案 64.1 元 思路起点 解决分段计费问题的关键在于“分段计算”。首先需要判断总用水量是否超过了第一档的限制。本题中，总用水量 22 吨超过了 15 吨，因此需要将 22 吨分成两部分：第一部分是 15 吨，按第一档单价计算；第二部分是超出 15 吨的部分（即 吨），按第二档单价计算。最后将两部分费用相加即可。 详细解答 解： 1. 先计算第一档（15 吨以内）应缴的水费： （元） 2. 计算超出 15 吨的水量： （吨） 3. 计算超出部分应缴的水费： （元） 4. 计算总共应缴的水费： （元） 答：小明家上个月应缴水费 64.1 元。 学生易错 1. 混淆分段标准：部分学生容易直接用总用水量乘以最高单价，即列式为 ，忽视了前 15 吨应按较低单价计费的规定。 2. 找错超出部分的水量：在计算第二档费用时，直接用总水量去乘 3.8 元，而忘记减去第一档已计费的 15 吨。 3. 计算失误：在进行小数乘法或求和时由于粗心导致计算结果不准。 变式拓展 某地居民用电实行阶梯电价，收费标准如下：每户每月用电量在 120 千瓦时以内（含 120 千瓦时），每千瓦时 0.6 元；超过 120 千瓦时的部分，每千瓦时 0.8 元。小华家上个月的用电量是 150 千瓦时，应缴电费多少元？ ■ 第 8 题 深度解析： 8. 某市居民用电实行分段收费，收费标准如下：每月用电量在 120 千瓦时及以下的部分，每千瓦时按 0.6 元收费；超出 120 千瓦时的部分，每千瓦时按 0.8 元收费。乐乐家上个月的用电量是 185 千瓦时，应缴电费多少钱？ 【考点】小数乘法, 分段计费问题 【难度】中等 最终答案 124 元 思路起点 引导学生分析分段收费的规则，明确用电量被分成了两部分：第一部分是 120 千瓦时及以内的基础用电，第二部分是超出 120 千瓦时的部分。计算总电费需要先求出超出部分的电量，再分别算出两部分的费用，最后求和。 详细解答 第一步：计算超出 120 千瓦时的用电量。 185 - 120 = 65（千瓦时） 第二步：计算基础用电量（120 千瓦时及以内）的电费。 120 × 0.6 = 72（元） 第三步：计算超出部分的电费。 65 × 0.8 = 52（元） 第四步：计算应缴的总电费。 72 + 52 = 124（元） 答：乐乐家上个月应缴电费 124 元。 学生易错 1. 混淆分段标准，直接用总用电量乘以某一档的单价，例如直接计算 185 × 0.8 或 185 × 0.6； 2. 计算超出部分电量时出现减法错误，或者在进行小数乘法计算时因小数点位置点错而导致结果偏差。 变式拓展 某市自来水公司采取分段计费方式收费。每户每月用水量在 15 吨及以下的部分，每吨按 2.5 元收费；超出 15 吨的部分，每吨按 3.8 元收费。小明家上个月用水 22 吨，应缴水费多少钱？ ■ 第 9 题 深度解析： 9. 某市环城绿道一期全长14.5km，是市民休闲健身的好去处。根据生态城市规划，绿道将向东西两端延伸，全线贯通后的总长度达118.9km。全线贯通后的总长度大约是一期长度的多少倍？(得数保留整数)(5分) 【考点】小数除法, 求商的近似值 【难度】基础 最终答案 8倍 思路起点 看到题目要求“全线贯通后的总长度大约是一期长度的多少倍”，应立刻联想到“求一个数是另一个数的多少倍”用除法计算。找准被除数（全线贯通后的总长度118.9km）和除数（一期长度14.5km），列出除法算式，最后根据题目要求“得数保留整数”运用“四舍五入”法取近似值。 详细解答 根据题意，求全线贯通后的总长度大约是一期长度的多少倍，用全线贯通后的总长度除以一期长度。 列式： 计算过程：将除数和被除数的小数点同时向右移动一位，转化为 。 题目要求得数保留整数，根据“四舍五入”法，看十分位上的数字，十分位上是2，小于5，直接舍去。 答：全线贯通后的总长度大约是一期长度的8倍。 学生易错 1. 找错被除数和除数，误用一期长度除以总长度； 2. 在利用商不变性质移动小数点时出错，导致计算结果错误； 3. 忽略题目“得数保留整数”的要求，直接写出准确值8.2，或者在求近似值时未遵循“四舍五入”法而盲目进位。 变式拓展 某跨海大桥原全长16.8km，未来规划将其延长，延长后的总长度将达到142.5km。延长后的总长度大约是原桥长的多少倍？(得数保留一位小数) ■ 第 10 题 深度解析： 10. "绿色出行始于心，低碳生活践于行。"妈妈要用100元钱去超市购买牛奶和面包。她先用78.5元买了5箱牛奶，剩下的钱准备买面包，可以买多少个？(面包5.5元/个)(5分) 【考点】小数减法, 小数除法, 实际应用 【难度】中等 最终答案 3个 思路起点 本题的核心数量关系是"剩余钱数÷单价=可购数量"。解题时需要分两步：第一步用总钱数减去购买牛奶已花去的钱数，求出剩余钱数；第二步用剩余钱数除以面包的单价，由于现实生活中购买物品数量必须为整数且余钱不够再买一个，因此需用"去尾法"取商的整数部分。 详细解答 第一步：求买完牛奶后剩余的钱数。 列式：100 - 78.5 = 21.5（元） 第二步：求剩下的钱可以买多少个面包。 列式：21.5 ÷ 5.5 = 3（个）……5（元） 算理分析：每个面包5.5元，买3个面包花去 5.5 × 3 = 16.5（元），余下的钱为 21.5 - 16.5 = 5（元）。由于余下的5元不够再买一个面包（5 < 5.5），所以只能买3个。 答：剩下的钱可以买3个面包。 学生易错 1. 审题遗漏关键步骤：部分学生可能会忽略"先买牛奶"的条件，直接用100元除以5.5元计算可买面包的数量。 2. 商的处理方法错误：计算 21.5 ÷ 5.5 得到约 3.91，部分学生可能会错误地"四舍五入"得到4个，而忽略了实际问题中必须用"去尾法"取整数。 3. 小数除法竖式计算易错：列竖式时需将被除数和除数同时扩大10倍变成 215 ÷ 55，部分学生在移动小数点或试商时容易出错。 变式拓展 王老师带了200元钱去书店购买《数学故事》和《科学探索》两种图书。他先用132.8元买了8本《数学故事》，剩下的钱准备买《科学探索》，可以买多少本？(《科学探索》每本12.5元) ■ 第 11 题 深度解析： 11. 某农场用3台同样的联合收割机收割小麦，4小时共收割18公顷。照这样计算，一台收割机每小时可以收割多少公顷？ 【考点】归一问题, 小数除法 【难度】基础 最终答案 1.5公顷 思路起点 本题属于典型的“双重归一问题”。解题的突破口在于理清“总工作量”、“机器台数”与“工作时间”三者之间的数量关系。要解决“一台机器每小时”的工作量，关键是需要通过两次除法，依次消除“多台机器”和“多个小时”对总工作量的影响。我们可以选择先求“一台机器在多小时内的平均工作量”，或者先求“多台机器在1小时内的平均工作量”，进而求出单一主体在单位时间内的效率。 详细解答 可以采用以下两种方法进行分步解答： 方法一：先求单台、后求单时 1. 先求出1台收割机4小时收割的小麦面积： （公顷） 2. 再求出这台收割机1小时收割的小麦面积： （公顷） 方法二：先求单时、后求单台 1. 先求出3台收割机1小时收割的小麦面积： （公顷） 2. 再求出1台收割机1小时收割的小麦面积： （公顷） 答：一台收割机每小时可以收割1.5公顷。 学生易错 1. 混淆除数与被除数：部分学生容易盲目用大数除以小数，或者在计算时将“工作量”与“时间、台数”的位置颠倒，列成 或 的错误算式。 2. 漏掉其中一步归一：部分学生在求出“1台收割机4小时的收割量”（6公顷）或“3台收割机1小时的收割量”（4.5公顷）后，误以为已经完成了计算，导致漏掉第二步除法。 变式拓展 某印刷厂的4台印刷机5小时共印刷了16万册图书。照这样计算，如果再增加2台同样的印刷机，工作8小时共可以印刷多少万册图书？ ■ 第 12 题 深度解析： 12. 一台收割机15小时可以收割小麦4.5公顷。照这样计算，这台收割机每小时可以收割小麦多少公顷？ 【考点】小数除法, 归一问题 【难度】基础 最终答案 0.3公顷 思路起点 本题属于基础的归一应用题。解决此类问题的思考起点是理清“工作总量”、“工作时间”与“工作效率”之间的数量关系。题目给出了一台收割机在特定时间内完成的工作总量，要求每小时的工作量（即工作效率），核心数量关系式为：工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间。 详细解答 已知收割机15小时共收割小麦4.5公顷。 要求每小时收割的小麦公顷数，需用收割小麦的总面积除以所用的总时间。 列式计算如下： （公顷） 答：这台收割机每小时可以收割小麦0.3公顷。 学生易错 1. 数量关系混淆：部分学生容易将除数和被除数的位置颠倒，错误地列式为 。 2. 小数除法计算失误：在计算 时，因为被除数的整数部分小于除数，商的个位不够商1，需要商0占位。部分学生容易遗漏商个位上的0或点错小数点位置，误算为3或0.03。 变式拓展 一辆洒水车5小时可以洒水12.5公顷。照这样计算，这辆洒水车8小时可以洒水多少公顷？ ■ 第 13 题 深度解析： 13. 1公顷的松树林每周可吸收4.9t二氧化碳。一片松树林有60000m²，3月份这片松树林一共吸收多少吨二氧化碳？(5分) 【考点】面积单位换算, 归一问题, 小数乘除法 【难度】中等 最终答案 130.2吨 思路起点 这是一道典型的归一应用题。看到“1公顷每周可吸收4.9t”和面积“60000m²”，首先要注意面积单位不统一，需要将平方米换算为公顷；其次，“每周”给出的是周产量，而问题问的是“3月份（整月）”的总量，时间单位也不统一，需要先求出每天的平均吸收量，再乘以3月份的天数。核心数量关系为：总吸收量 = 每公顷每天吸收量 × 面积（公顷数） × 天数。 详细解答 第一步：统一面积单位。 1公顷 = 10000m²，所以 60000m² ÷ 10000 = 6公顷。 第二步：求每公顷每天吸收的二氧化碳量（归一）。 每周吸收4.9t，一周有7天： 4.9 ÷ 7 = 0.7（吨/天） 第三步：求6公顷每天吸收的总量。 0.7 × 6 = 4.2（吨/天） 第四步：确定3月份的天数并求整月总量。 3月份是大月，有31天： 4.2 × 31 = 130.2（吨） 答：3月份这片松树林一共吸收130.2吨二氧化碳。 学生易错 1. 面积单位未换算：直接用60000参与计算，忘记1公顷=10000平方米，60000m²=6公顷。 2. 月份天数记错：3月份是大月有31天，学生可能误记为30天或28天。 3. 时间单位混淆：没有将“每周”转化为“每天”，直接用每周吸收量去乘月份数，导致结果错误。 4. 小数乘除法计算出错：特别是4.9÷7=0.7和4.2×31=130.2的小数点位置容易出错。 变式拓展 1公顷的草坪每周可释放6.3t氧气。一片草坪有80000m²，10月份这片草坪一共释放多少吨氧气？ ■ 第 14 题 深度解析： 14. 先选择合适条件的序号填在横线上，再列式解答。 一辆冷链物流车运送海鲜到批发市场，去时用了0.6小时，平均每小时行驶60km。________，回来时平均每小时行驶多少千米？ ①回来时所用的时间是去时的1.5倍 ②去时的速度是回来时速度的1.5倍 【考点】行程问题, 小数乘除法, 条件选择 【难度】中等 最终答案 40千米 思路起点 本题的核心数量关系是“路程=速度×时间”及其变形。首先根据去时的速度和时间求出总路程。然后分析两个条件，发现它们在数学上是等价的（路程不变时，速度与时间成反比），选择其中一个条件即可求出回来的速度。通常应用题倾向于使用所有已知条件，故选择①更为合适，当然选②也能得出正确结果。 详细解答 【分析条件】 条件①和②本质上是等价的。若选①，需要利用去时的时间；若选②，去时的时间则为多余条件。为使所有已知条件都发挥作用，建议选择①（选②亦可）。 【选择条件①的解答过程】 第一步：求出去时的总路程。 列式：60 × 0.6 = 36（千米） 第二步：求出回来时所用的时间。 列式：0.6 × 1.5 = 0.9（小时） 第三步：求出回来时的平均速度。 列式：36 ÷ 0.9 = 40（千米/时） 综合算式： 60 × 0.6 ÷ (0.6 × 1.5) = 36 ÷ 0.9 = 40（千米/时） 答：回来时平均每小时行驶40千米。 （注：若选择条件②，则解答过程为：60 ÷ 1.5 = 40（千米/时），答语相同。） 学生易错 1. 思维定势：误以为只有一个条件正确，不敢下笔；或在选择条件②时，不知道如何处理“0.6小时”这个多余条件而产生自我怀疑。 2. 概念混淆：在计算“回来时的时间”时，错误地用去时速度乘以1.5，混淆了时间和速度的倍数关系。 3. 计算失误：小数乘除法计算粗心，如 60 × 0.6 算成 360，或者 36 ÷ 0.9 时小数点位置点错导致结果变为 4 或 400。 变式拓展 一辆货车从甲地送货到乙地，去时平均每小时行驶80千米，用了1.5小时到达。原路返回时，由于下雨，平均速度降为去时的 。这辆货车返回时用了多少小时？ ■ 第 15 题 深度解析： 15. 亮亮、小丽、军军各折了一盒纸鹤。根据他们的对话，判断横线上应该填什么，在正确答案的后面画“✓”。 亮亮：“我折了36只纸鹤。” 小丽：“我折的纸鹤比亮亮少12只。” 军军：“我折的纸鹤数量是小丽的2倍。” 军军折了______只。 24只 ( ) 48只 ( ) 72只 ( ) 【考点】多步计算应用题, 整数乘减混合 【难度】基础 最终答案 48只 思路起点 解决本题的突破口在于梳理三人之间纸鹤数量的依存关系。首先根据亮亮的已知数量，结合小丽与亮亮的关系（比亮亮少），通过减法求出小丽的数量；再根据军军与小丽的数量关系（是小丽的几倍），利用乘法计算出军军的数量。 详细解答 第一步：求小丽折的纸鹤数量。 已知亮亮折了 36 只纸鹤，小丽比亮亮少折 12 只。 列式为：36 - 12 = 24（只）。 第二步：求军军折的纸鹤数量。 已知军军折的纸鹤数量是小丽的 2 倍。 列式为：24 × 2 = 48（只）。 综上所述，军军折了 48 只纸鹤。应在 48只 后的括号内画“✓”。 学生易错 1. 数量关系混淆：在求军军的纸鹤数量时，部分学生可能会直接使用亮亮的数量（36只）去乘2，而忽视了“是小丽的2倍”这一前提条件。 2. 审题不够细致：容易将“比亮亮少12只”误看作“比亮亮多12只”，从而导致第一步计算错误。 变式拓展 小明、小红、小刚各收集了一些树叶标本。 小明说：“我收集了40片树叶。” 小红说：“我收集的树叶比小明多10片。” 小刚说：“我收集的树叶数量是小红的一半。” 小刚收集了______片树叶。 20片 ( ) 25片 ( ) 50片 ( ) ■ 第 16 题 深度解析： 16. 小奇说：“在我的文具盒里找不到铅笔。” 小妙说：“你会在我的文具盒里发现橡皮。” 小乐说：“你们从我的文具盒里随便拿出一件都是钢笔。” (1) 小奇的文具盒中 ________ 有铅笔。 【考点】可能性, 确定事件与不确定事件 【难度】基础 最终答案 不可能 思路起点 本题考查对可能性中“一定”、“可能”、“不可能”等概念的理解。解题的切入点是分析每位同学描述的语言中所包含的可能性信息。小奇说“找不到铅笔”，说明其文具盒中完全没有铅笔这一项物品，进而可以推导其存在的可能性。 详细解答 根据题意进行分步分析： 1. 分析小奇的描述：“在我的文具盒里找不到铅笔。” 这句话意味着小奇的文具盒里铅笔的数量为 0。 2. 引入可能性概念：在数学中，如果一个事件在任何情况下都不能发生，那么这个事件就是确定不发生事件，我们用“不可能”来描述。 3. 得出结论：既然小奇的文具盒里完全没有铅笔，那么在他的文具盒中就“不可能”有铅笔（或不可能拿到铅笔）。 因此，括号内应填：不可能。 学生易错 1. 语言表述不规范：部分学生可能会根据生活经验填写“没有”或“一定没有”，而没有使用数学规范词汇（“一定”、“可能”、“不可能”）。 2. 概念混淆：少数学生容易将“不可能”与“可能不”相混淆，未能准确建立“数量为0”与“不可能”的逻辑对应。 变式拓展 基于上述情境，请解答： (2) 从小乐的文具盒中随便拿出一件物品，________ 是钢笔； (3) 从小妙的文具盒中随便拿出一件物品，________ 是橡皮。 （填“一定”、“可能”或“不可能”） ■ 第 17 题 深度解析： 17. 欢欢说：“在我的文具盒中找不到钢笔。” 乐乐说：“你会在我的文具盒中发现铅笔。” 迎迎说：“你们从我的文具盒中随便拿出一支都是圆珠笔。” (1) 欢欢的文具盒中 ________ 有钢笔。 【考点】可能性, 确定事件与不确定事件 【难度】基础 最终答案 不可能 思路起点 引导学生从日常语言中提炼数学中的可能性概念。分析欢欢的描述“找不到钢笔”，意味着钢笔在文具盒中的数量为 0，从而寻找该事件发生的确定性规律。 详细解答 根据题意，我们可以对三位同学的描述进行逐一分析： 1. 欢欢说“在我的文具盒中找不到钢笔”，这意味着欢欢的文具盒中根本没有钢笔。因此，“在欢欢的文具盒中拿到钢笔”这一事件发生的可能性为 0，即“不可能”有钢笔。 2. 乐乐说“你会在我的文具盒中发现铅笔”，意味着她的文具盒里有铅笔，但也可能还有其他文具。因此，在乐乐的文具盒中发现铅笔是“可能”的。 3. 迎迎说“随便拿出一支都是圆珠笔”，这意味着文具盒里全部都是圆珠笔。因此，拿出来的“一定”是圆珠笔。 本题问的是欢欢的文具盒中是否有钢笔，由于找不到，所以填“不可能”。 学生易错 学生容易把日常口语中的“很难找到”或“不一定能找到”与数学上的“不可能”混淆。在数学中，“找不到”即意味着该物品的数量为 0，对应的事件是确定发生的“不可能”事件，不能填“可能没有”或“不一定”。 变式拓展 口袋里装有 5 个红球和 1 个白球，这些球除颜色外完全相同。从中任意摸出一个球： (1) 摸出来的球 ________ 是红球。（填“一定”、“可能”或“不可能”） (2) 摸出来的球 ________ 是黑球。（填“一定”、“可能”或“不可能”） ■ 第 18 题 深度解析： 18. 依依的花盆里栽有3株红玫瑰和2株黄郁金香。 （3）依依的花盆中（ ）有康乃馨。 【考点】可能性, 确定现象与不确定现象 【难度】基础 最终答案 不可能 思路起点 引导学生从已知条件出发，首先明确花盆中现有的花卉种类（红玫瑰和黄郁金香）。接着，将要判断的花卉种类（康乃馨）与现有的种类进行对比，看是否存在包含关系，从而确定该事件发生的可能性。 详细解答 根据题意，依依的花盆里栽有3株红玫瑰和2株黄郁金香。在已知条件限定的范围内，并没有栽种康乃馨。因为康乃馨这种花在花盆中是不存在的，所以在该花盆中寻找康乃馨属于不可能发生的事件。因此，括号内应填入表示确定性事件的词语“不可能”。 学生易错 学生在解答此类可能性问题时，容易脱离题目给定的已知限制条件，盲目依赖个人日常生活经验进行主观判断。例如，部分学生可能会认为“花盆里以后也可以种康乃馨”，从而误填“可能”。在审题和教学中，需引导学生紧扣题目给出的既定事实进行逻辑推理。 变式拓展 盒子里装有5个红球和2个蓝球。 （3）依依从盒子里任意摸出一个球，摸出的（ ）是绿球。 ■ 第 19 题 深度解析： 19. A、B、C 三个盒子里分别装有不同数量的玻璃球（A盒20个，B盒32个，C盒48个，玻璃球除颜色外完全相同），并且每个盒子里都有 12 个红玻璃球。小明想从一个盒子里摸出一个红玻璃球。你建议他从哪个盒子里摸？请说出你的理由。 【考点】可能性的大小, 分数大小的比较 【难度】中等 最终答案 建议从 A 盒里摸。因为 A 盒中红玻璃球占总数的比例最大，摸出红玻璃球的可能性最大。 思路起点 引导学生从“可能性大小”的核心概念切入。要判断从哪个盒子中摸出红玻璃球的可能性最大，需要比较各个盒子里红玻璃球数量占总球数的比例（即分率）。本题中，每个盒子中红玻璃球的数量（分子）是相同的，因此可以通过比较总球数（分母）的大小来直接判断。总球数越少，红玻璃球所占的比例就越大，摸出红玻璃球的可能性也就越大。 详细解答 解：建议从小 A 盒里摸。 说理方法一（逻辑推理）： 因为 A、B、C 三个盒子里的红玻璃球数量相同，都是 12 个。 由于 A 盒的总球数最少（），所以在 A 盒中，红玻璃球占总球数的比例最大。 因此，从 A 盒中摸出红玻璃球的可能性最大。 说理方法二（计算比较）： 分别计算出各个盒子中摸出红玻璃球的可能性： 从 A 盒中摸出红玻璃球的可能性是： 从 B 盒中摸出红玻璃球的可能性是： 从 C 盒中摸出红玻璃球的可能性是： 因为 ， 所以从 A 盒中摸出红玻璃球的可能性最大。 答：建议他从 A 盒里摸。因为 A 盒中红玻璃球的数量占总数的比例最大，摸出红玻璃球的可能性最大。 学生易错 1. 概念混淆：部分学生可能只关注到“每个盒子都有 12 个红玻璃球”这一条件，误以为红玻璃球数量相同，摸出的可能性就相同，从而忽略了总基数（分母）的不同对可能性大小的影响。 2. 比较分率时出错：部分学生在用分数表示可能性后，进行异分母分数比较大小时，容易在通分或化简过程中发生计算失误。 变式拓展 有甲、乙两个不透明的袋子。甲袋中装有 8 个红球和 12 个白球；乙袋中装有 10 个红球和 15 个白球（球除颜色外完全相同）。如果想摸出一个红球，选择哪个袋子摸出的可能性大？请说明理由。 ■ 第 20 题 深度解析： 20. 阳光小区全年的物业管理费收费标准是：按建筑面积计费，每年每平方米25元。王阿姨家每年交物业管理费2450元，王阿姨家的建筑面积是多少平方米？ 【考点】除法应用题, 单价、数量和总价的关系 【难度】基础 最终答案 98平方米 思路起点 引导学生从生活情境中抽象出数学模型。本题的核心数量关系是“总价、单价与数量”的关系。题目中已知的“每年共交物业管理费 2450 元”相当于总价，“每年每平方米 25 元”相当于单价，所求的“建筑面积”相当于数量。根据数量关系式：数量 总价 单价，可以确定用除法解决此问题。 详细解答 根据题意，已知王阿姨家每年总共缴纳的物业管理费和每平方米的收费标准，求建筑面积。 解题步骤如下： 1. 明确数量关系： 建筑面积 年物业管理费总额 每平方米年收费标准 2. 列式并计算： （平方米） 3. 答语： 答：王阿姨家的建筑面积是98平方米。 学生易错 1. 数量关系混淆：部分学生在面对逆向思维问题时，容易机械地将题目中的两个数字相乘，列式为 。 2. 笔算除法出错：在计算除数是两位数的除法 时，个别学生在试商或处理商的个位数时容易出现计算失误。 变式拓展 某写字楼的物业费是按建筑面积计费，每月每平方米5.5元。某公司租用了其中一间办公室，一个季度（按3个月计算）共交物业费4125元。这间办公室的建筑面积是多少平方米？ ■ 第 21 题 深度解析： 21. 我国黄河全长约5464km。约比我国海河全长的5倍还长324km，海河全长多少千米？ 【考点】列方程解决问题, 一元一次方程的应用 【难度】中等 最终答案 1028千米 思路起点 引导学生从题目中的关键句“黄河全长约比海河全长的5倍还长324km”切入。通过分析这句话，找出黄河长度与海河长度之间的核心等量关系：海河全长 黄河全长。在已知黄河全长（5464km）的情况下，可以通过设未知数列方程，或者采用逆向思维的算术法解决问题。 详细解答 【解法一：列方程解决】 设海河全长为 千米。 根据题意，黄河全长比海河全长的5倍还长324km，可以列出方程： 解步骤如下： 答：海河全长1028千米。 【解法二：算术方法解决】 根据逆向思维，已知黄河全长比海河全长的5倍还多324km。如果从黄河全长中减去多出的324km，所得的长度正好是海河全长的5倍。因此，先求出海河全长5倍对应的长度，再除以5即可。 列式计算： （千米） 答：海河全长1028千米。 学生易错 1. 数量关系混淆：部分学生容易将“比海河全长的5倍还长324km”中的多与少混淆，在算术列式时错误地写成 ，没有理清逆向计算中的运算方向。 2. 格式规范错误：列方程解答时，部分学生容易在求得方程的解后，在步骤 后面习惯性写上单位，或者在最开始设未知数时漏掉单位。 变式拓展 某大型图书馆内有社科类图书45000册，比科技类图书的3倍还少1200册。该图书馆有科技类图书多少册？ 学科网（北京）股份有限公司 $