精品解析：上海市格致中学2025-2026学年第二学期期末考试高二年级数学试卷

格致中学 二○二五学年度第二学期期末考试 高二年级数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题：（本大题共12小题，其中第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分，满分42分） 1. 直线的倾斜角为___________. 2. 底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为______． 3. 函数的图像在处的切线方程为______． 4. 已知随机变量的分布为，且，则__________． 5. 某次数学考试后，随机选取16位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数为87，则____________． 6. 已知，则的最小值是_______. 7. 设集合，（其中，为虚数单位）.若，则实数的取值范围是_____. 8. 已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 9. 已知，则______． 10. 已知，点，点是的图象上异于点的任意一点，直线的斜率记为，则的取值范围是____________． 11. 已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 12. 将集合划分成6个元素个数相等的集合，其中任何一个集合中的较小元素的两倍不超过较大元素，则不同的划分方式有__________种. 二、选择题：（本大题共4小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分） 13. 本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 14. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 15. 我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义： 事件：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体） 事件：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体） 事件：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标） 现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系错误的是（ ） A. B. C. D. 16. 若不恒为零的函数满足（，）在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”．已知以下两个命题： 命题：若是“1级导同函数”，则． 命题：存在一个“级导同函数”，使得它的函数图象经过三个象限． 则（ ） A. 命题真命题，命题真命题 B. 命题真命题，命题假命题 C. 命题假命题，命题真命题 D. 命题假命题，命题假命题 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分，解题时要有必要的解题步骤） 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 为响应环境保护政策，某工厂引入减排技术，减少工厂周边有害颗粒物的密度．已知2014年到2022年的历史检测数据如下： 年份x （年） 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 颗粒物浓度y 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 4.61 4.46 4.05 3.08 2.46 2.18 1.61 1.53 1.35 记年份为，颗粒物浓度，．某团队建立了两个回归预测模型，并用最小二乘法求得关于的回归方程：①；②，其中是常数，是自然常数，假设． （1）设和的相关系数为，设和的相关系数为，和在与哪个区间内？从相关系数的角度，模型①和模型②，哪一个更好？请计算并说明理由． （2）在报告中给出了关于的回归方程：，请根据数据，计算参数K，并预测2026年的颗粒物浓度．（精确到0.01） 19. 已知抛物线：，是坐标原点，是焦点，，是抛物线上异于原点的两个不同点． （1）若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； （2）若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； （3）若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线和的倾斜角分别为，，求的最小值． 20. 对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． （1）设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； （2）设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； （3）设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 格致中学 二○二五学年度第二学期期末考试 高二年级数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题：（本大题共12小题，其中第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分，满分42分） 1. 直线的倾斜角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程可求得直线的斜截式方程，再根据斜截式方程得出直线斜率，从而求出倾斜角. 【详解】由题意得，， 即直线的斜率为， 所以直线的倾斜角的正切值为， 则直线的倾斜角为. 故答案为：. 2. 底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图结合扇形的弧长公式运算求解. 【详解】设侧面展开图中扇形的中心角为， 由题意可得：，解得， 所以侧面展开图中扇形的中心角为. 3. 函数的图像在处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导后代入求得切线的斜率，代入函数求得切点坐标，结合点斜式即可求解. 【详解】设，则，即切点坐标为， ，则切线斜率， 则切线方程为，整理得. 4. 已知随机变量的分布为，且，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解. 【详解】因为随机变量的分布为，且， 所以，且， 解得. 5. 某次数学考试后，随机选取16位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数为87，则____________． 【答案】 【解析】 【详解】，因此该组数据的第 25 百分位数为该组数据从小到大排列后，第四位数和第五位数的平均数， 则，故. 6. 已知，则的最小值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】由对数式得，再由基本不等式可得解. 【详解】由可得：，即. 所以. 当且仅当时，取到最小值. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了对数的运算及基本不等式求最值，属于基础题. 7. 设集合，（其中，为虚数单位）.若，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，把问题转化为两个圆有交点即可. 【详解】设，得：，即， 由，得：， 即， 集合  和  分别以 和 为圆心， 半径均为 的圆盘上的点组成的集合， 由，知两圆盘有交点， 即， 解得 . 故答案为： 8. 已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. 9. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将原式拆分为与其余多项式的乘积，利用乘积求导法则展开导函数，代入后含的项直接归零，只需计算即可快速得到． 【详解】设，， 因为， 所以． 10. 已知，点，点是的图象上异于点的任意一点，直线的斜率记为，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出，再用公式列出，由定义域分类讨论即可. 【详解】因为，所以，其定义域是， 令，故的图象为， 设，故， 当时，， 因为，故，则， 当时，， 因为，所以，故， 故， 当时，则， 综上，的取值范围是. 11. 已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】借助椭圆的定义将代换为，把目标式转化为定值与距离差的和，再利用三角不等式求解距离差的最大值，进而得到目标式的最大值. 【详解】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 12. 将集合划分成6个元素个数相等的集合，其中任何一个集合中的较小元素的两倍不超过较大元素，则不同的划分方式有__________种. 【答案】36 【解析】 【详解】显然7，8，9，10，11，12不可能是集合中的较小元素，故1，2，3，4，5，6为较小元素，7，8，9，10，11，12为较大元素，且一定有一个集合为，第一步先选5，5有10，11两种选择，第二步再选4，4有8，9，10，11四种选择但去除第一步所选的数字，共三种选择，剩下1，2，3，如何选取均可，故种. 二、选择题：（本大题共4小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分） 13. 本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由概率的加法公式代入题中条件即可求解. 【详解】设事件为“吹南风”，则，事件为“下雨”，则， 由题意得， 则，解得. 14. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的即可判断． 【详解】曲线表示焦点为，长轴长为10的椭圆； 曲线表示焦点为，长轴长为的椭圆． 故两椭圆的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不一定相等． 故选：D. 15. 我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义： 事件：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体） 事件：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体） 事件：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标） 现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算各基本事件及交事件的概率，结合独立事件判定规则、条件概率公式逐一验证选项，选出错误选项． 【详解】由题意知总样本数为，各样本被选中的概率相等： 事件，共个样本，故； 事件，共个样本，故； 事件，共个样本，故，， 对于A，，共个样本，故， 而，因此，A正确； 对于B，，共个样本，故， 由条件概率公式得，B正确； 对于C，，共个样本，故， 由条件概率公式得， 因此，C错误； 对于D，，共个样本，故， 而，因此，D正确． 16. 若不恒为零的函数满足（，）在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”．已知以下两个命题： 命题：若是“1级导同函数”，则． 命题：存在一个“级导同函数”，使得它的函数图象经过三个象限． 则（ ） A. 命题真命题，命题真命题 B. 命题真命题，命题假命题 C. 命题假命题，命题真命题 D. 命题假命题，命题假命题 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的除法运算构造函数求出即可逐一判断. 【详解】为“级导同函数”，即， 则， 则，其中是非零常数，则， 命题：若是“1级导同函数”，则，故命题是假命题； 命题：因为，所以当时过一、二象限； 当时过三、四象限； 故它的函数图象不可能经过三个象限，故命题是假命题 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分，解题时要有必要的解题步骤） 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正方形和梯形的性质证明线面平行，然后再根据线面平行证明面面平行即可； （2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关的向量，然后求出平面的一个法向量，利用向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 因为四边形是正方形，所以， 又平面 ，平面， 所以平面， 因为四边形是梯形，所以， 又平面 ，平面， 所以平面， 又，平面， 故平面平面， 又因为平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，平面，平面， 所以，即两两垂直， 故以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.   则有，，，， 所以 ，， 设平面的一个法向量，则有 令，则，所以， 所以点到平面的距离 所以点到平面的距离为. 18. 为响应环境保护政策，某工厂引入减排技术，减少工厂周边有害颗粒物的密度．已知2014年到2022年的历史检测数据如下： 年份x （年） 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 颗粒物浓度y 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 4.61 4.46 4.05 3.08 2.46 2.18 1.61 1.53 1.35 记年份为，颗粒物浓度，．某团队建立了两个回归预测模型，并用最小二乘法求得关于的回归方程：①；②，其中是常数，是自然常数，假设． （1）设和的相关系数为，设和的相关系数为，和在与哪个区间内？从相关系数的角度，模型①和模型②，哪一个更好？请计算并说明理由． （2）在报告中给出了关于的回归方程：，请根据数据，计算参数K，并预测2026年的颗粒物浓度．（精确到0.01） 【答案】（1） 、均在区间内，模型②拟合效果更好； （2） ，2026年颗粒物浓度约为。 【解析】 【分析】（1）先根据变量的增减趋势判断相关系数的符号区间，再计算两个相关系数的绝对值，绝对值更接近1的模型线性相关性更强、拟合效果更好； （2）对指数模型取对数转换为线性模型，利用回归直线过样本中心点求解，再代入2026年的年份计算预测值. 【小问1详解】 年份递增时，颗粒物浓度递减，故与负相关，； ，递减时同步递减，故与负相关，. 令，则，， 计算得，，，， 根据相关系数公式：  ， ，  由于，说明与的线性相关性更强，因此模型②的拟合效果更好. 【小问2详解】 对回归方程两边取自然对数得：， 即，回归直线过样本中心点， 将，代入得： , 解得， 因此，则 ， 2026年对应，代入回归方程得：  . 19. 已知抛物线：，是坐标原点，是焦点，，是抛物线上异于原点的两个不同点． （1）若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； （2）若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； （3）若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线和的倾斜角分别为，，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明：设 ，满足 ，由 得：，又， 所以，整理得，解得， 设直线 ，联立 得 ， 由韦达定理 ，结合 得 ， 故直线方程为，恒过定点 . （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义求出点的横坐标，将横坐标代入抛物线方程，即可得到点A的坐标； （2）设出直线的斜截式方程，与抛物线联立得到韦达定理关系，代入求出直线方程中的定值参数，即可证明直线过的定点并求出定点坐标； （3）设出过焦点的直线的方程，联立抛物线得到的坐标关系，结合确定点坐标，再联立与抛物线得到点坐标，利用倾斜角与斜率的关系得到关于直线斜率的表达式，最后用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 抛物线 中，，得 ，焦点 ，准线 ， 设 ，由抛物线定义：点 到焦点 的距离等于到准线的距离，即，解得， 代入抛物线方程得 ，解得​， 故点 的坐标为或 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设过的直线，，， 联立得 ，由韦达定理：，所以， 设，由，，平方得， 代入​，整理得（），所以即， 所以，所以直线， 联立，得，整理得， 所以，解得的纵坐标 ， 因为， 所以，因为， 所以 当且仅当 时取等号，故 的最小值为 . 20. 对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． （1）设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； （2）设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； （3）设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） ， 若存在含“和谐T点”的区间，则， 其中， 整理得到：即， 设，故，设， 则，故在上为增函数，故， 故，故不成立， 故函数的定义域内不存在一个包含“和谐T点”的区间 【解析】 【分析】（1）根据“T点”的性质可求的值； （2）根据“T点”的性质可得在上有三个不同的解，利用换元法可求参数的值； （3）若存在一个包含“和谐T点”的区间，则在上有解，利用导数可证该结论错误. 【小问1详解】 ，由可得，而 因为为函数在区间上的“T点”，故. 【小问2详解】 ， 因为函数在区间上恰有3个“T点”， 所以在上有三个不同的解， 故在上有三个不同的解， 设，则， 则在上有两个不同的根， 且其中有且只有一个根为或或， 若一个根为，则，此时另一个根为， 此时有一根，在上有两个不同的解， 故此时在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时另一个根为， 同理可得在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时在上仅有一个根，舍； 综上，. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：对于导数背景下的多变量的存在性问题，注意根据方程组的形式合理消元，从而构建较为简单的函数，而后者可以利用导数来处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $