精品解析：上海市建平世纪中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题

上海市建平世纪中学2025学年度第二学期期末考试 高二数学 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1. 直线的倾斜角______． 【答案】（或 ） 【解析】 【分析】先把直线方程化为斜截式求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围确定最终角度. 【详解】因为 ， 所以 所以直线的斜率 设直线的倾斜角为 （），则 所以（即 弧度）. 答案为：（或 ）. 2. 抛物线 的焦点坐标为 ______ 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的几何性质求解． 【详解】由，得，得抛物线的焦点坐标为． 3. 集合 ，集合 ，则 ______ 【答案】 （或区间形式） 【解析】 【详解】∵ 集合，集合， ∴求两个集合的交集，则 需同时满足和，取两个范围的公共部分可得， ∴ . 4. 若指数函数的图象经过点，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】使用待定系数法解出函数解析式求解. 【详解】设的图象过点， 解得． 5. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】列出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围 【详解】若方程表示椭圆，则 解之得或 故答案为： 6. 已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 【答案】或 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】的斜率为，所以其倾斜角为， 如图，直线恒过点,若直线与直线的夹角为， 则的倾斜角为或者，所以斜率为或． 7. 已知直线与直线平行，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据平行关系列出等式求解的值并检验即可. 【详解】因为与平行，所以，解得或. 当时，直线，直线，两直线平行. 当时，直线，直线，化简为， 此时两直线重合，不符合要求，舍去. 故答案为：1. 8. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解. 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 9. 已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，把转化为，利用当三点共线时，取得最小值，把代入抛物线解得值，即得的坐标. 【详解】根据题意，作图如下， 设点在其准线上的射影为， 由抛物线的定义得， 所以欲使取得最小值，就是使最小， ，当且仅当三点共线时，等号成立. 即点的纵坐标， 设点的横坐标为， 为抛物线上的点，， 所以点的坐标为. 故答案为：. 10. 设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数存在两个不同的极值点等价于在内有两个异号零点，进而转化为在内有两个不等根即可求解. 【详解】解：易知函数的定义域为， ， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以在内有两个不等根， 设，， 则只需，即， 所以，则的取值范围为. 故答案为： 11. 已知函数 ，其中 为实数，且 ，则不等式 的解集为 ______ 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以单调递减，单调递减， 所以在上单调递减，因为， 所以等价于， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 12. 若一条曲线上的任意两点 满足 为锐角(为坐标原点），则称这条曲线为“锐曲线”.已知曲线是函数的图像，且.若是“锐曲线”，则正数的最小值为 ______ 【答案】## 【解析】 【分析】将为锐角的几何条件转化为对曲线上任意两点，，分三种情况讨论两点的位置：两点都在的分支上、两点都在的分支上、一点在分支上另一点在分支上，分别推导每种情况下恒成立的条件即可. 【详解】因为是“锐曲线”，所以对曲线上任意两点， 都有为锐角，所以， 当，，时，，， 故恒成立； 当，，时，，， 故恒成立， 当，时， 则，， 所以， 令，代入不等式得 ， 两边平方整理得， 由已知对所有恒成立， 若，不等式要恒成立，必须二次项系数非负， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，， 二次函数的图象为开口向上，对称轴的抛物线， 若，则，函数在上单调递增， ，满足条件； 若，则，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 由已知，所以， 所以， 综上，，即的最小值为. 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分. 13. 已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，则线段的垂直平分线的方向向量为， 又线段中点为，则线段的垂直平分线为. 14. 已知实数 ，那么“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】先判断充分性： ∵ 当，时，，满足， 此时，不满足， ∴ 由无法推出，充分性不成立. 再判断必要性： ∵ 若，则，同号， 根据绝对值的运算性质，同号两数和的绝对值等于绝对值的和，即恒成立， ∴ 由可推出，必要性成立. 综上，“”是“”的必要非充分条件. 15. 函数在[0,3]上的最大值和最小值分别是 A. 5，-15 B. 5，-4 C. -4，-15 D. 5，-16 【答案】A 【解析】 【分析】求出，判断在[0,3]上的单调性，再进行求解． 【详解】，令，得或，所以当时，，即为单调递减函数，当时，，即为单调递增函数，所以，又，所以，故选A． 【点睛】本题考查利用导数求函数最值问题，考查计算能力，属基础题 16. 设为定义在 上的奇函数，下列两个结论说法正确的是（ ） ① 若可导，则必为偶函数； ② 若的最小正周期为 ，则在区间 上必存在零点. A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的运算法则和函数奇偶性的判定方法，可判定①正确；构造 ，求得是奇函数，得到，可得判定②正确. 【详解】对于①，由函数为奇函数，可得， 根据复合函数求导的法则，可得，即， 所以函数为偶函数，所以①正确； 对于②，函数的最小正周期为，且函数为奇函数， 可得，，且，所以， 构造函数 ， 因为， 且，所以函数也是奇函数， 则，且，即是函数在内的零点，所以②正确. 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤，在试卷或草稿纸上答题无效 17. 已知圆，直线过定点. （1）若与圆相切，求的方程； （2）若与圆相交于两点，且，求此时直线的方程. 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由圆的方程可得圆心和半径，当直线斜率不存在时，知与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，由此可得方程； （2）当直线斜率不存在时，知与圆相切，不合题意；当直线斜率存在时，利用垂径定理可构造方程求得，由此可得方程. 【小问1详解】 由圆的方程知：圆心，半径； 当直线斜率不存在，即时，与圆相切，满足题意； 当直线斜率存在时，设，即， 圆心到直线距离，解得：， ，即； 综上所述：直线方程为或； 【小问2详解】 当直线斜率不存在，即时，与圆相切，不合题意； 当直线斜率存在时，设，即， 圆心到直线距离， ，解得：或， 直线的方程为或. 18. 某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. （1）求 关于 的函数关系式； （2）求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 【答案】（1） （2）使用7年后年平均盈利额最大，最大值为22万元 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【小问1详解】 根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. 【小问2详解】 由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 19. 已知曲线上动点到两点，的距离之和为4，直线和曲线相交于两点，为坐标原点． （1）写出曲线的方程； （2）若以为直径的圆经过原点，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）曲线上动点满足，得出，求出几何量，即可得到椭圆的方程； （2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及，即可求得结论． 【小问1详解】 由题意知曲线是椭圆， 设椭圆的焦半距为，则由题设，得，， 所以， 故所求椭圆的方程为； 【小问2详解】 若以为直径的圆经过原点， 设点，，，， 将直线的方程代入， 并整理，得， 则，． 因为以线段为直径的圆恰好经过坐标原点， 所以，即． 又， 于是，解得， ， 当时，，符合条件， 所以以为直径的圆经过原点，． 20. 已知双曲线的标准方程，如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. （1）求双曲线的离心率和渐近线方程； （2）已知点，求证：； （3）若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则弧所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）离心率，渐近线为 （2）由，的斜率存在且不为0，设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 所以，且， 所以 ，得证. （3）是，定值为 【解析】 【分析】（1）由标准方程确定双曲线参数，进而写出离心率、渐近线； （2）设的方程为，联立双曲线，应用韦达定理及，整理化简即可证； （3）利用直线与圆的关系，结合圆的性质求劣弧对应圆心角即可. 【小问1详解】 由知，，，，则离心率，渐近线为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为，则， 因为为劣弧，所以，则， 所以，即所对圆心角的大小为定值. 21. 已知函数,其中. （1）求函数在点的切线方程; （2）函数是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由; （3）若关于的不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）,不存在极值点;,存在一个极小值点,无极大值点 （3） 【解析】 【分析】(1)对求导,求出切点斜率,再根据切点求出切线方程即可; (2)令,对进行求导,再讨论及时导函数的正负及极值点即可; (3)将代入,先讨论时的取值范围,再全分离,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出的取值范围. 【小问1详解】 解:由题知, , 所以在点的切线方程为, 即; 【小问2详解】 设,定义域, , 当时,恒成立, 所以在单调递增, 所以不存在极值点, 当时,令， 当时,， 当时,， 所以在单调递减,在单调递增, 所以函数存在一个极小值点,无极大值点, 综上:时,不存在极值点, 时,存在一个极小值点,无极大值点; 【小问3详解】 由题知原不等式, 可化为, 当时,恒成立, 当时, 即, 由(2)知在有最小值, 所以, , , , , 即, ,, 综上: . 【点睛】方法点睛:该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下: (1)若，恒成立，则只需; (2) 若，恒成立，则只需; (3) 若，恒成立，则只需; (4) 若，恒成立，则只需; (5) 若，恒成立，则只需; (6) 若，恒成立，则只需; (7) 若，恒成立，则只需; (8) 若，恒成立，则只需. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市建平世纪中学2025学年度第二学期期末考试 高二数学 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1. 直线的倾斜角______． 2. 抛物线 的焦点坐标为 ______ 3. 集合 ，集合 ，则 ______ 4. 若指数函数的图象经过点，则_____． 5. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围为___________. 6. 已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 7. 已知直线与直线平行，则__________. 8. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 9. 已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是__________． 10. 设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________. 11. 已知函数 ，其中 为实数，且 ，则不等式 的解集为 ______ 12. 若一条曲线上的任意两点 满足 为锐角(为坐标原点），则称这条曲线为“锐曲线”.已知曲线是函数的图像，且.若是“锐曲线”，则正数的最小值为 ______ 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分. 13. 已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D. 14. 已知实数 ，那么“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 15. 函数在[0,3]上的最大值和最小值分别是 A. 5，-15 B. 5，-4 C. -4，-15 D. 5，-16 16. 设为定义在 上的奇函数，下列两个结论说法正确的是（ ） ① 若可导，则必为偶函数； ② 若的最小正周期为 ，则在区间 上必存在零点. A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤，在试卷或草稿纸上答题无效 17. 已知圆，直线过定点. （1）若与圆相切，求的方程； （2）若与圆相交于两点，且，求此时直线的方程. 18. 某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. （1）求 关于 的函数关系式； （2）求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 19. 已知曲线上动点到两点，的距离之和为4，直线和曲线相交于两点，为坐标原点． （1）写出曲线的方程； （2）若以为直径的圆经过原点，求实数的值． 20. 已知双曲线的标准方程，如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. （1）求双曲线的离心率和渐近线方程； （2）已知点，求证：； （3）若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则弧所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21. 已知函数,其中. （1）求函数在点的切线方程; （2）函数是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由; （3）若关于的不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $