上海市格致中学2025-2026学年第二学期期末考试高二年级数学试卷

班级__________ 姓名__________ 学号__________ 准考证号__________ 格致中学 二○二五学年度第二学期期末考试 高二年级 数学试卷（共4页） （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题：（本大题共12小题，其中第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分，满分42分） 1．直线倾斜角的大小为____________． 2．底面半径为1，母线长为3的圆锥的侧面展开图中的扇形的中心角为____________． 3．函数的图像在处的切线方程为____________． 4．已知随机变量的分布为，且，则____________． 5．某次数学考试后，随机选取16位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数为87，则____________． 6．已知，则的最小值为____________． 7．集合，，其中，是虚数单位．若，则实数的取值范围是____________． 8．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 9．已知，则____________． 10．已知，点，点是的图像上异于点的任意一点，直线的斜率记为，则的取值范围是____________． 11．已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 12．将集合划分成6个元素个数相等的集合，其中任何一个集合中的较小元素的两倍不超过较大元素，则不同的划分方式有____________种． 二、选择题：（本大题共4小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分） 13．本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（ ） A． B． C． D． 14．曲线和曲线（）的（ ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 15．我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义： 事件：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体） 事件：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体） 事件：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标） 现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系错误的是（ ） A． B． C． D． 16．若不恒为零的函数满足（，）在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”．已知以下两个命题： 命题：若是“1级导同函数”，则． 命题：存在一个“级导同函数”，使得它的函数图像经过三个象限． 则（ ） A．命题真命题，命题真命题 B．命题真命题，命题假命题 C．命题假命题，命题真命题 D．命题假命题，命题假命题 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分，解题时要有必要的解题步骤） 17．（本题2小题；第1小题3分，第2小题5分，满分8分） 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离。 18．（本题共2小题，第小题4分，第2小题4分，满分8分） 为响应环境保护政策，某工厂引入减排技术，较少工厂周边有害颗粒物的密度．已知2014年到2022年的历史检测数据如下： 年份x （年） 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 颗粒物浓度y 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 4.61 4.46 4.05 3.08 2.46 2.18 1.61 1.53 1.35 假设年份，颗粒物浓度，．某团队建立了两个回归预测模型，并用最小二乘法求得关于的回归方程：①；②，其中a，b，c，d是常数，e是自然常数，假设． （1）设和的相关系数为，设和的相关系数为，和在与哪个区间内？从相关系数的角度，模型①和模型②，哪一个更好？请计算并说明理由． （2）在报告中给出了y关于x的回归方程：，请根据数据，计算参数K，并预测2026年的颗粒物浓度．（精确到0.01） 19．（本题共3小题，其中第1小题3分，第2小题5分，第3小题6分，满分14分） 已知抛物线：，是坐标原点，是焦点，，是抛物线上异于原点的两个不同点． （1）若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； （2）若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； （3）若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线和的倾斜角分别为，，求的最小值． 20．（本题共3小题，其中第1小题3分，第2小题5分，第3小题6分，满分14分） 对于任意函数图像上不同的三点、、（）．记点处的切线为，若，则称为函数在区间上的“点”．特别地，当，则称为函数在区间上的“和谐点”． （1）设，是函数在区间上的“点”，若，求实数的值； （2）设，若函数在区间上恰有3个“点”，求所有满足条件的实数的值组成的集合； （3）设（），试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $