13.2 与三角形有关的线段教案 2026-2027学年数学人教版八年级上册

该教案聚焦三角形的边、中线、角平分线、高、内角和及外角等核心知识，通过裁剪纸条拼接、旧知回顾等方式导入，以动手操作和问题链搭建学习支架，衔接前后知识点。 特色在于注重动手探究与逻辑推理，如拼接纸条发现三边关系、实验推导内角和定理，培养几何直观与推理能力，联系塔吊结构等生活实例渗透应用意识，助力学生提升探究能力，为教师提供清晰教学流程与多样化活动设计。

13.2 与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 课题 三角形的边 课型 新授课 教学内容 教材第5-7页的内容 教学目标 1.理解三角形三边之间的关系. 2.熟悉三角形的稳定性在生活中的应用. 3.能利用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形. 教学重难点 教学重点：三角形三边之间的关系，三角形的稳定性. 教学难点：利用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 请学生们任意裁剪三条细纸条，探究是不是任意三根细纸条都能拼成三角形呢？ 【师生活动】教师引导学生观察所拼成的三角形.我们会发现有些同学裁剪的纸条能拼接成三角形，而有些同学裁剪的纸条不能拼接成三角形. 2.发现探究，学习新知 【问题1】三个纸条满足什么条件时能够拼接成三角形呢？任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？ 【师生活动】有两条线路可以选择：一条是由点B到点C；另一条是由点B到点A，再由点A到点C. 【追问】各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？ 【师生活动】两条线路的长分别是BC，AB+AC.由“两点之间，线段最短”可以得到AB+AC＞BC. 【追问】对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点看成定点，由“两点之间，线段最短”可以得到什么结论？ 【师生活动】教师总结并板书：一般地，我们有 三角形两边的和大于第三边.三角形两边的差小于第三边. 【问题2】教师准备若干木条和钉子，请同学将其中三根木条钉成一个三角形木架，然后扭动它，木架的形状会发生变化吗？ 【师生活动】学生答：三角形木架的形状不会改变. 【追问】请同学们讨论这一现象发生的原因. 【师生活动】教师引导学生将实验现象总结为数学结论，即三角形是具有稳定性的图形. 3.学以致用，应用新知 例 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 答案：（1）3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm. （2）可以围成底边长是4 cm的等腰三角形. 4.随堂训练，巩固新知 （1）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，3，5 C．2，3，4 D．2，6，10 答案：C （2）有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？ 答案：都不能 （3）如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答： ．(填“稳定性”或“不稳定性”) 答案：稳定性 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.三角形的三边之间有什么关系呢？ 6.布置作业 教材P7练习第1，2题.P9习题13.2第1，2，5，6题. 引导学生动手操作，自主发现问题. 通过问题1将其转化为数学问题，探究三角形三边之间的关系. 由同学们自主探索三角形的稳定性，教师加以引导，培养学生发现问题、解决问题的能力. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟练掌握三角形的三边关系. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 13.2 与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 1.三角形的三边关系： 例题 2.三角形的稳定性： 练习 提纲挈领,重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 课题 三角形的中线、角平分线、高 课型 新授课 教学内容 教材第7-9页的内容 教学目标 1.理解三角形中线、角平分线、高的概念及画法，了解三角形的重心. 2.通过观察、操作和推理，发展几何直观和推理能力. 教学重难点 教学重点：三角形中线、角平分线、高的概念与画法. 教学难点：准确区分三角形中线、角平分线、高. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 【回顾1】通过提问的方式回顾三角形的概念，△ABC中的顶点、边和角，三边的关系. 【回顾2】动手操作：过直线外一点作该直线的垂线. 【回顾3】动手操作：作已知角的角平分线. 【问题】与三角形有关的线段，除了三条边，还有哪些线段呢？ 【师生活动】三角形的中线、角平分线、高. 2.类比探究，学习新知 教师给学生分发印有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的纸卡. 【问题1】你能给出三角形的中线的定义吗？ 【师生活动】教师引导学生给出三角形中线的定义：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 【追问】请同学们在纸卡上画出三角形的三条中线，能够发现什么结论？ 【师生活动】发现：中线都在三角形内，三条中线相交于一点. 教师给出三角形重心的定义：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 【追问】教师取一块质地均匀的三角形木板，找到三条中线的交点，请同学用手指顶住这个交点，尝试能否使木板能够保持平衡. 【师生活动】发现：这个点即三角形的重心是三角形木板的一个平衡点. 【追问】教师引导学生给出三角形角平分线的定义：如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 请同学们在纸卡上画出三角形的三条角平分线，能够发现什么结论？ 【师生活动】发现：角平分线都在三角形内，三条角平分线相交于一点. 【问题2】你能画出三角形的高吗？ 【师生活动】请同学们在锐角三角形ABC中过点A作边BC所在直线的垂线，找到△ABC的高. 教师引导学生给出三角形高的定义：如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高.三角形的高线简称三角形的高. 【追问】分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，探究他们的高分别有什么特点？三种三角形的高有什么共同特点？ 【师生活动】发现：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边；钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上. 3.学以致用，应用新知 例1 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________. 答案：7cm 例2 如图，在△ABC中，∠A = 50°，∠C = 72°，BD是△ABC的一条角平分线，则∠ABD=_______． 答案：29° 例3 作△ABC的边AB上的高，下列作法中正确的是(　　) 答案：D 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，在△ABC 中，BC边上的高是______，AB 边上的高是_______； 在△BCE中，BE边上的高是_______，EC边上的高是_______； 在△ACD中，AC边上的高是_______，CD边上的高是_______. 答案：AF CE CE BE CD AC （2）如图，AD是△ABC的中线，若S△ABD=5，S△ACD=_________. 答案：5 （3）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为_________． 答案：14° 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.你能叙述三角形的中线、角平分线、高的概念吗？ 2.三角形的中线、角平分线、高都有哪些特点？ 6.布置作业 教材P8练习1，2.P9习题13.2第3,4,7,8题. 教材P21复习题13第2题. 通过对上一课时内容的回顾，巩固上节课的学习成果，也为继续探索三角形的知识打好基础.回顾之前学过的垂线、角平分线、高等的相关内容，为本节课的学习做好铺垫. 通过实际操作让学生理解重心在实际问题中的意义，体会数学在生活中的应用. 在探究三角形中线的基础上进一步研究三角形的角平分线和高. 另外，应强调中线、角平分线和高都是线段. 让学生动手操作画出不同三角形的高，理解三角形高的概念，探索发现三角形高的性质，培养学生的动手能力和探索发现能力.在这里教师应特别强调直角三角形、钝角三角形三条高的特点. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括三角形中线、角平分线、高的概念与做法，与中线、角平分线、高有关的简单计算等. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 1.中线 2.角平分线 3.高 练习 提纲挈领,重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 课 题 三角形的内角和 课 型 新授课 教学内容 教材第11-13页的内容 教学目标 1.探索并证明三角形的内角和定理. 2.能利用三角形的内角和定理解决问题. 教学重难点 教学重点：三角形的内角和定理. 教学难点：三角形的内角和定理的探索与证明. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 【问题1】我们小学的时候就学习过三角形，大家还记得三角形三个内角的和是多少吗？小学的时候我们是怎么得出三角形的内角和等于180°这个结论的吗？ 【师生活动】学生回忆并回答：小学的时候我们通过测量发现三角形的内角和等于180°，由于测量是存在误差的，所以这个过程并不严谨，这节课我们就来想办法对这一结论做出证明. 2.发现探究，学习新知 【问题2】（1）请同学们按照下面的步骤进行操作： ①取一张白纸裁剪成任意的三角形形状； ②并在三个角上分别标注A,B,C； ③将三个角裁剪下来，拼接在一起. 你能发现什么？ 【师生活动】学生发现拼接以后得到一个平角.教师总结. 【追问】教师演示以下两种拼接方式，请同学们回忆自己的拼接方式是不是其中一种.在图1中∠B，∠C各有一条边在所画虚线上，这条虚线与三角形的边BC有什么关系呢，由此能不能联想到证明三角形的内角和等于180°的方法？ 【师生活动】师生讨论证明方法，如图，过△ABC的顶点A作直线l∥BC，由平行线的性质与平角的定义就能证明.将分析过程转化为数学证明过程： 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：如图，过点A作直线l，使l∥BC. ∵l∥BC， ∴∠2=∠4(两直线平行,内错角相等) . 同理∠3=∠5. ∵∠1，∠4，∠5组成平角， ∴∠1+∠4+∠5=180°（平角定义）. ∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）. 由此三角形的内角和等于180°得到证明. 教师给出三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°. 追问：你能按照图2的拼接方式讨论并证明三角形的内角和定理吗？ 【师生活动】学生自行证明.教师公布答案. 3.学以致用，应用新知 例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40°, ∠B=75°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 解：由∠BAC=40°, AD是△ABC的角平分线， 得∠BAD=∠BAC=20°. 在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°. 例2 如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？ 答案：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A，B两处的视角∠P的度数是 . 答案：30° （2）如图，∠1+∠2+∠3+∠4= °． 答案：280 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.三角形内角和定理的内容是什么？ 6.布置作业 教材P13练习1,2.P16习题13.3第1，3，7，9,10题； 教材P22复习题第5题. 回顾小学学过的三角形的内角和知识，引出三角形的内角和的推导证明，体现数学的严谨性，激发学生的好奇心. 学生通过实际动手操作寻找解决问题的思路，教师在过程中不断引诱导学生发现证明三角形的内角和等于180°的方法. 让学生通过第一种证明过程自主探索利用图2进行证明的方法，锻炼学生的探索精神和联想能力. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括三角形的内角和定理求角，利用三角形的内角和定理解决实际问题. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 三角形的内角和定理： 例题 练习 提纲挈领,重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 第2课时 直角三角形的内角 课题 直角三角形的内角 课型 新授课 教学内容 教材第13-14页的内容 教学目标 1.掌握直角三角形两个锐角的关系，能够通过三角形的两个角互余判定直角三角形. 2.能运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. 教学重难点 教学重点：直角三角形两个锐角的关系，通过三角形的两个角互余判定直角三角形. 教学难点：运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 上节课我们学习了三角形的内角和定理，请利用三角形的内角和定理求解下列问题. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，当∠A为下列角度时，求∠C的度数. ∠A=30°，∠C= ； ∠A=47°，∠C= ； ∠A=76°，∠C= ； ∠A=α，∠C= . 2. 发现探究，学习新知 【问题1】通过上述问题，请总结出∠A和∠C之间的关系，并说明理由. 【师生活动】教师引导学生得出结论，并说明理由. 在直角三角形ABC中，∠C=90°， 由三角形的内角和定理，得∠A +∠B+∠C=180°, 即∠A+∠B+90°=180°，所以∠A+∠B=90°. 得到结论：直角三角形的两个锐角互余. 教师介绍直角三角形的符号表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC． 【追问】教师让学生在小组内讨论并解决以下问题： ①把命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件和结论反过来能得到什么命题？ ②这个命题是否成立？说明理由. 【师生活动】教师请某小组学生回答问题，并总结： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 说明理由：在△ABC中，∠A+∠B=90°，由三角形的内角和定理， 得∠A +∠B+∠C=180°,即90°+∠C=180°，所以∠C=90°，所以△ABC为直角三角形. 3.学以致用，应用新知 例1 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.比较∠CAE与∠DBE的大小. 解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC. 在Rt△BDE中,∠DBE=90°-∠BED. ∵ ∠AEC=∠BED，∴ ∠CAE=∠DBE. 例2 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ 解：在Rt△ABC中，∠2+∠A=90°. ∵ ∠1=∠2, ∴∠1+∠A=90°， 即△ADE是直角三角形. 4.随堂训练，巩固新知 （1）①如图1，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？ ②如图2，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由. 图1 图2 答案：①相等 ②相等 （2）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B． △ACD是直角三角形吗？ 答案：是 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.直角三角形的两个锐角有什么关系？ 3.有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形. 6.布置作业 教材P14练习1,2.教材P16习题13.3第4题；P22复习题第7题. 利用上节课学习的三角形的内角和定理在直角三角形内求角，帮助学生巩固上节课的内容，让学生能够在计算过程中得出直角三角形中两个锐角之间的关系. 通过小组讨论解决问题，培养学生的合作意识和探索能力，在此过程中教师应正确引导学生进行命题的转化. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括利用直角三角形的两个锐角互余解题，根据三角形中两个角互余判定直角三角形. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 第2课时 直角三角形的内角 1.直角三角形的两个锐角互余； 2.有两个角互余的三角形是直角三角形. 例题 练习 提纲挈领,重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 13.3.2 三角形的外角 课题 三角形的外角 课型 新授课 教学内容 教材第15-16页的内容 教学目标 1.理解三角形的外角的概念. 2.掌握三角形的外角的性质，发展空间观念、几何直观和推理能力. 教学重难点 教学重点：三角形的外角的性质. 教学难点：利用三角形的外角性质的证明. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 前两节课我们学习了三角形的内角，请同学们回忆一下关于三角形的内角有哪些结论呢？ 【师生活动】教师带领学生复习前两节课所学内容. 2.发现探究，学习新知 我们研究了与三角形有关的线段和三角形的内角，这节课我们往三角形外面延伸，继续探究. 【问题1】如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，请同学们观察∠ACD与△ABC的内角∠ACB有什么关系？ 【师生活动】学生讨论，教师引导得出结论：我们发现∠ACD与∠ACB是邻补角，△ABC确定的话，∠ACD也是确定的. 【追问】∠ACB叫作三角形的内角，请同学们猜一下∠ACD是三角形的什么角呢？ 【师生活动】学生猜测：∠ACD是三角形的外角. 【追问】请同学们观察、思考并互相讨论，尝试给出三角形的外角的定义. 【师生活动】教师做出总结并给出三角形的外角的完整定义： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 【追问】请同学们继续探究一个三角形有几个外角，外角之间有什么关系？ 【师生活动】学生通过画图研究发现：一个三角形有六个外角，其中两两为对顶角. 【问题2】请同学们自行研究下面的问题：如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A,∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A,∠B有什么关系？ 【师生活动】学生回答，教师公布答案：∠ACD=130°，∠ACD=∠A+∠B. 【追问】请同学们讨论任意一个三角形的一个外角与它不相邻的内角是否都只有这种关系？ 【师生活动】教师引导学生推导： 由∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACD+∠ACB=180°，得∠ACD=∠A+∠B. 即任意一个三角形的一个外角与它不相邻的内角都满足这种关系. 教师总结： 一般地，有三角形的内角和定理可以推出下面的推论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.学以致用，应用新知 例 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2. 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）. 由∠1+∠2+∠3=180°，得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°. 4.随堂训练，巩固新知 （1）图中∠1的大小等于(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° 答案：D （2）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ） A.40° B.45° C.50° D.55° 答案：C （3）如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（ ） A.26° B.63° C.37° D.60° 答案：A 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.什么是三角形的外角？ 2.三角形的外角有什么性质？ 6.布置作业 教材P16练习.P16习题13.3第2,5,6,8,11题； 教材P22复习题第1,4,5,9题. 回顾三角形的内角的相关知识点，帮同学们巩固前两节课的内容，同时激发学生进一步探索的欲望. 由学生自己探讨外角的定义，更能深化学生们对外角的理解，教师应强调外角是内角的邻补角. 由具体实例当中外角与不相邻内角的关系推广到任意三角形的一个外角与不相邻内角的关系，让同学们体会探究发现的过程. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，加深对三角形的外角定义的理解，应用外角的性质解题. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 13.3.2 三角形的外角 1.三角形的外角的定义： 例题 2.三角形的外角的性质： 练习 提纲挈领,重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $