河北昌黎第一中学2025-2026学年高三考前自测考试数学试卷

**基本信息** 河北昌黎一中2025届高三三模数学卷，以集合、导数等知识为载体，通过育儿补贴统计、椭圆切线等问题设计，考查数学眼光、思维与语言，适配高考冲刺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、逻辑推理、立体几何表面积|基础巩固与能力提升结合，如第2题充要条件判断| |填空题|3题15分|复数运算、抛物线焦点弦、概率|多空设计，如第14题集合交集概率| |解答题|5题77分|统计与概率（育儿补贴）、数列、立体几何、椭圆、导数|情境时代性（育儿补贴），综合创新（导数证明不等式）|

河北昌黎第一中学2025-2026学年高三年级第三次模拟考试 数学答案 注意事项： 1.本试题共两部分，满分150分，时间120分钟。 2.阅卷老师应严格按照此答案进行阅卷，必要时可增加答案要点，但应该提前与阅卷组组长沟通并通知阅卷组。 3.请各位考生按照答案中评分标准认真核对。 4.阅卷结束后，阅卷老师请与阅卷公司核对阅卷结果是否已经上传，无误之后即可结束阅卷。 1.A 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.ABC 10.ABD 11.BCD 12. -1 13.3 14. 15.【解】（1）第一步:标记事件 记事件A:单个家庭补助不低于1 100元/月， 事件B:单个家庭共生育2个婴儿，…………………………………… 1分 则， …………………………………… 3分 所以。 ……………………………………… 5分 （2）记根据补贴方案一单个家庭每月所得的补贴金额为元，根据补贴方案二单个家庭每月所得的补贴金额为元， ，…………… 8分 ， ………………………………… 11分 ，故补贴方案二的补贴金额更高。 …… 13分 16. 【解】（1）第一步:利用条件，求首项和公比 因为正项数列是等比数列，设其公比为， 所以，则， 所以，…………………… 3分 所以，则， 第二步:求得的通项公式 所以。 ……………………………………… 7分 （2）第一步:利用条件，求得 因为，所以， 因为，所以，所以，……………… 10分 解法一（并项求和法）:所以，设， ，所以数列是首项为，公比为4的等比数列，…………… 12分 则。 ………………………………… 15分 解法二（分组求和法）:中的奇数项是首项为1，公比为4的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4的等比数列，……………………… 11分 。 ………… 15分 17. （1）【证明】 是棱 的中点， 是棱 的中点， 是 的中位线，. ……………………… 2分 又 平面 平面 ， 根据线面平行的判定定理，可得 平面 . …… 4分 （2）【解】 底面 底面 ，又 两两垂直， 以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则 . ……………………… 5分 . 设平面 的法向量为 ， 则 令 ，得 平面 的一个法向量为 . ……………………… 7分 设平面 的法向量为 ， 则 令 ，得 平面 的一个法向量为 . ……………………… 9分 设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，故平面 与平面 夹角的余弦值为 . … 11分 （3）【解】设三棱锥 的内切球球心为 ，半径为 ，三棱锥 的表面积为 ， 则 ， 由等体积法可知 ，则 ， 球心 ， 则 . 点 到平面 的距离 ， …… 13分 而 ，得 ， 因此三棱锥 体积的最大值为 .……………………………… 15分 18. （1）【解】将 点坐标代入 ，得 ，………… 2分 解得 ，所以椭圆 的方程为 . …… 4分 （2）【解】 设 ，直线 的方程为 ，联立 消去 ，得 ， 又 ，化简得 ，…………………… 6分 代入 ， 得 ，即 ，所以 。 ，所以直线 的方程为 . ………… 8分 设 ，则 ， 由 得 ， 即 ，所以点 在定圆 上。 …………… 10分 （3）【证明】设直线 的方程为 ， 因为 ，所以 ，则 ，所以点 不在 轴上， 则直线 的斜率 ，且 。 将 代入直线 的方程，得 ， 故 。 设 ，联立 消去 ，得 ，， 所以 ， ……………… 12分 则 。 由（2）知点 在圆 上，又 ， 所以直线 与圆 相切， 所以圆心 到直线 （即 ） 的距离为 ， 所以 （*），则 。 ……… 14分 因为点 在椭圆 上，点 在圆 上，且 都在第一象限，所以 ，则 . ……………………… 15分 设点 到直线 的距离为 ， 则 。 由（*）式可知 ，故 . …… 17分 19. （1）【解】 ， 又，函数在内单调递增， …………………………………………………………………………………… 2分 又由零点存在定理知函数在内的零点个数为1. ………………………………………………… 4分 （2）【解】 设，则， 设，则， 当时，，则， 当时，，则， 显然对恒成立，在内单调递增. ………………………………………………………………………… 6分 若，则，必存在使得时，， 此时在内单调递增，从而有，与已知矛盾. ……………………………………………………………………… 7分 若，则，必存在使得时，， 此时在内单调递减，从而有，与已知矛盾. ……………………………………………………………………… 8分 当时，，， 显然当时，，，则，在内单调递减， 当时，， 则即在上单调递增，且，则在上恒成立， 在内单调递增. ……………………………………… 10分 ，即，即对任意恒成立. 综上所述，实数的取值集合为. …………………………… 11分 （3）【证明】 要证对任意都有成立， 只需证， ……………………………………… 12分 由（2）知，所以有，所以只需证， 即证. ……………………………………………… 14分 记，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， ，即， 对任意都有不等式成立. …… 17分 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北昌黎第一中学2025-2026学年高三年级第三次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1.本试题共两部分，满分150分，时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂然.如要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试上无效。 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合A={x∈N|-3≤x≤3}，B={x|x<2}，则A∩B=（ ） A. {0，1} B. {1，2} C. {x|-3≤x<2} D. {-3，-2，-1，0，1} 2. 已知a²>b²，则"a+b>0"是"a>b"的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知圆台O₁O₂上、下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的表面积为（ ） A. 32π B. 26π C. 16π D. 8π 4. 已知函数y=f（x）的图象如图所示，则y=|f（x-1）|+1的图象大致为（ ） 5. 在等差数列{aₙ}中，公差d≠0，a₂是a₁与a₄的等比中项。已知数列a₁，a₃，a{k₁}，a{k₂}，…，a{kₙ}，…成等比数列，则数列{kₙ}的通项公式为（ ） A. kₙ=3ⁿ B. kₙ=3ⁿ⁺¹ C. kₙ=2·3ⁿ D. kₙ= 6. 已知点P在双曲线C: - =1（a>0，b>0）上，且点P到C的两条渐近线的距离之积等于，则C的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 若y=sin|ωx+|的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，则实数ω可以是（ ） A. B. - C. 2 D. -2 8. 若直线l同时是曲线f（x）=aeˣ（a>1）和曲线g（x）=eˣ+a的切线，则l斜率的最小值为（ ） A. 1 B. e C. e² D. 2e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知随机变量X~B（4，p），则下列说法正确的是（ ） A. P（X=4）=p⁴ B. 若P（X=3）=4P（X=1），则p= C. 若p=，则E（X）=1 D. 存在p，使得D（X）=2 10. 把短对角线与长对角线长度的比值为-1的菱形称为白银菱形。如图，BD，AC分别为白银菱形ABCD的短对角线和长对角线，在白银菱形ABCD内，有三个全等的小白银菱形AEMH， BNDM， NFCG。若AB=+1，则（ ） A. EM与GN共线 B. ∠BAD= C. AH·BE=- D. AM·DH+BF·NC=0 11. 在△ABC中，AB=2， = ， D为边BC的中点，则（ ） A. C∈（0，） B. CA=CB C. AD>1.5 D. ∠CAD最大时，S△ABC= 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知i²⁰²⁵=a-bi（i为虚数单位，a，b∈R），则a+b的值为________。 13. 已知O为坐标原点，过抛物线y²=2px（p>0）的焦点F的直线与该抛物线交于A，B两点，若|AB|=18，△OAB的面积为，则实数p的值为________。 14. 甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合A，B，C，记A∩B∩C中元素的个数为m，则m≥1的概率为________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）育儿补贴制度实施 为减轻家庭养育负担，我国于2025年7月印发了《育儿补贴制度实施方案》，某地响应国家号召，制定了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力。两套方案的执行策略如下表： 由于单个家庭生育4个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在0~3的情况。 （1）若采用补贴方案一，随机选取某家庭，其补助不低于1100元/月，求其共生育2个婴儿的概率； （2）试从期望的角度讨论这两种补贴方案哪套的补贴金额更高。 16.（15分）已知正项数列{aₙ}满足aₙ·an+1=4ⁿ。 （1）若{aₙ}是等比数列，求{aₙ}的通项公式； （2）若a₁=1，求数列{aₙ}的前2n项的和。 17.（15分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，满足AD⊥AB， BC∥AD， AB=AD=AP=2， BC=1， PA⊥底面ABCD。E为棱PB的中点，F为棱PD的中点。 （1）证明：EF∥平面ABCD； （2）求平面AEF与平面PCD夹角的余弦值； （3）设M为三棱锥P-ABD的内切球球面上一动点，求三棱锥M-AEF体积的最大值。 18.（17分）已知D（， ）为椭圆C: x²+（）=1（n>0）上一点，过动点P（x₀，0）（x₀>1）作C的两条切线，切点分别为A，B，点Q在直线AB上，且OQ⊥PQ（O为坐标原点）。 （1）求椭圆C的方程； （2）证明点Q在定圆上，并求该圆的方程； （3）若点A，Q都在第一象限，直线PQ交C于M，N两点，记△AMN的面积为S，证明：S<。 19.（17分）已知函数f（x）=（x-1）eˣ+sinx。 （1）试判断f（x）在区间（0，1）内零点的个数并说明理由； （2）若不等式f（x）≥ax-1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合； （3）证明：对任意x>0都有不等式xf(x-1)+x≥lnx成立。 2 学科网（北京）股份有限公司 $