精品解析：河北省盐山中学2026届高三下学期考前模拟数学试题

高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知复数z满足，则的虚部为（ ） A. －1 B. 1 C. －i D. i 3. 若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ）． A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，，则 C. 样本相关系数的绝对值越接近1，则成对数据的线性相关程度越强 D. 样本相关系数的绝对值越接近0，则成对数据的线性相关程度越弱 5. 已知是的内角，且 若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形． 6. 等差数列的前项和为25，前项和为100，则它的前项和为（ ） A. 125 B. 200 C. 225 D. 275 7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. 5 C. D. 8. 与曲线共焦点，且与曲线共渐近线的双曲线方程为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是（ ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与是平行直线 C. 直线与是异面直线 D. 直线与是异面直线 10. 已知定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆 与圆 （ ） A. 两圆的圆心距为 B. 两圆的公切线有 3 条 C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D. 两圆相交，且公共弦的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式 的解集为__________． 13. 设平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，若直线l与平面所成的角为，则正数______. 14. 曲线在点处的切线方程是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 证明下列恒等式： （1）； （2）； （3）． 16. 已知直线的方程为 ，其中 （1）当变化时，求点到直线的距离的最大值 （2）若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 17. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE. （1）证明：BD⊥平面PAC； （2）若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 19. 已知函数. （1）证明：； （2）设函数，证明：函数有唯一的极值点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 【详解】依题意是空间不过同一点的三条直线， 当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交. 当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面. 综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题. 2. 已知复数z满足，则的虚部为（ ） A. －1 B. 1 C. －i D. i 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数，再由共轭复数定义得到，求出其虚部. 【详解】因为复数z满足，所以， 所以，的虚部为－1． 故选：A． 3. 若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将条件转化为，使成立，再参变分离构造函数，转化为最值问题，求导确定最值即可求解. 【详解】若“，使成立”是假命题，则“，使成立”是真命题，即，； 令，则，则在上单增，，则. 故选：C. 4. 下列说法错误的是（ ）． A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，，则 C. 样本相关系数的绝对值越接近1，则成对数据的线性相关程度越强 D. 样本相关系数的绝对值越接近0，则成对数据的线性相关程度越弱 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性以及相关系数与线性相关程度的关系判断即可. 【详解】对于A，因为随机变量，所以其图象关于直线对称， ，根据正态分布的对称性可知，A正确； 对于B，因为随机变量，所以其图象关于直线对称，所以； 因为随机变量，所以其图象关于直线对称，所以； 因此，而不是，B错误； 对于C，样本相关系数是用来衡量两个变量之间线性相关程度的指标，越接近1， 说明两个变量之间的线性关系越明显，即成对样本数据的线性相关程度越强，C正确； 对于D，越接近0，说明两个变量之间的线性关系越不明显，即成对样本数据的线性相关程度越弱，D正确. 5. 已知是的内角，且 若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形． 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角平方关系可得，，结合可得，从而可得的取值范围，进而可判断三角形的形状． 【详解】， ， ， ，， 为三角形内角，，， 为钝角，即三角形为钝角三角形. 6. 等差数列的前项和为25，前项和为100，则它的前项和为（ ） A. 125 B. 200 C. 225 D. 275 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列若为等差数列，则成等差数列，进而求解 【详解】由题可知，，，由成等差数列，即成等差数列，，解得 故选C 【点睛】本题考查等差数列的拓展性质，若为等差数列的前项和，则成等差数列，属于中档题 7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程. 【详解】设关于的对称点为， 所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故选：A 8. 与曲线共焦点，且与曲线共渐近线的双曲线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析:因且焦点在轴上，渐近线为,故应选A. 考点：椭圆、双曲线的标准方程与几何性质. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是（ ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与是平行直线 C. 直线与是异面直线 D. 直线与是异面直线 【答案】CD 【解析】 【分析】根据异面直线的定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为点在平面外，点在平面内，直线在平面内，不过点，所以与是异面直线，故A错误； 对于B，若直线与平行，则MN与AB共面，又平面，所以直线与不平行，故B错误； 对于C，因为与都在平面内，在平面外，不过点，所以与是异面直线，故C正确； 对于D，因为与都在平面内，在平面外，不过点，所以与是异面直线，故D正确. 故选：CD. 10. 已知定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】令，求导，根据导数判断单调性，根据函数单调性判断即可求解. 【详解】令， ，，则恒成立， 故在，上单调递增， 故，即，故 B正确，D错误． ，即，故 C正确，A错误． 11. 已知圆 与圆 （ ） A. 两圆的圆心距为 B. 两圆的公切线有 3 条 C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D. 两圆相交，且公共弦的长度为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标，求出两圆圆心距，判断A；判断两圆的位置关系，即可判断B；将两圆方程相减，即可得两圆公共弦所在的直线方程，判断C；利用几何法求得公共弦长，判断D. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为 与圆的圆心为，半径为， 故两圆的圆心距为，故A正确； 对于B，由于， 即圆与圆相交，两圆的公切线有2条，故B错误； 对于C，由B可知两圆相交，将圆与圆的方程相减，得， 即公共弦所在的直线方程为，故C正确； 对于D，由B可知两圆相交，而， 到直线的距离为， 故两圆公共弦的长度为，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式 的解集为__________． 【答案】 【解析】 【详解】原不等式可化简为，即，得， 故不等式的解集为. 13. 设平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，若直线l与平面所成的角为，则正数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据线面角的向量计算公式得到方程，解得即可； 【详解】解：依题意可得， 即，解得或（舍去）； 故答案为： 14. 曲线在点处的切线方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数在点处的切线斜率，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】由题意得在处的切线斜率为， 故切线方程是，即， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 证明下列恒等式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） ； （2）因为 ， 所以； （3）. 【解析】 【分析】（1）提公因式，由化简即可证明； （2）弦切互化结合可得，化简即可证明； （3）分子分母同乘结合化简即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 16. 已知直线的方程为 ，其中 （1）当变化时，求点到直线的距离的最大值 （2）若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1） （2）4，． 【解析】 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论； （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【小问1详解】 直线方程为即为， 由，可得，则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. 【小问2详解】 设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 此时直线的方程为 ，即． 17. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE. （1）证明：BD⊥平面PAC； （2）若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值． 【答案】(1)证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）证明PA⊥BD．PC⊥BD．即可证明BD⊥平面PAC． （2）由PC⊥平面BDE，得∠BEO为二面角B－PC－A 的平面角，在Rt△BEO中，即可求解二面角B－PC－A的大小． 【详解】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD ∴PA⊥BD．同理由PC⊥平面BDE，可证得PC⊥BD． 又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC． （2）解：设和相交于，连结， 由PC⊥平面BDE，平面BDE，平面BDE， 故PC⊥OE，PC⊥BE，则∠BEO为二面角B－PC－A的平面角， 由（1）知BO⊥AC∴ABCD为正方形∴AB＝2，，故PC=3， 由BD⊥平面PAC，平面，所以， PC⊥平面BDE，平面，所以， 所以，所以， 在Rt△BEO中，，， 二面角B－PC－A的正切值为. 【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，注意与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力,中档题． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案； （2）以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设点，求出平面的一个法向量、，利用线面角的向量求法、点到平面的距离的向量求法可得答案. 【小问1详解】 在正方形中，有， 又底面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，点是棱的中点，所以有， 又，平面，所以平面， 又平面，所以； 【小问2详解】 如图，以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，设点，， 设平面的法向量，，， 令，可得，又， 所以直线与平面所成角的正弦值， 化简可得，即， 所以或（舍）， 即点，由可得，，， 所以点到平面的距离． 19. 已知函数. （1）证明：； （2）设函数，证明：函数有唯一的极值点. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，判断极值即可； （2）构造函数，求导分析单调性，从而得到，即可； 【小问1详解】 因为，定义域为， 所以， 由于函数，在上均为单调递增函数， 所以在上单调递增， 因为，所以，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，所以. 【小问2详解】 因为，的定义域为， 所以. 设，则， 当时，，所以单调递增，所以， 所以，即， 所以. 又，且在上单调递增， 所以存在唯一的，使得，即， 当时，，单调递减； 当时，，所以单调递增， 所以函数有唯一的极值点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $