精品解析：河北沧州市2026届黄骅中学高三数学考前模拟试题

高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 134.75 B. 144.75 C. 154.75 D. 159.50 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解. 【详解】六位选手得分由小到大排列如下： 119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50， 因为， 所以该组数据的第40百分位数为第三个数154.75. 故选：C 2. 在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的定义和通项公式，结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】令，则， 令，则， 以此类推，得， 则数列是以为首项，为公比的等比数列. 若数列是等比数列，设其公比为，则， 所以，， 得， 当时，； 当时，不成立. 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 3. 设，为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法，结合纯虚数的定义求解. 【详解】依题意，，而， 则，解得. 故选：A 4. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长.若增长为原来的倍经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为（ ） （参考数据：） A. 6 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得，进而可得，利用指对数关系、对数的运算性质、换底公式求n即可. 【详解】若原来蓝藻数量为，则，可得， 令经过天后蓝藻增长为原来的2倍，则，即， 可得天. 故选：B 5. 如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得，，由线面垂直的判定与性质可得，进而可得点的轨迹为线段，找到的最大值即可得解. 【详解】取的中点，连接、、、，连接、、、、，如图： 因为正方体的棱长为2， 所以,，，平面，平面，平面， 所以，，， 所以，， 所以，， 由可得平面， 所以，所以点的轨迹为线段， 又, 所以面积的最大值. 故选：C. 【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点的轨迹，属于中档题. 6. 已知向量.若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积的坐标表示和向量模的公式以及投影向量的公式进行求解即可. 【详解】因为向量，所以. 所以向量在向量上的投影向量为： . 所以，解得. 故选：B. 7. 已知函数，若对任意的，恒成立，且当时，取到最大值，则的所有可能取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件“对任意的，恒成立”得出函数周期，从而得出值，利用“时，取到最大值”得出的表达式，从而得出的表达式，最后结合余弦函数的周期性得出的所有可能值． 【详解】，对任意的恒成立， 函数周期满足， ， ， 当时，取到最大值，， ，即， ， ，则的可能值为： 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 当时，值循环出现． 的所有可能取值集合为：． 故选：C． 8. 在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（ ） A. 24 B. C. 14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合可判断出集合表示圆,再画图,根据做对称点的方法转换的周长,再求最小值即可. 【详解】∵点到直线的距离, ∴直线始终与圆相切, ∴集合A表示除圆以外所有的点组成的集合, ∴集合表示圆,其对称中心如图所示：设是点关于直线线段（）的对称点,设,则由求得,可得.设关于x轴的对称点为,易得,则直线,和线段的交点为P,则此时,的周长为,为最小值. 故选：B 【点睛】本题主要考查了点到直线距离公式的应用以及“将军饮马”问题的应用,需要根据题意作出对称点,再转换所求求最值即可.属于难题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 当时，除以8的余数是1 D. 展开式中二项式系数最大项为第3项 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AC，利用导数可判断B，利用二项式系数的性质可判断D. 【详解】对于A，令，可得，令，可得， 所以，故A错误； 对于B，， 两边求导，可得， 令，可得，故B正确； 对于C，当时，，所以除以8的余数是1，故C正确； 对于D，展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项为第4项，故D错误. 故选：BC. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】运用基本不等式计算判断A；运用糖水不等式判断B；举例判断C；作差法比较判断D. 【详解】对于选项A，当时，. ∵，当且仅当时，取等号，∴，故A正确. 对于选项B，∵且，由糖水原理可知，故B错误； 对于选项C，当时，结论不成立，故C错误； 对于选项D，，即，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，必有两个极值点 B. 过点可以作曲线的3条不同切线，则 C. 若有三个不同的零点，且，则 D. 若有三个不同的零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求导，根据有两个极值点可得，进而判断即可；对于B，根据导数的几何意义转化问题为与图象的交点个数，进而求解判断即可；对于C，由题意可得，化简得到，再结合可得到即可判断；对于D，由题意可得，根据导数的运算法则可得，，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由题意得，要使有两个极值点， 故有两个不等实根，所以，即， 所以当时，必有两个极值点，故A正确； 对于B，，设切点为， 在点处的切线方程为， 又切线过点，则， 整理得，即，令， 过点可以作曲线切线条数可转化为与图象的交点个数， 而，令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 要使与图象有3个交点，则，故B正确； 对于C，由题意可得 ， 则， 又，则， 则，即，故C错误； 对于D，由题意可得， 则，， 同理， ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】取正棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，利用勾股定理得到高，然后求体积即可. 【详解】 如图，取正四棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，为侧棱，， 则， 因为上下底面边长分别为2和4， 所以，，， 所以，即棱台的高为， 棱台的体积=. 故答案为：. 13. 已知椭圆：的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率_________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】设直线的方程, 代入椭圆方程, 由韦达定理, 弦长公式及中点坐标公式, 求得中点坐标 坐标, 求得垂直平分线方程, 当时, 即可求得点坐标, 代入即可求得, 即可求得 , 即可求得和的关系, 即可求得椭圆的离心率. 【详解】因为倾斜角为的直线过点， 设直线的方程为: , , 线段的中点, 联立 ，化为， ， ， 的垂直平分线为:, 令 , 解得 ,. , ,则 , 椭圆的离心率为, 故答案为:. 【点睛】关键点睛：运算能力是关键；本题考查简椭圆的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,直线的垂直平分线的求法, 属于较难题. 14. 已知抛物线，弦过抛物线的焦点，过两点分别作准线的垂线，垂足分别为、，设的中点为，线段的垂直平分线交轴于，则______；若的中点为，则______． 【答案】 ①. ##0.5 ②. 1 【解析】 【分析】设弦方程及两点的坐标，可以表示点坐标及焦点弦长，继而判断，即可. 【详解】对于第一空：易知弦的斜率存在，, 设,联立，化简得： 则，即 可得弦方程中垂线方程为：， 故， 由弦长公式得： 显然 对于第二空：易知∥轴，由上可得 故四边形是平行四边形，所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 因为为等差数列，故，故， 设等差数列的公差为，则， 故，故. 【小问2详解】 由题设有，故， 故 . 16. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】 【分析】（1）不等式可化为：，比较与的大小，进而求出解集． （2）恒成立即恒成立，则，进而求得答案． 【详解】解：（1）不等式可化为：， ①当时，不等无解； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. （2）由可化为：， 必有：，化为， 解得：. 【点睛】本题考查含参不等式的解法以及恒成立问题，属于一般题． 17. 如图，在直三棱柱中，点在上，． （1）证明：平面； （2）若，二面角的大小为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹的长度． 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面ABC, 因为平面，所以 又因为，，平面， 所以平面 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据直棱柱的性质及线面垂直的判定定理即可得证； （2）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，①中求出平面的法向量，利用向量夹角得出直棱柱的高，再由线面角的向量求法求解； ②中根据三棱锥体积求出点到平面的距离，再由向量法求距离，化简可得轨迹方程，利用轨迹方程确定轨迹为线段，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①在直三棱柱中，平面，， 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设, 设平面的法向量， 由，取，得， 所以平面的一个法向量， 又平面的法向量， 所以，解得 所以， 所以 设与平面所成角为，则 ②因为， 所以 因为三棱锥的体积为， 所以到平面的距离为 因为在侧面上，可设, 到平面的距离为， 即轨迹方程为，而, 所以在侧面上的运动轨迹是线段， 所以的轨迹长度为. 18. 已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为 （1）求的方程 （2）记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 【答案】（1）． （2）由于轴，所以不可能垂直于轴，故直线的斜率存在，故设直线的方程为，, 联立， 则 ， 直线的方程为， 当时，，所以，是的中点，所以， ，即，所以， 则， 化简得 ， 代入，得， 故，所以或， 故直线的方程为或， 由于不与重合，所以直线不经过，故直线的方程为， 此时 ， 故，此时直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解. （2）讨论直线的斜率是否存在，存在时，设出直线的方程，联立与椭圆的方程，可得根与系数的关系式，利用斜率关系或者根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，得到韦达定理，由两点斜率公式，即可代入化简的方程求解. 【小问1详解】 由题意可知， E的三个顶点构成的三角形要么是短轴的一个顶点和长轴的两个顶点构成的三角形，面积为； 要么是短轴的两个顶点和长轴的一个顶点构成的三角形，面积为， 所以， 故E的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】直线与椭圆的位置关系中直线过定点问题，需要讨论直线的斜率是否存在，若斜率不存在，特殊情况特殊对待，存在时，设出直线的方程，联立与椭圆的方程，可得根与系数的关系式，利用斜率关系或者根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用从而求得直线方程中两个参量之间的关系即可得到定点. 19. 已知函数. （1）若函数在点处的切线过点，求a的值； （2）试给出a的一个整数值，使存在唯一的极值点，并说明理由； （3）若存在，使不等式对任意的成立，求b的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出切点，再求导求出斜率，写出点斜式方程，即可求出a的值； （2）赋予一个a的值，使得导函数仅有一个零点即可； （3）由题目条件可知 恒成立 ，通过分析的取值范围得到 的最大值，进而求出使不等式对任意的成立时b的最小值. 【小问1详解】 由题可知， 切点，斜率， 切线方程：， 代入，解得：. 【小问2详解】 取，存在唯一的极值点在存在唯一的变号零点， 当时，记， 又， 所以在存在唯一的变号零点， 当时，，无零点， 故在存在唯一的变号零点. 【小问3详解】 恒成立 ，下面研究 的最大值． 当 时， 由（2）知存在唯一的 使得 ， 且 在 上单调递增， 上单调递减，即 ， 当 时， 若 ，则 ，当 时， ， 当 时， ，而 ， 若 ，则 ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ，而 ， 结合知 ， 所以 ， 因为与是对应关系，故存在实数满足不等式恒成立， 即满足存在实数，使，即， 记， 有，当时，单调递减， 当时，单调递增，即， 故的最小值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 134.75 B. 144.75 C. 154.75 D. 159.50 2. 在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3. 设，为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长.若增长为原来的倍经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为（ ） （参考数据：） A. 6 B. 12 C. 16 D. 20 5. 如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量.若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知函数，若对任意的，恒成立，且当时，取到最大值，则的所有可能取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 8. 在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（ ） A. 24 B. C. 14 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 当时，除以8的余数是1 D. 展开式中二项式系数最大项为第3项 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若，则 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，必有两个极值点 B. 过点可以作曲线的3条不同切线，则 C. 若有三个不同的零点，且，则 D. 若有三个不同的零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为_____. 13. 已知椭圆：的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率_________． 14. 已知抛物线，弦过抛物线的焦点，过两点分别作准线的垂线，垂足分别为、，设的中点为，线段的垂直平分线交轴于，则______；若的中点为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 16. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 17. 如图，在直三棱柱中，点在上，． （1）证明：平面； （2）若，二面角的大小为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹的长度． 18. 已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为 （1）求的方程 （2）记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 19. 已知函数. （1）若函数在点处的切线过点，求a的值； （2）试给出a的一个整数值，使存在唯一的极值点，并说明理由； （3）若存在，使不等式对任意的成立，求b的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $