上海市同济大学第二附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2025~2026学年同济二附中高一下期末考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分） 1.设复数z满足z=5-12i(其中i为虚数单位)，则|z= 2.函数y=sin(+x)是 函数（填“奇”或“偶）. 3.函数=国，其中（倒本与的号数/闭 4.若向量ā6满足同=l=2,且ā与6的夹角为写，则(a-6)小(a+25) 5.已知ā=(5,3)，b=(-1,2),则向量ā在向量6方向上的投影向量的坐标为 6.已知平面向量a=(1,2),b=(2,-1),若ma+b与a-b共线，则m的值为_ 7.若f()=2,则mx+-f) h-0 2h 8已知sinaa(行小则tan2a= 9.已知ā=(6，)，b=(-3,),若ā与b夹角为钝角，则k的取值范围为 10.已知sin4+sin42+…+sin4o26=2026,则sin(A+A,+…+Ao26)= 11.若复数z满足z=z-2-41,则2+z+1的最小值是 12.如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=6,M,N分别为边BC,CD上的动点，且MN=4.则AM+AN的最 小值为 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题好题5分， 每题有且只有一个正确选项) 13.设z∈C,则“z=”是“z是实数的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分又不必要 14.已知向量ā=(-2,4)，6=(x,1),若a1b,则a-=( A.2 B.√5 C.2W5 D.5 15.为了得到函数y=cos2x的图象，只需把函数y=cos 2x-π〉 的图象上所有点( A,向右平移号个单位长度 B.向左平移工个单位长度 3 第1页共4页 C.向右平移”个单位长度 D.向左平移”个单位长度 6 6 16.在平面直角坐标系xOy中，已知任意角0以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点 P(x,),且0P=r(>0),定义0s0=+,称“os0正余弦函数，对于“正余弦函数y=sos8, 有同学得到以下性质： ①该函数的值域为「-√2，√2]；②该函数为奇函数： 3 ③该函数在0=二π时取到最大或最小值：④该函数为周期函数，且最小正周期为2π. 41 其中正确的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 三、解答题 (本大题共有5题，请分78分) 17.已知z=-3+2i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，其巾P,9∈R. (1)求p+9的值： (2)设复数z,=a+4i满足乙·z是纯虚数，求实数a的值. 18.己知函数f(x)=x3+x+a(a∈R)及点P(-l,0). (1)若点P在f(x)的图象上，求曲线y=f(x)在点P处的切线的方程； (2)若点P在f(x)的图象外，过点P与f(x)的图象相切的直线斜率是1，求a的取值. 第2页共4页 19.如图所示，公路4B一侧有一块空地01B,其中04=6m,0B=6Nkm,∠A0B-号，规划局设计 在中间开挖人工湖AOMN,M、N都在边AB上，(M、N不与A、B重合，M在A、N之间)，且 ∠MoN=君 (1)若M在距离A点3km处，求OM的长度； (2)为节省投入资金，要让人工湖△OMN的面积尽可能小，设∠AOM=a,试确定a的值，使△OMN的 面积最小，并求出最小面积. AM N B 20.已知函数f()=V5 sinwco*+-sm2x-: ()将函数y=f(y化为y=6n(ax+p4>0o>0网s到的形式： (2)若关于x的方程2()-m-2=0在x[0习上有解，求实数m的取值范国： (3)若有且只有-个，∈(0m),使得函数y=f+君取得最小值，求m的取值范国。 第3页共4页 21.定义平面斜坐标系：如图，平面向量e,是两个单位向量，夹角为锐角0，那么，已2构成平面的一个 基，若ā=x+ye,则称有序数对x,y为a在这个基下的一个斜坐标，表示为a=xy;若一个复数 z=a+bi(a,b∈R)在该斜坐标系中对应向量Oz,记Z对应的斜坐标为a,b. （)若0-号a的斜坐标为23，石的斜坐标为1-2，求+的值： (2)设复数z=√5+i对应斜坐标向量0Z,若0z1(日-e),问是否存在锐角0，若存在，求出0，若不 存在，说明理由； （3)i记m=sin.c,n=(sin,g=2a,ae0浮 在该斜坐标系，若m月，求0的 大小： 0 0 e 第4页共4页 2025~2026学年同济二附中高一下期末考试数学试卷 一、填空题 1.设复数z满足z=5-12i（其中i为虚数单位)，则|z卡 【答案】13 【解析】因为z=5-12i,所以z=52+(-12)2=13. 2.函数y=sin(F+)是 函数（填“奇”或“偶”）. 【答案】偶 【解析】由诱导公式有)=sn(行+小=c0sx,因为y=0x是偶函数，所以函数y=sin[爱+是偶函数 3.函数y=f四，其中f)=的导数f() x+3 x2+6x 【答案】 (x+3)月 【解析】f)=￡2，fx)=2x(x+3)12+6x x+3 (x+3)2(x+3 4.若向量a6满足=l,5=2,且a与6的夹角为5，则(a-列(a+26)= 【答案】6 【解折】由向量数量积定义，得a-6a6cos弩=1x2×分1 (a-b)(a+2b)a2+ā.6-26P=12+1-2×22=1+1-8=-6. 5.已知ā=(5,3)，b=(-1,2),则向量ā在向量b方向上的投影向量的坐标为 【解析】已知ā=(5,3)，b=(-1,2), ∴.ab=5×(-1)+3×2=-5+6=1, =V-02+22=5, ∴.向量ā在向量6方向上的投影向量的坐标为： 第1页共10页 6.已知平面向量ā=(1,2)，6=(2，-)，若ma+6与a-6共线，则m的值为 【答案】-1 【解析】由a=(1,2),b=(2,-1）可得ma+b=(m+2,2m-1),a-b=(-1,3): 由ma+b与a-b共线可得3(m+2)+2m-1=0,解得m=-1. 7.若f(x)=2,则im3+）-f()三 2h 【答案】1 【解折】因为了(6)=四飞+-2， h 所以飞+--+的f）-F)2-1. 2h 2 h 4 8.已知sina= (2,r则tan2a= 【答案】4 4 2x 3 5 4 24 【解析】由已知得cosa Γ5 所以tana= tan 2a 3 3, 3 9.已知ā=(6,1)，b=(-3,),若ā与b夹角为钝角，则k的取值范围为 【答案(（行 【解析】ā.b=6×(-3)+1×k-k-18,由夹角为钝角得ā.b<0,即k-18<0,得k<18 若ā与6反向共线，则满足6k=lx(-3),解得k=-} 2’ 此时夹角为180，满足ā6<0，但夹角不是钝角，因此要排除k=-】 2 综上，k的取值范围是(。引（分8） 10.已知sin4+sin4,+…+sin4om6=2026,则sin(A,+A2+…+A,oz6)= 【答案】0 【解析】因为-l≤sin4≤1，-1≤sin4,≤1，…-1≤sin4,o26≤1，且sin4+sin42+…+sin4o26=2026, 所以sin4=sin4,=…=sin4o26=l,不妨取A=4,=…=4,oa6=2, 第2页共10页 则4+4，+…+4,6=2026×元=1013π，所以sin(4+4++46)=sin1013元=0. 2 11.若复数z满足=2-2-41，则+2+1的最小值是 【答案】5 【解析】设z=a+bi,a,b∈R, 则=Va2+b2,2-2-4=Va-2)2+(b-42, x+2y=5 因为=z-2-4州，所以Va2+62=V《(a-2}+(b-4)}, 所以a2+b2=a2-4a+4+b2-8b+16,故a+2b=5, 设复数z在复平面上的对应点为P(a,b),则点P在直线x+2y=5上， 又=-2-4，所以2+2+1=2-2-4+2+1=V(a-2}2+(b-4}+V(a+12+b, 所以+z+1等于P(a,b)到点A(2,4)和点B(-1,0)的距离和， 因为PA+|PB≥AB=V(2+1)+42=5,当且仅当点P为线段AB与直线x+2y=5的交点时等号成立， 由己知线段B的方程为y=(x+,x-12到， x=7 联立 -+ ,可 11 x+2y=5 .24 y10 所以当P的坐标为 724 PA+PB取最小值，最小值为5， 所以当z= 7 24时，++取最小值，最小值为5。 nn 12.如图，矩形ABCD巾，AB=8,AD=6,M,N分别为边BC,CD上的动点，且MN=4.则AM+AN的最 入 小值为 【答案】16 【解析】取线段MN的中点O,连接AO、OC、AC,如下图所示： 因为CM1Cw,所以oC=号N=2,且oM=-o, 因为四边形ABCD为矩形，则AC=√AB2+AD2=V82+62=10, 因为AM+A=(AO+OM)+(AO+ON)=2AO, 第3页共10页 所以AM+AN=2A0=24C+C可224C-C可列=2×(10-2)=16， 当且仅当AC与CO方向相反时，等号成立，故AM+AN的最小值为16. 二、单选题 13.设z∈C,则“z=z”是“z是实数的（ )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分又不必要 【答案】C 【解析】设复数z=a+bi(a,b∈R),则它的共轭复数z=a-bi. 若z=z,则a+bi=a-bi,化简得2bi=0,所以b=0,此时z=a,是实数. 所以“z=”能推出“z是实数”，充分性成立 若z是实数，则b=0,此时z=a,z=a,所以z=z. 所以“z是实数”能推出“z=z”,必要性成立， 故“z=z”是“z是实数”的充分必要条件.故选：C。 14.已知向量ā=(-2,4)，6=(x,1),若a16,则a-=( A.2 B.5 C.25 D.5 【答案】D 【解析】已知向量ā=(-2,4)，万=(x,1),若a16,则ā：6=(-2)x+4×1=0,解得x=2, 所以6=(2,1)，则ā-6=(-2,4)-(2,1)=(-4,3)， 因此a-=V(-4)+32=5,故D正确 15。为了得到函效)y=cos2x的图象，只需把函数y=co2x-到的图象上所有点（ A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移严个单位长度 6 D.向左平移汇个单位长度 6 【答案】D 【解析】：目标函数为y=cos2x,可变形为y 第4页共10页 此式是将y=cos2x-司中的x替换为x+得到 ∴要得到y= 的图象，只需将)y=c0s2- 的图象上所有点向左平移”个单位长度 6 16.在平面直角坐标系xOy中，已知任意角0以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点 P(x,),且OP=r(>0),定义50s0=+,称“sos0正余弦函数，对于4正余弦函数y=5os0”, 有同学得到以下性质： ①该函数的值域为-√2,2]；②该函数为奇函数： 3 ③该函数在0=二π时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为2π. 其中正确的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】由题知，点P坐标为(r cos 0,rsinθ)，则 c0sincos0+in in 性质0：如0=5sm0,引值双为[反同，正确 性质@：(-o)=万sn0+到-万m0-引 -fo)=-s0+}所以f(--f@.错误 性质@：当0-}时，0+子=，咖0，丰最值： 最值出现在日+T=T+kπ(k∈Z),即0=T+kx(k∈Z),错误」 42 性质国：正弦函效sm(0+)为周期函数，最小正周期为2x, 放s00=万sm(0+号)为周期函数，最小正周期为2，正确 综上，性质①④正确，共2个.故选：B. 三、解答题 17.已知z=-3+2i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，其中P,9∈R. (1)求p+9的值； 第5页共10页 (2)设复数乙，=a+4i满足z1·z是纯虚数，求实数a的值. 【答案】(1)19：(2)-号 8 【解析】(1)：z=-3+2i是关于x的方程x2+px+9=0的一个根， ∴z=-3-2i是方程x2+px+q=0的另外一个根， ÷2+2=-6=-p zz=9+4=13=g ,解得 p=6 9=131 ∴p+q=19; (2)zz=（a+4i)(-3+2i)=（-3a-8)+(2a-12)i, [-3a-8=0 又乙·z是纯虚数，· 2a-12*0'解得a=-8 31 18.已知函数f(x)=x3+x+a(a∈R)及点P(-1,0). (1)若点P在f(x)的图象上，求曲线y=f(x)在点P处的切线的方程； (2)若点P在f(x)的图象外，过点P与f(x)的图象相切的直线斜率是1，求a的取值. 【答案】(1)4x-y+4=0;(2)1. 【解析】(1)由点P在f(x)的图象上，得f(-1)=0, 求导得f(x)=3x2+1,则f'(-1)=4, 所以曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=4(x+1), 即4x-y+4=0 (2)由点P在f(x)的图象外，得(-1)3+(-1)+a≠0，则a≠2， 设过点P的直线与f(x)的图象切于点Q,t+t+a, 则切线P2的斜率k=f'(t)=3t2+1, 3t2+1=1 由过点P与f()的图象相切的直线斜率是1，得+t+a-0,解得1=0，a=1, .=1 t+1 所以a的值为1. 第6页共10页 19.如图所示，公路AB一侧有一块空地△0AB,其中OA=6km,OB=6N5km,∠A0B=?,规划局设计 2 在中间开挖人工湖△OMN,M、N都在边AB上，(M、N不与A、B重合，M在A、N之间)，且 ∠MON= 6 (1)若M在距离A点3km处，求OM的长度； (2)为节省投入资金，要让人工湖△OMN的面积尽可能小，设∠AOM=a,试确定a的值，使△OMN的 面积最小，并求出最小面积. 【答案】(1)35am:(2)a=(64-27)km 【解析】(1)在RiAOAB中，OA=6km，OB=65km,∠A0B= Γ2 A M N B 由勾股定理得AB=0+0B=12km,则∠01B-骨 在△OAM中，已知OA=6,AM=3,∠OAM= 3 由余弦定理：OM2=OA+AM2-2·OA·AM.cos∠OAM =6+32-2×6x3xc0 3 =36+9-18=27,故0M=√27=3√3km. 2)设∠40M=a,则∠80N-号-a-名骨-a 2 OAsinA 6+3 在aOAM中，由正弦定理得：OM 2 3v5 sin(-A+a】sinta）sim3 3 + 在△OBN中，∠B=元，∠ONB=元- 6 I+I-a= 63 1 OBsinB 6V3x 由正弦定理得：OW= 235 cosa cosa' S=OM.ON.sin1. 1 35 3V5127 1 ∴aOMN的面积： 2 6 cosa 2 4 sinta cosa 3 3 cosa+-sina cosa=v3 -cos2a+ -sinacosa 第7页共10页 5B1+co2a2a=5+1y9 22 422 ) +22a+, 5,1 0<a<3’32a* 3 3 <π， 当2a+背-号，即a=受时，ga)取得最大值5+ 32 12 4+2 此时5取得最小值，及=21.27 43+22+5272-月)=54-275 4 所以当a=受时，△0W的面积最小，最小面积为(54-27间)。 20.已知函数f(y)=V5 Bsinxcosx+sin'x-】 （)将函数y=()化为y=n(ox+4>0,o>0的形式， (2)若关于的方程2创-m-2=0在：[0引上有解，求实致m的取值范国 (3)若有且只有一个，∈Q,),使得函数y=f+哥取得最小值，求m的取值范国。 【答案】w=s2x君引：230：e(停] 【解析】(1)f(x)=V3 sinxcosx+sin2x- 1-56in2x+l-os2x-1-5 in2x-29 1 -cos 2x 22 222 =n2x-引 (2)由2f(x)-m-2=0可得2sin 2x-君}m-2-0,可得m=2m2x-君引2， 令g=2m2x-周}-2，其pxe0引 由题意可知，实数m的取值范围即为函数g()在区间0， 上的值域， 由0引可2x所以-m2xs1, 6 66 故g(-=2sn2x-引-2e30,故实数m的取值范围是[30. a+引=mx+君引引=m2x+引 当0<x<m时， <2x+元<2m+，且m>0, 6 6 因为正弦函数y=sn在（怎+网上从小到大的第一个最小值点为受，第二个最小值点为受。 第8页共10页 因为有且只有一个x∈(0，m),使得函数y=了x+石 取得最小值， 则3<2m+s7,解得 π 5π <m≤ 2 6 2 3 故实数m的取值范围是2红5π] 33 21.定义平面斜坐标系：如图，平面向量，e,是两个单位向量，夹角为锐角0，那么e,e,构成平面的一个 基，若ā=xg+y只，则称有序数对x,y为ā在这个基下的一个斜坐标，表示为ā=x,y;若一个复数 z=a+bi(a,beR)在该斜坐标系中对应向量Oz,记Z对应的斜坐标为a,b. （)若0=子a的斜坐标为23,6的斜坐标为1，-2，求+的值： (2)设复数z=√3+i对应斜坐标向量0Z,若0z1(g-6),问是否存在锐角6，若存在，求出6，若不 存在，说明理由； (3)=(sina.cosa),cosa-sina)a, 在该斜坐标系中，若肩页分求0的 大小； 【答案】(1)V3;(2)不存在；(3) 【解折】1)由题意得，日=2运+g6=-2吗，6-方 则a+b=3g+e2, 则la+l-3e+6-9e+6e8+8-9+3中i=5: (2)由题意得，25，，0z=3g+e, 因为0z1(6-), 所以0z-(6-8=(5g+g)g-g)=3e2+1-5)9-6 =V3+1-5)cos6-1=(W5-1(1-cos8)=0, 则cos0=1,因为0为锐角，所以不存在0； (3)因为m=(sina,cosa）,i=(cosa,-sina), 所以m=sina.e+cosa.e2,i=cosa,g-sina.e2, 第9页共10页 =(sina.e+cosa.ecosa.e-sina.e) *2 =sinacosa+(cosa-sin2a)ee-sinacosa.e sn2q+co2ain 1 1 因为0=2a,所以cas9 2’ 因为ao引所以00引则ecas0-号，则0=子 第10页共10页