4.1 因式分解 同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

4.1因式分解 同步练习 一、单选题 1．下列各式的变形中，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 2．对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①②都是因式分解 B．①②都是整式的乘法 C．①是因式分解，②是整式的乘法 D．①是整式的乘法，②是因式分解 3．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（    ） A． B． C． D． 4．将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是(　　) A． B． C． D． 5．下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 6．若多项式因式分解的结果为，则b的值是（   ） A．5 B． C．6 D． 二、填空题 7．因式分解： ． 8．因式分解： ． 9．若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x+4)，则a＝ ，b＝ ． 10．在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是 ，属于整式乘法的是 ．（填序号） 11．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是 ． 三、解答题 12．分解因式 （1）a2－b2         （2）x2＋2xy＋y2 13．明明碰到这么一道题“分解因式：”，去问老师怎么做，老师说：“能否变成平方差的形式？在原式加上4，再减去4，这样原式化为：，…”，老师话没讲完，他就恍然大悟，并马上就做好了此题．请把剩余的步骤写完整，并仔细领会这一做法，将分解因式． 14．把下列各式分解因式． (1)； (2)． 15．把图1中的三个小长方形与图2中的正方形拼成一个较大的长方形（在图2中画出）．根据拼图，在下面的横线上写出一个多项式的因式分解； 16．已知整式，整式． (1)若，求的值； (2)若可以分解为，求的值． 17．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴ 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值． 18．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的右边不是积的形式，不是因式分解； B．的右边不是积的形式，不是因式分解； C．是因式分解； D．的右边不是积的形式，不是因式分解； 故选C． 2．D 【分析】本题考查了因式分解与整式的乘法；因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，整式的乘法是将整式的积化为多项式．对于①，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式的乘法；对于②，左边是多项式，右边是积的形式，属于因式分解． 【详解】解：对于①：左边为，是整式的积，右边为，是多项式，从左到右是整式的乘法． 对于②：左边为，是多项式，右边为，是整式的积，从左到右是因式分解． ①是整式的乘法，②是因式分解， 故选：D． 3．A 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式积的形式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，等式右边不是整式积的形式，不符合题意； C、，分解错误，不符合题意； D、，是整式的乘法，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查因式分解的识别．熟练掌握因式分解的定义和方法，是解题的关键． 4．D 【分析】此题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案． 【详解】解：A.，含有因式，不合题意； B. ，含有因式，不合题意；     C. ，含有因式，不合题意；     D. ，不含有因式，符合题意； 故选：D． 5．D 【分析】根据因式分解的定义即可解答． 【详解】解：A. ，分解正确，不符合题意； B. ，分解正确，不符合题意； C. ，分解正确，不符合题意； D. ，故D选项分解错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式、公式法、十字相乘法进行因式分解是解答本题的关键． 6．D 【分析】本题考查了因式分解，根据以上内容得出多项式因式分解的结果为得出，再求出答案即可． 【详解】多项式因式分解的结果为， ． 故选：D． 7． 【分析】直接利用平方差公式分解即可得． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8． 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．直接提公因式即可分解． 【详解】解：． 故答案为： 9． 5 4 【分析】把(x+1)(x+4)展开，合并同类项，可确定a、b的值． 【详解】解：∵(x+1)(x+4)， =， =， ∴； 故答案为：5，4． 【点睛】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，解题关键是熟练运用多项式的乘法法则进行计算，取得字母的值． 10． ①③ ② 【分析】本题主要考查了因式分解的定义和多项式乘以多项式，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，整式乘法是将整式的积展开为多项式形式，根据等式左右形式判断即可． 【详解】解：①是因式分解； ②这是整式乘法，不是因式分解； ③是因式分解； 故答案为：①③；②． 11．/ 【分析】本题考查了因式分解的意义，设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 12．（1）（a＋b）（a－b）；（2）（x＋y）2 【分析】（1）根据平方差公式即可因式分解； （2）根据完全平方公式即可因式分解． 【详解】解：（1）a2－b2 ＝（a＋b）（a－b） （2）x2＋2xy＋y2＝（x＋y）2． 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知乘法公式的特点． 13．答案见解析 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解，读懂题意并掌握整体思想是解题的关键． 根据老师所说的话，可知需要利用平方差公式，故仿照的分解方法，应该凑成完全平方，然后再整体利用平方差公式分解，最后将括号内的同类项合并即可． 【详解】解： ， ， ； ． 14．(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的法则． （1）利用提公因式法进行因式分解即可； （2）利用公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．见解析， ． 【分析】本题主要考查因式分解．根据题意可直接进行作图，然后由因式分解的意义可进行解答． 【详解】解：拼图如图所示： 由图得：大长方形的面积为 ，也可表示为 ， ∴能表示一个多项式的因式分解为 ． 16．(1) (2) 【分析】（1）先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得a值即可； （2）先化简，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出a值即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵可以分解为， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键． 17．另一个因式为（2x+13），k的值为65． 【分析】设另一个因式为（2x+a），根据题意列出等式，利用系数对应相等列出得到关于a和k的方程求解即可． 【详解】解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a） 则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a ∴， 解得：a＝13，k＝65． 故另一个因式为（2x+13），k的值为65． 【点睛】此题考查了因式分解和整式乘法的关系，解题的关键是根据题意设出另一个因式列出等式求解． 18．(1) (2)的值为，的值为 (3) 【分析】本题考查因式分解的创新应用、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键． （1）将代入多项式并使多项式等于0，求解即可得答案； （2）将和分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，即可获得答案； （3）将（2）中解得的的值代入多项式，然后设，利用待定系数法求出k即可． 【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴当时，得， 解得：； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴可有，整理可得， 解得， 即的值为，的值为； （3）解：由（2）可知，的值为，的值为， ∴多项式为， ∵和是多项式的两个因式，的次数最高项的次数为3，次数最高项的系数为1， ∴设， 右边展开式的常数项为，左边的常数项为， ∴， 解得：， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $