4.1 因式分解 同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级下册

4.1《因式分解》同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级下册 一、单选题 1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①②都是因式分解 B．①②都是整式的乘法 C．①是因式分解，②是整式的乘法 D．①是整式的乘法，②是因式分解 4．已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 5．若多项式可分解为，则（   ） A．8 B． C．4 D． 6．若二次三项式可分解为，则n的值为（ ） A．6 B． C．2 D． 7．将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 8．已知关于x的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 9．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 10．已知整式可以因式分解为，则的值为________． 11．甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为，则 ____________，_______________ 12．如果是的一个因式，则的值为______． 13．若可分解为，则的值为______． 14．关于x的恒等式是x无论取何值等式总成立，它是解决某些问题的一种方法．若多项式可分解为．则的值为_______． 三、解答题 15．在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 16．已知整式，整式，若可以分解为，求． 17．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 18．课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《4.1《因式分解》同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D B B C B A 1．C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可得到结果. 【详解】解：选项A中，左边是单项式，不是多项式，不符合要求，不属于因式分解； 选项B中，右边变形后含有分式，不是整式，不符合要求，不属于因式分解； 选项C中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解； 选项D中，该变形是整式乘法，是从乘积化为多项式，不是因式分解. 2．B 【分析】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】是单项式的变形，不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，不是因式分解； 是乘法运算，不是因式分解； ，符合提取公因式法，是因式分解； 符合因式分解的定义，是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 3．D 【分析】本题考查了因式分解与整式的乘法；因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，整式的乘法是将整式的积化为多项式．对于①，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式的乘法；对于②，左边是多项式，右边是积的形式，属于因式分解． 【详解】解：对于①：左边为，是整式的积，右边为，是多项式，从左到右是整式的乘法． 对于②：左边为，是多项式，右边为，是整式的积，从左到右是因式分解． ①是整式的乘法，②是因式分解， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查了用公式法因式分解、完全平方公式等知识点，掌握因式分解的定义是解题的关键． 由题意可得，即，进而得到． 【详解】解：∵多项式可分解为， ∴， ∴， ∴，． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数．将因式分解形式展开，与原二次三项式比较系数，即可求出n的值． 【详解】解：∵， 又∵ 原式为， ∴ 比较 x 项系数得 ． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于m的方程是解此题的关键．由分解因式后有一个因式是，得出时多项式的值为零，由此得出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵分解因式后有一个因式是， ∴ 当时，多项式的值为零，即， ∴ ， ∴， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了因式分解与多项式的乘积的关系，设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应关系求解. 【详解】解：设另一个一次多项式为， ∵， 且， ∴， ∴， ∴另一个一次多项式为， 故选A 9．③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 10．4 【分析】本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解． 通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可． 【详解】展开 ，与原式 比较系数， 得 ，解得 ． 故答案为 4 11． 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算与因式分解，甲看错了b，因此甲计算中的a值正确；乙看错了a，因此乙计算中的b值正确．分别展开甲和乙的因式分解结果，得到a和b的值． 【详解】解：甲的结果为， ∴； 乙的结果为， ∴， 故答案为：12， 12． 【分析】本题考查了因式分解的应用，若是多项式的一个因式，则根据因式定理，当时多项式的值为0，代入求解即可． 【详解】解：若是多项式的一个因式，则根据因式定理，当时多项式的值为0，即： ， ， ， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了因式分解，通过将因式分解形式展开，比较多项式对应项的系数，建立方程求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴，； 解得，； ∴； 故答案为： 14．8 【分析】本题主要考查了因式分解中十字相乘法．直接利用多项式乘法进而得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：多项式可分解为， ， ， 则，， 解得：，， 故． 故答案为：8． 15．1 【分析】本题主要考查分解因式与整式乘法的关系，可以根据二者为互逆过程进行解答； 直接利用多项式乘法进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 16． 【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解． 分别计算和的值，进而作答即可． 【详解】解： ， ， ∵可以分解为， ∴， 解得：． 17．(1)，5； (2)． 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 18．(1)，长除法见解析 (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键． （1）分别根据例题列竖式进行多项式的除法计算，看余式是否为0即可； （2）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可； （3）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得★的值； （4）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得答案． 【详解】（1）解：若因式为，那么用长除法操作如下： 若因式为，用长除法操作如下： 故该因式为； （2）解：用长除法操作如下： 故； （3）解：用长除法操作如下： 那么， ∴为； （4）解： 用长除法操作如下： 那么， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $