4.2 提公因式法暑期专项练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦提公因式法的系统性训练，通过基础辨析、综合应用与方法纠错，培养运算能力与推理意识，构建“概念-操作-应用”的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-6、填空11-15|公因式确定三要素（系数最大公约数、相同字母最低次幂、符号处理）|从公因式概念辨析到基本提取操作，形成“识别-提取-验证”步骤| |综合拓展|单选7-10、解答16-20|分解彻底性（如括号内再提公因式）、几何与代数结合（面积问题转化）|结合代数式求值、几何面积计算，体现提公因式法在问题解决中的工具性| |方法辨析|解答17-18|提公因式法步骤规范（首项负号处理、多次提取）|通过正误对比（甲乙方同学解法）强化推理严谨性，深化对方法本质的理解|

4.2 提公因式法 暑期专项练习2025-2026学年北师大版 八年级数学下册 一、单选题 1．把多项式分解因式，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组中，没有公因式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 4．若，，则的值为（   ） A．8 B．15 C．25 D．45 5．运用提公因式法将分解因式，应提取的最大公因式是（     ） A． B． C． D． 6．将多项式提公因式后，另一个因式为（　　） A． B． C． D． 7．如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 8．若三边a，b，c满足，则一定是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 9．如图，边长为，的矩形的周长为，面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．下列四种说法中正确的有（　　） ①关于x、y的方程存在整数解． ②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题 11．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解________=________． 12．一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是___________． 13．用两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为，则阴影部分的面积为__________． 14．已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 15．已知，，则______． 三、解答题 16．我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似的，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索： (1)在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为______； (2)将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似的，长方体②的体积为______，长方体③的体积为______；（结果不需要化简） (3)将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为______； (4)用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为______． (5)已知，，求的值． 17．学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 18．阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是______，共用了_____次； (2)把多项式进行因式分解，结果是_____； (3)依照上述方法因式分解：（为正整数）． 19．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B C B C B A B 1．A 【详解】解：． 2．B 【分析】本题主要考查多项式的公因式，熟练掌握多项式的公因式是解题的关键． 将每一组因式分解，找到公因式即可得到答案． 【详解】解：A、，，有公因式，不符合题意； B、多项式与没有公因式，符合题意； C、由，得，有公因式，不符合题意； D、，有公因式，不符合题意； 故选：B． 3．C 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解，进行判断即可．熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：甲同学：∵ 原式 ， ∴ 正确； 乙同学：原式 ， ∴ 正确． 故甲乙均对． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查提公因式因式分解和代数式整体代入求值，先对所求多项式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： 又， 代入得 因此原式的值为． 5．C 【分析】先求系数的最大公约数，再找各项相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到最大公因式； 【详解】解：∵ 多项式中，系数4和12的最大公约数为4，各项共有的字母是a和b，a的最低次幂为，b的最低次幂为，c仅在第二项出现，不参与公因式构成， ∴ 最大公因式为； 6．B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先利用提公因式法法进行因式分解，即可确定公因式和另一个因式． 【详解】解： ， ∴公因式是，另一个因式为． 故选：B 7．C 【分析】根据用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解： ， ∵阴影部分的面积为10， ∴． ∴的值不变． 8．B 【分析】本题考查因式分解与三角形形状判断，先对已知等式因式分解，再结合三角形三边关系得到边的等量关系，即可判断三角形形状． 【详解】∵ 是的三边长， ∴ ，即 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ，即 ∴ 一定是等腰三角形 故选：． 9．A 【分析】根据矩形的周长公式和面积公式分别求出与的值，再代入计算即可． 【详解】解：矩形的周长为，面积为， ，， ， ∴． 10．B 【分析】将提公因式2得，由x、y为整数，则为偶数，因为199为奇数，即原等式不成立，即可判断①；将，整理得，即得出，由于实数a、b不相等，即得出a、b互为相反数，故可判断②；整理得，即得，即，故可判断③；由，得出，即可变形为，可以得出或，故可判断④． 【详解】∵， ∴如果x、y为整数，那么为偶数， ∵199为奇数， ∴不存在整数解，故①错误； ∴， ∵实数a、b不相等， ∴a、b互为相反数，故②正确； ∴，即，故③正确； ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴或，故④不一定正确． 综上可知正确的有②③． 故选B． 【点睛】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键． 11． 【分析】把图2可有两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即可解答． 【详解】解：将图2看作三个长方体相加时，可得式子： ； 原式两边提取，可得原式． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形的体积如何计算是解题的关键． 12．6 【分析】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用、因式分解，理解题意是解题的关键．根据题意用表示出和，计算可得，根据的值能被13整除，得出是13的倍数，列出方程求出的值即可． 【详解】解：，， 则． 因为的值能被13整除，且11与13互质， 所以是13的倍数， 所以， 解得：， 故答案为：6． 13． 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意可得，观察图形可知阴影部分的面积等于底为高为的三角形面积减去底为高为的三角形面积，利用整式的混合运算法则化简求值即可 ． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据题意，得， 阴影部分的面积为 ． 14． 【详解】解：原式， ，，， ∴． 15． 【分析】先将因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：，， ． 16．(1)； (2)，； (3)； (4)； (5)40 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形，提公因式分解因式，代数恒等式的几何意义，掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式，以及应用得到的恒等式解决问题是解题的关键． （1）由大的正方体的体积为截去的小正方体的体积为从而可得答案； （2）由，，，利用长方体的体积公式直接可得答案； （3）提取公因式，即可得到答案； （4）由（1）（3）的结论结合等体积的方法可得答案； （5）利用先求解再利用，再整体代入求值即可得到答案． 【详解】（1）解：由大的正方体的体积为，截去的小正方体的体积为， 所以截去后得到的几何体的体积为： 故答案为： （2）∵，， 由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为， ∵，，所以长方体③的体积为 故答案为：， （3）由题意得： 故答案为： （4）由（1）（3）的结论，可以得到的等式为： 故答案为： （5）∵，， ∴ ∴， 17．错在分解不彻底，括号里还有公因数3．正确答案为 【分析】本题主要考查了分解因式，正确找到公因式是解题关键． 先观察式子中的各项，判断过程是否正确；再找出公因式为； 然后提取公因式分解因式即可． 【详解】解：错在分解不彻底，括号里还有公因数3． 正确的解题过程如下： ． 18．(1)提公因式法，2 (2) (3) 【分析】（1）根据提公因式法分解因式的过程可得答案； （2）根据因式分解的结果可直接得出答案； （3）仿照已知的计算过程进行因式分解即可． 【详解】（1）解：上述因式分解的方法是提公因式法，共用了2次； （2）解：把多项式进行因式分解， 结果是； （3）解： … ． 19．(1) (2) (3) (4) 【分析】首先观察多项式各项，确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，两者相乘得到公因式；因为因式分解提公因式法的规则是将公因式提取到括号外，所以用多项式的每一项分别除以公因式，将得到的结果作为括号内的因式，整理后完成分解；如果多项式首项系数为负，那么先提取负号，使括号内首项系数为正，再对剩余部分提取公因式． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 20．（1）；（2） 【分析】（1）先提取公因式，将多项式整理成的形式，对比系数求出、，再计算； （2）先变形多项式，提取公因式，再合并同类项整理成的形式，对比系数求出、、，最后计算． 【详解】解：（1）原式 对比，得：，． ∴． （2）原式 对比，得：，， ∴． 【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过观察多项式结构，准确提取公因式，再通过系数对比求出未知参数． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $