4.2《提公因式法》同步练习2025～2026学年北师大版数学八年级下册

2025~2026北师大版八下数学第四章第2节《提公因式法》同步练习原卷版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 单选题题型一（公因式） 1．多项式 的公因式是（   ） A．a B． C． D． 2．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（    ） A．3 B． C． D． 4．下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 单选题题型二（提公因式法分解公因式）： 5．多项式因式分解的结果正确的是(　　) A． B． C． D． 6．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 7．把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 8．已知实数满足，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．5 D． 9．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 10．下列四种说法中正确的有（　　） ①关于x、y的方程存在整数解． ②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题 填空题题型一（公因式）： 11．整式的公因式是_____． 12．与的公因式为________． 填空题题型二（提公因式法分解公因式）： 13．因式分解：__________ 14．已知实数a，b，满足，，则的值为______． 15．已知，则_____． 三、解答题 解答题题型一（公因式）： 16．找出的公因式． 17．写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 解答题题型二（提公因式法分解公因式）： 18．对下列式子进行因式分解． (1)； (2)． 19．已知，n为正整数． (1)求的值． (2)利用因式分解说明：能被24整除． 20．已知，． (1)若，，均为正数， ①当时，求的值； ②求的值； (2)若，且，则__________0（填“>”“<”或“=”），请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026北师大版八下数学第四章第2节《提公因式法》同步练习解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．多项式 的公因式是（   ） A．a B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】公因式 【分析】本题考查公因式，根据三定法：定系数—系数的最大公约数，定字母—相同字母，定指数—相同字母的最低次幂，确定公因式，进行判断即可． 【详解】解：多项式的公因式是； 故选A． 2．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】公因式 【分析】本题主要考查了用提公因式法分解因式，找出多项式各项系数的最大公因数和变量的公共部分，组合即为公因式． 【详解】解：∵多项式为中系数2和4的最大公因数为2，变量部分和的公共因子为， ∴应提取的公因式为． 故选：C． 3．用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】公因式、提公因式法分解因式 【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键． 先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】∵多项式中，系数3和9的最大公因数是3，字母部分和的最低次幂是x． ∴该多项式的公因式为． 故选：C 4．下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】提公因式法分解因式、公因式 【分析】先对各多项式分解因式，然后利用公因式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】、与，没有公因式，此选项符合题意； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 、与有公因数，此选项不符合题意，排除； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【点睛】此题考查了公因式，解题的关键是先确定各项系数的最大公约数，再确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)，然后确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 5．多项式因式分解的结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查运用提公因式法进行因式分解，关键是将多项式中互为相反数的因式转化为相同的形式，从而提取公因式；多项式变形后提取公因式即可． 【详解】解：对多项式因式分解， 原式=； 故选：B． 6．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解——提取公因式，熟练掌握公因式定义是关键． 公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：对多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故选：B． 7．把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查因式分解的方法，重点考查提取公因式法中的符号处理，能准确识别因式分解过程中的错误是解题的关键． 检查因式分解每一步的符号和变形，发现步骤①将原式的负号错误改为正号，导致后续步骤基于错误表达式进行． 【详解】解：原式为， ∵， ∴正确变形应为， 但步骤①写为，符号错误， ∴ 开始出现错误的一步是①． 故选：A． 8．已知实数满足，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，将已知数值代入并进行正确的计算是解题的关键．根据得出，将原式变形后整体代入即可求解． 【详解】解：已知， 则， 那么 ． 故选：C． 9．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】公因式 【分析】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z． 【详解】∵多项式中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式的公因式是． 故选：C． 10．下列四种说法中正确的有（　　） ①关于x、y的方程存在整数解． ②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】提公因式法分解因式、运用完全平方公式进行运算 【分析】将提公因式2得，由x、y为整数，则为偶数，因为199为奇数，即原等式不成立，即可判断①；将，整理得，即得出，由于实数a、b不相等，即得出a、b互为相反数，故可判断②；整理得，即得，即，故可判断③；由，得出，即可变形为，可以得出或，故可判断④． 【详解】∵， ∴如果x、y为整数，那么为偶数， ∵199为奇数， ∴不存在整数解，故①错误； ∴， ∵实数a、b不相等， ∴a、b互为相反数，故②正确； ∴，即，故③正确； ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴或，故④不一定正确． 综上可知正确的有②③． 故选B． 【点睛】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键． 二、填空题 11．整式的公因式是_____． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】公因式 【分析】本题主要考查了求公因式，公因式是指：数字的最大公约数，相同字母的最低次幂的乘积，据此求解即可． 【详解】解：整式的公因式是， 故答案为：． 12．与的公因式为________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】公因式 【分析】根据确定公因式的确定方法：系数取最大公约数；字母取公共字母；字母指数取最低次的，即可解答． 【详解】解：根据确定公因式的方法，可得与的公因式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了公因式的确定，掌握确定公因式的方法是解题的关键． 13．因式分解：__________ 【答案】 【难度】0.94 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 14．已知实数a，b，满足，，则的值为______． 【答案】42 【难度】0.85 【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可． 【详解】 ． 故答案为：42． 【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 15．已知，则_____． 【答案】4 【难度】0.4 【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，解题的关键是将原式通过提取公因式构建出．先将已知变形为，然后将原式通过提取公因式构建出，进行代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：4． 三、解答题 16．找出的公因式． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键．根据公因式的定义求解即可得． 【详解】解：将看成一个整体， 所以的公因式为． 17．写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.9 【知识点】公因式 【分析】找多项式各项的公因式，需分别确定系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂，再将二者相乘即可． 【详解】（1）解：对于多项式，系数3、、6的最大公约数是3，各项都含有的相同字母为，且的最低次幂是1， ∴各项的公因式为． （2）解：对于多项式，系数4、的最大公约数是2，各项都含有的相同字母为、，的最低次幂是1，的最低次幂是2， ∴各项的公因式为． 18．对下列式子进行因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.94 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法分解因式是解题的关键： （1）提取公因式分解因式即可； （2）先将式子变形，再提取公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．已知，n为正整数． (1)求的值． (2)利用因式分解说明：能被24整除． 【答案】(1)25 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】提公因式法分解因式、同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，因式分解，熟知同底数幂乘除法的逆运算法则是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再提取公因数分解因式得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∵是偶数，一定能被24整除， ∴一定能被24整除． 20．已知，． (1)若，，均为正数， ①当时，求的值； ②求的值； (2)若，且，则__________0（填“>”“<”或“=”），请说明理由． 【答案】(1)①② (2)，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，代数求值，求一个数的立方根，因式分解等运算，解题的关键是掌握各运算法则． （1）①代数求值即可； ②表示出，代入求值即可； （2）原式进行相减，因式分解整理，然后进行分析即可． 【详解】（1）解：①将，代入得， 解得； ②将代入和得， ，， ∴，， ∵，均为正数， ∴， 解得， ∴ ∴； （2）解： 由得，， 将代入上式得，， ∴ ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $