3.2 图形的旋转 暑期专项练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦图形旋转的性质应用与变换规律，通过基础辨析、坐标探究及综合证明，系统培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|4题|旋转与平移性质对比、旋转中心确定（垂直平分线交点）|从旋转定义到性质，建立图形变换的认知框架| |旋转性质应用|3题|中心对称图形判定、旋转全等构造（如“手拉手”模型）|性质→判定→全等应用，形成逻辑推理链| |坐标旋转规律|4题|坐标循环周期（如4次一循环）、旋转角计算|从静态坐标到动态变换，培养几何直观| |综合几何探究|2题|旋转辅助线（60°构造等边三角形）、多变换叠加（旋转+中心对称）|单一变换→复合变换，提升综合解题能力|

3.2 图形的旋转 暑期专项练习2025-2026学年北师大版 八年级数学下册 一、单选题 1．如图，将正方形图案绕中心O按顺时针旋转后，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 2．一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法都能正确的是（   ） ①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．国旗上升的过程 B．输送带运输的行李箱 C．轮船航行时的螺旋桨的转动 D．商场的扶手电梯载着顾客上下楼 5．在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转秒后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 7．下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 8．如图是小慧同学用一副七巧板拼成的小房子，其中①②两个最大的三角形板块是全等的等腰直角三角形．要通过一次变换使这两个大三角形完全重合，下列说法正确的是（   ） A．通过一次平移变换即可实现 B．通过一次旋转变换即可实现 C．通过一次轴对称变换即可实现 D．上述单一变换都无法实现 9．如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 10．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 12．如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 13．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为，以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为，若叶片每秒绕点逆时针旋转，则第2026秒时叶片尖点的坐标为_______． 14．点绕点顺时针旋转的点的坐标是_________． 15．如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边与坐标轴重合，．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标是_____． 三、解答题 16．如图1，和的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”． (1)在图1的正方形网格中，格点和格点关于某条直线对称，请画出图1中的对称轴． (2)请在图2中画出绕点C顺时针旋转后得到的格点． 17．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，在网格中建立平面直角坐标系，已知中两个顶点的坐标分别为，． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点的坐标； (2)将先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，请在网格中画出，点，，的对应点分别是，，； (3)在（1）的条件下，请在图中画出，绕点顺时针旋转得到的，点，的对应点分别是，，并直接写出点的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，，点是的边上一点． (1)与关于原点对称，点的对应点为点，请画出并写出点的坐标； (2)是绕原点顺时针旋转得到的，点的对应点为点，请画出并写出点的坐标． 19．探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边是外一点，连接、、．若，，求的长．请你帮忙完善解题过程． 解：如图2所示，将绕点顺时针旋转得到，连接． ， ， 是 三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． (2)【尝试应用】如图3，在中，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，求的长． (3)【拓展创新】如图4，在中，，以为边向外作等腰，，连接，直接写出的最大值． 20．问题情境：数学活动课上，同学们以“三角形旋转”为主题开展探究活动，其中旋转角．已知中，，，点为内部一点，且，连接． (1)旋转作图：将绕点逆时针旋转，使得旋转后点的对应点是点．在图1中画出旋转后的图形，点的对应点记为点，连接，交于点．（作图工具不限） (2)初步分析：慧眼小组聚焦研究“旋转变化中的不变性”．他们发现，在图1中，当点位置发生变化时，和的形状和大小都发生了改变，但是和的数量关系和位置关系都不发生改变．你同意该小组发现的结论吗？若同意，请写出和的数量关系和位置关系，并证明；若不同意，请说明理由． (3)深入探究：善思小组聚焦研究“旋转到特殊位置时产生的新结论”．在（1）的条件下，他们改变点的位置，提出如下问题，请你直接写出结果． ①当旋转到恰好是等腰三角形时，________． ②如图2，当旋转到点、、恰好在一条直线上时，线段的长度为________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C A C C A D D 1．C 【分析】本题考查图形的旋转，根据图形旋转的性质直接判断即可． 【详解】解：将正方形图案绕中心O顺时针旋转后，得到的图案是： 故选：C． 2．B 【分析】此题考查了图形变换的性质及其区别，掌握平移和旋转的性质及其区别，平移变换对应线段平行，但旋转后对应线段不平行．根据以上性质逐一分析即可． 【详解】解：平移后对应线段平行（或在同一直线上）；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化． 旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化． 故选：B． 3．B 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接、，根据网格的特点分别作、的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，连接，，分别作、的垂直平分线， 故点B为其旋转中心． 4．C 【分析】在平面内，绕一个定点沿某个方向转动一个角度的图形变换称为旋转，沿某一方向直线移动的变换称为平移，根据定义逐一判断各选项的运动类型即可． 【详解】解：选项A国旗上升是沿竖直方向直线运动，属于平移，不符合要求； 选项B输送带运输的行李箱沿直线运动，属于平移，不符合要求； 选项C轮船航行时螺旋桨绕中心定点转动，符合旋转的定义，属于旋转，符合要求； 选项D扶手电梯载顾客上下楼沿直线运动，属于平移，不符合要求． 5．A 【分析】设旋转秒后，点的对应点为，作轴于点，作轴于点，证明，可得，同理可得旋转、、、秒后，点对应点的坐标，总结规律，即可得旋转秒后，点的对应点的坐标． 【详解】解：设旋转秒后，点的对应点为， 如图，作轴于点，作轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， 由旋转可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， 旋转秒后，点对应点的坐标为， 旋转秒后，点对应点的坐标为， 旋转秒后，点对应点的坐标为， 旋转秒后，点对应点的坐标为， 由此可得，点对应点的坐标按照，，，循环出现， 又∵， ∴旋转秒后，点的对应点的坐标为． 6．C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 8．A 【详解】解：通过一次平移变换即可实现这两个大三角形完全重合． 9．D 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 10．D 【分析】利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】作轴，轴，垂足分别为， 由题意得，， ， ，， ，， ，， 如图，与关于原点对称，，，，，，，……， 观察可知，点到点为一个变换周期，，即点的坐标为． 11．3 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 12．8105 【分析】观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2026除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴将绕点顺时针旋转到位置①时，， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②时，， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③时，， ……， 以此类推可知，每旋转3次为一个循环组，每一个循环长度增加12， ∵， ∴ ． 13． 【分析】根据旋转速度求出旋转一周所需的时间，利用带余除法确定第2026秒时叶片转过的圈数和剩余角度，结合初始坐标及旋转性质确定最终坐标． 【详解】解：由题意可知，叶片旋转一周所需时间为（秒） ， 第2026秒时叶片尖点的位置与第2秒时的位置相同， 此时叶片转过的角度为 初始点的坐标为， 点在第一象限角平分线上 逆时针旋转后，点在第二象限角平分线上，且到原点的距离不变 第2026秒时叶片尖点的坐标为 ． 14． 【分析】设旋转中心为点，所求旋转后的点为，通过构造直角三角形，利用旋转的性质证明三角形全等，再结合坐标关系计算得到点的坐标． 【详解】解：设旋转中心，旋转后点的对应点为．过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为． 由旋转的性质可知，，，因此，，可得． 在和中， 所以． 由坐标可得，，， 因此，， 可得点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 15． 【分析】根据长方形的性质求出点B初始位置的坐标，再根据题意可得每4次旋转为一个循环，点B都会回到初始位置，求出2026除以4的余数为2，则第2026次旋转结束时点B的位置即为点绕原点逆时针旋转后的位置，据此可得答案． 【详解】解：旋转前，∵四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴， ∵将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，且， ∴每4次旋转为一个循环，点B都会回到初始位置， ∵， ∴第2026次旋转结束时点B的位置与第2次旋转结束时点B的位置相同， ∴第2026次旋转结束时点B的位置即为点绕原点逆时针旋转后的位置， ∴此时点B的坐标为． 16．(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据图形的轴对称性质作出直线即可； （2）根据旋转图形性质，找出A、B绕点C顺时针旋转的对应点，就可得到旋转后的图形． 【详解】（1）解：如下图，过正方形的两对应顶点作直线即为所求； （2）解：如下图，以点C为旋转中心，作，且，同理得，连接，即为所求． 17．(1)平面直角坐标系，如图： 点的坐标为； (2)，如图： (3)，如图： 点的坐标为． 【分析】（1）根据点，作出平面直角坐标系即可． （2）根据平移的性质作图，根据点，，的位置写出其坐标即可． （2）根据旋转的性质作图，根据点的位置可得点的坐标． 【详解】（1）解：平面直角坐标系，略 其中，点的坐标为； （2）略 （3）解：图略 点的坐标为． 18．(1)如图，即为所求，； (2)如图，即为所求，； 【分析】（1）根据中心对称的性质可画出图形，再根据图形可写出点的坐标； （2）根据旋转的性质画出图形，再根据图形可写出点的坐标． 【详解】（1）略 （2）略 19．(1)等边，4 (2) (3)的最大值为 【分析】（1）根据题中所给解题过程进行求解即可； （2）以A点为旋转中心，将绕A点顺时针旋转，得到，连接，则有，，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解； （3）以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得到，连接，过点D作交于点G，由题意易得，则有，然后可得当A、B、F共线时，最大，此时最大，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图2所示，将绕点顺时针旋转得到，连接． ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． （2）解：以A点为旋转中心，将绕A点顺时针旋转，得到，连接，如图3， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得到，连接，过点D作交于点G，如图4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当A、B、F共线时，最大，此时最大， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 20．(1)解：用量角器在右侧画，且，连接交于，作图如下： (2)解：，，理由如下： 如图，延长交于， 由旋转可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)①或；② 【分析】（1）用量角器在右侧画，且，连接交于，从而可完成作图． （2）如图，延长交于，由旋转可得：，可得，，再证明即可． （3）如图，当三点共线时，结合旋转可得：，，，过作于，可得，进一步结合勾股定理可得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①由旋转可得：，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴不符合题意，舍去， 综上：或. ②如图，当三点共线时， 由旋转可得：，，，， ∴，， 过作于， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $