预习专题1.1 空间向量的线性运算（7类必考点）讲义-2026年高一升高二暑期数学自救计划（人教A版选择性必修第一册）

专题1.1 空间向量的线性运算 【知识梳理】 1 【考点1：空间向量的有关概念】 2 【考点2：空间向量的线性运算】 5 【考点3：由空间向量线性运算求参数】 8 【考点4：空间向量的共线定理】 11 【考点5：由空间向量的共线定理求参数】 15 【考点6：空间向量的共面定理】 17 【考点7：由空间向量的共面定理求参数】 19 【知识梳理】 1、空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母，，，…表示；若向量的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为||或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 － 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量，都有∥ 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 ＋b＝＋ ＝ 减法 －b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λ＝λ＝； 当λ<0时，λ＝λ＝； 当λ＝0时，λ＝0 运算律 与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(其中): 交换律:； 结合律:； 分配律:. 3、共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量，(≠)，∥的充要条件是存在实数λ，使＝λ. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量，我们把与向量平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有//. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 4、共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【考点1：空间向量的有关概念】 1．（2026高二·全国·专题练习）（多选）下列命题中正确的是    （    ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 【答案】ACD 【分析】根据向量的定义及性质可以判定. 【详解】由单位向量的定义即得，故A正确； 共线不一定同向，故B错误； 因为为非零向量，且，所以，故C正确； 在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，故D正确． 故选：ACD 2．（25-26高二上·安徽合肥·期中）（多选）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【分析】根据共线向量以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误， 故选：BC 3．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 4．（25-26高二上·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 5．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【答案】ACD 【详解】A：由单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故空间任意两个单位向量不一定相等，错， B：若时，则， 所以，则存在零向量或非零向量反向共线，即共线，充分性成立， 由共线，如非零向量同向共线时，此时，原等量关系不成立，必要性不成立，对， C：由，若，且，，此时，但，错， D：根据向量的性质，任意两个向量不能比较大小，错. 【考点2：空间向量的线性运算】 1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为是BD的中点， 所以， 所以. 2．（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算可得. 【详解】 由图和题意可知 ， 又， 故， 故选：C 3．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. 4．（25-26高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    5．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【考点3：由空间向量线性运算求参数】 1．（25-26高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理的推论得到方程，解得即可. 【详解】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 2．（2026·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量加法法则，将分别用表示，再结合题意即可得解. 【详解】如图，， ， ，. 故选：C. 3．（25-26高二上·河北·阶段检测）在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算即可得解. 【详解】 如图，   因为，为的中点，所以， 又因为， 所以， 又，所以，解得：． 故选：B. 4．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数  （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用向量的线性运算，即可求出结果． 【详解】由于F为BE的中点， 所以，结合， 整理得，①， 由，得， 即，②， 根据①②的对应关系，可得 故选：D 5．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 【答案】 【分析】根据向量线性运算规则，用向量表示出，求出参数的值. 【详解】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 【考点4：空间向量的共线定理】 1．（25-26高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 2．（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 3．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】应用空间向量加法和数乘运算，再结合四点共面列式计算求解参数. 【详解】以为空间向量的一组基底， 则 ， 因为，则， 因为四点共面，所以，故． 故选：B. 4．（25-26高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 5．（25-26高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线． 【详解】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线．    【考点5：由空间向量的共线定理求参数】 1．（25-26高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 2．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 3．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 4．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【分析】由向量平行得到，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 【考点6：空间向量的共面定理】 1．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 2．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 3．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 【答案】/ 【分析】借助空间向量线性运算及四点共面条件计算即可得. 【详解】由，则， 则， 由A，B，C，P四点共面，则，解得. 4．（2026高二·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 5．（25-26高二上·全国·期中）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】取，，，由向量的线性运算得与，共面可得答案. 【详解】取，，，结合题图及已知， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与，共面，即四点共面. 【考点7：由空间向量的共面定理求参数】 1．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，连接，由题设易得，进而得到，再根据四点共面求解即可. 【详解】连接交于点，连接， 在正四棱锥中，且为的中点， 则，，即， 则，即， 则， 由题意，四点共面，则，解得. 故选：A 2．（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用共面定理和空间向量的线性运算可求答案. 【详解】因为，，，四点共面，所以，其中， 所以， 即； 因为，所以， 而不共面，则，即. 故选：C 3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 4．（25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 【答案】 【分析】利用空间向量的共面定理建立方程，求解参数即可. 【详解】因为四点共面，所以，解得. 故答案为： 5．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数_____________． 【答案】/ 【分析】首先把换成以为起点的，整理得到关于、、的线性表达式.，然后用空间四点共面的向量判定定理，的线性组合系数和为1，据此列方程求解. 【详解】已知，得， 四点共面时，系数和为1，即 计算得 故答案为： 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 空间向量的线性运算 【知识梳理】 1 【考点1：空间向量的有关概念】 2 【考点2：空间向量的线性运算】 4 【考点3：由空间向量线性运算求参数】 5 【考点4：空间向量的共线定理】 6 【考点5：由空间向量的共线定理求参数】 8 【考点6：空间向量的共面定理】 8 【考点7：由空间向量的共面定理求参数】 9 【知识梳理】 1、空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母，，，…表示；若向量的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为||或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 － 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量，都有∥ 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 ＋b＝＋ ＝ 减法 －b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λ＝λ＝； 当λ<0时，λ＝λ＝； 当λ＝0时，λ＝0 运算律 与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(其中): 交换律:； 结合律:； 分配律:. 3、共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量，(≠)，∥的充要条件是存在实数λ，使＝λ. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量，我们把与向量平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有//. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 4、共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【考点1：空间向量的有关概念】 1．（2026高二·全国·专题练习）（多选）下列命题中正确的是    （    ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 2．（25-26高二上·安徽合肥·期中）（多选）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 3．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 4．（25-26高二上·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 5．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【考点2：空间向量的线性运算】 1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 5．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【考点3：由空间向量线性运算求参数】 1．（25-26高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2026·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（25-26高二上·河北·阶段检测）在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 4．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数  （      ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 【考点4：空间向量的共线定理】 1．（25-26高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 4．（25-26高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 5．（25-26高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【考点5：由空间向量的共线定理求参数】 1．（25-26高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 4．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 5．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【考点6：空间向量的共面定理】 1．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 4．（2026高二·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 5．（25-26高二上·全国·期中）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【考点7：由空间向量的共面定理求参数】 1．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 2．（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 4．（25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 5．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数_____________． 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $