第9讲 用一元二次方程解决问题 讲义 2026-2027学年苏科版数学九年级上册【暑假预习】

第9讲 用一元二次方程解决问题 知识点一：列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点： 列方程解实际问题的三个重要环节： （1）整体地、系统地审题； （2）把握问题中的等量关系； （3）正确求解方程并检验解的合理性. 知识点二：常见题型 1.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 2.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 3.利润(销售)问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 4.几何问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型一：增长率问题 【典例精讲】（2025秋•西宁期末）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【变式训练1】（2026春•蜀山区校级期末）某公司实行年薪工资制，职工的年薪工资由基本工资、工龄工资和岗位工资三项组成，具体规定如下： 项目 第一年的工资（万元） 一年后的计算方法 基本工资 2 每年增长率相同 工龄工资 0.05 每年增加0.05万元 岗位工资 0.3368 固定不变 （1）设基本工资每年增长率为x，用含x的代数式表示第三年的基本工资为　2（1+x）2 ； （2）某人在公司工作了3年，他这3年拿到的工龄工资和岗位工资的和正好是他这3年基本工资总额的18%，求基本工资每年的增长率是多少？ 【变式训练2】（2026春•海淀区校级月考）近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．则新能源汽车出口量的年平均增长率为多少？ 题型二：利润问题 【典例精讲】（2026春•高新区校级期末）某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣．经核算，该卫衣进价为40元/件．当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件．为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果．市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件．设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）． （1）每天可销售　 　 件，每件盈利　 　 元（用含x的代数式表示）． （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件卫衣降价多少元时，平均每天可盈利1050元？ （3）店长希望平均每天能盈利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由． 【变式训练1】（2026春•上城区校级期中）综合实践：如何设计卫衣的售价以实现利润目标？ 某潮流服装厂家每日限量生产80件卫衣，每件成本价为30元．在门店销售时，当售价为70元，日销量为20件．市场调研发现，门店售价每降低1元，日销量可增加2件． （1）设每件卫衣降价x元，则降价后：每件卫衣的售价为　 　元，每件卫衣的利润为　 　　 元，日销量为　 　 件； （2）若要使门店的日利润为912元，且卫衣售价不得低于50元，求降价后门店卫衣的售价； （3）为了加快库存周转，厂家决定将每日80件卫衣分配给门店与直播间两条渠道同步销售，要求门店日销量不少于20件．已知直播间卫衣售价为a元/件，假设每日80件卫衣均能全部售罄，要使门店和直播间总利润能为2600元，求直播间卫衣售价a的最小值． 【变式训练2】（2026•天宁区校级一模）常州梳篦是国家级非物质文化遗产之一，被誉为“宫梳名篦”，深受广大游客的喜爱．某商店销售一批梳篦，每把梳篦的成本为60元，若按每把85元的售价销售，则每周可卖100把．经市场调查发现，在不亏本的前提下，每把梳篦的售价每降低1元，每周便能多卖10把．要使每周总利润为3000元，且尽可能给顾客优惠，则该商店应将梳篦的单价降多少元？ 题型三：几何问题 【典例精讲】（2026•山西二模）近年来，各地深挖传统文化，结合现代设计推出文创潮品，既拉近文物与公众距离，又推动文化产业发展与消费升级．我省晋祠景区设置了一块矩形文创展销区，已知该展销区的长比宽多2米，为迎接旅游旺季，工作人员计划对该展销区进行扩建，从而可多摆放一些文创展示架；若将该展销区的长和宽分别增加3米，则扩建后展销区的面积为48平方米，求原矩形文创展销区的长和宽． 【变式训练1】（2026春•西湖区校级期末）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长36cm，宽20cm的矩形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为420cm2，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒、 ①剪去矩形的长为　 　； ②若折成的有盖长方体纸盒的表面积为640cm2，请计算剪去的正方形的边长． 【变式训练2】（2026春•绿园区校级期末）如图，在长15m，宽6m的矩形地面内修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分铺上草坪，要使草坪的面积达到70m2，道路的宽应为多少？ 题型四：栅栏问题 【典例精讲】（2025秋•十堰期末）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为30m），其他的边用总长58m的铁栅栏围成，左右两侧各开一个1m长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为288m2，试求出电动车车棚的长BC； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为330m2的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【变式训练1】（2026春•苏州校级期中）为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27m，AB位置的墙最大可用长度为15m），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的HE、GF、HG三处各留0.5m、0.5m、2m宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长45m． （1）若活动区域（长方形ABCD）的一边CD长为10m，则另一边BC＝　 　 m． （2）若活动区域（长方形ABCD）的面积为165m2，求边CD的长． 【变式训练2】（2026春•包河区校级期中）某农户计划利用现有的一道墙（墙长为a米），另三边用总长为35米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出1米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为144平方米． （1）当a＝20时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少？ （2）若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长a的取值范围； （3）若农户想将养鸡场面积扩大到200平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现？若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 题型五：日历问题 【典例精讲】（2026•黄石模拟）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． （1）若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为　 　．（用含x的代数式表示） （2）在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由． （3）若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 【变式训练1】（2026春•临泉县月考）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【变式训练2】（2026•梁溪区二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． （1）当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为　 　； （2）小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 题型五：动点问题 【典例精讲】（2026春•淄博校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，连接PQ．如果P，Q两点分别从，A，B两点同时出发，出发时间为t（t＞0，单位：s）．有下列结论： （1）PB＝　 　 cm，BQ＝　 　cm（用含t的式子表示）； （2）S△PBQ＝　 　（用含t的式子表示），S△PBQ的最大值是　 　 ； （3）当△PBQ的面积是9时，t的值是　　 　 ． 【变式训练1】如图，在△ABC中，∠B＝90°．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？ 【变式训练2】（2026春•东阳市月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为t秒． （1）在运动过程中，PQ的长度能否为若能，求出t的值，若不能，请说明理由； （2）在运动过程中，△PDQ的面积能否为10cm2？若能，求出t的值，若不能，请说明理由． 题型六：数字问题 【典例精讲】一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数． 【变式训练1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 【变式训练2】（2025秋•榆阳区校级月考）小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇・赤壁怀古》；“大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年䍅为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，求周瑜去世时年龄．注：“而立之年”指的是三十岁，两位数表示为10×（十位数字）+（个位数字）． 题型七：传播问题 【典例精讲】（2025秋•蓬江区校级月考）近期江门基孔肯雅热疫情高发，该病主要通过伊蚊叮咬传播，做好“清积水、灭成蚊、防叮咬”可有效阻断传播．某社区发现1例确诊病例，由于初期防控意识不足，病例数随蚊虫叮咬呈指数增长，经过两轮传播后共有81例感染者． （1）求每轮传播中，平均1例感染者通过蚊虫叮咬导致多少人感染？ （2）如果在第三轮传播开始前未及时开展灭蚊消杀，仍保持相同的传播速度，则经三轮传播后共 有　 　　 人感染． 【变式训练1】（2025秋•新建区校级月考）感冒不仅会影响学习，而且会把感冒传给同学．因此，我们要积极参加学校组织的跑步晨练和跳绳活动，以增强我们的体质．据报道，某种流感传播的速度非常快，有一个人感染了流感，经过两轮感染后就会有100人被感染，假设每人传播中平均一个人传播人数相同． （1）请你用学过的知识分析，每轮传播中平均一个人感染几个人？ （2）若传播得不到有效的控制，3轮传播后，被感染的人数会不会超过800人？ 【变式训练2】（2025秋•崆峒区校级期中）某种电脑病毒的传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过2轮传播后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识解答下列问题： （1）每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，经过3轮传播后，被感染的电脑会不会超过700台？ 1．（2026•五华区校级模拟）某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．300（1+x）2＝363 B．300（1+x2）＝363 C．300+300（1+x）2＝363 D．300（1+2x）＝363 2．（2026春•上城区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒，△PBQ的面积等于8cm2，则t的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 3．（2026•青秀区校级模拟）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝110 C．x（x+1）＝110 D． 4．（2026•东莞市校级一模）2026年3月22日东莞市篮球联赛“镇BA”正式开赛，并与“粤BA”联动，覆盖全部33个镇街（园区），在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该小组参加比赛的球队有（　　） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 5．（2026•长沙模拟）2025年8月，第七届山西文博会在山西潇河国际会展中心成功举办，文创产品“大眼琉璃鸱（ci）吻”扩香摆件引发抢购热潮．已知“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件的成本为50元/个，当售价定为80元/个时，每月可售出2000件，市场反馈显示，售价每提高2元/个，月销量就会减少50件．某企业希望通过销售“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件实现每月61250元的利润．设此时的售价为x元/个，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．（2026•海州区校级模拟）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯＝1000文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（　　） A．（x﹣3）（x+47）＝2975 B．（x﹣3）（x﹣47）＝2975 C．（x+3）（x﹣47）＝2975 D．（x+3）（x+47）＝2975 7．（2026•南山区校级三模）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺．根据题意，可列方程为（　　） A．x2+62＝102 B．102+62＝x2 C．x2+（10﹣x）2＝62 D．x2+62＝（10﹣x）2 8．（2026•牡丹区二模）为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为72平方米，从水池边到圆周，每边均相距3米．设水池的边长为x米，则下列方程能正确表示数量关系的是（　　） A．π（x+3）2﹣x2＝72 B． C．π（x+3）2﹣x2＝36 D． 9．（2026•南京三模）某药店一月份销售口罩500包，一至三月份共销售口罩1820包，则该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为　 　 ． 10．（2026春•宣城期中）如图，正方形ABCD的边长为4cm，E为AB的中点，点P以2cm/s的速度从点B出发，沿BC﹣CD向点D运动，同时点Q以1cm/s的速度从点E出发，沿EB﹣BC向点C运动，当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，若在运动过程中，当S△APQ＝2S△BPQ时，PQ的长度为　 　 ． 11．（2026•普陀区二模）学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为10m的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为20m的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为48m2，则AD的长为　 　 m． 12．（2026•南京一模）如图，为助力乡村振兴，某村规划建设“小微特色果蔬种植园”，计划将一块长20m，宽15m的矩形荒地改造为种植区，同时在四周保留等宽的田间步道．若改造后种植区的面积为252m2，设步道的宽度为xm，则可列方程　 　 ． 13．（2026•岚县二模）太谷饼是山西晋中极具代表性的传统糕点，是“山西八大名点”之一，以香、酥、绵、软的独特口感闻名，距今已有近400年历史，更是国家地理标志保护产品．某经销部门看中其市场潜力，以每盒20元的价格从太谷本地厂家购进一批礼盒装太谷饼；据市场分析，若按每盒30元销售，一天能售出500盒，销售单价每上涨1元，日销售量就减少20盒．要使日销售利润为6000元，销售单价应定为多少元？设销售单价为x，可列方程：　 　 ． 14．（2026•云岩区模拟）2026年4月，在成都举办的中国教育装备展示会上，正式发布了《中小学信息科技实验室建设与装备规范》．如图，某中学计划修建信息科技实验室，准备扩建一块长12m，宽8m的矩形场地，若该场地的长和宽都增加xm，则扩建后的矩形场地面积为165m2．根据题意，可列方程为　 　 ． 15．（2026春•拱墅区月考）如图1，将面积为1的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则AB长为　 　 ． 16．（2025秋•西青区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 　 　 小分支． 17．（2026春•瑞安市期中）以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为30元．当售价定为每件40元时，每天可售出300件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨1元，每天销售量就会减少6件．若每天销售该文创产品的总利润为4050元，设每件文创产品上涨了x元，根据题意，可列方程为　 　 ． 18．（2026春•瓯海区校级月考）阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为a（m）．则步道的宽为　 　 ；方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m2，且区域丙为正方形，塑胶跑道的总面积为　 　 m2． 19．（2026春•钱塘区校级期中）如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为805m2，则所修道路的宽为　 　 m． 20．（2025秋•花都区期末）粤港澳大湾区作为国家战略，其数据中心集群的建设是支撑数字经济发展的重要基石．大湾区某数据中心集群2023年已投入运营的服务器数量为20万台．为进一步满足区域数字经济的发展需求，到2025年底，服务器数量将增长到48万台． （1）求2023年到2025年服务器数量的年平均增长率； （2）如果增长率保持不变，请预估到2026年底，该集群的服务器数量将达到多少万台？ 21．（2025秋•临汾月考）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 22．（2026春•西湖区校级期中）为了推广旅游热度，各地文旅单位推出文创产品．某文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． （1）求该文创产品平均每次降价的百分率； （2）为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”． ①若要求每天销售额为4590元，请结合实际销售情况，求每件应降价的金额； ②小杭同学说：“五一”期间将参与推广该文创产品的销售活动．计划每天销售额达5000元．你认为小杭同学可以实现目标吗？说说你的理由． 23．（2026•常州校级模拟）2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 24．（2026•天河区校级模拟）电影《给阿嬷的情书》讲述了一段跨越山海、尘封半世纪的温情故事，既有市井烟火的温暖治愈，更有刻入血脉的家国情怀，平凡中处处流淌着中国百姓的朴实善良，诉说着中华文化的魅力．某电影院对团体购买《给阿嬷的情书》电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元． （1）求每张电影票的原定零售票价； （2）为了促进消费，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，求平均每次降价的百分率． 25．（2026•武进区校级一模）月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： （1）用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x，那么最中间的数可用x表示为　 　 ，最大的数可用x表示为x+16　 ； （2）若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决） 26．（2025秋•伊川县期末）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米． （1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 27．（2026•东莞市一模）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，求剪去的正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的收纳盒的底面积为608cm2．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 28．（2025秋•永顺县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 用一元二次方程解决问题 知识点一：列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点： 列方程解实际问题的三个重要环节： （1）整体地、系统地审题； （2）把握问题中的等量关系； （3）正确求解方程并检验解的合理性. 知识点二：常见题型 1.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 2.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 3.利润(销售)问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 4.几何问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型一：增长率问题 【典例精讲】（2025秋•西宁期末）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【分析】（1）设日平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价y元，根据当日总利润可达到5940元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设日平均增长率为x， 由题意列一元二次方程得：200（1+x）2＝338， 整理得，200x2+400x﹣138＝0， 解得x1＝0.3，x2＝﹣2.3（舍）， 答：日平均增长率为30%； （2）设每个玩偶降价y元， 由题意列一元二次方程得：（50﹣y﹣30）（320+5y）＝5940， 解得y1＝2，y2＝﹣46（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 【变式训练1】（2026春•蜀山区校级期末）某公司实行年薪工资制，职工的年薪工资由基本工资、工龄工资和岗位工资三项组成，具体规定如下： 项目 第一年的工资（万元） 一年后的计算方法 基本工资 2 每年增长率相同 工龄工资 0.05 每年增加0.05万元 岗位工资 0.3368 固定不变 （1）设基本工资每年增长率为x，用含x的代数式表示第三年的基本工资为　2（1+x）2 ； （2）某人在公司工作了3年，他这3年拿到的工龄工资和岗位工资的和正好是他这3年基本工资总额的18%，求基本工资每年的增长率是多少？ 【分析】（1）依题意，已知基本工资每年的增长率为x，那么第三年的工资为2（1+x）2； （2）根据图表可知工龄工资与岗位工资，算出三年的费用后列出等式可求解． 【解答】解：（1）每年的增长率为x，则第三年的基本工资为2（1+x）2． 故答案为：2（1+x）2． （2）0.05+0.10+0.15+3×0.3368＝0.18×[2+2（1+x）+2（1+x）2]， ∴x1＝0.2，x2＝﹣3.2（舍去）． 答：基础工资每年的增长率为20%． 【变式训练2】（2026春•海淀区校级月考）近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．则新能源汽车出口量的年平均增长率为多少？ 【分析】初始量×（1+年平均增长率）n＝增长n年后的量，本题间隔为2年，据此列出一元二次方程，舍去不符合题意的负根后即可得到结果． 【解答】解：设年平均增长率为x， 由题意列一元二次方程得，31（1+x）2＝120.3， 解得x≈0.97＝97%， 答：新能源汽车出口量的年平均增长率为97%． 题型二：利润问题 【典例精讲】（2026春•高新区校级期末）某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣．经核算，该卫衣进价为40元/件．当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件．为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果．市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件．设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）． （1）每天可销售　（20+2x）　 件，每件盈利　（40﹣x）　 元（用含x的代数式表示）． （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件卫衣降价多少元时，平均每天可盈利1050元？ （3）店长希望平均每天能盈利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由． 【分析】（1）根据：销售量＝原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润＝实际售价﹣进价，列式即可； （2）根据：总利润＝每件利润×销售数量，列方程求解可得； （3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得． 【解答】解：（1）根据销售量＝原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润＝实际售价﹣进价， 可设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元， 故答案为：（20+2x），（40﹣x）； （2）由题意得（40﹣x）（20+2x）＝1050， 解得x1＝25，x2＝5， ∵为了扩大销售量，尽快减少库存， ∴x＝25， 答：每件卫衣降价25元时，平均每天可赢利1050元． （3）不能实现．理由： 由题意得（40﹣x）（20+2x）＝1500， 整理得x2﹣30x+350＝0， Δ＝（﹣30）2﹣4×1×350＝﹣500＜0， ∴此方程无实数根， 答：每天的赢利不可能达到1500元，所以店长的愿望实现不了． 【变式训练1】（2026春•上城区校级期中）综合实践：如何设计卫衣的售价以实现利润目标？ 某潮流服装厂家每日限量生产80件卫衣，每件成本价为30元．在门店销售时，当售价为70元，日销量为20件．市场调研发现，门店售价每降低1元，日销量可增加2件． （1）设每件卫衣降价x元，则降价后：每件卫衣的售价为　（70﹣x）　 元，每件卫衣的利润为　（40﹣x）　 元，日销量为　（20+2x）　 件； （2）若要使门店的日利润为912元，且卫衣售价不得低于50元，求降价后门店卫衣的售价； （3）为了加快库存周转，厂家决定将每日80件卫衣分配给门店与直播间两条渠道同步销售，要求门店日销量不少于20件．已知直播间卫衣售价为a元/件，假设每日80件卫衣均能全部售罄，要使门店和直播间总利润能为2600元，求直播间卫衣售价a的最小值． 【分析】（1）利用每件卫衣的售价＝每件卫衣的原售价﹣每件卫衣降低的钱数，可用含x的代数式表示出每件卫衣的售价，利用每件卫衣的利润＝每件卫衣的售价﹣每件卫衣的成本价，可用含x的代数式表示出每件卫衣的利润，利用日销售量＝20+2×每件卫衣降低的钱数，可用含x的代数式表示出日销量； （2）利用总利润＝每件卫衣的利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合卫衣售价不得低于50元，即可确定x的值； （3）利用总利润＝门店每件卫衣的利润×门店的日销售量+直播间每件卫衣的利润×直播间的日销售量，可列出a＝30﹣x，再利用基本不等式（a2+b2≥2ab），即可求出a的最小值． 【解答】解：（1）设每件卫衣降价x元，则降价后：每件卫衣的售价为（70﹣x）元，每件卫衣的利润为70﹣x﹣30＝（40﹣x）元，日销量为（20+2x）件． 故答案为：（70﹣x），（40﹣x），（20+2x）； （2）根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝912， 整理得：x2﹣30x+56＝0， 解得：x1＝2，x2＝28， 当x＝2时，70﹣x＝70﹣2＝68＞50，符合题意； 当x＝28时，70﹣x＝70﹣28＝42＜50，不符合题意，舍去． 答：降价后门店卫衣的售价为68元/件； （3）根据题意得：（40﹣x）（20+2x）+（a﹣30）[80﹣（20+2x）]＝2600， ∴a＝30﹣x260（当且仅当30﹣x，即x＝0时取等号）， ∴a的最小值为60． 答：直播间卫衣售价a的最小值为60． 【变式训练2】（2026•天宁区校级一模）常州梳篦是国家级非物质文化遗产之一，被誉为“宫梳名篦”，深受广大游客的喜爱．某商店销售一批梳篦，每把梳篦的成本为60元，若按每把85元的售价销售，则每周可卖100把．经市场调查发现，在不亏本的前提下，每把梳篦的售价每降低1元，每周便能多卖10把．要使每周总利润为3000元，且尽可能给顾客优惠，则该商店应将梳篦的单价降多少元？ 【分析】设该商店应将梳篦的单价降x元，则每把梳篦的销售利润为（85﹣x﹣60）元，每周可卖出（100+10x）把，利用总利润＝每把梳篦的销售利润×周销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽可能给顾客优惠，即可确定结论． 【解答】解：设该商店应将梳篦的单价降x元，则每把梳篦的销售利润为（85﹣x﹣60）元，每周可卖出（100+10x）把， 根据题意得：（85﹣x﹣60）（100+10x）＝3000， 整理得：x2﹣15x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10， 又∵要尽可能给顾客优惠， ∴x＝10． 答：该商店应将梳篦的单价降10元． 题型三：几何问题 【典例精讲】（2026•山西二模）近年来，各地深挖传统文化，结合现代设计推出文创潮品，既拉近文物与公众距离，又推动文化产业发展与消费升级．我省晋祠景区设置了一块矩形文创展销区，已知该展销区的长比宽多2米，为迎接旅游旺季，工作人员计划对该展销区进行扩建，从而可多摆放一些文创展示架；若将该展销区的长和宽分别增加3米，则扩建后展销区的面积为48平方米，求原矩形文创展销区的长和宽． 【分析】通过设原矩形的宽为未知数，根据长与宽的关系表示出长，再结合扩建后的面积列出方程求解即可． 【解答】解：设原矩形文创展销区的宽为x米，长为（x+2）米，则扩建后的宽为（x+3）米，扩建后的长为（x+2+3）＝（x+5）米，根据题意可得： （x+3）（x+5）＝48， 解方程得x1＝3，x2＝﹣11（宽度不能为负，舍去）， ∴x+2＝5， ∴原矩形文创展销区的长为5米，宽为3米． 【变式训练1】（2026春•西湖区校级期末）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长36cm，宽20cm的矩形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为420cm2，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒、 ①剪去矩形的长为　18cm ； ②若折成的有盖长方体纸盒的表面积为640cm2，请计算剪去的正方形的边长． 【分析】（1）设剪去的正方形的边长为xcm，则折成的无盖纸盒的底面是长为（36﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm的矩形，根据纸盒的底面积为420cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）①利用剪去矩形的长矩形硬纸片的长，即可求出结论； ②设剪去的正方形的边长为ycm，根据折成的有盖长方体纸盒的表面积为640cm2，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设剪去的正方形的边长为xcm，则折成的无盖纸盒的底面是长为（36﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm的矩形， 根据题意得：（36﹣2x）（20﹣2x）＝420， 整理得：x2﹣28x+75＝0， 解得：x1＝3，x2＝25（不符合题意，舍去）． 答：剪去的正方形的边长为3cm； （2）①根据题意得：剪去矩形的长为36＝18（cm）． 故答案为：18cm； ②设剪去的正方形的边长为ycm， 根据题意得：36×20﹣2y2﹣2×18y＝640， 整理得：y2+18y﹣40＝0， 解得：y1＝2，y2＝﹣20（不符合题意，舍去）． 答：剪去的正方形的边长为2cm． 【变式训练2】（2026春•绿园区校级期末）如图，在长15m，宽6m的矩形地面内修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分铺上草坪，要使草坪的面积达到70m2，道路的宽应为多少？ 【分析】设道路的宽为xm，则余下的部分可合成为长（15﹣x）m，宽为（6﹣x）m的矩形，根据草坪的面积达到70m2（即余下的部分的面积为70m2），可列出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设道路的宽为xm，则余下的部分可合成长为（15﹣x）m，宽为（6﹣x）m的矩形，根据题意可得： （15﹣x）（6﹣x）＝70， 90﹣15x﹣6x+x2＝70， x2﹣21x+20＝0， 解得：x1＝1，x2＝20（舍）， 答：道路的宽应为1m． 题型四：栅栏问题 【典例精讲】（2025秋•十堰期末）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为30m），其他的边用总长58m的铁栅栏围成，左右两侧各开一个1m长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为288m2，试求出电动车车棚的长BC； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为330m2的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设电动车车棚的宽AB为xm，则车棚的长BC＝（60﹣3x）m，根据车棚占地面积为288m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设电动车车棚的宽AB为ym，则车棚的长BC为（60﹣3y）m，根据车棚占地面积为330m2，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【解答】解：（1）设电动车车棚的宽AB为xm，则车棚的长BC＝58﹣2（x﹣1）﹣x＝（60﹣3x）（m）， 由题意得：x（60﹣3x）＝288， 整理得：x2﹣20x+96＝0， 解得：x1＝12，x2＝8， 当x＝12时，60﹣3x＝60﹣3×12＝24＜30，符合题意； 当x＝8时，60﹣3x＝60﹣3×8＝36＞30，不符合题意，舍去； 答：电动车车棚的长BC为24m； （2）不能围成占地面积为330m2的电动车车棚，理由如下： 设电动车车棚的宽AB为ym，则车棚的长BC为（60﹣3y）m， 由题意得：y（60﹣3y）＝330， 整理得：y2﹣20y+110＝0， ∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×110＝﹣40＜0， ∴原方程无解， ∴不能围成占地面积为330m2的电动车车棚． 【变式训练1】（2026春•苏州校级期中）为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27m，AB位置的墙最大可用长度为15m），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的HE、GF、HG三处各留0.5m、0.5m、2m宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长45m． （1）若活动区域（长方形ABCD）的一边CD长为10m，则另一边BC＝　18　 m． （2）若活动区域（长方形ABCD）的面积为165m2，求边CD的长． 【分析】（1）由栅栏总长为45m，即可求出BC的长； （2）设CD＝x（0＜x≤15）m，则BC＝（48﹣3x）m，根据活动区域的面积为165m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值． 【解答】解：（1）由栅栏总长为45m可知： BC＝45﹣10﹣2×（10﹣0.5）+2＝18（m）； 故答案为：18； （2）设CD＝x（0＜x≤15）m，则BC＝（48﹣3x）m，根据题意可得： x（48﹣3x）＝165， 解得：x1＝5，x2＝11， ∵， ∴7≤x≤15， ∴x＝11， 当x＝11时，48﹣3x＝48﹣3×11＝15（m），符合题意． 答：边CD的长为11m． 【变式训练2】（2026春•包河区校级期中）某农户计划利用现有的一道墙（墙长为a米），另三边用总长为35米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出1米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为144平方米． （1）当a＝20时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少？ （2）若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长a的取值范围； （3）若农户想将养鸡场面积扩大到200平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现？若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设养鸡场垂直于墙的一边的长是x米，则平行于墙的一边的长是（35+1﹣2x）米，根据题意得x（35+1﹣2x）＝144，然后解方程并检验即可； （2）由（1）得平行于墙的一边的长是24米或是12米，然后分当a≥24时；当12≤a＜24时；当a＜12时，进行讨论即可； （3）设养鸡场垂直于墙的一边的长是y米，则平行于墙的一边的长是（35+1﹣2y）米，根据题意得y（35+1﹣2y）＝200，整理得y2﹣18y+100＝0，由（﹣18）2﹣4×1×100＝324﹣400＝﹣76＜0即可判断． 【解答】解：（1）设养鸡场垂直于墙的一边的长是x米，则平行于墙的一边的长是（35+1﹣2x）米， ∵长方形养鸡场总面积为144平方米， ∴x（35+1﹣2x）＝144， 解得：x1＝6，x2＝12， 当x＝6时，平行于墙的一边的长是36﹣2×6＝24＞20，不符合题意； 当x＝12时，平行于墙的一边的长是36﹣2×12＝12＜20，符合题意； ∴当a＝20时，养鸡场平行于墙的一边的长是12米； （2）由（1）得平行于墙的一边的长是24米或是12米， 当a≥24时，两边都不超过墙长，有2种围法； 当12≤a＜24时，两边都不超过墙长，有1种围法； 当a＜12时，两边都超过墙长，无法围成； ∴墙长a的取值范围是12≤a＜24； （3）不能实现，理由如下， 设养鸡场垂直于墙的一边的长是y米，则平行于墙的一边的长是（35+1﹣2y）＝（36﹣2y）米， 根据题意得y（36﹣2y）＝200， 整理得：y2﹣18y+100＝0， ∵（﹣18）2﹣4×1×100＝324﹣400＝﹣76＜0， ∴该方程无实数根， 即围成养鸡场的面积不能达到200平方米， ∴不能实现． 题型五：日历问题 【典例精讲】（2026•黄石模拟）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． （1）若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为x+8　 ．（用含x的代数式表示） （2）在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由． （3）若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 【分析】（1）根据月历表的特点列式即可； （2）设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为m+1，m+7，m+8，根据题意列出方程，解方程即可得到答案； （3）设圈出的4个数中最小的数为y，则最大的数为y+8，根据题意可得方程y（y+8）＝105，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为x+1+7＝x+8； 故答案为：x+8； （2）小颖的说法正确，理由如下： 设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为m+1，m+7，m+8， 则m+m+1+m+7+m+8＝45， 解得：， 根据题意得：m为整数， ∴不符合题意， ∴小丽一定算错了，小颖的说法正确． （3）设4个数中最小的数为y，则最大的数为y+8， ∴y（y+8）＝105， ∴y2+8y﹣105＝0， ∴（y﹣7）（y+15）＝0， ∴y﹣7＝0或y+15＝0， 解得y＝7或y＝﹣15（舍去）， ∴这4个数中最小的数为7． 【变式训练1】（2026春•临泉县月考）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【分析】先根据题中图表，找到最小数与最大数之间的关系，设四个数中最小数为x，则最大数为（x+8），再根据题意，建立方程并解这个一元二次方程，最后舍去负数，即可得到结果． 【解答】解：设四个数中最小数为x，则最大数为（x+8）， 由题意得：x（x+8）＝153， 整理得：x2+8x＝153， ∴x2+8x+16＝169， 即（x+4）2＝169， 解得：x1＝9，x2＝﹣17（舍）， 答：最小数为9． 【变式训练2】（2026•梁溪区二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． （1）当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为　123　 ； （2）小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 【分析】（1）依据题意，要使框出数的总和的最大，结合10月最大日期为 31，从而纵向三连数最大为：17，24，31，又小明与小亮的框有一个数相同，且分别用横着、竖着，可得横着三连数为：24，25，26，进而可以得解； （2）依据题意，设两人框的中间相同的数为x，则可得方程（x﹣1）（x﹣7）＝112，即x2﹣8x﹣105＝0，进而x1＝﹣7（负数舍去），x2＝15，结合15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，从而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，要使框出数的总和的最大， ∵10 月最大日期为 31， ∴纵向三连数最大为：17，24，31， 又∵小明与小亮的框有一个数相同，且分别用横着、竖着， ∴横着三连数为：24，25，26， ∴总和的最大值为：17+24+31+25+26＝123． 故答案为：123； （2）小亮的说法是正确的．理由： 设两人框的中间相同的数为x， 则可得方程（x﹣1）（x﹣7）＝112，即x2﹣8x﹣105＝0， ∴x1＝﹣7（负数舍去），x2＝15． ∵15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数， ∴不符合题意舍去． ∴小亮说法正确． 题型五：动点问题 【典例精讲】（2026春•淄博校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，连接PQ．如果P，Q两点分别从，A，B两点同时出发，出发时间为t（t＞0，单位：s）．有下列结论： （1）PB＝　（10﹣t）　 cm，BQ＝　2t cm（用含t的式子表示）； （2）S△PBQ＝　﹣t2+10t cm2（用含t的式子表示），S△PBQ的最大值是　25　 ； （3）当△PBQ的面积是9时，t的值是　1　 ． 【分析】（1）由题意得，PB＝（10﹣t）cm，BQ＝2tcm； （2）先列出△PBQ的面积的函数解析式，再化成顶点式，求出最值即可； （3）根据△PBQ的面积是9，可得，解一元二次方程即可得解． 【解答】解：（1）根据题意得：PB＝（10﹣t）cm，BQ＝2tcm． 故答案为：（10﹣t），2t； （2） ＝﹣t2+10t ＝﹣（t﹣5）2+25， ∴， 当t＝5时S△PBQ最大值＝25． 故答案为：﹣t2+10t，25； （3）当S△PBQ＝9时，﹣（t﹣5）2+25＝9， 解得t1＝1，t2＝9， 由题意知P点从A点运动到B点需10÷1＝10秒，Q点从B点运动到C点需要16÷2＝8秒， ∴0＜t≤8， ∴t2不符合题意，舍去， ∴t＝1， 故答案为：1． 【变式训练1】如图，在△ABC中，∠B＝90°．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？ 【分析】设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2，则PB＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，根据三角形的面积公式列式一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2，则PB＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm， 由题意得：（6﹣x）•2x＝8， 整理得：x2﹣6x+8＝0， 解得：x1＝2，x2＝4， 答：经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2． 【变式训练2】（2026春•东阳市月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为t秒． （1）在运动过程中，PQ的长度能否为若能，求出t的值，若不能，请说明理由； （2）在运动过程中，△PDQ的面积能否为10cm2？若能，求出t的值，若不能，请说明理由． 【分析】（1）由题意可知，AP＝tcm，BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，根据勾股定理列出一元二次方程，解方程即可； （2）设运动x秒后△PDQ的面积为10cm2，则AP＝xcm，BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，CQ＝（12﹣2x）cm，根据△PDQ的面积为10cm2，即可得出关于x的一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【解答】解：（1）PQ的长度能为4cm，理由如下： 根据题意可知，AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP2+BQ2＝PQ2， ∴（6﹣t）2+（2t）2＝（4）2， 解得：t1＝2，t2， ∴当t＝2或时PQ的长度能为4； （2）在运动过程中，△PDQ的面积不能为10cm2，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝6cm，AD＝BC＝12cm， 设运动x秒后△PDQ的面积为10cm2，则AP＝xcm，BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，CQ＝（12﹣2x）cm， ∵S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ＝AB•BCAD•APCD•CQBP•BQ ∴6×1212x6（12﹣2x）（6﹣x）•2x＝10， 整理得：x2﹣6x+26＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×26＝﹣68＜0， ∴方程无实数根， ∴△PDQ的面积不能为10cm2． 题型六：数字问题 【典例精讲】一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数． 【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（11﹣x），根据个位数字与十位数字的平方和为85，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设个位数字为 x，则十位数字为 （11﹣x）， x2+（11﹣x）2＝85， 解得：x1＝2，x2＝9． 当 x＝2时，两位数为92， 当x＝9 时，两位数为29． 答：两位数为92或29． 【变式训练1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 【分析】设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，根据十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，列出方程，解方程即可． 【解答】解：设个位上的数为x，则十位上的数为x+7， 依题意，得（x+7+x）2＝10（x+7）+x， 整理得：4x2+17x﹣21＝0， 解得：x1＝1，（舍去）， 所以，x＝1，x+7＝8． 答：这个两位数是81． 【变式训练2】（2025秋•榆阳区校级月考）小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇・赤壁怀古》；“大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年䍅为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，求周瑜去世时年龄．注：“而立之年”指的是三十岁，两位数表示为10×（十位数字）+（个位数字）． 【分析】设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为（x﹣3），然后根据个位的平方恰好等于该数列出方程求解即可． 【解答】解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为（x﹣3）， 由题意得10（x﹣3）+x＝x2， 解得x1＝5，x2＝6 ∴十位数字为2或3 ∵而立之年督东吴，“而立之年”指的是三十岁， ∴x1＝5应舍去， ∴周瑜去世时年龄为36岁． 题型七：传播问题 【典例精讲】（2025秋•蓬江区校级月考）近期江门基孔肯雅热疫情高发，该病主要通过伊蚊叮咬传播，做好“清积水、灭成蚊、防叮咬”可有效阻断传播．某社区发现1例确诊病例，由于初期防控意识不足，病例数随蚊虫叮咬呈指数增长，经过两轮传播后共有81例感染者． （1）求每轮传播中，平均1例感染者通过蚊虫叮咬导致多少人感染？ （2）如果在第三轮传播开始前未及时开展灭蚊消杀，仍保持相同的传播速度，则经三轮传播后共有　729　 人感染． 【分析】（1）设每轮传播中，平均1例感染者通过蚊虫叮咬导致x人感染，根据经过两轮传播后共有81例感染者，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据在第三轮传播开始前未及时开展灭蚊消杀，仍保持相同的传播速度，列式计算即可． 【解答】解：（1）设每轮传播中，平均1例感染者通过蚊虫叮咬导致x人感染， 由题意得：x（x+1）+x+1＝81， 整理得：（x+1）2＝81， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）， 答：每轮传播中，平均1例感染者通过蚊虫叮咬导致8人感染； （2）经三轮传播后的人数共有81+81×8＝729（人）， 故答案为：729． 【变式训练1】（2025秋•新建区校级月考）感冒不仅会影响学习，而且会把感冒传给同学．因此，我们要积极参加学校组织的跑步晨练和跳绳活动，以增强我们的体质．据报道，某种流感传播的速度非常快，有一个人感染了流感，经过两轮感染后就会有100人被感染，假设每人传播中平均一个人传播人数相同． （1）请你用学过的知识分析，每轮传播中平均一个人感染几个人？ （2）若传播得不到有效的控制，3轮传播后，被感染的人数会不会超过800人？ 【分析】（1）设每轮传播中平均一个人传播x个人，根据经过两轮感染后就会有100人被感染即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传播后被感染的人数＝经过两轮传播后被感染的人数+经过两轮传播后被感染的人数×9，即可求出结论． 【解答】解：（1）设每轮传播中平均一个人传播x个人， 根据题意得：1+x+x（x+1）＝100， 解得：x1＝9，x2＝﹣11（舍去）． 答：每轮传播中平均一个人传播9个人； （2）三轮感染后，患病的人数为100+100×9＝1000（人）． ∵1000＞800， ∴被感染的人数会超过800人． 答：被感染的人数会超过800人． 【变式训练2】（2025秋•崆峒区校级期中）某种电脑病毒的传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过2轮传播后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识解答下列问题： （1）每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，经过3轮传播后，被感染的电脑会不会超过700台？ 【分析】（1）设每轮感染中平均一台电脑感染x台电脑，第一轮感染后有（1+x）台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染x台，所以两轮后被感染的电脑数为（1+x）2，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【解答】解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑． 根据题意列一元二次方程得，（1+x）2＝81， 整理得，1+x＝±9， x1＝8，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑． （2）81×（1+8）＝81×9＝729＞700， ∴经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 1．（2026•五华区校级模拟）某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．300（1+x）2＝363 B．300（1+x2）＝363 C．300+300（1+x）2＝363 D．300（1+2x）＝363 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程． 【解答】解：由题意可得， 300（1+x）2＝363， 故选：A． 2．（2026春•上城区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒，△PBQ的面积等于8cm2，则t的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 【分析】由题意可知AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝（6﹣t）cm，根据△PBQ的面积等于8cm2，列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答】解：由题意可知，AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝（6﹣t）cm， 由题意得：（6﹣t）×2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4， 当t＝2时，2t＝4＜7，符合题意； 当t＝4时，2t＝8＞7，不符合题意，舍去； 即t的值为2， 故选：A． 3．（2026•青秀区校级模拟）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝110 C．x（x+1）＝110 D． 【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程． 【解答】解：根据题意可得：x（x﹣1）＝110． 故选：B． 4．（2026•东莞市校级一模）2026年3月22日东莞市篮球联赛“镇BA”正式开赛，并与“粤BA”联动，覆盖全部33个镇街（园区），在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该小组参加比赛的球队有（　　） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【分析】设该小组参加比赛的球队有x支，利用小组赛阶段比赛的总场数＝该小组参赛队伍数×（该小组参赛队伍数﹣1），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该小组参加比赛的球队有x支， 根据题意得：x（x﹣1）＝56， 整理得：x2﹣x﹣56＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）， ∴该小组参加比赛的球队有8支． 故选：C． 5．（2026•长沙模拟）2025年8月，第七届山西文博会在山西潇河国际会展中心成功举办，文创产品“大眼琉璃鸱（ci）吻”扩香摆件引发抢购热潮．已知“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件的成本为50元/个，当售价定为80元/个时，每月可售出2000件，市场反馈显示，售价每提高2元/个，月销量就会减少50件．某企业希望通过销售“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件实现每月61250元的利润．设此时的售价为x元/个，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“利润＝（售价﹣成本）×销量”建立方程，再结合成本和利润的要求列出方程即可． 【解答】解：当售价定为80元/个时，每月可售出2000件，市场反馈显示，售价每提高2元/个，月销量就会减少50件． 设此时售价为x元， 根据题意，成本为50元/件，原售价80元时月销量2000件，售价每提高2元月销量减少50件， 售价从80元提高到x元，提高了（x﹣80）元，销量减少量为件， ∴当前销量为：件， ∵利润＝（售价﹣成本）×销量， ∴可列方程：． 故选：B． 6．（2026•海州区校级模拟）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯＝1000文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（　　） A．（x﹣3）（x+47）＝2975 B．（x﹣3）（x﹣47）＝2975 C．（x+3）（x﹣47）＝2975 D．（x+3）（x+47）＝2975 【分析】设这匹锦的长为x尺，则一尺锦的价格为（x+47）文，利用总价＝单价×数量，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设这匹锦的长为x尺，则一尺锦的价格为（x+47）文， 根据题意得：（x﹣3）（x+47）＝2975． 故选：A． 7．（2026•南山区校级三模）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺．根据题意，可列方程为（　　） A．x2+62＝102 B．102+62＝x2 C．x2+（10﹣x）2＝62 D．x2+62＝（10﹣x）2 【分析】根据竹子的长度及折断处离地面高度，可得出图中直角三角形的斜边长（10﹣x）尺，再利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：由题意可知，竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺，则图中直角三角形的斜边长（为10﹣x）尺， 根据题意得：x2+62＝（10﹣x）2． 故选：D． 8．（2026•牡丹区二模）为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为72平方米，从水池边到圆周，每边均相距3米．设水池的边长为x米，则下列方程能正确表示数量关系的是（　　） A．π（x+3）2﹣x2＝72 B． C．π（x+3）2﹣x2＝36 D． 【分析】设水池的边长为x米，每边均相距3米，则圆的半径为米，可种植绿植的面积为圆的面积减去正方形的面积，根据可种植绿植的面积恰好为72平方米即可列出方程． 【解答】解：根据题意可得：． 故选：B． 9．（2026•南京三模）某药店一月份销售口罩500包，一至三月份共销售口罩1820包，则该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为　20%　 ． 【分析】根据题意列出方程，解这个方程即可作答． 【解答】解：某药店一月份销售口罩500包，一至三月份共销售口罩1820包， 根据题意，可得：500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820， 解方程得：x1＝0.2，x2＝﹣3.2（不符合题意，舍去）， 故答案为：20%． 10．（2026春•宣城期中）如图，正方形ABCD的边长为4cm，E为AB的中点，点P以2cm/s的速度从点B出发，沿BC﹣CD向点D运动，同时点Q以1cm/s的速度从点E出发，沿EB﹣BC向点C运动，当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，若在运动过程中，当S△APQ＝2S△BPQ时，PQ的长度为　cm或cm ． 【分析】分两种情况讨论，当0＜t≤2时和当2＜t≤4时，分别求解即可； 【解答】解：如图所示，当0＜t≤2时，点Q在线段EB上，P在BC上， 由条件可知AE＝EB＝2cm， 依题意，EQ＝tcm，QB＝（2﹣t）cm，则AQ＝（2+t）cm；BP＝2tcm， ∵S△APQ＝2S△BPQ， ∴， ∴AQ＝2BQ， ∴2+t＝2（2﹣t）， 解得：， ∴cm，cm， ∴（cm）； 如图所示，当2＜t≤4时，点Q在线段BC上，P在CD上， 依题意，BQ＝（t﹣2）cm，PC＝（2t﹣4）cm，则CQ＝CB﹣BQ＝4﹣（t﹣2）＝（6﹣t）cm，PD＝4﹣（2t﹣4）＝（8﹣2t）cm， ∵S正方形﹣（S△ADP+S△ABQ+S△PCQ）＝S△APQ＝2S△BPQ， ∴ 解得：t＝4或t＝﹣2（舍去）， ∴CQ＝6﹣t＝2cm，PC＝2×4﹣4＝4（cm）， ∴（cm）． 综上所述，cm或cm． 故答案为：cm或cm． 11．（2026•普陀区二模）学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为10m的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为20m的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为48m2，则AD的长为　6　 m． 【分析】设AD的长为xm，则AB的长为（20﹣2x）m，根据矩形花圃的面积为48m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设AD的长为xm，则AB的长为（20﹣2x）m， 由题意得：x（20﹣2x）＝48， 整理得：x2﹣10x+24＝0， 解得：x1＝6，x2＝4， 当x＝6时，20﹣2x＝20﹣2×6＝8＜10，符合题意； 当x＝4时，20﹣2x＝20﹣2×4＝12＞10，不符合题意，舍去； 即AD的长为6m， 故答案为：6． 12．（2026•南京一模）如图，为助力乡村振兴，某村规划建设“小微特色果蔬种植园”，计划将一块长20m，宽15m的矩形荒地改造为种植区，同时在四周保留等宽的田间步道．若改造后种植区的面积为252m2，设步道的宽度为xm，则可列方程　（20﹣2x）（15﹣2x）＝252　 ． 【分析】根据改造后种植区的长为（20﹣2x）m，宽为（15﹣2x）m，列出方程即可． 【解答】解：根据改造后种植区的面积为252m2，可列方程（20﹣2x）（15﹣2x）＝252． 故答案为：（20﹣2x）（15﹣2x）＝252． 13．（2026•岚县二模）太谷饼是山西晋中极具代表性的传统糕点，是“山西八大名点”之一，以香、酥、绵、软的独特口感闻名，距今已有近400年历史，更是国家地理标志保护产品．某经销部门看中其市场潜力，以每盒20元的价格从太谷本地厂家购进一批礼盒装太谷饼；据市场分析，若按每盒30元销售，一天能售出500盒，销售单价每上涨1元，日销售量就减少20盒．要使日销售利润为6000元，销售单价应定为多少元？设销售单价为x，可列方程：　（x﹣20）[500﹣20（x﹣30）]＝6000　 ． 【分析】根据销售利润＝销量×每盒的利润，即可列出相应的方程． 【解答】解：由题意可得， （x﹣20）[500﹣20（x﹣30）]＝6000， 故答案为：（x﹣20）[500﹣20（x﹣30）]＝6000． 14．（2026•云岩区模拟）2026年4月，在成都举办的中国教育装备展示会上，正式发布了《中小学信息科技实验室建设与装备规范》．如图，某中学计划修建信息科技实验室，准备扩建一块长12m，宽8m的矩形场地，若该场地的长和宽都增加xm，则扩建后的矩形场地面积为165m2．根据题意，可列方程为　（x+12）（x+8）＝165　 ． 【分析】依据题意，由一块长12m，宽8m的矩形场地，若该场地的长和宽都增加xm，则扩建后的矩形场地面积为165m2，从而（x+12）（x+8）＝165，即可得解． 【解答】解：由题意得，（x+12）（x+8）＝165． 故答案为：（x+12）（x+8）＝165． 15．（2026春•拱墅区月考）如图1，将面积为1的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则AB长为　　 ． 【分析】根据正方形与拼接后矩形的面积相等，结合边长的关系列方程求解． 【解答】解：∵正方形面积为1， ∴正方形的边长为1． 设AB的长为x，由拼图结构可知，矩形ABCD的另一边长度为x+1． ∴x（x+1）＝1， 整理得x2+x﹣1＝0， 解得x（舍去负值）． 故答案为：． 16．（2025秋•西青区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 　9个　 小分支． 【分析】等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目＝91，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝91， 解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去）， ∴每个支干长出9个小分支． 故答案为：9个． 17．（2026春•瑞安市期中）以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为30元．当售价定为每件40元时，每天可售出300件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨1元，每天销售量就会减少6件．若每天销售该文创产品的总利润为4050元，设每件文创产品上涨了x元，根据题意，可列方程为　（10+x）（300﹣6x）＝4050　 ． 【分析】根据当售价定为每件40元时，每天可售出300件，经市场调研发现，该产品每件售价每上涨1元，每天销售量就会减少6件．若每天销售该文创产品的总利润为4050元，列出方程即可． 【解答】解：由题意得：（40+x﹣30）（300﹣6x）＝4050， 即（10+x）（300﹣6x）＝4050， 故答案为：（10+x）（300﹣6x）＝4050． 18．（2026春•瓯海区校级月考）阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为a（m）．则步道的宽为　3.6m ；方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m2，且区域丙为正方形，塑胶跑道的总面积为　199　 m2． 【分析】根据题意可得正方形休闲广场的边长为7a（m），根据两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等建立方程可求出步道的宽；设区域丙的边长为b（m），长方形区域甲和长方形区域乙的宽相等，那么长方形区域甲的长比长方形区域乙的长多的长度乘以区域丙的边长即为长方形区域甲的面积比长方形区域乙多的面积，据此建立方程求出区域丙的边长即可得到答案． 【解答】解：由题意列一元二次方程得，100a+80a﹣a2＝（7a）2， 解得a＝3.6或a＝0（舍去）， ∴步道的宽为3.6m； 设区域丙的边长为b（m）， 由题意得，长方形区域甲和长方形区域乙的宽相等，长方形区域甲的长比长方形区域乙的长多100﹣80+1＝21（m）， ∵长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m2， ∴21b＝441， ∴b＝21， ∴塑胶跑道的总面积为1×（100+80+21﹣2）＝199（m2）， 故答案为：3.6m，199． 19．（2026春•钱塘区校级期中）如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为805m2，则所修道路的宽为　1　 m． 【分析】将种植区通过平移转化为长为（36﹣x）m、宽为（24﹣x）m的规则长方形，根据种植区面积列方程求解，舍去不符合实际的解． 【解答】解：设所修道路的宽为xm．根据题意，得（24﹣x）（36﹣x）＝805， 整理，得x2﹣60x+59＝0，解得x1＝59（不合题意，舍去），x2＝1， 即所修道路的宽为1m． 故答案为：1． 20．（2025秋•花都区期末）粤港澳大湾区作为国家战略，其数据中心集群的建设是支撑数字经济发展的重要基石．大湾区某数据中心集群2023年已投入运营的服务器数量为20万台．为进一步满足区域数字经济的发展需求，到2025年底，服务器数量将增长到48万台． （1）求2023年到2025年服务器数量的年平均增长率； （2）如果增长率保持不变，请预估到2026年底，该集群的服务器数量将达到多少万台？ 【分析】（1）设2023年到2025年服务器数量的年平均增长率为x，从而列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据增长率保持不变，2026 年底的服务器数量为 2025 年的数量×（1+年平均增长率），进而计算可以得解． 【解答】解：（1）设2023年到2025年服务器数量的年平均增长率为x， 依题意，得：20×（1+x）2＝48， 解得：x1≈0.549＝54.9%，x2≈﹣2.549（不合题意，舍去）． 答：2023年到2025年服务器数量的年平均增长率约为54.9%； （2）增长率保持不变，2026 年底的服务器数量为 2025 年的数量×（1+年平均增长率）， ∴48×（1+54.9%）≈74（万台）， 答：该集群的服务器数量将达到74万台． 21．（2025秋•临汾月考）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 【分析】设原来的两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为7﹣x，根据题意列出方程，即可求解． 【解答】解：设原来的两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为7﹣x． 根据题意列一元二次方程得，（10x+7﹣x）[10（7﹣x）+x]＝1300． 解得x1＝2，x2＝5． 当x＝2时，7﹣x＝5，原来的两位数为25； 当x＝5时，7﹣x＝2，原来的两位数为52． 答：原来的两位数为25或52． 22．（2026春•西湖区校级期中）为了推广旅游热度，各地文旅单位推出文创产品．某文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． （1）求该文创产品平均每次降价的百分率； （2）为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”． ①若要求每天销售额为4590元，请结合实际销售情况，求每件应降价的金额； ②小杭同学说：“五一”期间将参与推广该文创产品的销售活动．计划每天销售额达5000元．你认为小杭同学可以实现目标吗？说说你的理由． 【分析】（1）设该文创产品平均每次降价的百分率为x，根据某文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每件应降价m元，则平均每天可售出（30+2m）件，根据每天销售额为4590元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设每件应降价y元，则平均每天可售出（30+2y）件，根据每天销售额达5000元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【解答】解：（1）设该文创产品平均每次降价的百分率为x， 由题意可得：100（1﹣x）2＝81， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）， 答：该文创产品平均每次降价的百分率为10%； （2）设每件应降价m元，则平均每天可售出（30+2m）件， 根据题意得：（81﹣m）（30+2m）＝4590， 整理得：m2﹣66m+1080＝0， 解得：m1＝36，m2＝30（不符合题意，舍去）， 答：每件应降价36元； （3）小杭同学不可以实现目标，理由如下： 设每件应降价y元，则平均每天可售出（30+2y）件， 根据题意得：（81﹣y）（30+2y）＝5000， 整理得：y2﹣66y+1285＝0， ∵Δ＝（﹣66）2﹣4×1285＝﹣784＜0， ∴此方程无实数根， ∴小杭同学不可以实现目标． 23．（2026•常州校级模拟）2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 【分析】设过道的宽为x米，根据题意得出（50﹣2x）（40﹣x）＝1872，解方程，根据实际取舍方程的解，即可求解． 【解答】解：设过道的宽为x米， 根据题意得（50﹣2x）（40﹣x）＝1872， 解得x1＝1，x2＝64（不符合题意，舍去）， 答：过道的宽应该设计1米． 24．（2026•天河区校级模拟）电影《给阿嬷的情书》讲述了一段跨越山海、尘封半世纪的温情故事，既有市井烟火的温暖治愈，更有刻入血脉的家国情怀，平凡中处处流淌着中国百姓的朴实善良，诉说着中华文化的魅力．某电影院对团体购买《给阿嬷的情书》电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元． （1）求每张电影票的原定零售票价； （2）为了促进消费，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，求平均每次降价的百分率． 【分析】（1）设每张电影票的原定零售票价为x元，则降价后每张电影票的零售票价为（x﹣20）元，根据按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元，列出分式方程，解方程即可； （2）设平均每次的降价率为y，根据原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设每张电影票的原定零售票价为x元，则降价后每张电影票的零售票价为（x﹣20）元， 依题意得：， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， 答：每张电影票的原定零售票价为50元； （2）设平均每次的降价率为y， 依题意得：50（1﹣y）2＝32， 解得：y1＝0.2＝20%，y2＝1.8（不合题意，舍去）． 答：平均每次的降价率为20%． 25．（2026•武进区校级一模）月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： （1）用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x，那么最中间的数可用x表示为x+8　 ，最大的数可用x表示为x+16　 ； （2）若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决） 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案； （2）设最小数为x，最大数为x+16，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵每行的后一个数比前一个数大1，每列的下一个数比上一个数大7， ∴中间的数可用x表示为x+1+7＝x+8， 最大的数可用x表示为x+2+14＝x+16； 故答案为：x+8；x+16； （2）设最小数为x，最大数为x+16， 根据题意可列一元二次方程：x（x+16）＝192， 解得x＝8或x＝﹣24（不符合题意，舍去）， ∴最小数为8，最大数为8+16＝24， ∴9个数为8、9、10、15、16、17、22、23、24， 其和为8+9+10+15+16+17+22+23+24＝144． 26．（2025秋•伊川县期末）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米． （1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【分析】（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，根据建造车棚的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度即可确定结论； （2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形，根据停放自行车的面积为54平方米，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论． 【解答】解：（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米， 依题意得：x•80， 整理得：x2﹣28x+160＝0， 解得：x1＝8，x2＝20． 又∵这堵墙的长度为12米， ∴x＝8， ∴10． 答：这个车棚的长为10米，宽为8米． （2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形， 依题意得：（10﹣m）（8﹣2m）＝54， 整理得：m2﹣14m+13＝0， 解得：m1＝1，m2＝13． 当m＝1时，10﹣m＝9，8﹣2m＝6，符合题意； 当m＝13时，10﹣m＝﹣3，不合题意，舍去． 答：小路的宽度是1米． 27．（2026•东莞市一模）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，求剪去的正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的收纳盒的底面积为608cm2．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 【分析】（1）设剪去的小正方形的边长为xcm，由题意得（100﹣2x）（40﹣2x）＝1600，然后解方程并检验即可； （2）根据题意，设收纳盒的高为acm，则收纳盒底面的长为，宽为（40﹣2a）cm，则（50﹣a）（40﹣2a）＝608，求出收纳盒的高长宽高，从而即可判断玩具车能否完全放入． 【解答】解：（1）设剪去的小正方形的边长为xcm，由题意得： （100﹣2x）（40﹣2x）＝1600， 解得：x1＝10，x2＝60（60＞40不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为10cm； （2）把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 根据题意，设收纳盒的高为acm， 则收纳盒底面的长为，宽为（40﹣2a）cm， ∴（50﹣a）（40﹣2a）＝608， 解得：a＝12，a2＝58（58＞50不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为12cm； 收纳盒的长为50﹣a＝38，收纳盒的宽为40﹣2a＝16， ∵35＜38（玩具车长小于收纳盒长），12＞10（玩具车高小于收纳盒高），但18＞16（玩具车宽大于收纳盒宽）， ∴玩具车不能完全放入该收纳盒． 28．（2025秋•永顺县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出BQ＝4tcm，PB＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； （2）先求出BQ＝4tcm，PB＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，再利用勾股定理建立方程（10﹣t）2+（4t）2＝102，解方程即可得到答案； （3）先求出CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵B在PQ的垂直平分线上， ∴PB＝BQ， ∴10﹣2t＝4t， 解得， ∴当时，点B在PQ的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由勾股定理得PQ2＝PB2+BQ2， ∴（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm； （3）由题意得，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm， ∵△PQC的面积等于32cm2， ∴， ∴， ∴t＝1或t＝7（舍去）， ∴当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $