第6讲 根的判别式与公式法 讲义 2026-2027学年苏科版数学九年级上册【暑假预习】

第6讲 根的判别式与公式法 知识点一：根的判别式 1.一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即； （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 知识点二：公式法求一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当≥0时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若≥0，则利用公式求出原方程的解；若＜0，则原方程无实根. 题型一：求根的判别式 【典例精讲】（2026•思明区模拟）已知方程2x2﹣3x﹣1＝0，利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac判断方程的根的情况，则a，b，c对应的值为（　　） A．a＝2，b＝3，c＝1 B．a＝2，b＝﹣3，c＝1 C．a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝1 【分析】根据题意，而得出a，b，c的值即可． 【解答】解：由题知， 因为关于x的方程为2x2﹣3x﹣1＝0， 所以a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：C． 【变式训练1】（2026•宁夏模拟）方程x2﹣3x＝4化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，在计算根的判别式Δ时，下列判断错误的是（　　） A．a＝1 B．b＝﹣3 C．c＝4 D．Δ＝25 【分析】先将方程化为一般式，再利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 方程x2﹣3x＝4可化为x2﹣3x﹣4＝0， 则a＝1，b＝﹣3，c＝﹣4， 所以Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）＝25． 故选：C． 【变式训练2】（2026•南阳模拟）为分析一元二次方程x2＝3x﹣1根的情况，四位同学分别计算根的判别式，其中正确的是（　　） A．32+2×1×（﹣1）＝7 B．（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13 C．（﹣3）2﹣1×1＝8 D．（﹣3）2﹣4×1×1＝5 【分析】将x2＝3x﹣1化为一般形式，再列式计算即可． 【解答】解：将x2＝3x﹣1化为一般形式得x2﹣3x+1＝0， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5， 故选：D． 题型二：根据判别式判断根的情况 【典例精讲】（2026•扬州）关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程为x2+kx﹣1＝0， 则Δ＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4≥4＞0， 所以该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式训练1】（2026•越秀区校级二模）一元二次方程4x2﹣7x+3＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【分析】通过计算判别式的值即可判断根的情况，根据判别式与0的大小关系即可得出结论． 【解答】解：根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×4×3＝49﹣48＝1＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【变式训练2】（2026春•西湖区校级期中）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的实数根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【分析】利用一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为一元二次方程为x2﹣3x+1＝0， 则Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 题型三：根据根的情况求参数 【典例精讲】（2026•朝阳区校级模拟）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是（　　） A．2 B．1 C． D．0 【分析】根据方程的二次项系数不等于0结合根的判别式Δ＝0，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的取值范围，对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：由题意可知，Δ＝22﹣4×（k﹣1）＝0且k﹣1≠0， 解得：k＝2， 故选：A． 【变式训练1】（2026春•肥西县校级期中）若关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可能是（　　） A．﹣1 B．2 C． D．﹣2 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式进行解答即可． 【解答】解：∵方程（a﹣1）x2+4x﹣2＝0有两个不相等的实数根 ∴ 解得a＞﹣1且a≠1， 结合选项判断：只有a＝2满足条件． 故选：B． 【变式训练2】（2026•金水区校级四模）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式Δ＝0，即可得到c的值． 【解答】解：∵x2+4x+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝42﹣4×1×c＝0， 解得c＝4． 故选：A． 题型四：利用公式法还原一元二次方程 【典例精讲】（2025•河南校级三模）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【分析】判断出a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，可得结论． 【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 【变式训练1】在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到x，则该一元二次方程可能为（　　） A．2x2+5x﹣1＝0 B．2x2﹣5x﹣1＝0 C．2x2﹣5x+1＝0 D．5x2﹣2x﹣1＝0 【分析】通过求根公式，分析出a，b，c． 【解答】解：已知， 由2a＝2×2，可得a＝2， 由﹣b＝5，可得b＝﹣5， 由4ac＝4×2×（﹣1），可得c＝﹣1， 将a＝2，b＝﹣5，c＝﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c＝0， 得到2x2﹣5x﹣1＝0，对应选项B． 故选：B． 【变式训练2】（2025春•霍邱县月考）用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【分析】根据求根公式解答即可． 【解答】解：由题意可得：a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1． ∴该一元二次方程为：3x2﹣2x﹣1＝0． 故选：D． 题型五：用公式法解一元二次方程 【典例精讲】（2026春•鄞州区校级期中）解方程： （1）5（x﹣2）2＝20； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【解答】解：（1）5（x﹣2）2＝20， ∴（x﹣2）2＝4， ∴x﹣2＝±2， 解得：x1＝4，x2＝0； （2）∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝16+8＝24＞0， ∴， 解得：，． 【变式训练1】（2026春•盐城月考）解一元二次方程： （1）； （2）（x﹣2）2＝25； （3）x2+6x﹣7＝0（用配方法解）； （4）2x2﹣3x＝4（用公式法解）． 【分析】（1）利用开方法来求解； （2）利用开方法来求解； （3）先配方，再利用开方法求解； （4）先求出Δ，判断根的情况，再利用求根公式求解． 【解答】解：（1）； 原方程移项得， 开平方得． （2）（x﹣2）2＝25； 原方程开平方得x﹣2＝±5， 解得x1＝2+5＝7，x2＝2﹣5＝﹣3． （3）x2+6x﹣7＝0， 移项得x2+6x＝7， 配方得x2+6x+9＝7+9， 即（x+3）2＝16， 开平方得x+3＝±4， 解得x1＝﹣3+4＝1，x2＝﹣3﹣4＝﹣7． （4）由原方程可得2x2﹣3x﹣4＝0， 则a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝9+32＝41＞0， 方程有两个不相等的实数根， ， ∴． 【变式训练2】（2026春•沂源县期中）解方程： （1）4x2﹣8x+1＝0（配方法）； （2）3x2+5（2x+1）＝0（公式法）； 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答； （2）先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）4x2﹣8x+1＝0， x2﹣2x0， x2﹣2x， x2﹣2x+1＝1， （x﹣1）2， x﹣1＝±， x﹣1或x﹣1， x1＝1，x2＝1； （2）3x2+5（2x+1）＝0， 整理得：3x2+10x+5＝0， ∵Δ＝102﹣4×3×5 ＝100﹣60 ＝40＞0， ∴x， ∴x1，x2． 题型五：用公式法解一元二次方程之错解还原问题 【典例精讲】（2026春•招远市期中）在学习一元二次方程的解法中我们发现，用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），可以得到一元二次方程的求根公式． （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式是x＝　　 ，我们也把用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法； （2）小明在用公式法解方程x2﹣6x＝5时出现了错误，解答过程如表：请问，小明的解答过程是从第　一　 步开始出错的，其错误原因是　未将所给方程化为一般式　 ． 解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝5（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×5＝16（第二步） ∴（第三步） ∴x1＝5，x2＝1（第四步） （3）请你用自己学过的方法写出此题正确的解答过程． 【分析】（1）根据求根公式完成填空即可； （2）找出所给求解过程的错误步骤即可； （3）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）由题知， 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）， 当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式是x． 故答案为：； （2）观察所给解题过程可知， 小明的解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是未将所给方程化为一般式． 故答案为：一，未将所给方程化为一般式； （3）x2﹣6x＝5， x2﹣6x+9＝5+9， （x﹣3）2＝14， 则x﹣3， 所以． 【变式训练1】（2025•深圳校级模拟）小海在用公式法解方程2x2﹣4x＝5时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程2x2﹣4x＝5 解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝5（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×5＝﹣24＜0（第二步） ∴原方程无实数根（第三步） （1）小海的解答过程从第　一　 步开始出错的，其错误的原因是　原方程没有化成一般形式　 ； （2）请你写出此题的正确的求解过程． 【分析】（1）根据公式法解方程的基本步骤解答即可． （2）将一元二次方程化成一般形式，即可代入公式法求解． 【解答】解：由原方程可得2x2﹣4x﹣5＝0， ∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣5（第一步）， ∴Δ＝56＞0（第二步）， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：一；原方程没有化成一般形式． （2）原方程化成一般形式是：2x2-4x-5=0， ∵a=2，b=-4，c=-5， ∴b2-4ac=（-4）2-4×2×（-5）=56＞0， ∴， ∴，． 【变式训练2】（2025秋•信都区期中）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程：3x2﹣5x＝2 解：将方程化为一般形式，得3x2﹣5x+2＝0，第一步， a＝3，b＝5，c＝2，第二步； ∵Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×3×2＝1＞0，第三步； ∵x第四步， 即x1，x2＝1第五步． （1）开始出现错误的步骤是第　一　 步； （2）请给出此题正确的解答过程． 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可； （2）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可． 【解答】解：（1）将方程3x2﹣5x＝2化为一般形式得： 3x2﹣5x﹣2＝0， ∴第一步开始出现错误． 故答案为：一； （2）解方程化为一般形式可得a＝3，b＝﹣5，c＝﹣2， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝49＞0， ∴， 即，x2＝2． 题型六：根的判别式与等腰三角形 【典例精讲】（2026春•西湖区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+k＝0． （1）证明：此方程一定有两个实数根． （2）若一个等腰三角形的一边为5，另外两边的长是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【分析】（1）利用根的判别式即可证明； （2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答． 【解答】（1）证明：对于一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+k＝0， Δ＝（3k+1）2﹣4（2k2+k）＝k2+2k+1＝（k+1）2， ∵（k+1）2≥0， ∴Δ≥0， ∴此方程一定有两个实数根． （2）解：由x2﹣（3k+1）x+2k2+k＝0得x1＝k，x2＝2k+1， 若k＝5，则2k+1＝11，此等腰三角形的三边分别为5，5，11，5+5＝10＜11，不能构成三角形； 若2k+1＝5，则k＝2，此等腰三角形的三边分别为2，5，5，2+5＝7＞5，能构成三角形，周长为2+5+5＝12； 若2k+1＝k，则k＝﹣1，此时三角形边长为负数，不符合题意； 综上所述，这个等腰三角形的周长为12． 【变式训练1】（2026春•西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． （1）求证：此方程一定有两个实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为1，当△ABC是等腰三角形时，求m的值． 【分析】（1）直角利用Δ求解即可； （2）易得x1＝3，x2＝m，进而分类讨论求解即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m ＝m2+6m+9﹣12m ＝m2﹣6m+9 ＝（m﹣3）2≥0， ∴此方程一定有两个实数根． （2）解：∵x2﹣（m+3）x+3m＝0， ∴（x﹣3）（x﹣m）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣m＝0， ∴x1＝3，x2＝m， 当AB＝AC时，m＝3， 此时三角形三边为3，3，1，满足三角形三边关系，符合题意． 当AB＝BC＝1或AC＝BC＝1时，m＝1， 此时三角形三边为1，1，3，不满足三角形三边关系，舍去． 综上，m的值为3． 【变式训练2】（2025秋•永顺县期末）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 【分析】（1）依据题意，由Δ＝（m+1）2﹣12（m﹣2）＝（m﹣5）2≥0，进而可以判断得解； （2）依据题意，分①当BC为腰长时②当BC为底边时两种情形，分别讨论计算可以判断得解． 【解答】（1）证明：由题意，∵Δ＝（m+1）2﹣12（m﹣2）＝m2+2m+1﹣12m+24 ＝m2﹣10m+25 ＝（m﹣5）2≥0， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根． （2）解：①当BC为腰长时，则方程必有一个根为5， ∴52﹣5（m+1）+3（m﹣2）＝0． ∴m＝7． ∴方程为：x2﹣8x+15＝0． ∴x＝3或x＝5． ∴等腰三角形的三边为：5，5，3． ∴周长为：5+5+3＝13； ②当BC为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴Δ＝（m﹣5）2＝0． ∴m＝5． ∴方程为：x2﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3． ∴等腰三角形的周长为：5+3+3＝11． 综上：周长为11或13． 题型七：根的判别式与四边形 【典例精讲】（2026•邢台校级模拟）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+8）x+8＝0． （1）求证：无论a取任何非零实数，该方程总有实数根； （2）若平行四边形ABCD的两边AB，BC的长是已知方程的两个实数根，当a为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求此菱形的边长． 【分析】（1）先计算Δ＝（a﹣8）2≥0，即可证明无论a取任何非零实数，该方程总有实数根； （2）根据菱形性质得到方程有两个相等的实数根，Δ＝（a﹣8）2＝0，求出a＝8，可得方程为8x2﹣16x+8＝0，解得x1＝x2＝1，问题得解． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程ax2﹣（a+8）x+8＝0， ∴Δ＝[﹣（a+8）]2﹣4a•8＝a2+16a+64﹣32a＝a2﹣16a+64＝（a﹣8）2≥0， ∴无论a取任何非零实数，该方程总有实数根； （2）∵平行四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵AB，BC的长是已知方程的两个实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（a﹣8）2＝0， ∴a＝8， ∴一元二次方程为8x2﹣16x+8＝0， 解得x1＝x2＝1， ∴菱形边长为1， 答：当a＝8时，平行四边形ABCD是菱形，此时菱形的边长为1． 【变式训练1】（2025秋•淅川县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求k的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出x1，x2，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k值． 【解答】（1）证明：在x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0中， a＝1，b＝﹣（2k+1），c＝k2+k， ∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0， 解得x1＝k，x2＝k+1， ∵k+1＞k， ∴x＝k+1为对角线， 根据勾股定理得（k+1）2＝k2+32， 解得k＝4， 即k的值为4． 【变式训练2】已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．当m满足什么条件时，四边形ABCD是菱形，此时该菱形的边长是多少？ 【分析】根据菱形的判定得出关于x的方程有两个相等的实数根，再结合根的判别式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 若四边形ABCD是菱形，则AB＝AD， 所以方程有两个相等的实数根， 则Δ＝（﹣m）2﹣4（）＝0， 解得m＝1， 此时方程为x2﹣x0， 解得， 所以当m＝1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是． 1．（2026春•临淄区期中）用公式法解方程2x2+7x＝5时，得，则“□”处应填（　　） A．5 B．﹣5 C．﹣7 D．7 【分析】将所给方程化为一般式，再结合求根公式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 方程2x2+7x＝5可化为2x2+7x﹣5＝0， 根据求根公式得， x， 所以“□”处应填﹣7． 故选：C． 2．（2026春•莱州市期中）若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．5 B．7 C．﹣5 D．﹣7 【分析】当关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，则，由此根据题意可得a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3，再代值计算即可． 【解答】解：∵是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， ∴a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3， ∴a+b+c ＝2+（﹣6）+（﹣3） ＝﹣4+（﹣3） ＝﹣（4+3） ＝﹣7， 即a+b+c＝﹣7， 故选：D． 3．（2026•商水县一模）定义运算：a※b＝a2﹣2ab+1．例如：4※3＝42﹣2×4×3+1＝﹣7．则方程3x※（﹣1）＝﹣2的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【分析】根据新定义将给定方程转化为标准一元二次方程，计算根的判别式即可判断根的情况． 【解答】解：3x※（﹣1）＝9x2+6x+1＝﹣2， ∴9x2+6x+3＝0， ∵Δ＝62﹣4×9×3＝36﹣108＝﹣72＜0， ∴方程无实数根． 故选：C． 4．（2026•辉县市二模）定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3有实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据题目所给新定义运算法则，得出x2﹣2x﹣3（a+1）＝0，再根据“该方程有实数根”得出Δ≥0，列出不等式求解即可． 【解答】解：由条件可知x2﹣2x﹣3a＝3，即x2﹣2x﹣3（a+1）＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4+12（a+1）≥0， 解得：． 故选：D． 5．（2026春•庐阳区校级期中）一元二次方程的较小的实数根应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【分析】利用一元二次方程求根公式得到较小的根的表达式，再通过估算无理数的大小，确定较小根所在区间； 【解答】解：原方程整理得， ∵a＝1，，c＝38， ∴判别式， 由求根公式得， ∵， ∴较小的实数根为， 又∵72＝49，82＝64，且49＜63＜64， ∴，即， 不等式同减5得； 因此较小的实数根在2和3之间． 故选：B． 6．（2026•沂源县二模）关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．m≤4 C．m＜4且m≠2 D．m≤4且m≠2 【分析】根据题意得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝16﹣8（m﹣2）＞0且m﹣2≠0， 解得m＜4且m≠2， 故选：C． 7．（2026•郏县二模）已知关于x的一元二次方程，则该一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【分析】根据一元二次方程根的判别式解题即可． 【解答】解：关于x的一元二次方程， ∵， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 8．（2026春•柯城区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m＜3且m≠1 C．m≤3且m≠1 D．m＜3 【分析】根据方程有两个不相等的实数根可知Δ＞0，且m﹣1≠0，即可求得m的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0且m﹣1≠0， ∴16﹣8（m﹣1）＞0且m﹣1≠0， 解得m＜3且m≠1． 故选：B． 9．（2025秋•长宁县期末）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{﹣1，﹣3}＝﹣1；按照这个规定，若max{x，﹣x}，则x的值是（　　） A．﹣1 B．﹣1或2 C．2 D．1或2 【分析】根据新定义分x＞0和x＜0列出方程，再分别求解可得． 【解答】解：若x＞﹣x，即x＞0，则x，解得x＝2（负值舍去）； 若x＜﹣x，即x＜0，则﹣x，解得x＝﹣1（正值舍去）； 故选：B． 10．（2026春•张店区校级月考）利用公式法解得一元二次方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，利用公式法即可求解． 【解答】解：由题意得，a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0， ∴， ∵方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b， ∴a的值为， 故选：D． 11．（2026春•义乌市校级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列判断正确的是（　　） A．若x＝c是该方程的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立 B．若a+c＝b，则方程ax2+bx+c＝0有一根为x＝1 C．若该方程的解为x＝2和x，则方程cx2﹣bx+a＝0的解是x＝3或x D．当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根 【分析】根据根的判别式、一元二次方程的解逐项分析判断即可． 【解答】解：根据根的判别式、一元二次方程的解逐项分析判断如下： 对选项A：∵x＝c是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，代入方程得ac2+bc+c＝0，整理得c（ac+b+1）＝0， ∴c＝0或ac+b+1＝0，并非一定满足ac+b+1＝0，故A错误，不符合题意； 对选项B：∵a+c＝b，移项得a﹣b+c＝0，将x＝﹣1代入方程得a（﹣1）2+b（﹣1）+c＝a﹣b+c＝0， ∴方程有一根为x＝﹣1，不是x＝1，故B错误，不符合题意； 对选项C：∵原方程ax2+bx+c＝0的解为x＝2和，则原方程可写为， 展开得，即，， 代入新方程cx2﹣bx+a＝0得：，a≠0， 整理得2x2+7x+3＝0，解得x＝﹣3或， 与选项结论不符，故C错误，不符合题意； 对选项D：∵b+c＞0，b﹣c＜0， ∴b＜c，可得c＞0， ∴﹣4ac＞0，方程判别式Δ＝b2﹣4ac＝b2+（﹣4ac）＞0， ∴方程一定有实数根，故D正确，符合题意； 故选：D． 12．（2026•鹿城区校级三模）关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是　﹣4　 ． 【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个相等的实数根， 则Δ＝42﹣4×1×（﹣m）＝0， 解得m＝﹣4， 所以m的值是﹣4． 故答案为：﹣4． 13．（2026春•长春月考）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＞﹣1且m≠0　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根可以得到m≠0，且判别式Δ＞0，从而求出结果． 【解答】解：由题意得，m≠0且Δ＞0， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4•m•（﹣1）＝4+4m＞0， 解得4m＞﹣4，即m＞﹣1， 又∵m≠0， ∴m的取值范围是m＞﹣1且m≠0． 故答案为：m＞﹣1且m≠0． 14．（2025秋•海原县校级期末）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形的面积是 　2　 ． 【分析】由题意解一元二次方程x2﹣6x+4＝0得到或，再根据三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：∵一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根， ∴由公式法解一元二次方程x2﹣6x+4＝0可得， ∴这个直角三角形的面积是， 故答案为：2． 15．（2026•九台区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有实数根，则m的取值范围是m≤4．　 ． 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有实数根， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4×1×m≥0， 解得m≤4． 故答案为：m≤4． 16．（2026春•上城区校级期中）已知三角形的一条边边长为2，另外两边边长分别是方程x2﹣3x+2＝0的两个解，则这个三角形的周长为　5　 ． 【分析】利用因式分解法解方程x2﹣3x+2＝0，然后将它们相加并计算即可． 【解答】解：x2﹣3x+2＝0， 因式分解得：（x﹣1）（x﹣2）＝0， 解得：x1＝1，x2＝2， 那么这个三角形的三边长为2，2，1， 则2+2+1＝5， 即这个三角形的周长为5， 故答案为：5． 17．（2026•广东二模）若一元二次方程没有实数解，则k的取值范围是k　 ． 【分析】若关于x的一元二次方程，没有实数根，则Δ＝b2﹣4ac＜0，列出关于k的不等式，求得k的取值范围即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程，没有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＜0， 即（﹣1）2﹣4×2×（k）＜0， 解这个不等式得：k． 故答案为：k． 18．用公式法解下列一元二次方程： （1）2x2﹣5x+3＝0； （2）4x2+1＝﹣4x； （3）． 【分析】根据题意，利用公式法依次对所给一元二次方程进行求解即可 【解答】解：（1）2x2﹣5x+3＝0， Δ＝（﹣5）2﹣4×2×3＝1＞0， 则x， 所以； （2）4x2+1＝﹣4x， 4x2+4x+1＝0， Δ＝42﹣4×4×1＝0， 则x， 所以； （3）， 3x2﹣8x﹣2＝0， Δ＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝88＞0， 则x， 所以． 19．（2026•梁溪区一模）当x取何值时，代数式x2﹣x的值与3x+1的值相等？ 【分析】根据题意得x2﹣x＝3x+1，再把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程即可． 【解答】解：根据题意得x2﹣x＝3x+1， 方程化为一般式为x2﹣4x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20， ∴x2±， ∴x1＝2，x2＝2， 即x为2或2时，代数式x2﹣x的值与3x+1的值相等． 20．（2026春•乐清市校级期中）已知一元二次方程ax2+（a﹣2）x+c＝0（a、c为常数，其中a≠0）． （1）若x＝1，求2a+c的值； （2）若a+c＝1，请判别方程根的情况． 【分析】（1）将x＝1代入原方程，即可求解； （2）将a+c＝1代入判别式，计算Δ＞0，即可求解． 【解答】解：（1）当x＝1时，原式＝a+a﹣2+c＝0， ∴2a+c＝2； （2）因为c＝1﹣a， 所以Δ＝（a﹣2）2﹣4ac ＝（a﹣2）2﹣4a（1﹣a） ， 因为，即Δ＞0， 所以该方程有两个不相等的实数根． 21．（2026•香河县模拟）关于x的方程x2﹣x+4﹣m＝0有两个不等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）取一个你喜欢的m值，解这个方程； （3）在（1）的条件下，化简：． 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）取m＝4，然后利用因式分解法解方程即可； （3）根据（1）可得m﹣3＞0，据此根据分式的乘除法运算法则求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝（﹣1）2﹣4（4﹣m）＞0， ∴； （2）取m＝4，则原方程为x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， ∴x＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝0，x2＝1； （3）由（1）得， ∴m﹣3＞0， ∴ ＝﹣2． 22．（2026春•瑶海区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 【分析】（1）根据根的判别式求出Δ的值，再进行判断即可； （2）解方程得到x1＝﹣m，x2＝4，根据方程有一个根不小于5，得到不等式，解不等式即可得到结论． 【解答】（1）证明：由条件可知Δ＝（m﹣4）2﹣4×1×（﹣4m）＝m2+8m+16＝（m+4）2， ∵（m+4）2是非负数， ∴b2﹣4ac≥0． ∴无论m取何实数时，原方程总个实数根； （2）解：x2+（m﹣4）x﹣4m＝0， 解得x1＝﹣m，x2＝4， ∵原方程有一个根不小于5， ∴﹣m≥5， ∴m≤﹣5． 23．（2026春•龙泉市期中）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0． （1）若k＝1，求该方程的解． （2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值． （3）小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解．请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）把x＝﹣1代入方程求解即可； （3）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到Δ＝（2k﹣3）2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论． 【解答】解：（1）若k＝1，则方程为x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， 解得x1＝0，x2＝1； （2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0， 解得k， 故k的值是； （3）小慧同学的观点是否正确， 当k≠0时， ∵方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0， ∴Δ＝（4k﹣3）2﹣4k（3k﹣3）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2， ∴Δ＝（2k﹣3）2≥0， 当k＝0时，3x﹣3＝0， 解得x＝1， ∴无论k取何值，方程都有实根． 24．（2026春•盐城月考）【阅读材料】 解方程：x4﹣5x2+4＝0， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，则x4＝y2， 于是原方程可转化为：y2﹣5y+4＝0， 解得：y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，所以x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，所以x＝±2， 所以原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）在解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0时，若设y＝x2+x，则原方程可转化为y2﹣4y﹣12＝0　 ，解得原方程的根为x1＝﹣3，x2＝2　 ； （2）若（m2+n2﹣3）（m2+n2+3）＝8，则m2+n2＝　　 ； （3）参照上面解题的思想方法解方程：． 【分析】（1）直接代入得关于y的方程，即可得到结果； （2）设t＝m2+n2，则原方程可转化为（t﹣3）（t+3）＝8，t的方程得出，即可求解； （3）设，则原方程可转化为y2﹣6y+9＝0，求出y＝3，即可得出关于x的方程，然后解关于x的分式方程，即可求解． 【解答】解：（1）（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0， 设y＝x2+x，代入原方程直接替换，得转化后的方程：y2﹣4y﹣12＝0， 因式分解得（y﹣6）（y+2）＝0， 解得y1＝6，y2＝﹣2； y＝6时，x2+x＝6，即x2+x﹣6＝0， 因式分解得（x+3）（x﹣2）＝0， 解得x＝﹣3或x＝2， y＝﹣2时，x2+x+2＝0， ∵Δ＝1﹣8＝﹣7＜0， ∴无实根， ∴原方程的根为x1＝﹣3，x2＝2， 故答案为：y2﹣4y﹣12＝0，x1＝﹣3，x2＝2； （2）（m2+n2﹣3）（m2+n2+3）＝8， 设t＝m2+n2， 原方程可化为（t﹣3）（t+3）＝8， 展开得t2﹣9＝8， t2＝17， 解得（负值舍去）， ∴； （3）， 设， 原方程转化为：y2﹣6y+9＝0， （y﹣3）2＝0， 解得y＝3， ∴， x＝3（x﹣2）， 解得x＝3， 检验：x＝3时分母x﹣2＝1≠0， ∴x＝3是原方程的解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 根的判别式与公式法 知识点一：根的判别式 1.一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即； （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 知识点二：公式法求一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当≥0时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若≥0，则利用公式求出原方程的解；若＜0，则原方程无实根. 题型一：求根的判别式 【典例精讲】（2026•思明区模拟）已知方程2x2﹣3x﹣1＝0，利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac判断方程的根的情况，则a，b，c对应的值为（　　） A．a＝2，b＝3，c＝1 B．a＝2，b＝﹣3，c＝1 C．a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝1 【变式训练1】（2026•宁夏模拟）方程x2﹣3x＝4化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，在计算根的判别式Δ时，下列判断错误的是（　　） A．a＝1 B．b＝﹣3 C．c＝4 D．Δ＝25 【变式训练2】（2026•南阳模拟）为分析一元二次方程x2＝3x﹣1根的情况，四位同学分别计算根的判别式，其中正确的是（　　） A．32+2×1×（﹣1）＝7 B．（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13 C．（﹣3）2﹣1×1＝8 D．（﹣3）2﹣4×1×1＝5 题型二：根据判别式判断根的情况 【典例精讲】（2026•扬州）关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【变式训练1】（2026•越秀区校级二模）一元二次方程4x2﹣7x+3＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式训练2】（2026春•西湖区校级期中）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的实数根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 题型三：根据根的情况求参数 【典例精讲】（2026•朝阳区校级模拟）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是（　　） A．2 B．1 C． D．0 【变式训练1】（2026春•肥西县校级期中）若关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可能是（　　） A．﹣1 B．2 C． D．﹣2 【变式训练2】（2026•金水区校级四模）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 题型四：利用公式法还原一元二次方程 【典例精讲】（2025•河南校级三模）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【变式训练1】在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到x，则该一元二次方程可能为（　　） A．2x2+5x﹣1＝0 B．2x2﹣5x﹣1＝0 C．2x2﹣5x+1＝0 D．5x2﹣2x﹣1＝0 【变式训练2】（2025春•霍邱县月考）用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 题型五：用公式法解一元二次方程 【典例精讲】（2026春•鄞州区校级期中）解方程： （1）5（x﹣2）2＝20； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 【变式训练1】（2026春•盐城月考）解一元二次方程： （1）； （2）（x﹣2）2＝25； （3）x2+6x﹣7＝0（用配方法解）； （4）2x2﹣3x＝4（用公式法解）． 【变式训练2】（2026春•沂源县期中）解方程： （1）4x2﹣8x+1＝0（配方法）； （2）3x2+5（2x+1）＝0（公式法）； 题型五：用公式法解一元二次方程之错解还原问题 【典例精讲】（2026春•招远市期中）在学习一元二次方程的解法中我们发现，用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），可以得到一元二次方程的求根公式． （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式是x＝　　 ，我们也把用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法； （2）小明在用公式法解方程x2﹣6x＝5时出现了错误，解答过程如表：请问，小明的解答过程是从 第　　 步开始出错的，其错误原因是　　　 　　 ． 解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝5（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×5＝16（第二步） ∴（第三步） ∴x1＝5，x2＝1（第四步） （3）请你用自己学过的方法写出此题正确的解答过程． 【变式训练1】（2025•深圳校级模拟）小海在用公式法解方程2x2﹣4x＝5时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程2x2﹣4x＝5 解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝5（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×5＝﹣24＜0（第二步） ∴原方程无实数根（第三步） （1）小海的解答过程从第　　 步开始出错的，其错误的原因是　　 ； （2）请你写出此题的正确的求解过程． 【变式训练2】（2025秋•信都区期中）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程：3x2﹣5x＝2 解：将方程化为一般形式，得3x2﹣5x+2＝0，第一步， a＝3，b＝5，c＝2，第二步； ∵Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×3×2＝1＞0，第三步； ∵x第四步， 即x1，x2＝1第五步． （1）开始出现错误的步骤是第　　 步； （2）请给出此题正确的解答过程． 题型六：根的判别式与等腰三角形 【典例精讲】（2026春•西湖区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+k＝0． （1）证明：此方程一定有两个实数根． （2）若一个等腰三角形的一边为5，另外两边的长是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【变式训练1】（2026春•西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． （1）求证：此方程一定有两个实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为1，当△ABC是等腰三 角形时，求m的值． 【变式训练2】（2025秋•永顺县期末）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 题型七：根的判别式与四边形 【典例精讲】（2026•邢台校级模拟）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+8）x+8＝0． （1）求证：无论a取任何非零实数，该方程总有实数根； （2）若平行四边形ABCD的两边AB，BC的长是已知方程的两个实数根，当a为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求此菱形的边长． 【变式训练1】（2025秋•淅川县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求k的值． 【变式训练2】已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．当m满足什么条件时，四边形ABCD是菱形，此时该菱形的边长是多少？ 1．（2026春•临淄区期中）用公式法解方程2x2+7x＝5时，得，则“□”处应填（　　） A．5 B．﹣5 C．﹣7 D．7 2．（2026春•莱州市期中）若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．5 B．7 C．﹣5 D．﹣7 3．（2026•商水县一模）定义运算：a※b＝a2﹣2ab+1．例如：4※3＝42﹣2×4×3+1＝﹣7．则方程3x※（﹣1）＝﹣2的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 4．（2026•辉县市二模）定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3有实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2026春•庐阳区校级期中）一元二次方程的较小的实数根应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 6．（2026•沂源县二模）关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．m≤4 C．m＜4且m≠2 D．m≤4且m≠2 7．（2026•郏县二模）已知关于x的一元二次方程，则该一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 8．（2026春•柯城区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m＜3且m≠1 C．m≤3且m≠1 D．m＜3 9．（2025秋•长宁县期末）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{﹣1，﹣3}＝﹣1；按照这个规定，若max{x，﹣x}，则x的值是（　　） A．﹣1 B．﹣1或2 C．2 D．1或2 10．（2026春•张店区校级月考）利用公式法解得一元二次方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b，则a的值为（　　） A． B． C． D． 11．（2026春•义乌市校级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列判断正确的是（　　） A．若x＝c是该方程的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立 B．若a+c＝b，则方程ax2+bx+c＝0有一根为x＝1 C．若该方程的解为x＝2和x，则方程cx2﹣bx+a＝0的解是x＝3或x D．当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根 12．（2026•鹿城区校级三模）关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是　 ． 13．（2026春•长春月考）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 ． 14．（2025秋•海原县校级期末）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形的面积是 　 ． 15．（2026•九台区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有实数根，则m的取值范围是　 ． 16．（2026春•上城区校级期中）已知三角形的一条边边长为2，另外两边边长分别是方程x2﹣3x+2＝0的两个解，则这个三角形的周长为　 ． 17．（2026•广东二模）若一元二次方程没有实数解，则k的取值范围是　 ． 18．用公式法解下列一元二次方程： （1）2x2﹣5x+3＝0； （2）4x2+1＝﹣4x； （3）． 19．（2026•梁溪区一模）当x取何值时，代数式x2﹣x的值与3x+1的值相等？ 20．（2026春•乐清市校级期中）已知一元二次方程ax2+（a﹣2）x+c＝0（a、c为常数，其中a≠0）． （1）若x＝1，求2a+c的值； （2）若a+c＝1，请判别方程根的情况． 21．（2026•香河县模拟）关于x的方程x2﹣x+4﹣m＝0有两个不等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）取一个你喜欢的m值，解这个方程； （3）在（1）的条件下，化简：． 22．（2026春•瑶海区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 23．（2026春•龙泉市期中）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0． （1）若k＝1，求该方程的解． （2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值． （3）小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解．请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由． 24．（2026春•盐城月考）【阅读材料】 解方程：x4﹣5x2+4＝0， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，则x4＝y2， 于是原方程可转化为：y2﹣5y+4＝0， 解得：y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，所以x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，所以x＝±2， 所以原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）在解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0时，若设y＝x2+x，则原方程可转化为　 ，解得原方程的根为　 ； （2）若（m2+n2﹣3）（m2+n2+3）＝8，则m2+n2＝　 ； （3）参照上面解题的思想方法解方程：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $