第7讲 用因式分解法解一元二次方程 讲义 2026-2027学年苏科版数学九年级上册【暑假预习】

第7讲 用因式分解法解一元二次方程 知识点一：因式分解法 1.概念：当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这个一元 二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 2. 步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点二：常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 题型一：用因式分解法求一元二次方程 【典例精讲】（2025秋•长垣市期末）一元二次方程x2＝x的解是（　　） A．x＝1 B．x＝0 C．， D．x1＝1，x2＝0 【分析】利用因式分解的方法即可得出方程的解． 【解答】解：由题意得，x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， ∴x1＝0，x2＝1． 故选：D． 【变式训练1】（2026•巨野县模拟）已知一元二次方程（x+1）2＝3x+3的两个根分别是点P的横坐标、纵坐标，则点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【分析】先根据因式分解法解一元二次方程，即可得出点P的坐标，再根据坐标系中各象限内点的坐标的特征判断即可． 【解答】解：（x+1）2＝3x+3， （x+1）2＝3（x+1）， （x+1）2﹣3（x+1）＝0， （x+1）（x+1﹣3）＝0， （x+1）（x﹣2）＝0， x+1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝2， ∴点P的坐标是（﹣1，2）或（2，﹣1）， ∴点P在第二象限或第四象限， 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•太原期末）关于x的一元二次方程的两根为x1＝﹣1，x2＝2，则这个一元二次方程可能是（　　） A．（x+1）（x+2）＝0 B．（x﹣1）（x﹣2）＝0 C．（x+1）（x﹣2）＝0 D．（x﹣1）（x+2）＝0 【分析】利用因式分解法对选项中的方程进行求解即可 【解答】解：由（x+1）（x+2）＝0得， x1＝﹣1，x2＝﹣2， 所以A选项不符合题意； 由（x﹣1）（x﹣2）＝0得， x1＝1，x2＝2， 所以B选项不符合题意； 由（x+1）（x﹣2）＝0得， x1＝﹣1，x2＝2， 所以C选项符合题意； 由（x﹣1）（x+2）＝0得， x1＝1，x2＝﹣2， 所以D选项不符合题意． 故选：C． 题型二：用十字相乘法解一元二次方程 【典例精讲】（2026•河南一模）已知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程x2﹣10x+24＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．12 B．16 C．16或18 D．18 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系筛选出符合条件的第三边，最后计算周长得到结果． 【解答】解：x2﹣10x+24＝0， （x﹣4）（x﹣6）＝0， x﹣4＝0或x﹣6＝0， 解得x＝4或x＝6， ∵三角形两边长为4和8， ∴8﹣4＜c＜8+4，即4＜c＜12， ∴x＝4不符合三边关系，舍去； x＝6符合要求， ∴三角形的周长为4+8+6＝18． 故选：D． 【变式训练1】（2026•巨野县一模）对于实数a，b定义一种新运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如4☆3＝4×32﹣4×3＝24，则关于x的方程1☆x＝2的根为 x1＝2，x2＝﹣1　 ． 【分析】根据题意列出方程x2﹣x＝2，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：1☆x＝2， x2﹣x＝2， x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1， 故答案为：x1＝2，x2＝﹣1． 【变式训练2】（2026春•越城区校级期中）将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0．所以方程x2+2x﹣35＝0可以这样求解：方程左边因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0，所以原方程的解为x1＝﹣7，x2＝5． 【解决问题】 （1）分解因式：x2+5x+4＝（x+　1　 ）（x+　4　 ）； （2）试用上述方法和原理解下列方程： ①x2﹣10x+21＝0； ②2024x2+2019x﹣5＝0． 【分析】（1）根据十字相乘法分解即可； （2）根据十字相乘法求解即可． 【解答】解：（1）x2+5x+4＝（x+1）（x+4）， 故答案为：1，4； （2）①x2﹣10x+21＝0， ∴（x﹣7）（x﹣3）＝0， ∴原方程的解为x1＝7，x2＝3； ②2024x2+2019x﹣5＝0， ∴（2024x﹣5）（x+1）＝0， ∴，x2＝﹣1． 题型三：用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题 【典例精讲】（2026•衢江区模拟）解方程： 解一元二次方程x2﹣2x＝3时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：x（x﹣2）＝3， 所以x＝1或x﹣2＝3， 所以x＝1或x2＝5． （1）你认为x1＝1是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； （2）请选择合适的方法解原方程． 【分析】（1）根据题意，将x＝1代入方程进行计算即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x1＝1不是原方程的解，理由如下： 当x＝1时， 左边＝12﹣2×1＝﹣1，右边＝3， 因为左边≠右边， 所以x＝1不是原方程的解； （2）x2﹣2x＝3， x2﹣2x﹣3＝0， （x+1）（x﹣3）＝0， 则x+1＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝3． 【变式训练1】（2026春•裕安区月考）习题课上老师给了一道解方程的题目：x2+3x＝2x+6．小马和小明的解法如下： 小马的解法 原方程可化为：x2+x﹣6＝0…第一步， ∴（x﹣3）（x+2）＝0…第二步， ∴x1＝3，x2＝﹣2…第三步． 小明的解法 原方程可化为：x（x+3）＝2（x+3）…第一步， 两边都除以（x+3）…第二步， ∴x＝2…第三步． （1）他们的解法都是错误的，小马从第　二　 步开始错误，小明从第　二　 步开始错误； （2）写出方程正确的解答过程． 【分析】（1）小马第二步方程左边因式分解错误，小明第二步忽略了（x+3）的值可以为0； （2）先把原方程化为x（x+3）＝2（x+3），再移项得x（x+3）﹣2（x+3）＝0，然后利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）小马从第二步开始错误，理由是方程左边进行因式分解时，因式分解错误；小明从第二步开始错误，理由是（x+3）的值可以为0，方程两边不能直接同时除以（x+3）； 故答案为：二，二； （2）原方程变形可得： ∴x（x+3）﹣2（x+3）＝0， ∴（x+3）（x﹣2）＝0， ∴x+3＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝2． 【变式训练2】（2026•萧山区校级模拟）小明与小红两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框： 小明： 等号两边同除以（x﹣3）， 得3＝x﹣3， 则x＝6． 小红： 移项得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． 请判断小明与小红的解法是否正确，如果不正确，请写出你的解答过程． 【分析】根据因式分解法解一元二次方程的步骤即可解决问题． 【解答】解：由题知， 小明和小红的解法都不正确，解答过程如下： 3（x﹣3）＝（x﹣3）2， 3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， （x﹣3）（3﹣x+3）＝0， （x﹣3）（6﹣x）＝0， 则x﹣3＝0或6﹣x＝0， 所以x1＝3，x2＝6． 题型四：选择合适的方法解一元二次方程 【典例精讲】（2025秋•西丰县期末）解方程： （1）x2﹣2x﹣15＝0； （2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝0， （x+3）（x﹣5）＝0， 则x+3＝0或x﹣5＝0， 所以x1＝﹣3，x2＝5； （2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）， （x﹣3）2+2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝3，x2＝1． 【变式训练1】（2026春•朝阳区校级期中）解下列一元二次方程： （1）（x﹣4）2＝4； （2）（x+2）2＝5（x+2）； （3）x2﹣4x＝3； （4）3x2﹣7x+1＝0． 【分析】（1）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （3）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可； （4）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）（x﹣4）2＝4， 则x﹣4＝±2， 所以x1＝2，x2＝6； （2）（x+2）2＝5（x+2）， （x+2）2﹣5（x+2）＝0， （x+2）（x﹣3）＝0， 则x+2＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝﹣2，x2＝3； （3）x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝3+4， （x﹣2）2＝7， 则x﹣2， 所以； （4）3x2﹣7x+1＝0， Δ＝（﹣7）2﹣4×3×1＝37＞0， 则x， 所以． 【变式训练2】（2026春•海淀区校级月考）解方程： （1）x2﹣7x+6＝0； （2）（5x﹣1）2+（5x﹣1）＝0． 【分析】（1）利用因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【解答】解：（1）x2﹣7x+6＝0， （x﹣1）（x﹣6）＝0， x﹣1＝0或x﹣6＝0， ∴x1＝1，x2＝6． （2）（5x﹣1）2+（5x﹣1）＝0， （5x﹣1）[（5x﹣1）+1]＝0， （5x﹣1）（5x﹣1+1）＝0， 5x（5x﹣1）＝0， 5x＝0或5x﹣1＝0， ∴x1＝0，． 题型五：用换元法解一元二次方程 【典例精讲】（2026春•鼓楼区校级月考）已知实数m，n满足（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣15＝0，则m2+n2的值为（　　） A．3 B．5 C．5或3 D．﹣3或5 【分析】设x＝m2+n2，则x2﹣2x﹣15＝0，然后解一元二次方程，再利用偶次方的非负性舍去不符合题意的解，即可得到最终结果． 【解答】解：设x＝m2+n2， ∵（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣15＝0， ∴x2﹣2x﹣15＝0， ∴（x﹣5）（x+3）＝0， ∴x﹣5＝0或x+3＝0， 解得x1＝5，x2＝﹣3， ∵x＝m2+n2≥0， ∴x＝5， 即m2+n2的值为5， 故选：B． 【变式训练1】（2026•海门区校级模拟）已知a、b满足（a2﹣b2）（a2﹣b2+4）+4＝0，则代数式a2﹣b2的值为（　　） A．﹣2 B．4 C．﹣2或4 D．2 【分析】设x＝a2﹣b2，方程化为关于x的一元二次方程，求出方程的解即可得到a2﹣b2的值． 【解答】解：设x＝a2﹣b2，方程化为x2+4x+4＝0， ∴（x+2）2＝0， 解得：x＝﹣2， ∴a2﹣b2＝﹣2， 故选：A． 【变式训练2】（2026春•相城区期中）在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2﹣3|x|+2＝0． 解：设|x|＝t，则原方程可化为：t2﹣3t+2＝0． 解得：t1＝1，t2＝2． 当t＝1时，|x|＝1，∴x＝±1； 当t＝2时，|x|＝2，∴x＝±2． ∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：x2﹣2|x|＝0； （2）解方程：． 【分析】（1）设|x|＝t，则原方程可化为t2﹣2t＝0，解方程求得t的值，再求x的值即可； （2）设m，则原方程可化为m1，整理得m2﹣m﹣2＝0，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解． 【解答】解：（1）设|x|＝t，则原方程可化为：t2﹣2t＝0． 解得：t1＝0，t2＝2． 当t＝0时，|x|＝0， ∴x＝0； 当t＝2时，|x|＝2， ∴x＝±2． ∴原方程的解是：x1＝x2＝0，x3＝2，x4＝﹣2； （2）设m，则原方程可化为m1， 整理得m2﹣m﹣2＝0， ∴（m+1）（m﹣2）＝0， 解得：m＝﹣1或m＝2， 当m＝﹣1时，1，即x2+x+1＝0， 由Δ＝1﹣4×1×1＝﹣3＜0知此时方程无解； 当m＝2时，2，即2x2﹣x﹣1＝0， 解得：x1＝1和x2， 经检验x1＝1和x2都是原分式方程的解． 题型六：新定义问题 【典例精讲】（2025秋•金乡县月考）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于x的二次多项式ax2+bx+c若能分解成两个一次整式相乘的形式（mx+p）（nx+q），当mx+p＝0或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式ax2+bx+c的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如：3x2﹣5x﹣2＝（3x+1）（x﹣2），当3x+1＝0或x﹣2＝0时，3x2﹣5x﹣2的值为0，则多项式3x2﹣5x﹣2的“零值”为和x＝2，3x2﹣5x﹣2的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： （1）多项式9﹣4x2的“零值”为　和　 ，“对称值”为　0　 ； （2）若关于x的多项式x2+mx+9的两个“零值”相等，求m的值以及多项式x2+mx+9的“对称值”； （3）若关于x的多项式x2﹣ax有一个“零值”为x＝6，关于x的另一个多项式x2+bx+c与多项式x2﹣ax的“对称值”相同，且多项式x2+bx+c的两个“零值”之比是2：1，求a，b，c的值． 【分析】（1）由9﹣4x2＝（3+2x）（3﹣2x），再结合“零值”和“对称值”即可求解； （2）由题意令其“零值”为t，则x2+mx+9＝（x﹣t）（x﹣t）＝0，即x2+mx+9＝x2﹣2tx+t2可知m＝﹣2t，t2＝9，可求得t＝3或t＝﹣3，再求出对应的m即可； （3）由x2﹣ax＝x（x﹣a）得a＝6，故“对称值”为3．由x2+bx+c的两个“零值”之比是2：1，且“对称值”为3，设两个“零值”为2t和t可求得t＝2，x2+bx+c＝（x﹣4）（x﹣2）＝x2﹣6x+8，即b＝﹣6，c＝8． 【解答】解：（1）解由条件可知3+2x＝0，3﹣2x＝0， ∴和， ∴“对称值”为． 故答案为：和，0． （2）令其“零值”为t，则x2+mx+9＝（x﹣t）（x﹣t）＝0， ∴x2+mx+9＝x2﹣2tx+t2， ∴m＝﹣2t，t2＝9， ∴t＝3或t＝﹣3， 当“零值”为t＝3时，则m＝﹣2t＝﹣6， ∴对称值为； 当“零值”为t＝﹣3时，则m＝﹣2t＝6， ∴对称值为； 综上，当m＝﹣6，“对称值”为3；当m＝6，“对称值”为﹣3；． （3）∵x2﹣ax＝x（x﹣a）， ∴x＝0，x﹣a＝0， ∵x2﹣ax有一个“零值”为x＝6， ∴a＝6． ∴“对称值”为． ∵x2+bx+c的两个“零值”之比是2：1， ∴设两个“零值”为2t，t ∴， ∴t＝2． ∴x2+bx+c＝（x﹣4）（x﹣2）＝x2﹣6x+8， ∴b＝﹣6，c＝8． ∴a＝6，b＝﹣6，c＝8． 【变式训练1】（2025•石家庄校级模拟）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同根方程”．例如，x2＝9和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝﹣3，所以这两个方程为“同根方程”． （1）请判断一元二次方程（x﹣1）2＝16与x2﹣4x﹣5＝0是否属于“同根方程”，说明理由； （2）关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0与x2﹣m＝0为“同根方程”，求m的值． 【分析】（1）求出两个方程的根，即可判断； （2）根据同根方程的定义求解即可． 【解答】解：（1）这两个方程是“同根方程”， 理由：解（x﹣1）2＝16得x1＝5，x2＝﹣3， 解x2﹣4x﹣5＝0，得x1＝5，x2＝﹣1， ∵一元二次方程（x﹣1）2＝16与x2﹣4x﹣5＝0有且只有一个相同的实数根 x＝5， ∴这两个一元二次方程为“同根方程”； （2）x2﹣3x+2＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， x﹣2＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝1，x2＝2， ∵一元二次方程x2﹣3x+2＝0与x2﹣m＝0为“同根方程”， ∴当相同的实数根为 x＝2 时，将 x＝2 代入x2﹣m＝0得 4﹣m＝0，解得 m＝4，此时一元二次方程x2﹣m＝0的另一个根为 x＝﹣2，符合题意； ∴当相同的实数根为 x＝1 时，将 x＝1 代入x2﹣m＝0得 1﹣m＝0，解得 m＝1，此时一元二次方程x2﹣m＝0的另一个根为x＝﹣1，符合题意； 综上，m的值为1或4． 【变式训练2】（2025秋•石楼县月考）观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：x2﹣2x+1＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝1． 第2个方程：x2﹣3x+2＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝2． 第3个方程：x2﹣4x+3＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝3． 第4个方程：x2﹣5x+4＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝4． … （1）请按照此规律写出一元二次方程x2﹣16x+15＝0的两个根，分别是x1＝1，x2＝15　 ． （2）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0．那么我们称这样的方程为“归零方程” ①一元二次方程5x2﹣12x+7＝0　是　 （填“是”或“不是”）“归零方程”； ②试说明“归零方程”ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根． （3）已知关于x的方程3x2﹣mx+n＝0是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 【分析】（1）根据规律直接写出结果即可； （2）①观察即可； ②由“归零方程”的定义，可得b＝﹣a﹣c，代入判别式Δ＝b2﹣4ac并化简，证明其非负即可说明； （3）利用“归零方程”的定义和已知条件，联立关于m的方程求解即可． 【解答】解：（1）∵第1个方程：x2﹣2x+1＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝1． 第2个方程：x2﹣3x+2＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝2． 第3个方程：x2﹣4x+3＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝3． 第4个方程：x2﹣5x+4＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝4． ∴按照此规律得到方程x2﹣（n+1）x+n＝0的根为x1＝1，x2＝n， ∴x2﹣16x+15＝0的根为x1＝1，x2＝15， 故答案为：x1＝1，x2＝15； （2）①∵5﹣12+7＝0， ∴一元二次方程5x2﹣12x+7＝0是“归零方程”， 故答案为：是； ②∵a+b+c＝0， ∴b＝﹣a﹣c， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0， ∴“归零方程”ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根． （3）∵3x2﹣mx+n＝0是“归零方程”， ∴3﹣m+n＝0， ∴n＝m﹣3， ∴3x2﹣mx+m﹣3＝0． ∵m是这个“归零方程”的一个根， ∴3m2﹣m2+m﹣3＝0， 解得． 1．（2025秋•鲤城区校级期末）解一元二次方程x2﹣2x＝0，最适合的方法是（　　） A．直接开方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 【分析】依据题意，根据一元二次方程x2﹣2x＝0，从而可得x（x﹣2）＝0，故可得解． 【解答】解：由题意，∵一元二次方程为x2﹣2x＝0， ∴x（x﹣2）＝0，故最适合的方法是因式分解法． 故选：B． 2．（2025秋•淇滨区校级期末）已知方程（x﹣1）（3x+7）＝0，则x﹣1的值为（　　） A．1 B． C．0或 D．0或 【分析】先利用因式分解法解一元二次方程，再代入计算x﹣1的值即可． 【解答】解：∵（x﹣1）（3x+7）＝0， ∴x﹣1＝0或3x+7＝0， ∴x1＝1，x2， 当x＝1＝0时，x﹣1＝0； 当x时，， ∴x﹣1的值为0或， 故选：D． 3．（2025秋•红古区期末）一元二次方程x2＝6x的解是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝6 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝6 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：x2＝6x， 移项得：x2﹣6x＝0， 因式分解得：x（x﹣6）＝0， 解得：x1＝0，x2＝6， 故选：D． 4．（2025秋•凉州区校级期末）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边AB的长为方程x2﹣8x+15＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．12 C．20 D．12或20 【分析】解方程得出x＝3或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝3时，3+3＜8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周长． 【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵x2﹣8x+15＝0， 因式分解得：（x﹣3）（x﹣5）＝0， 解得：x＝3或x＝5， 分两种情况： ①当AB＝AD＝3时，3+3＜8，不能构成三角形； ②当AB＝AD＝5时，5+5＞8， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20． 故选：C． 5．（2025秋•丛台区校级期末）下列一元二次方程的解法中，正确的是（　　） A．（x﹣3）（x﹣5）＝10×2，∴x﹣3＝10，x﹣5＝2，∴x1＝13，x2＝7 B．（2﹣5x）+（5x﹣2）2＝0，∴（5x﹣2）（5x﹣3）＝0，∴x1，x2 C．（x+2）2+4x＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2 D．x2＝x两边同除以x，得x＝1 【分析】各方程求出解，即可作出判断． 【解答】解：A、方程整理得：x2﹣8x﹣5＝0， 这里a＝1，b＝﹣8，c＝﹣5， ∵Δ＝64+20＝84， ∴x4±，不符合题意； B、提取公因式得：（2﹣5x）（1+2﹣5x）＝0， 解得：x1，x2，符合题意； C、方程整理得：x2+8x+4＝0， 解得：x4±2，不符合题意； D、方程整理得：x2﹣x＝0，即x（x﹣1）＝0， 解得：x1＝0，x2＝1，不符合题意， 故选：B． 6．（2025秋•贵州期末）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2＝3x，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以x，得x＝3． 移项，得x2﹣3x＝0 ∴x（x﹣3）＝0． ∴x﹣3＝0或x＝0，解得x1＝3，x2＝0． 其中完全正确的是（　　） A．甲 B．都正确 C．乙 D．都不正确 【分析】甲的解法错误，因为两边同时除以 x 可能漏解（当 x＝0 时）；乙的解法正确，通过移项和因式分解得到所有解． 【解答】解：∵甲同学两边同时除以x时，未考虑x＝0的情况，导致漏解； 乙同学移项得x2﹣3x＝0， ∴x（x﹣3）＝0， ∴x﹣3＝0或x＝0， 解得x1＝3，x2＝0， ∴完全正确的是乙． 故选：C． 7．（2025秋•富平县月考）对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程x◇（5x）＝0的根是（　　） A．x1＝x2＝5 B．x1＝x2＝﹣5 C．x1＝﹣5，x2＝0 D．x1＝5，x2＝0 【分析】本题考查了新定义，以及解一元二次方程，根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程，然后求解． 【解答】解：∵， ∴， ∵x◇（5x）＝0， ∴x2+5x＝0， ∴x（x+5）＝0， ∴x＝0或x+5＝0， ∴x1＝0或x2＝﹣5， 故选：C． 8．（2025秋•绛县期末）新定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若（x﹣n）（x+3）＝0是“倍根方程”，则n的值为（　　） A．﹣1或﹣9 B．1 C．﹣9 D．1或9 【分析】通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可． 【解答】解：∵（x﹣n）（x+3）＝0， ∴x1＝n，x2＝﹣3， 又∵该方程是“倍根方程”， 有两种情况： 情况一：n＝3×（﹣3）＝﹣9， 情况二：﹣3＝3×n，解得n＝﹣1， 综上所述，n的值为﹣1或﹣9， 故选：A． 9．（2025秋•浦东新区校级期末）如果关于x的一元二次方程2x2+mx+1＝0的两根为1和，那么多项式2x2+mx+1可分解为　（x﹣1）（2x﹣1）　 ． 【分析】根据一元二次方程的解确定出分解的结果即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+mx+1＝0的两根为1和， ∴2x2+mx+1＝2（x﹣1）（x）＝（x﹣1）（2x﹣1）， 故答案为：（x﹣1）（2x﹣1） 10．（2026•山东）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣m）＝0的一个根是10，则另一个根是　2　 ． 【分析】由（x﹣2）（x﹣m）＝0，可得出x＝2或x＝m，进而可得出方程另一个根是2． 【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣m）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣m＝0， ∴x＝2或x＝m， ∴方程另一个根是2． 故答案为：2． 11．（2026春•榆树市期中）已知方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7，则方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0的根是 x1＝2，x2＝4　 ． 【分析】由方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7，知方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0中2x﹣1＝3或2x﹣1＝7， 【解答】解：∵方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7， ∴在方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0中2x﹣1＝3或2x﹣1＝7， 解得x＝2或x＝4， 故答案为：x1＝2，x2＝4． 12．（2026春•芝罘区期中）一元二次方程x2＝x（2x﹣1）的解是x1＝0，x2＝1　 ． 【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：由题知， x2＝x（2x﹣1）， x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， 则x＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝0，x2＝1． 故答案为：x1＝0，x2＝1． 13．（2026春•奉化区校级期中）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：ad﹣bc，上述记号叫做2阶行列式，若，则x＝　0或　 ． 【分析】根据题意，得出关于x的一元二次方程，再进行计算即可． 【解答】解：由得， （x+1）2﹣x（1﹣x）＝1， x2+2x+1﹣x+x2＝1， 2x2+x＝0， x（2x+1）＝0， 则x＝0或2x+1＝0， 所以x＝0或． 故答案为：0或． 14．（2026春•杭州期中）已知长方形相邻两边的长是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则这个长方形的周长是　10　 ． 【分析】先求解一元二次方程得到两个根，即为长方形相邻两边的长度，再根据长方形周长公式计算即可得到结果． 【解答】解：原方程因式分解得（x﹣2）（x﹣3）＝0， 解得x1＝2，x2＝3， 即长方形相邻两边的长分别为2和3， 长方形周长为2×（2+3）＝10， 故答案为：10． 15．（2026春•虹口区校级月考）方程组有三组不同实数解，则实数a的值（或取值范围）是a＝4　 ． 【分析】通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程求解即可． 【解答】解：将y2＝4x代入第二个方程得（x﹣a）2+4x＝16， 整理得x2+（4﹣2a）x+（a2﹣16）＝0①， 对于方程①的每一个正根x＞0， 代入y2＝4x会得到两个不同的y值， 如果x＝0，则y＝0，对应一组解； ∵方程组有三组不同实数解， ∴方程①的解满足，一个根为x＝0，另一个解为正数； 将x＝0代入方程①，得02+（4﹣2a）•0+（a2﹣16）＝0， 即a2﹣16＝0， 解得a＝±4， 验证：当a＝4时，x2+（4﹣8）x+（16﹣16）＝0， 整理得x2﹣4x＝0， 解得x＝0或x＝4， 当x＝4时，y2＝16， 解得y＝±4， ∴三组实数解为或或； 当a＝﹣4时，x2+12x＝0， 解得x＝0或x＝﹣12（舍去）， 综上，当a＝4时，方程组有三组不同实数解． 16．（2026•城关区模拟）已知实数x满足（x2﹣2x﹣1）2﹣4（x2﹣2x﹣1）﹣5＝0，那么x2﹣2x﹣1的值为　5或﹣1　 ． 【分析】设t＝x2﹣2x﹣1，然后利用因式分解法解关于t的一元二次方程． 【解答】解：设t＝x2﹣2x﹣1，则t2﹣4t﹣5＝0． 整理，得（t﹣5）（t+1）＝0． 所以t＝5或t＝﹣1． 即x2﹣2x﹣1的值为5或﹣1． 故答案为：5或﹣1． 17．（2026•雨花区校级二模）解方程的“规范”就像建筑的“地基”，错一步可能满盘皆错．学习解一元二次方程，必须严格遵守方程变形的基本法则．例如：下面解一元二次方程的过程所得出的错误结果，就是由于不遵守数学基本法则导致的．求解一元二次方程3（x﹣1）2＝2x﹣2时，推理过程如下： 第一步：根据因式分解法，将右边分解为3（x﹣1）2＝2（x﹣1）； 第二步：直接将方程两边同时除以（x﹣1），得到3（x﹣1）＝2； 第三步：去括号，得到3x﹣3＝2； 第四步：移项，得到3x＝5； 第五步：系数化为1，解得． 请你判断上述推理过程中，第　二　 步是错误的，它违背了数学的基本法则． 【分析】根据解一元二次方程的步骤进行判断即可． 【解答】解：由所给解题过程可知， 第二步是错误的，它违背了数学的基本法则． 故答案为：二． 18．（2026春•莱西市期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“牵手方程”，例如方程x2＝4和x2﹣2x＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“牵手方程”．若方程x2+2x﹣3＝0和（x﹣3）（x+m）＝0为“牵手方程”，则m的值为　3或﹣1　 ． 【分析】先求出一元二次方程x2+2x﹣3＝0的解x1＝1，x2＝﹣3，根据方程x2+2x﹣3＝0和（x﹣3）（x+m）＝0为“牵手方程”，分情况求解即可． 【解答】解：若方程x2+2x﹣3＝0和（x﹣3）（x+m）＝0为“牵手方程”， x2+2x﹣3＝0， （x﹣1）（x+3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3， 当相同的根是x＝1时， 代入方程（x﹣3）（x+m）＝0可得（1﹣3）（1+m）＝0， 解得：m＝﹣1； 此时方程为（x﹣3）（x﹣1）＝0，可得：x1＝3，x2＝1，符合题意； 当相同的根是x＝﹣3时， 代入方程（x﹣3）（x+m）＝0得（﹣3﹣3）（﹣3+m）＝0， 解得：m＝3， 此时方程为（x﹣3）（x+3）＝0，可得：x1＝3，x2＝﹣3，符合题意； 故答案为：3或﹣1． 19．（2026•赛罕区校级开学）按要求解方程： （1）3（x﹣1）2﹣27＝0；（用直接开平方法） （2）x2﹣6x﹣4＝0；（用配方法） （3）x2﹣3x﹣1＝0；（用公式法） （4）5x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0．（用因式分解法） 【分析】（1）先变形为（x﹣1）2＝9，然后利用直接开平方法即可求解； （2）先变形为x2﹣6x＝4，再利用配方法得到（x﹣3）2＝13，然后利用直接开平方法即可求解； （3）先计算判别式的值，然后利用公式法即可求解； （4）把方程化为（x﹣3）（5x+2）＝0，然后利用因式分解法即可求解． 【解答】解：（1）3（x﹣1）2﹣27＝0， 3（x﹣1）2＝27， （x﹣1）2＝9， x﹣1＝±3， x1＝4，x2＝﹣2； （2）x2﹣6x﹣4＝0， x2﹣6x＝4， （x﹣3）2＝13， ， ； （3）∵x2﹣3x﹣1＝0， ∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1） ＝9+4 ＝13＞0， ∴ ∴； （4）5x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（5x+2）＝0， x﹣3＝0或5x+2＝0， 20．（2026•枣强县一模）已知整式A＝m（m﹣3）． （1）若m＝﹣3，求A的值； （2）若A的值为4，求m的值． 【分析】（1）把m的值代入进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）当m＝﹣3时，A＝﹣3×（﹣3﹣3）＝﹣3×（﹣6）＝18； （2）当A＝4时，m（m﹣3）＝4， 整理得：m2﹣3m﹣4＝0， （m﹣4）（m+1）＝0， m﹣4＝0或m+1＝0， 解得m1＝4，m2＝﹣1， ∴m的值为4或﹣1． 21．（2025秋•淮安区期中）定义新运算“⊕”如下：a⊕b＝ab+b，解方程：（2x﹣1）⊕（x+2）＝0． 【分析】根据新运算法则得出（2x﹣1）（x+2）+（x+2）＝0，然后解方程即可． 【解答】解：（2x﹣1）⊕（x+2）＝0， （2x﹣1）（x+2）+（x+2）＝0， 2x2+4x﹣x﹣2+x+2＝0， 2x2+4x＝0， x2+2x＝0， x（x+2）＝0， x1＝0，x2＝﹣2． 22．（2026春•包河区校级期中）阅读下面的材料：解方程x4﹣7x2+12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，则x4＝y2.∴原方程可化为y2﹣7y+12＝0．解得y1＝3，y2＝4． 当y＝3时，；当y＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：x4﹣4x2﹣12＝0． （2）已知x＝（a+1）2，y＝（a﹣1）2，试求当x2+y2＝16时a的值． 【分析】（1）依据题意，设x2＝y，则x4＝y2，从而原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0，求出y后代入计算可以得解； （2）依据题意得，x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（4a）2+2（a2﹣1）2＝2a4+12a2+2＝16，故a4+6a2﹣7＝0，又设t＝a2，则t2＝a4，从而原方程可化为t2+6t﹣7＝0，求出t后再代入计算可以得解． 【解答】解：（1）设x2＝y，则x4＝y2， ∴原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0， ∴y1＝﹣2，y2＝6． ∴当y＝﹣2时，x2＝﹣2，无解 当y＝6时， ∴原方程有两个根为：； （2）由题意得，x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（4a）2+2（a2﹣1）2＝2a4+12a2+2＝16， ∴a4+6a2﹣7＝0． 设t＝a2，则t2＝a4， ∴原方程可化为t2+6t﹣7＝0． ∴t1＝1，t2＝﹣7． ∴当t＝1时，a2＝1，a＝±1；当t＝﹣7时，a2＝﹣7，无解． ∴当x2+y2＝16时a的值为±1． 23．（2026春•裕安区月考）我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：（2x+3）2﹣8（2x+3）+15＝0． 解：将2x+3视为一个整体，设2x+3＝y，则原方程可化为：y2﹣8y+15＝0， 因式分解得：（y﹣3）（y﹣5）＝0，解得y1＝3，y2＝5， 当y＝3时，2x+3＝3，解得x1＝0；当y＝5时，2x+3＝5，解得x2＝1； 综上，原方程的解为x1＝0，x2＝1． 请参考例题，解下列方程： （1）3x4﹣5x2﹣2＝0； （2）（x2﹣4x）2+3x2﹣12x﹣18＝0． 【分析】（1）设x2＝y，则原方程可化为3y2﹣5y﹣2＝0，先求出y值，再代入求出x即可； （2）设x2﹣4x＝y，则原方程可化为y2+3y﹣18＝0，先求出y值，再代入求出x即可． 【解答】解：（1）设x2＝y，则原方程可化为3y2﹣5y﹣2＝0， ∴（3y+1）（y﹣2）＝0， 解得，y2＝2， 不符合题意，舍去， 当y＝2时，x2＝2， 解得，， 综上，原方程的解为，； （2）设x2﹣4x＝y，则原方程可化为y2+3y﹣18＝0， ∴（y+6）（y﹣3）＝0， 解得y1＝﹣6，y2＝3， 当y＝﹣6时，x2﹣4x＝﹣6， 整理得x2﹣4x+6＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×6＝﹣8＜0， ∴此方程无实数根； 当y＝3时，x2﹣4x﹣3＝0， 解得，即，， 综上，原方程的解为，． 24．（2025秋•阿克苏地区期中）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，则称这样的方程为“归零方程”． （1）一元二次方程x2﹣16x+15＝0　是　 “归零方程”；一元二次方程5x2+12x+7＝0　不是　 “归零方程”．（填“是”或“不是”） （2）已知关于x的元二次方程3x2﹣mx+n＝0是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 【分析】（1）根据“归零方程”的定义将各项系数相加计算结果是否为零进行判断即可； （2）根据“归零方程”的定义可得3﹣m+n＝0，则n＝m﹣3，方程可变形为3x2﹣mx+m﹣3＝0，因为m 是这个“归零方程”的一 个根，代入即可求解． 【解答】解：（1）x2﹣16x+15＝0， ∵1﹣16+15＝0， ∴此方程是“归零方程”； 5x2+12x+7＝0， ∵5+12+7≠0， ∴此方程不是“归零方程”； 故答案为：是，不是； （2）∵3x2﹣mx+n＝0是“归零方程”， ∴3﹣m+n＝0， ∴n＝m﹣3， ∴3x2﹣mx+m﹣3＝0． ∵m是这个“归零方程”的一个根， ∴3m2﹣m2+m﹣3＝0， 解得． 25．（2025秋•苏州校级期中）定义：已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，若满足|x1•x2|＝|x1﹣x2|，则称此类方程为“积差方程”． 例如：，即，解得，x2＝1，∵，∴是积差方程． （1）下列方程是“积差方程”的是　①　 ．（填序号） ①12x2﹣7x+1＝0；②x2﹣7x+12＝0 （2）若关于x的方程x2+2mx+2m﹣1＝0是“积差方程”，求出m的值． 【分析】（1）先分别求出一元二次方程12x2﹣7x+1＝0和x2﹣7x+12＝0的两个实数根，再分别计算|x1•x2|与|x1﹣x2|的值，最后根据“积差方程”的定义判断方程是否为“积差方程”； （2）先求出关于x的方程x2+2mx+2m﹣1＝0的两根x1＝1﹣2m，x2＝﹣1，再根据关于x的方程x2+2mx+2m﹣1＝0是“积差方程”，得到|（1﹣2m）×（﹣1）|＝|1﹣2m﹣（﹣1）|，最后求解关于m的方程即可． 【解答】解：（1）原方程分解因式可得（3x﹣1）（4x﹣1）＝0， 解得，， ∵， ∴12x2﹣7x+1＝0是积差方程， x2﹣7x+12＝0，即（x﹣3）（x﹣4）＝0， 解得x1＝3，x2＝4， ∵|3×4|≠|3﹣4|， ∴x2﹣7x+12＝0不是积差方程， 故答案为：①； （2）原方程因式分解得（x+2m﹣1）（x+1）＝0， 解得x1＝1﹣2m，x2＝﹣1， ∵关于x的方程x2+2mx+2m﹣1＝0是“积差方程”， ∴|（1﹣2m）×（﹣1）|＝|1﹣2m﹣（﹣1）|， 即|2m﹣1|＝|2﹣2m|， 当2m﹣1＝2﹣2m时，解得， 当2m﹣1＝﹣（2﹣2m）时，此方程无解， 综上，m的值为． 26．（2026春•鲤城区校级期中）我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程x2+2x﹣3＝0即x（x+2）＝3的正根． 方法（Ⅰ）：三国时期数学家赵爽用4个以x和x+2为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为x+x+2的大正方形（如图1）； 根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：（x+x+2）2＝3×4+22，解得正根x＝1　 ； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以x和x+2为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为x+1的正方形（如图3、4）； （1）根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：　（x+1）2＝3+1　 ，解得正根x＝1　 ； （2）实际上，对关于x的方程x（x+m）＝n，可以用方法（Ⅰ）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的n＝　5　 ，求得方程的正根为x＝1　 ； （3）类比图1、图4，请选择一种方法求方程2x2+5x＝3的正根． ①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； ②根据①中的构图，写出新的方程，并解出其正根． 【分析】方法（I）根据（x+x+2）2＝3×4+22结合图象，得出正根x＝1； 方法（Ⅱ）（1）解（x+1）2＝3+12得到正根x＝1； （2）根据每个矩形面积是5，小正方形面积面积是16，得出大正方形面积是36，求解即可； （3）结合（1）（2）的启发得出． 【解答】解：方法（I）∵（x+x+2）2＝3×4+22， ∴说明一个矩形的面积是3，正方形的边长是2， ∴x＝1， 故答案为：x＝1； 方法（Ⅱ）（1）∵（x+1）2＝3+12，解得正根x＝1， 故答案为：（x+1）2＝3+12；x＝1； （2）∵若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16， ∴n＝5， ∵每个矩形面积是5，小正方形面积面积是16，得出大正方形面积是36， ∴正方形的边长x+x+4＝6， ∴x＝1， ∴方程的正根为x＝1， 故答案为：5，x＝1； （3）①∵2x2+5x＝3， ∴x（x）， ∴图中四个完全相同的矩形边长如图，面积为， ②根据图5，得出新方程 （2x）2＝4（）2， ∵方程的右边， ∵（）2， ∴2x＝1， ∴x． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 用因式分解法解一元二次方程 知识点一：因式分解法 1.概念：当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这个一元 二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 2. 步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点二：常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 题型一：用因式分解法求一元二次方程 【典例精讲】（2025秋•长垣市期末）一元二次方程x2＝x的解是（　　） A．x＝1 B．x＝0 C．， D．x1＝1，x2＝0 【变式训练1】（2026•巨野县模拟）已知一元二次方程（x+1）2＝3x+3的两个根分别是点P的横坐标、纵坐标，则点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【变式训练2】（2025秋•太原期末）关于x的一元二次方程的两根为x1＝﹣1，x2＝2，则这个一元二次方程可能是（　　） A．（x+1）（x+2）＝0 B．（x﹣1）（x﹣2）＝0 C．（x+1）（x﹣2）＝0 D．（x﹣1）（x+2）＝0 题型二：用十字相乘法解一元二次方程 【典例精讲】（2026•河南一模）已知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程x2﹣10x+24＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．12 B．16 C．16或18 D．18 【变式训练1】（2026•巨野县一模）对于实数a，b定义一种新运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如4☆3＝4×32﹣4×3＝24，则关于x的方程1☆x＝2的根为 　 ． 【变式训练2】（2026春•越城区校级期中）将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0．所以方程x2+2x﹣35＝0可以这样求解：方程左边因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0，所以原方程的解为x1＝﹣7，x2＝5． 【解决问题】 （1）分解因式：x2+5x+4＝（x+　 ）（x+　 ）； （2）试用上述方法和原理解下列方程： ①x2﹣10x+21＝0； ②2024x2+2019x﹣5＝0． 题型三：用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题 【典例精讲】（2026•衢江区模拟）解方程： 解一元二次方程x2﹣2x＝3时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：x（x﹣2）＝3， 所以x＝1或x﹣2＝3， 所以x＝1或x2＝5． （1）你认为x1＝1是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； （2）请选择合适的方法解原方程． 【变式训练1】（2026春•裕安区月考）习题课上老师给了一道解方程的题目：x2+3x＝2x+6．小马和小明的解法如下： 小马的解法 原方程可化为：x2+x﹣6＝0…第一步， ∴（x﹣3）（x+2）＝0…第二步， ∴x1＝3，x2＝﹣2…第三步． 小明的解法 原方程可化为：x（x+3）＝2（x+3）…第一步， 两边都除以（x+3）…第二步， ∴x＝2…第三步． （1）他们的解法都是错误的，小马从第　 步开始错误，小明从第　 步开始错误； （2）写出方程正确的解答过程． 【变式训练2】（2026•萧山区校级模拟）小明与小红两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框： 小明： 等号两边同除以（x﹣3）， 得3＝x﹣3， 则x＝6． 小红： 移项得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． 请判断小明与小红的解法是否正确，如果不正确，请写出你的解答过程． 题型四：选择合适的方法解一元二次方程 【典例精讲】（2025秋•西丰县期末）解方程： （1）x2﹣2x﹣15＝0； （2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）． 【变式训练1】（2026春•朝阳区校级期中）解下列一元二次方程： （1）（x﹣4）2＝4； （2）（x+2）2＝5（x+2）； （3）x2﹣4x＝3； （4）3x2﹣7x+1＝0． 【变式训练2】（2026春•海淀区校级月考）解方程： （1）x2﹣7x+6＝0； （2）（5x﹣1）2+（5x﹣1）＝0． 题型五：用换元法解一元二次方程 【典例精讲】（2026春•鼓楼区校级月考）已知实数m，n满足（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣15＝0，则m2+n2的值为（　　） A．3 B．5 C．5或3 D．﹣3或5 【变式训练1】（2026•海门区校级模拟）已知a、b满足（a2﹣b2）（a2﹣b2+4）+4＝0，则代数式a2﹣b2的值为（　　） A．﹣2 B．4 C．﹣2或4 D．2 【变式训练2】（2026春•相城区期中）在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2﹣3|x|+2＝0． 解：设|x|＝t，则原方程可化为：t2﹣3t+2＝0． 解得：t1＝1，t2＝2． 当t＝1时，|x|＝1，∴x＝±1； 当t＝2时，|x|＝2，∴x＝±2． ∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：x2﹣2|x|＝0； （2）解方程：． 题型六：新定义问题 【典例精讲】（2025秋•金乡县月考）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于x的二次多项式ax2+bx+c若能分解成两个一次整式相乘的形式（mx+p）（nx+q），当mx+p＝0或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式ax2+bx+c的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如：3x2﹣5x﹣2＝（3x+1）（x﹣2），当3x+1＝0或x﹣2＝0时，3x2﹣5x﹣2的值为0，则多项式3x2﹣5x﹣2的“零值”为和x＝2，3x2﹣5x﹣2的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： （1）多项式9﹣4x2的“零值”为　 ，“对称值”为　 ； （2）若关于x的多项式x2+mx+9的两个“零值”相等，求m的值以及多项式x2+mx+9的“对称值”； （3）若关于x的多项式x2﹣ax有一个“零值”为x＝6，关于x的另一个多项式x2+bx+c与多项式x2﹣ax的“对称值”相同，且多项式x2+bx+c的两个“零值”之比是2：1，求a，b，c的值． 【变式训练1】（2025•石家庄校级模拟）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同根方程”．例如，x2＝9和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝﹣3，所以这两个方程为“同根方程”． （1）请判断一元二次方程（x﹣1）2＝16与x2﹣4x﹣5＝0是否属于“同根方程”，说明理由； （2）关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0与x2﹣m＝0为“同根方程”，求m的值． 【变式训练2】（2025秋•石楼县月考）观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：x2﹣2x+1＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝1． 第2个方程：x2﹣3x+2＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝2． 第3个方程：x2﹣4x+3＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝3． 第4个方程：x2﹣5x+4＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝4． … （1）请按照此规律写出一元二次方程x2﹣16x+15＝0的两个根，分别是　 ． （2）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0．那么我们称这样的方程为“归零方程” ①一元二次方程5x2﹣12x+7＝0　 （填“是”或“不是”）“归零方程”； ②试说明“归零方程”ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根． （3）已知关于x的方程3x2﹣mx+n＝0是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 1．（2025秋•鲤城区校级期末）解一元二次方程x2﹣2x＝0，最适合的方法是（　　） A．直接开方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 2．（2025秋•淇滨区校级期末）已知方程（x﹣1）（3x+7）＝0，则x﹣1的值为（　　） A．1 B． C．0或 D．0或 3．（2025秋•红古区期末）一元二次方程x2＝6x的解是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝6 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝6 4．（2025秋•凉州区校级期末）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边AB的长为方程x2﹣8x+15＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．12 C．20 D．12或20 5．（2025秋•丛台区校级期末）下列一元二次方程的解法中，正确的是（　　） A．（x﹣3）（x﹣5）＝10×2，∴x﹣3＝10，x﹣5＝2，∴x1＝13，x2＝7 B．（2﹣5x）+（5x﹣2）2＝0，∴（5x﹣2）（5x﹣3）＝0，∴x1，x2 C．（x+2）2+4x＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2 D．x2＝x两边同除以x，得x＝1 6．（2025秋•贵州期末）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2＝3x，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以x，得x＝3． 移项，得x2﹣3x＝0 ∴x（x﹣3）＝0． ∴x﹣3＝0或x＝0，解得x1＝3，x2＝0． 其中完全正确的是（　　） A．甲 B．都正确 C．乙 D．都不正确 7．（2025秋•富平县月考）对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程x◇（5x）＝0的根是（　　） A．x1＝x2＝5 B．x1＝x2＝﹣5 C．x1＝﹣5，x2＝0 D．x1＝5，x2＝0 8．（2025秋•绛县期末）新定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若（x﹣n）（x+3）＝0是“倍根方程”，则n的值为（　　） A．﹣1或﹣9 B．1 C．﹣9 D．1或9 9．（2025秋•浦东新区校级期末）如果关于x的一元二次方程2x2+mx+1＝0的两根为1和，那么多项式2x2+mx+1可分解为　 ． 10．（2026•山东）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣m）＝0的一个根是10，则另一个根是　 ． 11．（2026春•榆树市期中）已知方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7，则方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0的根是 　 ． 12．（2026春•芝罘区期中）一元二次方程x2＝x（2x﹣1）的解是　 ． 13．（2026春•奉化区校级期中）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：ad﹣bc，上述记号叫做2阶行列式，若，则x＝　 ． 14．（2026春•杭州期中）已知长方形相邻两边的长是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则这个长方形的周长是　 ． 15．（2026春•虹口区校级月考）方程组有三组不同实数解，则实数a的值（或取值范围）是　 ． 16．（2026•城关区模拟）已知实数x满足（x2﹣2x﹣1）2﹣4（x2﹣2x﹣1）﹣5＝0，那么x2﹣2x﹣1的值为　　 ． 17．（2026•雨花区校级二模）解方程的“规范”就像建筑的“地基”，错一步可能满盘皆错．学习解一元二次方程，必须严格遵守方程变形的基本法则．例如：下面解一元二次方程的过程所得出的错误结果，就是由于不遵守数学基本法则导致的．求解一元二次方程3（x﹣1）2＝2x﹣2时，推理过程如下： 第一步：根据因式分解法，将右边分解为3（x﹣1）2＝2（x﹣1）； 第二步：直接将方程两边同时除以（x﹣1），得到3（x﹣1）＝2； 第三步：去括号，得到3x﹣3＝2； 第四步：移项，得到3x＝5； 第五步：系数化为1，解得． 请你判断上述推理过程中，第　 步是错误的，它违背了数学的基本法则． 18．（2026春•莱西市期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“牵手方程”，例如方程x2＝4和x2﹣2x＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“牵手方程”．若方程x2+2x﹣3＝0和（x﹣3）（x+m）＝0为“牵手方程”，则m的值为　 ． 19．（2026•赛罕区校级开学）按要求解方程： （1）3（x﹣1）2﹣27＝0；（用直接开平方法） （2）x2﹣6x﹣4＝0；（用配方法） （3）x2﹣3x﹣1＝0；（用公式法） （4）5x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0．（用因式分解法） 20．（2026•枣强县一模）已知整式A＝m（m﹣3）． （1）若m＝﹣3，求A的值； （2）若A的值为4，求m的值． 21．（2025秋•淮安区期中）定义新运算“⊕”如下：a⊕b＝ab+b，解方程：（2x﹣1）⊕（x+2）＝0． 22．（2026春•包河区校级期中）阅读下面的材料：解方程x4﹣7x2+12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，则x4＝y2.∴原方程可化为y2﹣7y+12＝0．解得y1＝3，y2＝4． 当y＝3时，；当y＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：x4﹣4x2﹣12＝0． （2）已知x＝（a+1）2，y＝（a﹣1）2，试求当x2+y2＝16时a的值． 23．（2026春•裕安区月考）我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：（2x+3）2﹣8（2x+3）+15＝0． 解：将2x+3视为一个整体，设2x+3＝y，则原方程可化为：y2﹣8y+15＝0， 因式分解得：（y﹣3）（y﹣5）＝0，解得y1＝3，y2＝5， 当y＝3时，2x+3＝3，解得x1＝0；当y＝5时，2x+3＝5，解得x2＝1； 综上，原方程的解为x1＝0，x2＝1． 请参考例题，解下列方程： （1）3x4﹣5x2﹣2＝0； （2）（x2﹣4x）2+3x2﹣12x﹣18＝0． 24．（2025秋•阿克苏地区期中）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，则称这样的方程为“归零方程”． （1）一元二次方程x2﹣16x+15＝0　 “归零方程”；一元二次方程5x2+12x+7＝0　 “归零方程”．（填“是”或“不是”） （2）已知关于x的元二次方程3x2﹣mx+n＝0是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 25．（2025秋•苏州校级期中）定义：已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，若满足|x1•x2|＝|x1﹣x2|，则称此类方程为“积差方程”． 例如：，即，解得，x2＝1，∵，∴是积差方程． （1）下列方程是“积差方程”的是　 ．（填序号） ①12x2﹣7x+1＝0；②x2﹣7x+12＝0 （2）若关于x的方程x2+2mx+2m﹣1＝0是“积差方程”，求出m的值． 26．（2026春•鲤城区校级期中）我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程x2+2x﹣3＝0即x（x+2）＝3的正根． 方法（Ⅰ）：三国时期数学家赵爽用4个以x和x+2为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为x+x+2的大正方形（如图1）； 根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：（x+x+2）2＝3×4+22，解得正根　 ； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以x和x+2为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为x+1的正方形（如图3、4）； （1）根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：　 ，解得正根　 ； （2）实际上，对关于x的方程x（x+m）＝n，可以用方法（Ⅰ）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的n＝　 ，求得方程的正根为　 ； （3）类比图1、图4，请选择一种方法求方程2x2+5x＝3的正根． ①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； ②根据①中的构图，写出新的方程，并解出其正根． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $