第2章第3节一元二次方程的根与系数的关系讲义数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册6

数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册6 《第2章一元二次方程第3节一元二次方程的根与系数的关系》预习讲义 一．预习目标 ( 1.掌握韦达定理（根与系数关系）推导过程，牢记公式x 1 +x 2 =- 、x 1 x 2 = ，牢记使用前提a ≠ 0、 △ ≥ 0。 2.基础应用：不解方程求两根和、两根积；已知一根求另一根与参数。 3.掌握对称代数式变形：x 1 2 +x 2 2 、 、(x 1 -x 2 ) 2 等恒等变换。 4.综合应用：结合判别式求字母参数取值范围、根据两根条件构造一元二次方程。 5.规避高频易错点：忽略 △ ≥ 0、符号计算错误、二次项系数不为1时公式混用。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.韦达定理公式记忆与直接计算； 2.常见根对称代数式恒等变形； 3.已知一根求参数、另一根。 （二）难点 1.含参数题型必须同时满足a ≠ 0、 △ ≥ 0双重条件； 2.(x 1 -x 2 ) 2 、分式型代数式综合化简； 3.结合几何、代数式求值的综合大题。 ) 三．自主探究 （一）韦达定理（根与系数关系）推导（基于求根公式） 观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？ ax2+bx+c=0 x1 x2 x1+x2 x1×x2 1 2 3 2 3 2 －1 －2 -3 2 -3 2 2 3 5 6 5 6 －2 －3 -5 6 -5 6 0 3 3 0 3 0 从上图发现，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是x1、x2，那么x1+x2=，x1×x2=. 一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 用求根公式求出它的两个根x1.x2 ，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知： x1=, x2= =+== =×== 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为：x1+x2=， x1x2= 【归纳】： （1）韦达定理（根与系数关系）：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么 （2）韦达定理（根与系数关系）前提： ①定理成立的条件 ②注意公式重的负号与b的符号的区别 （二）两种标准形式公式 1.一般式：ax2+bx+c=0(a≠0)如果方程有两个实数根，那么 2.简化式（二次项系数为1）：x2+px+q=0，x1+x2=-p， x1x2=q。 （三）高频代数式变形（考试必考） 1. 2. 3. 4. （四）四大基础应用场景 1.不解方程，直接求两根之和、两根之积； 2.已知方程一根，求另一根与方程中字母参数； 3.已知两根数值，构造对应的一元二次方程； 4.结合判别式，根据根的正负、相等、不等限制参数范围。 （五）核心易错前提 韦达定理使用必须同时满足两点： ① a≠0（保证是一元二次方程）； ② △=b2-4ac≥0（保证方程存在实数根，无实根时不能用韦达定理）。 四．经典例题 例1．若方程有一个根是，则另一个根是（    ） A．7 B． C． D．2 例2．已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两根互为相反数 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为4 例3．已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 例4．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则a的值为（    ） A．2 B． C．5 D．6 例5.设是方程的两个根，则 ． 例6.已知菱形的两对角线长分别是一元二次方程的两个根，则该菱形的面积为 ． 例7.已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 例8.关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根是 ． 例9．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实根满足，求的值． 例10．已知一元二次方程 (1)当时，解这个方程； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (3)设此方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025·盐城阜宁期末）一元二次方程x2-4x-3=0两根x1、x2，则x1+x2的值为（ ） A.-4 B.4 C.-3 D.3 2.（2024·常州溧阳期末）方程2x2+5x-1=0两根之积x1x2=（ ） A. B.- C. D.- 3.（2026·盐城响水二模）已知方程x2+kx-6=0一根为2，则另一根为（ ） A.3 B.-3 C.6 D.-6 4．已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 5.已知，是方程x2-x-2028=0的两个实数根，则的值是(     ) A．2026 B．-2026 C．-2027 D．2027 6．设、是方程的两根，则的值是（    ） A．3 B． C． D． （二）填空题 7.（2025·盐城亭湖期末）方程3x2-6x=0，x1+x2=___，x1x2=___ 8.（2026·盐城滨海一模）x1、x2是x2-3x+1=0两根，则=___ （三）解答题 9．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设，是方程的两个根，求的值． 10．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”． (2)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·无锡滨湖期末）2x2=5x-1整理后，两根和为（） A. B.- C. D.- 2.（2024·泰州兴化期末）方程x2+mx+9=0两根相等，则x1x2=（ ） A.9 B.-9 C.m D.0 3.（2026·大丰二模）已知x1、x2是3x2-x-2=0，则x12+x22=（ ） A. B. C. D.- 4．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．3 5．已知a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的两个根，则的值是（　　） A． B． C． D． 6．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则点P（a﹣2，﹣a+3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则的值为（　　） A．0 B．2 C．1 D．﹣1 8．如果m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，那么多项式2n2﹣mn﹣2m的值是（ ） A．16 B．14 C．10 D．6 9．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（　　） A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3 10．已知a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，则代数式﹣a3+5a﹣的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 （二）填空题 11.（2024·苏州姑苏期末）已知两根为2和-5，构造二次项系数为1的一元二次方程：___ 12.（2025·扬州江都期末）x1、x2是x2-2x-4=0两根，则(x1-x2)2=___ 13.（2024·常州新北期末）方程x2+ax-8=0一根为2，则a=___ 14．若方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝　 　． 15．已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，则矩形的面积是　 　． 16．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值是　 　． 17．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，王同学由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，那么＝　 　． 18.若一元二次方程的两个根是，，则的值是 ． 19方程的两个根分别为，，则 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　． （三）解答题 21．已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0． （1）当该方程的一个根为0时，求m的值及方程的另一根； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求符合条件的正整数m的值． 22.若关于x的一元二次方程x2+bx+6=0有一个根是x=2， (1)求b的值及方程的另一个根； (2)若菱形对角线长分别为x1、x2，则这个菱形面积为 ． 23．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”； （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”． ①x2﹣x﹣12＝0； ②x2﹣9x+20＝0； （2）已知关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值． 24．已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 25．如图①，在平行四边形ABCD中，BC＝5，对角线AC，BD的长为x2﹣14x+48＝0的两根，且AC＜BD． （1）请判断四边形ABCD为何特殊的平行四边形，说明你的理由； （2）在（1）成立的情况下，如图②，作AE⊥BC，试求BE的长． 26.已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+3(m-2)=0的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； (3)当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 27．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册6 《第2章一元二次方程第3节一元二次方程的根与系数的关系》预习讲义 一．预习目标 ( 1.掌握韦达定理（根与系数关系）推导过程，牢记公式x 1 +x 2 =- 、x 1 x 2 = ，牢记使用前提a ≠ 0、 △ ≥ 0。 2.基础应用：不解方程求两根和、两根积；已知一根求另一根与参数。 3.掌握对称代数式变形：x 1 2 +x 2 2 、 、(x 1 -x 2 ) 2 等恒等变换。 4.综合应用：结合判别式求字母参数取值范围、根据两根条件构造一元二次方程。 5.规避高频易错点：忽略 △ ≥ 0、符号计算错误、二次项系数不为1时公式混用。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.韦达定理公式记忆与直接计算； 2.常见根对称代数式恒等变形； 3.已知一根求参数、另一根。 （二）难点 1.含参数题型必须同时满足a ≠ 0、 △ ≥ 0双重条件； 2.(x 1 -x 2 ) 2 、分式型代数式综合化简； 3.结合几何、代数式求值的综合大题。 ) 三．自主探究 （一）韦达定理（根与系数关系）推导（基于求根公式） 观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？ ax2+bx+c=0 x1 x2 x1+x2 x1×x2 1 2 3 2 3 2 －1 －2 -3 2 -3 2 2 3 5 6 5 6 －2 －3 -5 6 -5 6 0 3 3 0 3 0 从上图发现，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是x1、x2，那么x1+x2=，x1×x2=. 一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 用求根公式求出它的两个根x1.x2 ，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知： x1=, x2= =+== =×== 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为：x1+x2=， x1x2= 【归纳】： （1）韦达定理（根与系数关系）：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么 （2）韦达定理（根与系数关系）前提： ①定理成立的条件 ②注意公式重的负号与b的符号的区别 （二）两种标准形式公式 1.一般式：ax2+bx+c=0(a≠0)如果方程有两个实数根，那么 2.简化式（二次项系数为1）：x2+px+q=0，x1+x2=-p， x1x2=q。 （三）高频代数式变形（考试必考） 1. 2. 3. 4. （四）四大基础应用场景 1.不解方程，直接求两根之和、两根之积； 2.已知方程一根，求另一根与方程中字母参数； 3.已知两根数值，构造对应的一元二次方程； 4.结合判别式，根据根的正负、相等、不等限制参数范围。 （五）核心易错前提 韦达定理使用必须同时满足两点： ① a≠0（保证是一元二次方程）； ② △=b2-4ac≥0（保证方程存在实数根，无实根时不能用韦达定理）。 四．经典例题 例1．若方程有一个根是，则另一个根是（    ） A．7 B． C． D．2 【答案】A 【解析】方程有一个根是，根据一元二次方程的根与系数的关系可知，两根之和为5，则另一个根为7．故选：A． 例2．已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两根互为相反数 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为4 【答案】D 【解析】方程化为一般式为，，方程有两个不相等的实数根，所以A选项、C选项的说法错误；设方程的两根为、，根据根与系数的关系得，即方程的两根之和为4，所以B选项的说法错误，D选项的说法正确．故选：D． 例3．已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，是方程的两个实数根，∴，，，∴，∴，故选：． 例4．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则a的值为（    ） A．2 B． C．5 D．6 【答案】C 【解析】根据题意得，解得，，，，，，．故选：C． 例5.设是方程的两个根，则 ． 【答案】3 【解析】在中，，∵、是方程的两个根，，故答案为：3． 例6.已知菱形的两对角线长分别是一元二次方程的两个根，则该菱形的面积为 ． 【答案】 【解析】，，，，∴，∴．故答案为：． 例7.已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【解析】∵，是一元二次方程的两个根，∴，，∴．故答案为：． 例8.关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根是 ． 【答案】 【解析】设方程的另一个根为，根据题意得，，解得：，∴方程的另一个根为．故答案为：． 例9．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实根满足，求的值． 解：（1）∵关于的一元二次方程有两个实数根，∴，解得：； （2）∵一元二次方程的两个实根是和，∴，，∵，∴，解得：． 例10．已知一元二次方程 (1)当时，解这个方程； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (3)设此方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 解：（1）当时，方程变为，即，∴或，，； （2）根据题意，解得； （3）根据题意得，，而，，，． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025·盐城阜宁期末）一元二次方程x2-4x-3=0两根x1、x2，则x1+x2的值为（ ） A.-4 B.4 C.-3 D.3 【答案】：B 【解析】：a=1,b=-4，x1+x==4；易错陷阱：忽略公式负号，误选A。 2.（2024·常州溧阳期末）方程2x2+5x-1=0两根之积x1x2=（ ） A. B.- C. D.- 【答案】：D 【解析】：a=2,c=-1，x1x2==-。 3.（2026·盐城响水二模）已知方程x2+kx-6=0一根为2，则另一根为（ ） A.3 B.-3 C.6 D.-6 【答案】：B 【解析】：设另一根m，2m=-6，m=-3；无需代入求k，直接用两根之积快速计算。 4．已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 【答案】D 【解析】∵，∴，，设，则方程变为，∵，∴设，方程同样变为：，因此，和是方程 的两个根，∴，故选：D． 5.已知，是方程x2-x-2028=0的两个实数根，则的值是(     ) A．2026 B．-2026 C．-2027 D．2027 【答案】B 【解析】∵a，b是方程x2-x-2028=0的两个实数根，，∴a+b=1，ab=-2028，= Ab+a+b+1=-2028+1+1=-2026. 6．设、是方程的两根，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】、是方程的两根，故选：D． （二）填空题 7.（2025·盐城亭湖期末）方程3x2-6x=0，x1+x2=___，x1x2=___ 【答案】：2；0 【解析】：化为标准式3x2-6x+0=0，x1+x2=-=2，x1x2==0。 8.（2026·盐城滨海一模）x1、x2是x2-3x+1=0两根，则=___ 【答案】：3 【解析】：原式==3。 （三）解答题 9．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设，是方程的两个根，求的值． 解：（1）证明：∵，∴ ∴故无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）依题意， ∵，∴，∴，则． 10．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”． (2)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 解：（1）∵，∴解得．∵，∴是“3倍根方程”． （2）∵，解得  ．∵是“3倍根方程”，分情况讨论：①则：．②则：． （3）∵（是常数）是“3倍根方程”，∴不妨设是的三倍，由韦达定理：，解得．当时，，∴．当，，∴． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·无锡滨湖期末）2x2=5x-1整理后，两根和为（） A. B.- C. D.- 【答案】：A 【解析】：标准式2x2-5x+1=0，x1+x2=。 2.（2024·泰州兴化期末）方程x2+mx+9=0两根相等，则x1x2=（ ） A.9 B.-9 C.m D.0 【答案】：A 【解析】：x1x2=9，与m无关。 3.（2026·大丰二模）已知x1、x2是3x2-x-2=0，则x12+x22=（ ） A. B. C. D.- 【答案】：A 【解析】：x1+x2=，x1x2=-，原式=（x1+x2）2-2x1x2=+= 4．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．3 【答案】D 【解析】方程x2﹣3x﹣1＝0中Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，根据两根之和公式求出两根之和为3．方程x2﹣x+3＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×3＝﹣11＜0，所以该方程无解．∴方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0一共只有两个实数根，即所有实数根的和3．故选：D． 5．已知a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的两个根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的两个根，∴ab＝3．∴＝+＝2＝2．故选：D． 6．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则点P（a﹣2，﹣a+3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】：B 【解析】：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴a≠0，Δ＝（﹣1）﹣4a×（﹣）＝0，解得：a＝﹣1．∴a﹣2＝﹣3，﹣a+3＝2，∴点P（a﹣2，﹣a+3）在第二象限．故选：B． 7．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则的值为（　B　） A．0 B．2 C．1 D．﹣1 【答案】：B 【解析】：∵x1，x2是一元二次方程x2−x−1＝0的两个根，∴x1+x2＝1，x12−x1−1＝0，两式相加得：x12−x1−1+x1+x2＝1，移项得：x12+x2＝2，故选：B． 8．如果m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，那么多项式2n2﹣mn﹣2m的值是（ ） A．16 B．14 C．10 D．6 【答案】：B 【解析】：∵n是一元二次方程x2+x＝4的根，∴n2+n＝4，即n2＝﹣n+4，∵m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣4，∴2n2﹣mn﹣2m＝2（﹣n+4）﹣mn﹣2m＝﹣2（m+n）﹣mn+8＝2+4+8＝14．故选：B． 9．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（　　） A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3 【答案】D 【解析】∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根， ∴x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，∴+＝＝＝1，解得：m＝3或m＝﹣1， 把m＝3代入方程得：x2﹣9x+9＝0，Δ＝（﹣9）2﹣4×1×9＞0，此时方程有解；把m＝﹣1代入方程得：x2﹣x+1＝0，Δ＝1﹣4×1×1＜0，此时方程无解，即m＝﹣1舍去．故选：D． 10．已知a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，则代数式﹣a3+5a﹣的值是（　B　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【答案】：B 【解析】：∵a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，∴a2﹣a＝5，ab＝﹣5，∴a2﹣5＝a，a＝﹣， ∴﹣a3+5a﹣＝﹣a（a2﹣5）﹣＝﹣a2+a＝﹣（a2﹣a）＝﹣5．故选：B． （二）填空题 11.（2024·苏州姑苏期末）已知两根为2和-5，构造二次项系数为1的一元二次方程：___ 【答案】：x2+3x-10=0 【解析】：p=-(2-5)=3，q=2×(-5)=-10，方程x2+px+q=0，x2+3x-10=0。 12.（2025·扬州江都期末）x1、x2是x2-2x-4=0两根，则(x1-x2)2=___ 【答案】：20 【解析】：x1+x2=2，x1x2=-4，原式=22-4×(-4)=4+16=20。 13.（2024·常州新北期末）方程x2+ax-8=0一根为2，则a=___ 【答案】：2 【解析】：另一根-4，2+(-4)=-a ⇒ a=2。 14．若方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝　 　． 【答案】 7 【解析】∵方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣6，∴|x1﹣x2|2＝ （x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣5）2﹣4×（﹣6）＝49，∴|x1﹣x2|＝7，故答案为：7． 15．已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，则矩形的面积是　 　． 【答案】 4 【解析】设矩形的长和宽分别为a、b，∵矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，∴a+b＝﹣，ab＝＝4，即矩形的面积是4，故答案为：4 16．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值是　 　． 【答案】9 【解析】根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7，所以x12+3x1x2+x22＝（x1+x2）2+x1x2＝16﹣7＝9．故答案为：9． 17．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，王同学由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，那么＝　 　． 【答案】﹣ 【解析】设王同学将a看成a′，得到方程a′x2+bx+c＝0有两根为2和4， 根据根与系数的关系得﹣＝6，＝8，则＝﹣．故答案为：﹣． 18.若一元二次方程的两个根是，，则的值是 ． 【答案】7 【解析】解：，是一元二次方程的两个根，，，，故答案为：． 19方程的两个根分别为，，则 【答案】37 【解析】∵是方程的两根，，，故答案为：37． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　． 【答案】﹣3 【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，解得k≤，由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k， ∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16， ∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，整理得k2﹣2k﹣15＝0，解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3． ∴k＝﹣3，故答案为﹣3． （三）解答题 21．已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0． （1）当该方程的一个根为0时，求m的值及方程的另一根； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求符合条件的正整数m的值． 解：（1）当x＝0时，0+0+m﹣2＝0∴m＝2，∴x2+2x＝0，∴x＝0或x＝﹣2， 即方程的另一根是﹣2； （2））∵关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝22﹣4（m﹣2）＝﹣4m+12＞0，∴m＜3，∵m为正整数，∴m＝1，2． 22.若关于x的一元二次方程x2+bx+6=0有一个根是x=2， (1)求b的值及方程的另一个根； (2)若菱形对角线长分别为x1、x2，则这个菱形面积为 ． 解：设方程的另一个根为，根据题意，得，解得， ∴，方程的另一个根为． （2）∵菱形对角线长分别为、，∴菱形的面积为，故答案为：． 23．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”； （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”． ①x2﹣x﹣12＝0； ②x2﹣9x+20＝0； （2）已知关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值． 解：（1）①分解因式得：（x﹣4）（x+3）＝0，解得：x＝4或x＝﹣3，∵4≠﹣3+1， ∴x2﹣x﹣12＝0不是“邻根方程”； ②分解因式得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，解得：x＝4或x＝5，∵5＝4+1， ∴x2﹣9x+20＝0是“邻根方程”； （2）分解因式得：（x+m）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣m或x＝1，∵方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程，∴﹣m＝1+1或﹣m＝1﹣1，∴m＝0或﹣2． 24．已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 解：（1）当时，原方程为，∵关于的一元二次方程的两个根是和，∴，，∴； （2）∵，∴无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根．∵关于的一元二次方程的两个根是和，∴，，∵，∴． 25．如图①，在平行四边形ABCD中，BC＝5，对角线AC，BD的长为x2﹣14x+48＝0的两根，且AC＜BD． （1）请判断四边形ABCD为何特殊的平行四边形，说明你的理由； （2）在（1）成立的情况下，如图②，作AE⊥BC，试求BE的长． 解：（1）平行四边形ABCD为菱形，理由如下：解方程x2﹣14x+48＝0得x1＝6，x2＝8， ∵AC＜BD，∴AC＝6，BD＝8，∴BO＝4，CO＝3，∵32+42＝52，∴BO2+CO2＝BC2， ∴∠BOC＝90°，∵四边形ABCD为平行四边形，且AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形： （2）∵四边形ABCD为菱形：∴AE•BC＝BD，∴5AE＝，∴AE＝， ∴BE＝＝＝1.4．故BE的长为1.4． 26.已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+3(m-2)=0的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； (3)当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 解：（1）∵，∴ ； ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）由题意，得：，∵是以为斜边的直角三角形，∴，∴ ，解得：或（不合题意，舍去）；∴； （3）①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得：， ∴，∴方程为：，解得：，∴等腰三角形的三边为：， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根，∴，∴， ∴方程为：，解得：，∴等腰三角形的周长为：； 综上：周长为11或13 27．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 解：（1）∵一元二次方程的两个根为，，∴，．故答案为：，； （2）∵一元二次方程的两根分别为m、n，∴，，∴； （3）∵实数s、t满足，∴s、t可以看作方程的两个根，∴，，∵ ，∴或，当时，， 当时，，综上分析可知，的值为或． （4）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴解得∵关于的一元二次方程 ∴，∵∴ ∴解得综上所述，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $