2.4用一元二次方程解决问题预习讲义 2026年暑假苏科版九年级数学上册预习手册

数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册7 《第2章一元二次方程第4节用一元二次方程解决问题》预习讲义 一．预习目标 ( 1.掌握列一元二次方程解实际问题通用六步流程：审、设、列、解、检、答，理解检验根实际意义的必要性。 2.熟练五大高频题型建模：增长率/下降率、销售利润、几何面积、传播分支、循环计数，熟记各类题型核心等量关系式。 3.能结合生活、本地情境提取等量关系，准确设未知数、规范列方程，会舍去不符合现实的负根、超范围根。 4.规避江苏考试高频易错点：增长率平方次数错误、利润销量增减对应关系混乱、几何面积漏算道路重叠区域、忘记检验实际意义。 5.   综合题型可融合几何、代数求值，提升文字建模、计算化简、分类讨论综合解题能力。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.列方程解应用题完整解题步骤； 2.五大核心题型等量关系构建； 3.根据题意取舍方程的两个实数根。 （二）难点 1.销售利润问题：价格变动与销量变化的联动关系列式； 2.几何甬道、边框类面积问题，图形等量关系转化； 3.动态几何、多条件限制综合应用题； 4.增长率、传播问题中指数次数判断。 ) 三．自主探究 （一）通用解题六步法 1.审：通读题干，梳理已知量、未知量，锁定等量关系； 2.设：直接设元/间接设元，统一单位，设增长率、降价率优先设为x（不带百分号）； 3.列：根据等量关系列出一元二次方程； 4.解：选用配方法、公式法、因式分解法解方程； 5.检：双重检验①代入方程等式成立 ②根符合实际场景（长度、人数、增长率不能为负）； 6.答：完整作答，对应题干问题。 （二）五大必考题型核心公式 1.平均增长率/下降率 初始量a，变化两次后量b，变化率x： （1）增长：a(1+x)2=b； （2）下降：a(1-x)2=b 注意：仅变化1次无平方；增长率x>0，下降率0<x<1，负数根直接舍去。 例1.（2026·盐城滨海中考二模）某品牌净水设备原价3200元，连续两次降价后售价2048元，两次降价百分率一致。 (1)求每次降价百分率； (2)若第三次再按相同幅度降价，求第三次降价后售价。 例2.（2025·盐城阜宁九年级期末）盐城藕粉合作社2023年藕粉产值400万元，2025年产值576万元，每年产值年平均增长率相同。 (1)求年平均增长率； (2)若保持该增长率，预测2026年全年产值； (3)若2026年想达到700万产值，增长率至少提升多少百分点？ 2.销售利润问题 （1）单件利润 = 单件售价 - 单件成本 （2）总利润 = 单件利润 × 销售总数量 规律：涨价→销量减少；降价→销量增加，看清“每涨/降1元，销量变化多少件”。 例3.（2026·盐城建湖中考一模）盐城文创书店笔记本进价8元，售价14元每日卖40本；每降价0.5元，多卖10本，要求日利润300元，尽可能多出货。 (1)应降价多少元？ (2)此时每日销售笔记本数量。 例4.（2025·泰州姜堰九年级期末）服装店服装成本50元，售价60元时每周卖800件；售价每提高5元，销量减少100件。 (1)售价75元时，每周利润多少元？ (2)每周总利润12000元，求每件售价； (3)能否实现每周利润15000元，说明理由。 3.几何面积问题 （1）靠墙矩形：仅三边用围栏，设垂直墙边长为x，平行墙长度=总长-2x； （2）内部甬道：平移道路，剩余种植区域合并为新矩形，长、宽同时减去道路宽度； （3）四角裁剪正方形：剩余图形长、宽各减2x。 例5.（2026·苏州姑苏中考二模）矩形纸片长30cm、宽20cm，四角裁去相同正方形，折无盖长方体，底面积416cm^2。 (1)求裁去正方形边长； (2)求长方体容积。 例6.（2025·无锡滨湖九年级期末）长25m篱笆，一面靠墙（墙最大可用14m），围长方形花圃，中间隔一道篱笆，BC有两扇宽1m小门。设垂直墙边长x m。 (1)用含x代数式表示平行墙边长AD； (2)花圃面积60m^2，求长宽； (3)面积能否达到80m^2，说明理由。 4.传播/分支问题 一轮传染1人传染x人，两轮总感染人数：1+x+x(1+x)=(1+x)2；植物分支：主干1，支干x，小分支x2，总数1+x+x2。 例7.（2025·连云港海州九年级期末）班级一名同学感冒，两轮传染后全班共121人患病，每轮每人传染人数相同。 (1)每人每轮传染几人？ (2)若不控制，第三轮新增多少患病同学？ 例8.（2026·镇江丹徒中考一模）果树主干长出若干支干，每个支干又长出同等数量小分支，主干、支干、小分支总数31。 (1)每个支干长出多少小分支？ (2)若每个支干多生长2根小分支，总数量变为多少？ (3)总数能否达到50，说明理由。 5.循环计数问题 单循环（比赛、握手）：总次数n(n-1)；双循环（互赠礼物）：n(n-1)。 例9.（2025·宿迁宿豫九年级期末）校园足球赛采用单循环（每两队只赛1场），总场次36场。 (1)求参赛队伍数量； (2)若增加3支队伍，新增多少场比赛？ 例10.（2026·扬州广陵中考二模）全班同学互相赠送纪念卡片，每人给其他所有同学送1张，全班共送出132张卡片。 (1)班级共有多少学生？ (2)若转走2名学生，剩余学生共赠送多少卡片？ (3)若总卡片数200张，班级人数是否存在整数解？ （三）核心易错提醒 1.解方程得到两个正数根时，必须结合题干限制条件取舍； 2.面积类方程单位统一，道路重叠区域不能重复减； 3.增长率结果要转化百分数作答； 4.利润题不要混淆“降价x元”和“售价定为x元”两种设元方式。 四．夯实基础 （一）选择题 1.（2024·镇江丹徒期末）矩形面积48，长比宽多2，设宽x，方程（ ） A.x(x-2)=48 B.x(x+2)=48 C.2x+2(x+2)=48 D.x2=48+2 2.（2025·宿迁宿豫期末）商品两次涨价，100元变121元，增长率（ ） A.10% B.11% C.20% D.21% 3.（2025·浙江温州龙湾期末）商品进价30元，售价50元每周卖200件，每涨价1元少卖5件，涨价x元后单件利润为（ ） A.20+x B.50+x C.20-x D.30+x 4.（2025·淮安淮阴期末）靠墙矩形，篱笆24m，面积70m^2，墙长10m，平行墙边长（ ） A.7 B.10 C.14 D.5 5.（2024·常州新北期末）每涨2元少卖5件，原销量40件，涨价x元，销量（ ） A.40-5x B.40-x C.40-2x D.40-10x 6.（2026·陕西西安雁塔一模）班级同学互送贺卡，全班共送出156张，设班级x人，列方程（ ） A.x(x-1)=156 B.x(x-1)=156 C.x(x+1)=156 D.x(x+1)=156 （二）填空题 7.（2025·苏州吴中期末）长方形长25宽15，四周等宽边框，内部面积231，边框宽x的方程：____________. 8.（2026·盐城滨海二模）分支问题，主干+支干+小分支共31，每个支干长_____个小分支。 9．一个容器盛满了纯药液20 L，第一次倒出若干升，用水加满，第二次倒出同样多的液体，这时容器内只剩下纯药液5 L，则每次倒出的液体是____L. 10．如图要设计一幅宽120 cm，长180 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，每个彩条的宽度为_______, （三）解答题 11.（2025·无锡滨湖期末）直角墙角用28m篱笆围矩形菜园，两边靠墙，面积192m2。 (1)求矩形两条邻边长； (2)若菜园内有一棵树距离两边墙分别12m、10m，面积能否达到210m^2？说明理由。 12.（2026·盐城东台一模）盐城特产大闸蟹礼盒进价60元，售价100元每周卖80盒；每降价5元，多卖20盒。 (1)降价10元，每周销量多少盒？ (2)定价多少时，周利润3600元，且让利顾客； (3)能否实现周利润4000元？ 13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21.动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t(s)，当t为何值时，以B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？ 五．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·广东佛山南海期末）某工厂年产值1000万元，两年后产值1210万元，设年均增长率为x，方程正确的是（ ） A.1000(1+2x)=1210 B.1000(1+x)2=1210 C.1000(1+x)=1210 D.1000+1000x2=1210 2.（2026·山东潍坊青州一模）一款药品原价200元，连续两次降价后售价128元，平均每次降价百分率x，列方程为（ ） A.200(1-x)2=128 B.200(1-2x)=128 C.200(1+x)2=128 D.200-200x2=128 3.（2026·盐城阜宁一模）单循环足球赛36场，队伍数（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 4.（2026·湖南长沙雨花二模）文具每件成本12元，售价20元可卖100件，每降价2元多卖30件，降价x元后销量是（ ） A.100+15x B.100+30x C.100-15x D.100-30x 5.（2025·四川成都双流期末）长方形场地长40m，宽25m，中间等宽十字小路，剩余花草面积816m2，小路宽x，方程（） A.(40-x)(25-x)=816 B.(40-2x)(25-2x)=816 C.40×25-x2=816 D.40x+25x=184 6.（2026·河北保定莲池一模）矩形周长32，面积60，设宽为x，方程为（ ） A.x(32-x)=60 B.x(16-x)=60 C.2x+2(16-x)=60 D.x2=60+16 7.（2025·湖北宜昌西陵期末）一人感染病毒，两轮传染后共144人患病，每人每轮传染x人，方程（ ） A.1+x=144 B.(1+x)2=144 C.1+x+x2=144 D.x2=144 8.（2026·河南洛阳洛龙二模）植物主干长出若干支干，每个支干又长出同等数量小分支，主干、支干、小分支总数73，设支干x根，方程（ ） A.1+x+x2=73 B.(1+x)2=73 C.x+2x=73 D.1+x=73 9.（2025·安徽合肥蜀山期末）篮球赛单循环赛制，一共比赛36场，参赛队伍n，方程（ ） A.n(n-1)=36 B.n(n-1)=36 C.n(n+1)=36 D.\dfrac{1}{2}n(n+1)=36 10．已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x2﹣13x+36＝0的两个实数根，则此菱形的面积是（　　） A．18 B．30 C．36 D．不确定 （二）填空题 11.（2025·江西九江浔阳期末）商店营业额两年翻一倍，年均增长率x，列方程：________ 12.（2025·贵州贵阳花溪期末）正方形边长增加4cm，面积增加64cm^2，原正方形边长为________cm 13.（2026·吉林长春朝阳一模）主干+支干+小分支共43，每个支干长出________个小分支 14.（2025·海南海口龙华期末）单循环比赛28场，参赛队伍有________支 15．三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10＝0的根，则三角形的周长是　 ． 16．甲用1000元人民币购买了一只股票，随即他将这只股票转卖给了乙，获利10%，而后乙又将这只股票返卖给了甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这只股票卖出．在上述股票交易中，甲获利____元． 17．某商场今年2月的营业额为400万元，3月的营业额比2月增加了10%，5月的营业额达到了633.6万元．求3月到5月营业额的月平均增长率为_______． 18．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定适当降价．经调查发现，若每件衬衫降价1元，则商场平均每天可多售出2件．若商场每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价_20___元. 19．某超市将甲、乙两种糖果混合销售，并按以下公式确定混合糖果的单价：单价＝元/kg，其中m1，m2分别为甲、乙两种糖果的质量，a1，a2分别为甲、乙两种糖果的单价．已知a1＝20元/kg，a2＝16元/kg，现将10 kg乙种糖果和一箱甲种糖果混合(搅拌均匀)销售，售出5 kg后，又在混合糖果中加入5 kg乙种糖果，再出售时混合糖果的单价为17.5元/kg.,这箱甲种糖果有_______千克. 20．如图，有一张边AB靠墙的长方形桌子ABCD，长120 cm，宽60 cm.有一块长方形台布EFMN的面积是桌面面积的2倍，并且如图所示铺在桌面上时，三边垂下的长度中有两边相等(AE＝BF)，另外一边是AE的倍(即CD与MN之间的距离)．求这块台布的长为__160 cm_____,宽为_______,． （三）解答题 21.（2025·湖北襄阳襄州期末）某新能源门店2024年销量400台，2026年销量576台。 (1)求两年销量平均年增长率； (2)保持相同增速，求2027年销量。 22.奶茶原料成本4元，售价10元每日卖120杯；每涨价1元少卖10杯。 (1)涨价2元，单件利润与日销量； (2)日总利润720元，求售价； (3)能否实现日利润900元，说明理由。 23.（2025·湖南株洲天元期末）矩形空地长36m，宽20m，四周铺设等宽绿化区域，中间空白活动区面积448m2。 (1)求绿化区域宽度； (2)求绿化区域总面积。 24．小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于100 kg，超过300 kg时，所有这种水果的批发单价均为3元/千克．图中折线表示批发单价y(元/千克)与质量x(kg)的函数关系． (1)求图中线段AB所在直线的函数表达式． (2)小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？ 25．某菜市场有2.5 m2和4 m2两种摊位，2.5 m2的摊位数是4 m2摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费． (1)若菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4 m2的摊位． (2)为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5 m2和4 m2两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5 m2摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积推位个数的基础上增加2a%，毎个摊位的管理费将会减少a%；6月份参加活动二的4 m2摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积推位个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少a%.这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少a%，求a的值． 26．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm. (1)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，则经过几秒后，△PBQ的面积等于8 cm2? (2)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． (3)若点P从点A出发，沿射线AB方向以1 cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿射线CB方向以2 cm/s的速度移动，点P，Q同时出发．问：经过几秒后，△PBQ的面积为1 cm2? ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册7 《第2章一元二次方程第4节用一元二次方程解决问题》预习讲义 一．预习目标 ( 1.掌握列一元二次方程解实际问题通用六步流程：审、设、列、解、检、答，理解检验根实际意义的必要性。 2.熟练五大高频题型建模：增长率/下降率、销售利润、几何面积、传播分支、循环计数，熟记各类题型核心等量关系式。 3.能结合生活、本地情境提取等量关系，准确设未知数、规范列方程，会舍去不符合现实的负根、超范围根。 4.规避江苏考试高频易错点：增长率平方次数错误、利润销量增减对应关系混乱、几何面积漏算道路重叠区域、忘记检验实际意义。 5.   综合题型可融合几何、代数求值，提升文字建模、计算化简、分类讨论综合解题能力。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.列方程解应用题完整解题步骤； 2.五大核心题型等量关系构建； 3.根据题意取舍方程的两个实数根。 （二）难点 1.销售利润问题：价格变动与销量变化的联动关系列式； 2.几何甬道、边框类面积问题，图形等量关系转化； 3.动态几何、多条件限制综合应用题； 4.增长率、传播问题中指数次数判断。 ) 三．自主探究 （一）通用解题六步法 1.审：通读题干，梳理已知量、未知量，锁定等量关系； 2.设：直接设元/间接设元，统一单位，设增长率、降价率优先设为x（不带百分号）； 3.列：根据等量关系列出一元二次方程； 4.解：选用配方法、公式法、因式分解法解方程； 5.检：双重检验①代入方程等式成立 ②根符合实际场景（长度、人数、增长率不能为负）； 6.答：完整作答，对应题干问题。 （二）五大必考题型核心公式 1.平均增长率/下降率 初始量a，变化两次后量b，变化率x： （1）增长：a(1+x)2=b； （2）下降：a(1-x)2=b 注意：仅变化1次无平方；增长率x>0，下降率0<x<1，负数根直接舍去。 例1.（2026·盐城滨海中考二模）某品牌净水设备原价3200元，连续两次降价后售价2048元，两次降价百分率一致。 (1)求每次降价百分率； (2)若第三次再按相同幅度降价，求第三次降价后售价。 解：(1)设降价率x，下降公式：3200(1-x)2=2048，(1-x)2=0.64，1-x=±0.8，x1=0.2=20%，x2=1.8（降价率不能大于1，舍去）答：每次降价20%。 (2)2048×(1-20%)=1638.4元。 例2.（2025·盐城阜宁九年级期末）盐城藕粉合作社2023年藕粉产值400万元，2025年产值576万元，每年产值年平均增长率相同。 (1)求年平均增长率； (2)若保持该增长率，预测2026年全年产值； (3)若2026年想达到700万产值，增长率至少提升多少百分点？ 解：(1)设年均增长率为x，两次增长：400(1+x)2=576，化简：(1+x)2=1.44，开方1+x=±1.2 x1=0.2=20%，x2=-2.2（增长率不能为负，舍去）答：年均增长率20%。 (2)576×(1+20%)=691.2（万元），2026年产值691.2万元。 (3)设新增长率为y，576(1+y)≥700，(1+y)2≥≈1.2153，y≈21.53%，至少提升1.53个百分点。 2.销售利润问题 （1）单件利润 = 单件售价 - 单件成本 （2）总利润 = 单件利润 × 销售总数量 规律：涨价→销量减少；降价→销量增加，看清“每涨/降1元，销量变化多少件”。 例3.（2026·盐城建湖中考一模）盐城文创书店笔记本进价8元，售价14元每日卖40本；每降价0.5元，多卖10本，要求日利润300元，尽可能多出货。 (1)应降价多少元？ (2)此时每日销售笔记本数量。 解：(1)设降价0.5x元，单件利润6-0.5x，销量40+10x，(6-0.5x)(40+10x)=300，化简x2-8x+12=0，x1=2，x2=6，多出货选x=6，降价0.5×6=3元。 (2)销量40+10×6=100本。 例4.（2025·泰州姜堰九年级期末）服装店服装成本50元，售价60元时每周卖800件；售价每提高5元，销量减少100件。 (1)售价75元时，每周利润多少元？ (2)每周总利润12000元，求每件售价； (3)能否实现每周利润15000元，说明理由。 解：(1)涨价：75-60=15元，少卖15÷5×100=300件，销量800-300=500件，单件利润：75-50=25元，总利润25×500=12500元。 (2)设涨价5x元，单件利润10+5x，销量800-100x，(10+5x)(800-100x)=12000，化简x2-6x+8=0，x1=2，x2=4，x=2，售价60+10=70；x=4，售价60+20=80。 (3)列方程(10+5x)(800-100x)=15000，整理x2-6x+14=0，判别式△=36-56=-20<0，无实数根，无法实现。 3.几何面积问题 （1）靠墙矩形：仅三边用围栏，设垂直墙边长为x，平行墙长度=总长-2x； （2）内部甬道：平移道路，剩余种植区域合并为新矩形，长、宽同时减去道路宽度； （3）四角裁剪正方形：剩余图形长、宽各减2x。 例5.（2026·苏州姑苏中考二模）矩形纸片长30cm、宽20cm，四角裁去相同正方形，折无盖长方体，底面积416cm^2。 (1)求裁去正方形边长； (2)求长方体容积。 解：(1)设边长x cm，底面长30-2x，宽20-2x，(30-2x)(20-2x)=416，化简x2-25x+76=0，x1=4，x2=19，x=19时2×19>20，舍去，边长4cm。 (2)底面长22cm，宽12cm，高4cm，容积22×12×4=1056cm3。 例6.（2025·无锡滨湖九年级期末）长25m篱笆，一面靠墙（墙最大可用14m），围长方形花圃，中间隔一道篱笆，BC有两扇宽1m小门。设垂直墙边长x m。 (1)用含x代数式表示平行墙边长AD； (2)花圃面积60m^2，求长宽； (3)面积能否达到80m^2，说明理由。 解：(1)总篱笆25，三道竖边3x，小门共宽2m，AD=25-3x+2=27-3x。限制条件：0<27-3x≤14，≤x<9。 (2)x(27-3x)=60，x2-9x+20=0，x1=4，x2=5，x=4，AD=15>14超墙长舍去；x=5，AD=12。 答：宽5m，长12m。 （3）x(27-3x)=80，3x2-27x+80=0，△=729-960=-231<0，无实根，不能。 4.传播/分支问题 一轮传染1人传染x人，两轮总感染人数：1+x+x(1+x)=(1+x)2；植物分支：主干1，支干x，小分支x2，总数1+x+x2。 例7.（2025·连云港海州九年级期末）班级一名同学感冒，两轮传染后全班共121人患病，每轮每人传染人数相同。 (1)每人每轮传染几人？ (2)若不控制，第三轮新增多少患病同学？ 解：(1)设每人每轮传染x人，两轮总人数：(1+x)2=121，1+x=11，x=10（负根舍去），每人传染10人。 (2)第二轮121人，第三轮新增121×10=1210人。 例8.（2026·镇江丹徒中考一模）果树主干长出若干支干，每个支干又长出同等数量小分支，主干、支干、小分支总数31。 (1)每个支干长出多少小分支？ (2)若每个支干多生长2根小分支，总数量变为多少？ (3)总数能否达到50，说明理由。 解：(1)设支干数量x，总数公式：1+x+x2=31，x2+x-30=0，x1=5，x2=-6（舍去），每个支干长5个小分支。 (2)新分支数5+2=7，总数1+5+5×7=41。 (3)1+x+x2=50，x2+x-49=0，△=1+196=197，无整数解，不能。 5.循环计数问题 单循环（比赛、握手）：总次数n(n-1)；双循环（互赠礼物）：n(n-1)。 例9.（2025·宿迁宿豫九年级期末）校园足球赛采用单循环（每两队只赛1场），总场次36场。 (1)求参赛队伍数量； (2)若增加3支队伍，新增多少场比赛？ 解：(1)设队伍n，单循环公式：n(n-1)=36，n2-n-72=0，n1=9，n2=-8舍去，共9支队伍。 (2)新增后12支，总场次×12×11=66，新增66-36=30场。 例10.（2026·扬州广陵中考二模）全班同学互相赠送纪念卡片，每人给其他所有同学送1张，全班共送出132张卡片。 (1)班级共有多少学生？ (2)若转走2名学生，剩余学生共赠送多少卡片？ (3)若总卡片数200张，班级人数是否存在整数解？ 解：(1)设人数x，双循环无：x(x-1)=132，x2-x-132=0，x1=12，x2=-11舍去，班级12人。 (2)剩余10人，总卡片10×9=90张。 (3)x(x-1)=200，x2-x-200=0，△=1+800=801，801不是完全平方数，无整数解。 （三）核心易错提醒 1.解方程得到两个正数根时，必须结合题干限制条件取舍； 2.面积类方程单位统一，道路重叠区域不能重复减； 3.增长率结果要转化百分数作答； 4.利润题不要混淆“降价x元”和“售价定为x元”两种设元方式。 四．夯实基础 （一）选择题 1.（2024·镇江丹徒期末）矩形面积48，长比宽多2，设宽x，方程（ ） A.x(x-2)=48 B.x(x+2)=48 C.2x+2(x+2)=48 D.x2=48+2 【答案】：B 【解析】：长x+2，面积=长×宽。 2.（2025·宿迁宿豫期末）商品两次涨价，100元变121元，增长率（ ） A.10% B.11% C.20% D.21% 【答案】：A 【解析】：100(1+x)2=121，1+x=1.1， x=10%。 3.（2025·浙江温州龙湾期末）商品进价30元，售价50元每周卖200件，每涨价1元少卖5件，涨价x元后单件利润为（ ） A.20+x B.50+x C.20-x D.30+x 【答案】：A 【解析】：原单件利润50-30=20，涨价x，每件多赚x，利润20+x。 4.（2025·淮安淮阴期末）靠墙矩形，篱笆24m，面积70m^2，墙长10m，平行墙边长（ ） A.7 B.10 C.14 D.5 【答案】：B 【解析】：x(24-2x)=70，x=5时平行墙14>10舍去；x=7，平行墙10符合。 5.（2024·常州新北期末）每涨2元少卖5件，原销量40件，涨价x元，销量（ ） A.40-5x B.40-x C.40-2x D.40-10x 【答案】：B 【解析】：涨2元少5件，涨1元少件，涨x少x，涨价x元，销量40-x 6.（2026·陕西西安雁塔一模）班级同学互送贺卡，全班共送出156张，设班级x人，列方程（ ） A.x(x-1)=156 B.x(x-1)=156 C.x(x+1)=156 D.x(x+1)=156 【答案】：B 【解析】：互送贺卡属于双循环，每个人给其余所有人送一张，无除以2。 （二）填空题 7.（2025·苏州吴中期末）长方形长25宽15，四周等宽边框，内部面积231，边框宽x的方程：____________. 【答案】(25-2x)(15-2x)=231 【解析】：四周边框，长宽各减2倍边框宽度，内部面积(25-2x)(15-2x)。 8.（2026·盐城滨海二模）分支问题，主干+支干+小分支共31，每个支干长_____个小分支。 【答案】5 【解析】：每个支干长x个小分支，1+x+x2=31，x2+x-30=0，x=5。 9．一个容器盛满了纯药液20 L，第一次倒出若干升，用水加满，第二次倒出同样多的液体，这时容器内只剩下纯药液5 L，则每次倒出的液体是____L. 【答案】10 【解析】：设每次倒出液体x(L)，由题意，得 20－x－·x＝5，整理，得x2－40x＋300＝0，解得x1＝10，x2＝30(不合题意，舍去)．∴每次倒出的液体是10 L. 10．如图要设计一幅宽120 cm，长180 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，每个彩条的宽度为_______, 【答案】：15 cm 【解析】：设横彩条的宽度为2x cm，则竖彩条的宽度为3x cm，依题意，得(180－2×2x)(120－2×3x)＝180×120×（1-），整理，得x2－65x＋300＝0，解得x1＝5，x2＝60.∵当x＝60时，3x＝180＞120，∴x＝60舍去，∴2x＝10，3x＝15. （三）解答题 11.（2025·无锡滨湖期末）直角墙角用28m篱笆围矩形菜园，两边靠墙，面积192m2。 (1)求矩形两条邻边长； (2)若菜园内有一棵树距离两边墙分别12m、10m，面积能否达到210m^2？说明理由。 解：(1)设一边x，另一边28-x，x(28-x)=192，x1=12，x2=16，边长12m、16m； (2)x(28-x)=210，x2-28x+210=0，△=784-840=-56<0，无实数根，不能。 12.（2026·盐城东台一模）盐城特产大闸蟹礼盒进价60元，售价100元每周卖80盒；每降价5元，多卖20盒。 (1)降价10元，每周销量多少盒？ (2)定价多少时，周利润3600元，且让利顾客； (3)能否实现周利润4000元？ 解：(1)降价10元，多卖40盒，销量80+40=120盒； (2)设降价5x元，(40-5x)(80+20x)=3600，x1=2，x2=4，让利取x=4，降价20元，定价80元； (3)(40-5x)(80+20x)=4000，△=<0，无实根，不能。 13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21.动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t(s)，当t为何值时，以B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？ 解：过点P作PM⊥BC于点M，则四边形PMCD为长方形，∴PM＝CD＝12，CM＝PD＝2t，CQ＝t，∴QM＝t，BQ＝16－t，BM＝16－2t.易得PD＝2t≤21，∴t≤10.5. ①当PQ＝BQ时，在Rt△PMQ中，PQ2＝PM2＋QM2＝122＋t2，由PQ2＝BQ2，得122＋t2＝(16－t)2，解得t＝.②当BP＝BQ时，在Rt△PMB中，BP2＝BM2＋PM2＝(16－2t)2＋122，由BP2＝BQ2，得(16－2t)2＋122＝(16－t)2，即3t2－32t＋144＝0.∵b2－4ac＝－704＜0，∴3t2－32t＋144＝0无实数根，∴BP≠BQ.③当BP＝PQ时，∵PM⊥BQ，∴BM＝QM，∴16－2t＝t，解得t＝.综上所述，当t＝或 时，以B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形． 五．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·广东佛山南海期末）某工厂年产值1000万元，两年后产值1210万元，设年均增长率为x，方程正确的是（ ） A.1000(1+2x)=1210 B.1000(1+x)2=1210 C.1000(1+x)=1210 D.1000+1000x2=1210 【答案】：B 【解析】：连续两年增长，套用模型a(1+x)2=b，增长两次需要平方，易错点误写2x。 2.（2026·山东潍坊青州一模）一款药品原价200元，连续两次降价后售价128元，平均每次降价百分率x，列方程为（ ） A.200(1-x)2=128 B.200(1-2x)=128 C.200(1+x)2=128 D.200-200x2=128 【答案】：A 【解析】：下降率模型，每次价格乘(1-x)，两次平方，价格下降用减号。 3.（2026·盐城阜宁一模）单循环足球赛36场，队伍数（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】：C 【解析】：n(n-1)=36，n2-n-72=0，n=9。 4.（2026·湖南长沙雨花二模）文具每件成本12元，售价20元可卖100件，每降价2元多卖30件，降价x元后销量是（ ） A.100+15x B.100+30x C.100-15x D.100-30x 【答案】：A 【解析】：降2元多30件，降1元多15件，降x多15x，总销量100+15x。 5.（2025·四川成都双流期末）长方形场地长40m，宽25m，中间等宽十字小路，剩余花草面积816m2，小路宽x，方程（） A.(40-x)(25-x)=816 B.(40-2x)(25-2x)=816 C.40×25-x2=816 D.40x+25x=184 【答案】：A 【解析】：平移小路，花草合并为长方形，长宽只减1个道路宽度，避免重复减去交叉正方形。 6.（2026·河北保定莲池一模）矩形周长32，面积60，设宽为x，方程为（ ） A.x(32-x)=60 B.x(16-x)=60 C.2x+2(16-x)=60 D.x2=60+16 【答案】：B 【解析】：周长32，长+宽=16，长为16-x，面积=长×宽。 7.（2025·湖北宜昌西陵期末）一人感染病毒，两轮传染后共144人患病，每人每轮传染x人，方程（ ） A.1+x=144 B.(1+x)2=144 C.1+x+x2=144 D.x2=144 【答案】：B 【解析】：一轮后1+x人，第二轮每人再传x，总人数(1+x)2。 8.（2026·河南洛阳洛龙二模）植物主干长出若干支干，每个支干又长出同等数量小分支，主干、支干、小分支总数73，设支干x根，方程（ ） A.1+x+x2=73 B.(1+x)2=73 C.x+2x=73 D.1+x=73 【答案】：A 【解析】：主干1，支干x，小分支x·x=x2，三者相加总数73。 9.（2025·安徽合肥蜀山期末）篮球赛单循环赛制，一共比赛36场，参赛队伍n，方程（ ） A.n(n-1)=36 B.n(n-1)=36 C.n(n+1)=36 D.\dfrac{1}{2}n(n+1)=36 【答案】：B 【解析】：单循环两队只赛1场，需除以2；双循环互赠礼物不用除2。 10．已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x2﹣13x+36＝0的两个实数根，则此菱形的面积是（　　） A．18 B．30 C．36 D．不确定 【答案】A 【解析】x2﹣13x+36＝0，（x﹣9）（x﹣4）＝0，∴x﹣9＝0或x﹣4＝0，∴x1＝9，x2＝4，即菱形ABCD的对角线AC，BD的长度为9和4，∴此菱形的面积＝×9×4＝18．故选：A． （二）填空题 11.（2025·江西九江浔阳期末）商店营业额两年翻一倍，年均增长率x，列方程：________ 【答案】：(1+x)2=2 【解析】：基数设为a，a(1+x)2=2a，约去a得式子。 12.（2025·贵州贵阳花溪期末）正方形边长增加4cm，面积增加64cm^2，原正方形边长为________cm 【答案】：6 【解析】：设原边长x，(x+4)2-x2=64，解得x=6。 13.（2026·吉林长春朝阳一模）主干+支干+小分支共43，每个支干长出________个小分支 【答案】：6 【解析】：1+x+x2=43，x2+x-42=0，x=6（舍去负根）。 14.（2025·海南海口龙华期末）单循环比赛28场，参赛队伍有________支 【答案】：8 【解析】：n(n-1)=28，n=8。 15．三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10＝0的根，则三角形的周长是　 ． 【答案】：12或6或15 【解析】：方程x2﹣7x+10＝0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x＝2或x＝5，三角形三边长为2，2，5（舍去）；2，5，5；2，2，2；5，5，5，则周长为12或6或15．故答案为：12或6或15 16．甲用1000元人民币购买了一只股票，随即他将这只股票转卖给了乙，获利10%，而后乙又将这只股票返卖给了甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这只股票卖出．在上述股票交易中，甲获利____元． 【答案】：1 【解析】：1000(1＋10%)＝1100，甲获利100元．1100(1－10%)＝990，990×0.9＝891，此时甲亏了99元．∴甲获利100－99＝1(元)． 17．某商场今年2月的营业额为400万元，3月的营业额比2月增加了10%，5月的营业额达到了633.6万元．求3月到5月营业额的月平均增长率为_______． 【答案】：20%. 【解析】：设3月到5月营业额的月平均增长率为x，根据题意，得400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：3月到5月营业额的月平均增长率为20%. 18．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定适当降价．经调查发现，若每件衬衫降价1元，则商场平均每天可多售出2件．若商场每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价_20___元. 【答案】：20. 【解析】：设每件衬衫应降价x元，根据题意，得[来源:学§科§网Z§X§X§K](40－x)(20＋2x)＝1200， 解得x1＝10，x1＝20.∵要尽快减少库存，∴x＝20.答：每件衬衫应降价20元． 19．某超市将甲、乙两种糖果混合销售，并按以下公式确定混合糖果的单价：单价＝元/kg，其中m1，m2分别为甲、乙两种糖果的质量，a1，a2分别为甲、乙两种糖果的单价．已知a1＝20元/kg，a2＝16元/kg，现将10 kg乙种糖果和一箱甲种糖果混合(搅拌均匀)销售，售出5 kg后，又在混合糖果中加入5 kg乙种糖果，再出售时混合糖果的单价为17.5元/kg.,这箱甲种糖果有_______千克. 【答案】：10 【解析】：设这箱甲种糖果有x(kg)，则17．5(10＋x)＝·(5＋x)＋16×5， 化简并整理，得x2－4x－60＝0，(x－10)(x＋6)＝0，∴x1＝10，x2＝－6(不合题意，舍去)． ∴这箱甲种糖果有10 kg. 20．如图，有一张边AB靠墙的长方形桌子ABCD，长120 cm，宽60 cm.有一块长方形台布EFMN的面积是桌面面积的2倍，并且如图所示铺在桌面上时，三边垂下的长度中有两边相等(AE＝BF)，另外一边是AE的倍(即CD与MN之间的距离)．求这块台布的长为__160 cm_____,宽为_______,． 【答案】：90 cm 【解析】：设下垂长度BF为x cm，则AE＝BF＝x cm，根据题意，得(120＋2x)·(60＋x)＝2×120×60，∴x2＋100x－2 400＝0.解得x1＝20，x2＝－120(不符合题意，舍去)．∴120＋2x＝120＋2×20＝160，60＋x＝60＋×20＝90. 答：这块台布的长为160 cm，宽为90 cm. （三）解答题 21.（2025·湖北襄阳襄州期末）某新能源门店2024年销量400台，2026年销量576台。 (1)求两年销量平均年增长率； (2)保持相同增速，求2027年销量。 解：(1)设年均增长率x，400(1+x)2=576，(1+x)2=1.44，1+x=±1.2，x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去负根） 答：年均增长率20%。 (2)576×(1+20%)=691.2（台），2027年销量691台。 22.奶茶原料成本4元，售价10元每日卖120杯；每涨价1元少卖10杯。 (1)涨价2元，单件利润与日销量； (2)日总利润720元，求售价； (3)能否实现日利润900元，说明理由。 解：(1)单件利润10+2-4=8元，销量120-20=100杯； (2)设涨价x元，(6+x)(120-10x)=720，x1=0，x2=6，售价10元或16元； (3)(6+x)(120-10x)=900，△=-360<0，无实数根，无法实现。 23.（2025·湖南株洲天元期末）矩形空地长36m，宽20m，四周铺设等宽绿化区域，中间空白活动区面积448m2。 (1)求绿化区域宽度； (2)求绿化区域总面积。 解：(1)设宽度x，(36-2x)(20-2x)=448，x2-28x+68=0，x1=2，x2=26（超过边长舍去），宽度2m； (2)总面积36×20-448=272m2。 24．小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于100 kg，超过300 kg时，所有这种水果的批发单价均为3元/千克．图中折线表示批发单价y(元/千克)与质量x(kg)的函数关系． (1)求图中线段AB所在直线的函数表达式． (2)小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？ 解：(1)设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kx＋b，由题意，得 解得∴线段AB所在直线的函数表达式为y＝－0.01x＋6(100≤x≤300)． (2)∵800÷3≈267(kg)<300 kg，∴批发单价在线段AB上．设小李共批发水果m(kg)，则单价为(－0.01m＋6)元/千克．由题意，得－0.01m＋6＝，解得m1＝200，m2＝400(不合题意，舍去)．答：小李用800元一次可以批发这种水果的质量是200 kg. 25．某菜市场有2.5 m2和4 m2两种摊位，2.5 m2的摊位数是4 m2摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费． (1)若菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4 m2的摊位． (2)为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5 m2和4 m2两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5 m2摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积推位个数的基础上增加2a%，毎个摊位的管理费将会减少a%；6月份参加活动二的4 m2摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积推位个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少a%.这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少a%，求a的值． 解:(1)设该菜市场共有x个4 m2的摊位，则有2x个2.5 m2的摊位．由题意，得 20×4x＋20×2.5×2x＝4500，解得x＝25.答：该菜市场共有25个4 m2的摊位． (2)由(1)可知，5月份参加活动一的2.5 m2摊位的个数为25×2×40%＝20(个)，4 m2摊位的个数为25×20%＝5(个)．由题意，得20(1＋2a%)×20×2.5×a%＋5(1＋6a%)×20×4×a%＝[20(1＋2a%)×20×2.5＋5(1＋6a%)×20×4]×a%， 整理，得a2－50a＝0，解得a1＝0(不合题意，舍去)，a2＝50.答：a的值为50. 26．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm. (1)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，则经过几秒后，△PBQ的面积等于8 cm2? (2)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． (3)若点P从点A出发，沿射线AB方向以1 cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿射线CB方向以2 cm/s的速度移动，点P，Q同时出发．问：经过几秒后，△PBQ的面积为1 cm2? 解:(1)设经过x(s)后，△PBQ的面积等于8 cm2，由题意，得(6－x)·2x＝8， 解得x1＝2，x2＝4.经检验，x1，x2均符合题意，故经过2 s或4 s后，△PBQ的面积等于8 cm2. (2)不能．理由如下：设经过y(s)，线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，由题意，得S△ABC＝×6×8＝24(cm2)，∴(6－y)·2y＝12，∴y2－6y＋12＝0.∵Δ＝b2－4ac＝36－4×12＝－12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分． (3)由题意得，在6 s内，点P在线段AB上，超过6 s，点P在线段AB的延长线上； 在4 s内，点Q在线段CB上，超过4 s，点Q在线段CB的延长线上． 分三种情况讨论：①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上，即运动时间不超过4 s时， 设经过m(s)后，△PBQ的面积为1 cm2，由题意，得(6－m)(8－2m)＝1，解得m1＝5＋(不合题意，舍去)，m2＝5－. ②当点P在线段AB上，点Q在射线CB上，即运动时间超过4 s，不超过6 s时，设经过n(s)后，△PBQ的面积为1 cm2，由题意，得(6－n)(2n－8)＝1，解得n1＝n2＝5. ③当点P在射线AB上，点Q在射线CB上，即运动时间超过6 s时，设经过k(s)后，△PBQ的面积为1 cm2，由题意，得(k－6)(2k－8)＝1，解得k1＝5＋，k2＝5－(不合题意，舍去)．综上所述，经过(5－)s或5 s或(5＋)s后，△PBQ的面积为1 cm2. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $