专题1.1 集合的概念与表示（5大知识点+13大题型+强化训练）-2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义（苏教版必修第一册）

2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题1.1 集合的概念与表示 知识点一、集合与元素的含义 1.集合：一般地，一定范围内_________、__________的全体组成一个集合。通常用大写拉丁字母来表示，例如集合A、集合B等。 2.元素：集合中的___________称为该集合的元素，简称元，集合的元素常用小写拉丁字母a,b,c……表示。 3.集合元素的三大特性 （1）__________：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）__________（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）__________：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点二、元素与集合的关系 1.元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说________，记作 . (2)不属于：如果不是集合的元素，就说_________，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2.常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符号 【注意】N与N＋(或N*)的区别 N＋(或N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(或N*)多一个元素0. 知识点三、集合的表示方法 1.自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 2.列举法：把集合的___________一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． 3.描述法：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 4.（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 知识点四、集合的分类 1、根据__________________可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 2、空集：我们把_________________的集合称为空集，记作．例如，集合就是空集． 知识点五、集合相等 只要构成两个集合的_____________________,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 知识点一、集合的概念 题型01：集合的概念 【名师点拨】判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．集合的中元素要有客观的标准可以衡量，不能用主观去衡量，例如“好”、“小”“近”等词没有统一的客观标准衡量 【例1】下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生； ②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生； ④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练】 1. 下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．上课迟到的学生 B．2025年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数 2. 下列说法正确的个数是（　　） ①地球周围的行星能构成一个集合； ②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合； ③{1，2，3}与{1，3，2}是不同的集合． A．0 B．1 C．2 D．3 3.下列各组对象中能构成集合的是（ ） A．充分接近的实数的全体 B．数学成绩比较好的同学 C．小于20的所有自然数 D．未来世界的高科技产品 题型02：判断是否为同一集合 【名师点拨】从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义。 【例2】下列各组中的M、P表示同一集合的是( ) ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪训练】 1．下列各组两个集合和表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 2.（多选题）下列表示不是同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3. 下列各组数据中，集合P与Q表示同一个集合的是 ． ①P是由元素1，，构成的集合，Q是由元素，1，构成的集合； ②P是由构成的集合，Q是由3.14159构成的集合； ③P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对构成的集合； ④P是由和1构成的集合，Q是方程的解集． 知识点二、元素的特征 题型03:元素的特征 【名师点拨】集合中元素的三个特性： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一． （2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的． （3）无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变． 【例3】已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【跟踪训练】 1. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2. 若集合，则应满足（   ） A． B． C． D． 题型04:求集合中的元素或个数 【名师点拨】(1)、确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性 【例4】由实数x，﹣x，|x|，所组成的集合，最多可含有（　　）个元素 A．2 B．3 C．4 D．5 【例5】设集合，，，则M中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例6】集合中含有的元素个数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 【跟踪训练】 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A．1 B．5 C．6 D．无数个 2. 已知a，b，c均为非零实数，集合，则集合A的元素的个数有　　个． 3. 已知M是同时满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M，②若x，y∈M，则x﹣y∈M；③若x∈M且x≠0，则∈M． 下列结论中正确的是　 　． （1）∈M； （2）﹣1∉M； （3）若x，y∈M，则x+y∈M； （4）若x，y∈M，则xy∈M． 题型05:根据元素的互异性求参数 【名师点拨】①集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； ②构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． ③利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 【例7】集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 【跟踪训练】 1. 已知集合由，，组成，且，求__． 2. [多选题]已知集合M＝{﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．1 知识点三、元素与集合的关系 题型06：判断元素与集合的关系 【名师点拨】判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。 （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。 【例8】给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例9】已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 用符号“”和“”填空： （1）______N；       （2）1______；       （3）______R； （4）______；       （5）______N；       （6）0______． 2. 用符号“∈”或“∉”填空： 1____N， －3____N， ___Q， ___N， 1__Z， －3___Q， 0___Z， ___R， 0___N*， π___R， ___Q， ___Z． 3. 下列关系中正确的个数是（ ） ①， ②， ③， ④ A． B． C． D． 4. 下列元素与集合的关系中，正确的是（       ） A． B． C． D． 5. 给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型07：根据元素与集合的关系求参数 【名师点拨】若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解． 【例10】设集合A＝{2，3，a2﹣3a，a7}，B＝{|a﹣2|，0}．已知4∈A且4∉B，则实数a的取值集合为（　　） A．{﹣1，﹣2} B．{﹣1，2} C．{﹣2，4} D．{4} 【跟踪训练】 1. 若，则集合中所有元素之和为________. 2. （多选题）由组成一个集合，中含有3个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B．2 C．3 D．6 题型08：集合相等 【名师点拨】两个集合的元素相同，注意分类讨论。 【例11】设a，，若集合，则 . 【例12】已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例13】下列集合与集合相等的是（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 已知集合，，且，则的值为________. 2. 已知集合，，且，则实数的值为 . 3．当集合 时，_______,______,_______. 知识点四、集合的表示方法 题型09：列举法表示集合 【名师点拨】用列举法表示集合的三个步骤 （1）求出集合的元素；（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；（3）用花括号括起来。 【例14】用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 【跟踪训练】 1. 用列举法表示下列集合 （1）{x∈N*|x是15的约数} （2）{x|x2﹣2x﹣8＝0} （3）{x|x为不大于10的正偶数} （4）{a|1≤a＜5，a∈N} （5）A＝{x∈N|∈N} （6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}． 题型10：描述法表示集合 【名师点拨】①用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． ②用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． ③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． 【例15】用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 【例16】用描述法表示下图中的阴影部分可以是________． 【跟踪训练】 1.用描述法表示下列集合． （1）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合； （2）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合； （3）所有三角形构成的集合． 2.用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式的解集； (3)方程的所有实数解组成的集合； (4)抛物线上所有点组成的集合； (5)集合. 题型11：集合表示法的综合应用 【例17】用适当方法表示下列集合： （1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合； （2）方程+|y﹣2|＝0的解集； （3）由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合. 【例18】1、用列举法表示 ． 2、用列举法表示 【跟踪训练】 1．下列四个集合中，不同于另外三个的是（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，且，则M等于 （用列举法） 3.选择适当的方法表示下列集合： (1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A； (2)所有正奇数组成的集合B； (3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C； (4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D． 知识点四、综合提升 题型12：集合与方程综合问题 【名师点拨】(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． (2)a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题． 【例19】已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1. 已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 2. 已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}， （1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素； （2）若A是空集，求a的取值范围； （3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 题型13：集合中的新定义问题 【名师点拨】1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化. 2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。 【例20】设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，定义集合运算：A⊙B＝｛z︳z= xy(x+y)，x∈A， y∈B｝，则集合A⊙B中的所有元素之和为． A．0 B．6 C．12 D．18 【例21】定义：对于非空集合A，若元素x∈A，则必有（m﹣x）∈A，则称集合A为“m和集合”．已知集合B＝{1，2，3，4，5，6，7}，则集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有　 　个． 【跟踪训练】 1. 定义A×B×C＝{（x，y，z）|x∈A，y∈B，z∈C}．已知A＝{1，2}，B＝{3，4}，C＝{5}，用列举法表示A×B×C＝　 　． 2. 设集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A⊗B中所有元素之积为（　　） A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16 3. 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn．则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16}中的元素个数是（　　） A．18 B．17 C．16 D．15 4. 若集合具有以下性质： ①； ②若，则，且时，. 则称集合是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)设集合是“好集”，求证：若，则； 一、选择题 1. 下列四组对象中能构成集合的是（　　） A．宜春市第一中学高一学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 2．下列元素与集合的关系表示正确的是（　　） ①﹣1∈N*；②∉Z；③∈Q；④π∈Q A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 3. 已知集合M＝{1，m+2，m2+4}，且5∈M，则m的值为（　　） A．1或﹣1 B．1或3 C．﹣1或3 D．1，﹣1或3 4. 已知集合，集合，则（       ） A． B． C． D． 5．列元素与集合的关系判断正确的是（　　） A．0∈N B．π∈Q C．∈Q D．－1∉Z 6.下面四个说法中错误的是（　　） A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} C．方程x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1，1} D．0与{0}表示同一个集合 7.已知集合只有一个元素，则的取值集合为（       ） A． B． C． D． 8.对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（ ） A．{ x |是小于18的正奇数} B． C． D． 二、多项选择题 9. 下列各组对象能构成集合的是（       ） A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于的正整数 10. 下列集合中，可以表示为的是（ ） A．方程的解集 B．最小的两个质数 C．大于1小于4的整数 D．不等式组的整数解 11. 下列表示不是同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 12．若集合A具有以下性质： （1）0∈A，1∈A； （2）若x∈A，y∈A；则x﹣y∈A，且x≠0时，∈A． 则称集合A是“好集”．下列命题中正确的是（　　） A．集合B＝{﹣1，0，1}是“好集” B．有理数集Q是“好集” C．整数集Z不是“好集” D．设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x+y∈A 三、填空题 13. 集合用列举法表示为 . 14.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为　 　． 15.已知集合，若，则________. 16.已知集合，且，则的值为 . 四、解答题 17.已知集合，，若，求的值． 18.用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 19. 用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 20.已知集合，其中为常数，且. (1)若是空集，求的范围； (2)若中只有一个元素，求的值； (3)若中至多只有一个元素，求的范围. 21.设数集由实数构成，且满足：若（且），则. （1）若，试证明中还有另外两个元素； （2）集合是否为双元素集合，并说明理由； （3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题1.1 集合的概念与表示 知识点一、集合与元素的含义 1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合。通常用大写拉丁字母来表示，例如集合A、集合B等。 2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元，集合的元素常用小写拉丁字母a,b,c……表示。 3.集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点二、元素与集合的关系 1.元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2.常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符号 或 【注意】N与N＋(或N*)的区别 N＋(或N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(或N*)多一个元素0. 知识点三、集合的表示方法 1.自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 2.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． 3.描述法：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 4.（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 知识点四、集合的分类 1、根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 2、空集：我们把不含任何元素的集合称为空集，记作．例如，集合就是空集． 知识点五、集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 知识点一、集合的概念 题型01：集合的概念 【名师点拨】判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．集合的中元素要有客观的标准可以衡量，不能用主观去衡量，例如“好”、“小”“近”等词没有统一的客观标准衡量 【例1】下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生； ②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生； ④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 【跟踪训练】 1. 下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．上课迟到的学生 B．2025年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数 【分析】根据集合元素的“确定性”，可知B项中的对象不符合集合的定义．而其它各项都有明确的定义，符合集合元素的特征，由此可得正确选项． 【解答】解：对于A，“上课迟到的学生”属于确定的概念，故能构成集合； 对于B，“2025年高考数学难题”界定不明确，不能构成集合； 对于C，任意给一个数都能判断是否为有理数，故能构成集合； 对于D，小于π的正整数分别为1，2，3，能够组成集合． 故选：B． 【点评】本题给出几组对象，要我们找出不能构成集合的对象，着重考查了集合的定义和集合元素的性质等知识，属于基础题． 2. 下列说法正确的个数是（　　） ①地球周围的行星能构成一个集合； ②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合； ③{1，2，3}与{1，3，2}是不同的集合． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合中元素具有的特征：互异性，无序性和确定性即可判断. 【详解】 “周围”是一个模糊的概念，不满足确定性，所以①错误.实数中不是有理数的所有数,元素是确定的，所以能构成一个集合，②正确.{1，2，3}与{1，3，2}两个集合中的元素是一样的，所以是相同的集合，故③错误. 故选：B 3.下列各组对象中能构成集合的是（ ） A．充分接近的实数的全体 B．数学成绩比较好的同学 C．小于20的所有自然数 D．未来世界的高科技产品 【答案】C 【解析】选项A、B、D中集合的元素均不满足确定性，只有C中的元素是确定的，满足集合的定义，故选：C. 题型02：判断是否为同一集合 【名师点拨】从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义。 【例2】下列各组中的M、P表示同一集合的是( ) ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】对于①，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合.对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合.对于③，两个集合表示同一集合.对于④，集合研究对象是函数值，集合研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.由此可知本小题选C. 【跟踪训练】 1．下列各组两个集合和表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断是否为同一集合 【解析】直接利用集合相等的定义求解. 【详解】A选项中集合中的元素为无理数，而中的元素为有理数，故 B选项中集合中的元素为实数，而中的元素为有序数对，故 C选项中因为，则集合故 D选项中集合中的元素为0，1，而中的元素为1，故． 故选：C． 2.（多选题）下列表示不是同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】判断是否为同一集合 【分析】A选项两个集合的元素不同，BD选项两个集合一个是点集一个是数集. 【详解】A选项：，分别表示两个点集，不是同一个点，表示不是同一集合； B选项：表示直线上的点的坐标，表示直线上的点的纵坐标，表示不是同一集合； C选项：，两个集合相同； D选项：是数集，是有序数对构成的集合，表示不是同一集合. 故选：ABD 3. 下列各组数据中，集合P与Q表示同一个集合的是 ． ①P是由元素1，，构成的集合，Q是由元素，1，构成的集合； ②P是由构成的集合，Q是由3.14159构成的集合； ③P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对构成的集合； ④P是由和1构成的集合，Q是方程的解集． 【答案】①④ 【分析】根据相等集合的定义逐一判断即可. 【详解】对于①，，所以； 对于②，，所以； 对于③，，所以； 对于④，由，得， 则，所以. 故答案为：①④. 知识点二、元素的特征 题型03:元素的特征 【名师点拨】集合中元素的三个特性： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一． （2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的． （3）无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变． 【例3】已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【解析】根据集合中元素互异性可知，构成的四边形边长不相等， 其中平行四边形，矩形和菱形对边均相等，不合要求，梯形的四边可能互不相等，故可能为梯形. 故选：D 【跟踪训练】 1. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有， 故一定不是等腰三角形； 故选：D. 2. 若集合，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断元素能否构成集合、集合元素互异性的应用 【分析】利用元素的互异性即可求得应满足的范围. 【详解】由元素的互异性可知，所以. 故选：A 题型04:求集合中的元素或个数 【名师点拨】(1)、确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性 【例4】由实数x，﹣x，|x|，所组成的集合，最多可含有（　　）个元素 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】将题中给出的实数进行化简，判断其中有几个不同的数，利用集合中元素的互异性分析即可得到答案． 【解答】解：因为， 所以实数x，﹣x，|x|，所组成的集合最多含有x，﹣x，x2三个元素． 故选：B． 【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，涉及了集合中元素性质的应用，集合中的元素要满足：互异性、确定性、无序性．解题的关键是将所给出的数据进行化简变形． 【例5】设集合，，，则M中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】 【详解】 由题意知，， 则x的可能取值为5,6,7,8. 因此集合M共有4个元素，故选B. 【考点定位】 集合的概念 【例6】集合中含有的元素个数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解析】因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B 【跟踪训练】 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A．1 B．5 C．6 D．无数个 【答案】C 【解析】由题得，所以A中元素的个数为6. 故选C 2. 已知a，b，c均为非零实数，集合，则集合A的元素的个数有　　个． 【分析】通过对a，b的正负的分类讨论，利用绝对值的定义去掉绝对值的符号 然后进行运算，求出集合中的元素． 【解答】解：当a＞0，b＞0时，x1+1+1＝3， 当a＞0，b＜0时，x1﹣1﹣1＝﹣1， 当a＜0，b＞0时，x1+1﹣1＝﹣1， 当a＜0，b＜0时，x1﹣1+1＝﹣1， 故x的所有值组成的集合为{﹣1，3} 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分类讨论的数学思想方法，绝对值的几何意义．考查计算能力，属于基础题． 3. 已知M是同时满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M，②若x，y∈M，则x﹣y∈M；③若x∈M且x≠0，则∈M． 下列结论中正确的是　 　． （1）∈M； （2）﹣1∉M； （3）若x，y∈M，则x+y∈M； （4）若x，y∈M，则xy∈M． 【分析】根据条件①②可知﹣1∈M所以（2）错误，．由﹣1∈M、1∈M由条件②③可推出∈M所以（1）成立．由0﹣y∈M可知﹣y∈M，由条件②可推出x﹣（﹣y）＝x+y∈M所以（3）成立．由1∈M、x∈M得x﹣1∈M，由条件③可知∈M、可得∈M、∈M，由条件③得∈M、x﹣x2∈M可知x2∈M，若y∈M，则y2∈M、x+y∈M，所以（x+y）2∈M、x2+y2∈M，所以∈M、∈M，所以xy∈M所以（4）成立． 【解答】解：∵0∈M，1∈M，∴0﹣1＝﹣1∈M．故（2）不成立． ∵1∈M，﹣1∈M，∴1﹣（﹣1）＝2∈M，∴2﹣（﹣1）＝3∈M，∴∈M．故（1）成立． ∵y∈M，∴﹣y∈M，又∵x∈M，∴x﹣（﹣y）＝x+y∈M．故（3）成立． ∵x∈M，∴x﹣1∈M，∴∈M、∈M，∴∈M、∈M ∴∈M、x﹣x2∈M，∴x2∈M，∴∈M，同理∈M，∴∈M，∈M ∴，故（4）成立． 故答案为：（1）（3）（4）． 【点评】考查元素与集合的关系、分式运算、整式运算、运算能力和逻辑推理能力． 题型05:根据元素的互异性求参数 【名师点拨】①集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； ②构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． ③利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 【例7】集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 【答案】D 【解析】由集合元素的互异性可知，，解得且， 所以实数的取值范围为且. 故选：D. 【跟踪训练】 1. 已知集合由，，组成，且，求__． 【答案】 【解析】根据题意，，，，因，于是有： 若，则， 此时集合中元素为，，2，不满足集合元素的互异性，不符合题意， 若，即，解得或， 时，此时集合中元素为，，，符合题意， 显然不符合题意； 若，无解， 综上得：． 2. [多选题]已知集合M＝{﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．1 【分析】根据集合元素的互异性2∈M必有2＝3x2+3x﹣4或2＝x2+x﹣4，解出后根据元素的互异性进行验证即可． 【解答】解：由题意得，2＝3x2+3x﹣4或2＝x2+x﹣4， 若2＝3x2+3x﹣4，即x2+x﹣2＝0， ∴x＝﹣2或x＝1， 检验：当x＝﹣2时，x2+x﹣4＝﹣2，与元素互异性矛盾，舍去； 当x＝1时，x2+x﹣4＝﹣2，与元素互异性矛盾，舍去． 若2＝x2+x﹣4，即x2+x﹣6＝0， ∴x＝2或x＝﹣3， 经验证x＝2或x＝﹣3为满足条件的实数x． 故选：AC． 【点评】本题考查了元素与集合的关系及元素的互异性，要注意检验． 知识点三、元素与集合的关系 题型06：判断元素与集合的关系 【名师点拨】判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。 （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。 【例8】给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】由于；；；， 故①错误；②正确；③错误；④错误， 故选：A． 【例9】已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，所以，故A正确； 当时，，所以，故B错误； 当或时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D错误. 故选：A 【跟踪训练】 1. 用符号“”和“”填空： （1）______N；       （2）1______；       （3）______R； （4）______；       （5）______N；       （6）0______． 【答案】                              【解析】由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断 （1）（2）（3）（4）（5）（6）. 故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）. 2. 用符号“∈”或“∉”填空： 1____N， －3____N， ___Q， ___N， 1__Z， －3___Q， 0___Z， ___R， 0___N*， π___R， ___Q， ___Z． 【答案】     ∈     ∉     ∈     ∉     ∈     ∈     ∈     ∈     ∉     ∈     ∈     ∉ 【解析】表示自然数集；表示正整数集； 表示整数集；表示有理数集；表示实数集. 故答案为：；；；；；；；；；；；. 3. 下列关系中正确的个数是（ ） ①， ②， ③， ④ A． B． C． D． 【答案】B 【解析】①不是整数，故错误 ②是实数，故正确 ③不是正整数，故错误 ④是无理数，故正确。故选：B 4. 下列元素与集合的关系中，正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是整数，不是自然数，所以A不正确；因为0不是正整数，所以B正确； 因为2是无理数，不是有理数，所以C不正确：因为是实数．所以D不正确． 故选：B． 5. 给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】是实数，①正确；是无理数，②错误； －3是整数，③错误；－是无理数，④正确. 所以正确的个数为2.故选：B. 6. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】先化简集合，根据元素与集合的关系可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：D. 题型07：根据元素与集合的关系求参数 【名师点拨】若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解． 【例10】设集合A＝{2，3，a2﹣3a，a7}，B＝{|a﹣2|，0}．已知4∈A且4∉B，则实数a的取值集合为（　　） A．{﹣1，﹣2} B．{﹣1，2} C．{﹣2，4} D．{4} 【分析】根据题意分a2﹣3a＝4且|a﹣2|≠4，a7＝4且|a﹣2|≠4两种情况讨论，求出a的值，并利用集合的互异性进行验证，即可求得符合题意的a的值． 【解答】解：由题意可得①当a2﹣3a＝4且|a﹣2|≠4时，解得a＝﹣1或4， a＝﹣1时，集合A＝{2，3，4，4}不满足集合的互异性，故a≠﹣1， a＝4时，集合A＝{2，3，4，11}，集合B＝{2，0}，符合题意． ②当a7＝4且|a﹣2|≠4，解得a＝﹣1，由①可得不符合题意． 综上，实数a的取值集合为{4}． 故选：D． 【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，考查集合的互异性，属于基础题． 【跟踪训练】 1. 若，则集合中所有元素之和为________. 【答案】2 【解析】因为，所以，即. 此时即为， 所以元素之和为2. 故答案为：2 2. （多选题）由组成一个集合，中含有3个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】ACD 【解析】由题意知，，解得且. 所以实数的取值可以是，3,6 故选：ACD 题型08：集合相等 【名师点拨】两个集合的元素相同，注意分类讨论。 【例11】设a，，若集合，则 . 【答案】0 【来源】重庆市第十八中学2023-2024学年高一上学期9月月考数学试题 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案． 【详解】由题意可知：， 因为，则，可得， 则，可得，且满足， 所以. 故答案为：0. 【例12】已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【来源】海南省儋州某校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 【例13】下列集合与集合相等的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合表示数字和的集合. 对于A：集合中的元素代表点，与集合不同，A错误； 对于B：集合中的元素代表点，与集合不同，B错误； 对于C：由得：或，与集合元素相同，C正确； 对于D：表示两个代数式的集合，与集合不同，D错误. 故选：C. 【跟踪训练】 1. 已知集合，，且，则的值为________. 【提示】理解集合相等的定义； 【答案】； 【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可. 【详解】解：因为，，，所以，解得， 故答案为：0； 2. 已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据元素的互异性，确定的范围，根据集合相等列方程求即可. 【详解】因为，， 所以，且， 所以，且，， 因为， 所以或， 由，可得（舍去）， 由，可得（舍去）或， 所以. 故答案为：. 3．当集合 时，_______,______,_______. 【答案】 【解析】由于两个集合相等，所以两个集合的元素完全一样，左边集合有元素0，所以右边集合也有元素0，且只能c=0, 其余元素要一样，所以a=1,,填． 知识点三、集合的表示方法 题型09：列举法表示集合 【名师点拨】用列举法表示集合的三个步骤 （1）求出集合的元素；（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；（3）用花括号括起来。 【例14】用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 【解析】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为； （2） （3） （4） （5）由题意， 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋， 故由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合为. 【跟踪训练】 1. 用列举法表示下列集合 （1）{x∈N*|x是15的约数} （2）{x|x2﹣2x﹣8＝0} （3）{x|x为不大于10的正偶数} （4）{a|1≤a＜5，a∈N} （5）A＝{x∈N|∈N} （6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}． 【分析】对于这几个集合，要用列举法表示，只需根据限制条件求出集合的所有元素，然后列举法表示出来即可． 【解答】解：（1）{x∈N*|x是15的约数}，列举法表示为{1，3，5，15} （2）{x|x2﹣2x﹣8＝0}，列举法表示为{﹣2，4} （3）{x|x为不大于10的正偶数}，列举法表示为{2，4，6，8，10} （4）{a|1≤a＜5，a∈N}，列举法表示为{1，2，3，4} （5）A＝{x∈N|∈N}，列举法表示为{1，5，7，8} （6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．列举法表示为{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）} 【点评】考查描述法表示集合，列举法表示集合，解一元二次方程，用有序数对表示二元一次方程组的解． 题型10：描述法表示集合 【名师点拨】①用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． ②用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． ③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． 【例15】用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 【解析】（1）不等式的解集用描述法表示为. （2）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （3）集合用描述法表示为. （4）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （5）集合用描述法表示为. （6）集合用描述法表示为. （7）方程的解集用描述法表示为. 【例16】用描述法表示下图中的阴影部分可以是________． 【答案】 【解析】可以用来表示图中阴影部分. 【跟踪训练】 1.用描述法表示下列集合． （1）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合； （2）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合； （3）所有三角形构成的集合． 【分析】根据题意以及集合的表示法，选择恰当的方法表示各集合即可． 【解答】解：（1）集合的代表元素是数x，用描述法表示为{x|x＝3k+2，k∈N且x＜1000}． （2）集合的代表元素是点（x，y），用描述法表示为{（x，y）|x＜0且y＞0} （3）集合用描述法表示为{x|x是三角形}，简写为{三角形}． 【点评】本题考查集合的表示方法，注意描述法表示集合的格式以及列举法和描述法的优点．本题属于基础题． 2.用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式的解集； (3)方程的所有实数解组成的集合； (4)抛物线上所有点组成的集合； (5)集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)且 【解析】 【分析】 根据题设中的集合和集合的表示方法，逐项表示，即可求解. (1) 解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为： (2) 解：不等式的解集，用描述法可表示为：. (3) 解：方程的所有实数解组成的集合， 用描述法可表示为：. (4) 解：抛物线上所有点组成的集合， 用描述法可表示为：. (5) 解：集合，用描述法可表示为：且. 题型11：集合表示法的综合应用 【例17】用适当方法表示下列集合： （1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合； （2）方程+|y﹣2|＝0的解集； （3）由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合. 【答案】（1）{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；（2）；（3）{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}. 【详解】解：（1）当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3； 当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32； 当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312. 由于元素个数有限，故用列举法表示为 {1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}. （2）由算术平方根及绝对值的意义，可知： ，解得， 因此该方程的解集为{（﹣，2）}. （3）首先此集合应是点集，是二次函数y＝3x2+1图象上的所有点， 故用描述法可表示为{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}. 【例18】1、用列举法表示 ． 【答案】 【详解】解：因为且，所以或或或， 解得或或或， 所以对应的分别为、、、， 即； 故答案为： 2、用列举法表示 【答案】/ 【详解】. 故答案为： 【跟踪训练】 1．下列四个集合中，不同于另外三个的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对选项A，，元素为实数； 对选项B，，元素为等式； 对选项C，，元素为实数； 对选项D，，元素为实数. 故选：B 2.已知集合，且，则M等于 （用列举法） 【答案】 【解析】由于，所以是6的正因数， 当时，，符合， 当时，，符合， 当时，，符合， 当时，，符合， 综上可得， 故答案为： 3.选择适当的方法表示下列集合： (1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A； (2)所有正奇数组成的集合B； (3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C； (4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D． 【答案】(1)(2)(3) (4) 【解析】(1)不小于1且不大于17的质数有，用列举法表示：； (2)所有正奇数有无数个，用描述法表示：； (3)绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：； (4)直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示：． 知识点五、综合提升 题型12：集合与方程综合问题 【名师点拨】(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． (2)a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题． 【例19】已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【解析】（1），故，解得. （2）当时，方程变为，得，满足题意； 当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根， ，解得； 综上所述：或时为单元素集合. （3）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根， 故且，解得且. 【跟踪训练】 1. 已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【解析】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素， ∴所求集合； （2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或， ②A中一个元素也没有，即，此时，且，解得， 综合①②知的取值范围为或. 2. 已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}， （1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素； （2）若A是空集，求a的取值范围； （3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）或 【解析】（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根， 当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-， 当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1， （2）若A是空集， 则方程ax2+2x+1=0无解， 此时△=4-4a＜0，解得：a＞1. （3）若A中至多只有一个元素， 则A为空集，或有且只有一个元素， 由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1. 题型13：集合中的新定义问题 【名师点拨】1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化. 2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。 【例20】设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，定义集合运算：A⊙B＝｛z︳z= xy(x+y)，x∈A， y∈B｝，则集合A⊙B中的所有元素之和为． A．0 B．6 C．12 D．18 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系 【详解】∵集合A={0，1}，B={2，3}， A⊙B={z|z=xy（x+y），x∈A，y∈B}， ∴A⊙B={0，6，12}， 0+6+12=18， ∴集合A⊙B中的所有元素之和为18， 故选D． 【例21】定义：对于非空集合A，若元素x∈A，则必有（m﹣x）∈A，则称集合A为“m和集合”．已知集合B＝{1，2，3，4，5，6，7}，则集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有　 　个． 【分析】考察子集的概念以及对数学新概念的理解，由x∈A及（m﹣x）∈A可以得到两个数之和为m的元素必须同时出现在集合A中． 【解答】解：①含有1个元素的“8和集合”：{4}； ②含有2个元素的“8和集合”：{1，7}，{2，6}，{3，5}； ③含有3个元素的“8和集合”：{1，4，7}，{2，4，6}，{3，4，5}； ④含有4个元素的“8和集合”：{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}； ⑤含有5个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，4}，{1，7，3，5，4}，{2，6，3，5，4}； ⑥含有6个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，3，5}； ⑦含有7个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，3，5，4}． 【点评】本题考查了列举法，有一定难度． 【跟踪训练】 1. 定义A×B×C＝{（x，y，z）|x∈A，y∈B，z∈C}．已知A＝{1，2}，B＝{3，4}，C＝{5}，用列举法表示A×B×C＝　 　． 【分析】由新定义的集合的意义，根据集合A，B，C即可求出结果． 【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{3，4}，C＝{5}， ∴由题意可知A×B×C＝{（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5）}， 故答案为：{（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5）}． 【点评】本题主要考查了集合的表示方法，是基础题． 2. 设集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A⊗B中所有元素之积为（　　） A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16 【分析】由集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，知A⊗B＝{2，﹣4，﹣1}，由此能求出A⊗B中所有元素之积． 【解答】解：∵集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}， 定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}， ∴A⊗B＝{2，﹣4，﹣1}， 故A⊗B中所有元素之积为：2×（﹣4）×（﹣1）＝8． 故选：C． 3. 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn．则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16}中的元素个数是（　　） A．18 B．17 C．16 D．15 【分析】根据已知条件，当a，b都为正偶数或正奇数时：需满足a+b＝16，a从1到16这16个数字取一个有16种取法，a一旦确定，b也唯一确定，即b有一种取法，所以（a，b）有16种取法，即构成集合M16个元素；当a＝1，b＝16，或1＝16，b＝1时则满足ab＝16，即构成集合M2个元素，所以集合M有18个元素． 【解答】解：（1）a，b都是正偶数时：a从2，4，6，8，10，12，14任取一个有7种取法，而对应的b有一种取法； ∴（a，b）有7种取法，即这种情况下集合M有8个元素； （2）a，b都为正奇数时：a从1，3，5，7，9，11，13，15任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法； ∴（a，b）有8种取法，即这种情况下集合M有8个元素； （3）当m＝16，n＝1，和m＝1，n＝16，即这种情况下集合M有两个元素； ∴集合M的元素个数是7+8+2＝17． 故选：B． 【点评】考查描述法表示集合，元素与集合的关系，以及对新概念的运用能力． 4. 若集合具有以下性质： ①； ②若，则，且时，. 则称集合是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)设集合是“好集”，求证：若，则； 【解析】（1）B不是“好集”, 理由是： ，，而，∴B不是“好集”； 是“好集”， 理由是：，；对任意，，有， 且时，，∴有理数集Q是“好集”. （2）因为集合是“好集”，所以. 若，则，即. 所以，即. （3）对任意一个“好集”，任取， 若或时，显然. 且时，由定义可知：. 所以，即. 所以. 由（2）可得：，即. 一、选择题 1. 下列四组对象中能构成集合的是（　　） A．宜春市第一中学高一学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 【分析】根据集合的含义分别分析四个选项，A，B，C都不满足函数的确定性故排除，D确定，满足． 【解答】解：A：宜春市第一中学高一学习好的学生，因为学习好的学生不确定，所以不满足集合的确定性，排除 B：在数轴上与原点非常近的点，因为非常近的点不确定，所以不满足集合的确定性，排除 C：很小的实数，因为很小的实数不确定，所以不满足集合的确定性，排除 D：倒数等于它自身的实数为1与﹣1，∴满足集合的定义，故正确． 故选：D． 【点睛】本题考查集合的含义．通过对集合元素三个性质：确定性，无序性，互异性进行考查，属于基础题． 2．下列元素与集合的关系表示正确的是（　　） ①﹣1∈N*；②∉Z；③∈Q；④π∈Q A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【分析】认识常用数集的表示符号及元素和集合的关系． 【解答】解：对于①：﹣1不是自然数，故﹣1∉N*，故①错误； 对于②：是无理数不是整数，Z表示整数集合∴∉Z，故②正确； 对于③：是有理数，Q表示有理数集，∴∈Q，故③正确； 对于④：π是无理数，Q表示无理数集，∴π∉Q，故④错误． 故选：B． 【点睛】本题考查对数集的认识，属于基础题 3. 已知集合M＝{1，m+2，m2+4}，且5∈M，则m的值为（　　） A．1或﹣1 B．1或3 C．﹣1或3 D．1，﹣1或3 【分析】由5∈{1，m+2，m2+4}，得m+2＝5或m2+4＝5，再由集合中元素的互异性，能求出m的取值集合． 【解答】解：∵5∈{1，m+2，m2+4}， ∴m+2＝5或m2+4＝5，即m＝3或m＝±1． 当m＝3时，M＝{1，5，13}； 当m＝1时，M＝{1，3，5}； 当m＝﹣1时，M＝{1，1，5}不满足互异性， ∴m的取值集合为{1，3}． 故选：B． 【点睛】本题考查实数的取值集合的求法，解题时要认真审题，注意集合性质的合理运用，是基础题． 4. 已知集合，集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以. 故选：C 5．列元素与集合的关系判断正确的是（　　） A．0∈N B．π∈Q C．∈Q D．－1∉Z 【答案】A 【详解】0是自然数，是无理数，不是有理数，是整数，根据元素和集合的关系可知，只有A正确； 故选：A 6.下面四个说法中错误的是（　　） A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} C．方程x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1，1} D．0与{0}表示同一个集合 【分析】结合集合的表示及元素与集合的基本关系分别检验各选项即可判断． 【解答】解：10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A正确； 由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同一集合，故B正确； 方程x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C错误； 由集合的表示方法知0不是集合，故D错误， 故选：CD． 【点睛】本题主要考查了集合的表示及元素与集合的基本关系的判断，属于基础题． 7.已知集合只有一个元素，则的取值集合为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】①当时，，此时满足条件； ②当时，中只有一个元素的话，，解得，综上，的取值集合为，．故选：D． 8.对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（ ） A．{ x |是小于18的正奇数} B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：{ x |是小于18的正奇数}=，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确.故选：D 二、多项选择题 9. 下列各组对象能构成集合的是（       ） A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于的正整数 【答案】ACD 【解析】根据集合的概念，可知集合中元素的确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．故选：ACD. 10. 下列集合中，可以表示为的是（ ） A．方程的解集 B．最小的两个质数 C．大于1小于4的整数 D．不等式组的整数解 【答案】BCD 【解析】对于A，方程的解集为，不符合； 对于B，最小的两个质数构成的集合，符合； 对于C，大于1小于4的整数构成的集合，符合； 对于D，由，可得，即，故整数解集为，符合. 故选：BCD 11. 下列表示不是同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】A选项两个集合的元素不同，BD选项两个集合一个是点集一个是数集. 【详解】A选项：，分别表示两个点集，不是同一个点，表示不是同一集合； B选项：表示直线上的点的坐标，表示直线上的点的纵坐标，表示不是同一集合； C选项：，两个集合相同； D选项：是数集，是有序数对构成的集合，表示不是同一集合. 故选：ABD 12．若集合A具有以下性质： （1）0∈A，1∈A； （2）若x∈A，y∈A；则x﹣y∈A，且x≠0时，∈A． 则称集合A是“好集”．下列命题中正确的是（　　） A．集合B＝{﹣1，0，1}是“好集” B．有理数集Q是“好集” C．整数集Z不是“好集” D．设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x+y∈A 【分析】逐一判断给定的3个集合，是否满足“好集”的定义，最后综合讨论结果，可得答案． 【解答】解：对于A，假设集合B是“好集”，因为﹣1∈B，1∈B，所以﹣1﹣1＝﹣2∈B，这与﹣2∉B矛盾，所以集合B不是“好集”．故A错误； 对于B，因为0∈Q，1∈Q，且对任意的x∈Q，y∈Q有x﹣y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”，故B正确； 对于C，因为2∈Z，但∉Z，所以整数集Z不是“好集”．故C正确； 因为集合A是“好集”，所以0∈A，又y∈A，所以0﹣y∈A，即﹣y∈A，又x∈A，所以x﹣（﹣y）∈A，即x+y∈A，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】本题主要考查了元素与集合关系的判断，以及新定义的理解，同时考查了运算求解的能力，属于基础题． 三、填空题 13. 集合用列举法表示为 . 【答案】 【解析】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 14.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为　 　． 【分析】利用图中的阴影部分的点的坐标满足的条件即为集合的元素的公共属性． 【解答】解：图中的阴影部分的点设为（x，y）则 {x，y）|﹣1≤x≤0，y≤0或0≤x≤2，0≤y≤1} ＝{（x，y）|xy≥0且﹣1≤x≤2，y≤1} 故答案为：{（x，y）|xy≥0，且﹣1≤x≤2，y≤1}． 【点评】本题考查用集合表示平面图形，注意代表元素是数对． 15.已知集合，若，则________. 【答案】0 【解析】若两个集合相等,则两个集合中的元素完全相同. ,又,故答案为0. 16.已知集合，且，则的值为 . 【答案】3或2 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由，且， 得或， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合元素的互异性，舍； 所以的值为3或2. 故答案为：3或2 四、解答题 17.已知集合，，若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】 结合，寻找元素的对应关系，显然不成立，故只能，化简集合，解得参数即可求解的值． 【详解】 因为，集合中有一元素为0，显然不成立，故只能，此时，，故满足，解得，经检验，故. 18.用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【解析】（1）不大于10的非负偶数有， 所以； （2）小于8的质数有，所以； （3）方程的实数根为， 所以． （4）由，得， 所以一次函数与图象的交点为， 所以． 19. 用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【解析】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为 ． （3）要使有意义．则．解得且． ∴使有意义的实数x组成的集合为且． （4）由，解得．∴方程的解集为． 20.已知集合，其中为常数，且. (1)若是空集，求的范围； (2)若中只有一个元素，求的值； (3)若中至多只有一个元素，求的范围. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【解析】 【分析】 （1）方程ax2﹣3x+2＝0无解，则，根据判别式即可求解； （2）分a＝0和a≠0讨论即可； （3）综合（1）（2）即可得出结论. (1) 若是空集，则方程无解， 此时，即， (2) 若中只有一个元素，则方程有且只有一个实根， 当时方程为一元一次方程，满足条件 当，此时，解得：. ∴或； (3) 若中至多只有一个元素，则为空集，或有且只有一个元素 由①②得满足条件的的取值范围是：或. 21.设数集由实数构成，且满足：若（且），则. （1）若，试证明中还有另外两个元素； （2）集合是否为双元素集合，并说明理由； （3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 【答案】（1）证明见解析；（2）不是，理由见解析；（3）. 【解析】 【分析】 （1）求出中另外两个元素为，，即得证； （2）说明集合中至少有3个元素即得解； （3）A中所有元素积为1，从而求出x，进而求出m的值为、3、，由此能求出集合A． 【详解】 （1）证明：若x∈A，则 又∵2∈A，∴ ∵-1∈A，∴ ∴中另外两个元素为，； （2），，，且，， ，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合； （3）∵数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则． ∴x∈A，，， ，，， ∴集合A中至少有3个元素，所有元素的积为：1， ∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为， 且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，所有元素积为1， ∴， ∵，∴2∈A，∴，∴∈A， 设m＝a，同理得∈A，∈A， ∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为， ∴、3、， ∴． 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $