第02讲 子集、全集、补集（6大知识点+7大题型）（讲义）-2026年新高一数学暑假进阶精品讲义（苏教版2019）

第02讲 子集、全集、补集 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：子集 3 知识点二：韦恩图 3 知识点三：真子集 3 知识点四：集合的相等与子集的关系 3 知识点五：有限集合的子集个数 3 知识点六：补集 4 03 题型精讲举一反三 5 题型一：辨析集合间的包含关系 5 题型二：集合相等的判定与应用 6 题型三：空集的定义、性质及相关计算 7 题型四：求解子集与真子集的数量 9 题型五：补集的理解与运算应用 10 题型六：根据集合关系求参数范围 11 题型七：综合运用问题 13 04 过关测试 16 知识点一：子集 1、一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集．，记作 A⊆B（或 B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）． 2、规定：空集是任何集合的子集，即． 3、子集的性质： （1）任何一个子集都是它本身的子集，即． （2）若，且，则． 知识点二：韦恩图 韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用下图表示： B A 知识点三：真子集 1、如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作（或），读作：A真包含于B（或B真包含A）． 2、真子集的性质 （1）空集是任何非空集合的子集． （2）若A B，B C，则A C． 知识点四：集合的相等与子集的关系 1、如果A⊆B且B⊆A，则A=B． 2、如果A=B，则A⊆B且B⊆A． 知识点五：有限集合的子集个数 若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2． 知识点六：补集 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用表示． 2、如果集合A是全集的一个子集，则由中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在中的补集，记作． 3、数学表达式：． 4、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： U A 5、给定全集的子集及其任意一个子集A，则 ①； ②； ③． 题型一：辨析集合间的包含关系 【例1】（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于是的一个子集，故，B正确，AD错误，C选项，空集不是的元素，故C错误. 故选：B 【变式1-1】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D．⫋ 【答案】C 【解析】， ， 则，故. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【答案】A 【解析】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 【变式1-3】给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【答案】D 【解析】由于元素与集合之间用或表示，所以①错误，②正确， 由于，集合与集合之间用或等表示，所以③错误，④正确， 根据集合与集合的关系可得⑤，⑥均正确， 所以正确的是②④⑤⑥， 故选：D. 题型二：集合相等的判定与应用 【例2】（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 【答案】C 【解析】由可得：，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去， 即满足题意， 故选：C 【变式2-1】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，， ①当，解得或，由集合中元素具有互异性，故不符合题意； ②当时，解得（舍去）或.即，符合题意. 所以. 故选：D 【变式2-2】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以或， 则或或， 当时，集合，不满足集合元素的互异性，舍去； 所以，所以， 故选：C 【变式2-3】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知集合，，若，则（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】B 【解析】因为集合，，若， 所以关于的方程只有一个实数根，则，故， 所以， 则，故，所以， 故. 故选：B. 题型三：空集的定义、性质及相关计算 【例3】（24-25高一上·辽宁大连·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高三上·山西晋中·阶段检测）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以是的真子集，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为2. 故选：B. 【变式3-2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）下列说法中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】对于①，正确； 对于②，是元素，是没有元素的集合，故②错误； 对于③⑤，正确，即③对，错误，即⑤错； 对于④，表示集合中有一个元素，表示集合中有一个元素，研究对象不同，故④错误； 对于⑥，，故⑥错误； 对于⑦，正确； 对于⑧，表示不同的集合，错误. ①③⑦正确. 故选：B 【变式3-3】（23-24高一上·山西太原·阶段检测）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解析】对于①，由集合间的关系和集合中元素的无序性知，故①正确； 对于②，由集合中元素的无序性知，故②正确； 对于③，是没有任何元素的集合，而集合中有元素，所以，故③错误； 对于④，是集合的元素，所以，故④正确； 对于⑤，是集合的子集而非元素，故⑤错误； 对于⑥，是集合的子集，即，故⑥正确； 综上知，正确的个数为4个. 故选：B. 题型四：求解子集与真子集的数量 【例4】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合 (1)若，写出的所有子集 (2)若集合中只含有一个元素，求的值． 【解析】（1）当时，集合，解方程得或， 则集合，其子集有. （2）当时，集合，解方程得， 则集合，满足要求； 当时，方程有两个相同的解，即，解得， 代入得方程，解得，则集合，满足要求. 综上，的值为或. 【变式4-1】（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合，且. (1)求实数的值； (2)写出集合的所有子集. 【解析】（1）因为，所以，解得. （2）由（1）可得， 故集合的所有子集为. 【变式4-2】（25-26高一上·全国·期末）已知集合，求A的子集、真子集、非空真子集个数. 【解析】集合，有3个元素， 所以子集有个；真子集有个；非空真子集有个. 综上，集合，子集有8个，真子集有7个，非空真子集有6个. 【变式4-3】已知集合． (1)用列举法表示集合，并求集合的真子集的个数； (2)若，求所有满足条件的集合； (3)若，求满足条件的集合的个数． 【解析】（1）由知．又，所以， 集合A的真子集的个数为． （2）由题意知集合中必含元素0，1，2，而3，4这两个元素可以不含，也可以含一个或含两个，所以满足条件的集合为，，，． （3）由集合，结合（2）知满足条件的集合的个数为3． 题型五：补集的理解与运算应用 【例5】（25-26高一上·上海·期末）已知全集，集合，则________． 【答案】 【解析】因为全集，集合， 所以. 【变式5-1】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，则_____ 【答案】 【解析】集合，所以. 故答案为： 【变式5-2】（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）已知集合，则用列举法可表示为___________. 【答案】/ 【解析】由可得， 故答案为： 【变式5-3】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）设集合{小于7的质数}，，则___________. 【答案】 【解析】易知，所以. 故答案为： 题型六：根据集合关系求参数范围 【例6】设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【解析】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，且.若，求实数的值. 【解析】因为 所以 解得或， 所以， 因为且， 所以或或， 当时，，方程无解； 当时，； 当时，，方程无解； 综上所述：. 【变式6-2】（19-20高一上·山西太原·阶段检测）已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 【变式6-3】（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【解析】（1）若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. （2）当时，，满足， 当且时，或， 当时，，                         当时，，                          故的取值构成的集合为. 题型七：综合运用问题 【例7】（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 对于集合中的每个元素，除该元素外还有个元素， 每个元素有选或不选两种可能，包含它的子集个数为， 故的所有子集中的元素之和为． （2）当，即时，满足． 当，即时，要使成立，需，可得， 综上，的取值范围是或． 【变式7-1】（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值； 【解析】（1）根据差倍集的定义， 当，时，； 当，时，； 当，时，． 由集合中元素的互异性，可得． （2）已知，由集合中元素的互异性可知，且． 当时，的可能取值为2或3． 当时，，， ，， 此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，，， ，， 则，不满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，根据， 可得，，． 由于且，所以且，且． 因为差倍集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时， 满足差倍集中恰好有两个元素，故． 综上，若其差倍集中恰好有两个元素，则的值为2或10． 【变式7-2】关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)求证： (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）设，∴，故， ∴是方程的解，∴，∴； （2）∵，∴有实根， ∴，∴， ∵集合为方程即的根的集合， 由（1）的结论且集合为方程根的集合， ∴因式分解后必定含有因式， 由多项式的除法：， ∵，∴无实根或其根为方程的根， 当无实根时， ，解得， 当的根为方程的根时， ①当有两不等实根时，由韦达定理，其根不可能与的根相同； ②当有两相等实根时，即即时， 方程的根为，此根刚好是的根，满足条件． 综上：故的取值范围是. 【变式7-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合、； (2)若集合且， ①若，求证：； ②若，求证：. 【解析】（1）因为， ，， 所以. （2）且， 所以， ①证明： 因为， 所以， 所以. ②证明：因为， 又， 因为，所以， 所以， 又因为， 所以，即， 又，所以. 1．（2026·湖南永州·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以. 2．（25-26高一下·江西赣州·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由题意得，其元素个数为3，子集个数为． 3．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合， ， 所以. 4．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由全集，且，故，从而. 5．（25-26高一下·河北保定·开学考试）集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】B 【解析】集合有3个元素， 故该集合有个子集． 6．（25-26高一上·河北衡水·期末）集合的真子集个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】根据题意知，故真子集个数为， 故选：C. 7．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【解析】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 8．（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【解析】由，可知集合可以是或. 故选：D. 9．（多选题）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 【答案】BCD 【解析】因为非空集合，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是3或－3或0． 故选：BCD． 10．（多选题）（25-26高一上·江苏·阶段检测）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】是以空集为元素的集合有且只有一个元素就是空集，根据空集是任何集合的子集所以A，C正确. 故选：AC 11．（多选题）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，不满足. 故选：ABD 12．（25-26高一下·上海·期中）已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 【答案】3 【解析】当时，，集合中的元素都是1，不符合题意； 当时，，集合，符合题意； 当时，，此时，不符合题意， 综上，. 13．（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 【答案】3 【解析】方程可化为，解得或1， 则，故集合的真子集的个数为. 14．（2026·上海奉贤·二模）已知集合，，若，则实数________． 【答案】 【解析】因为，所以或， 解得，或， 当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去； 当时，，满足题意，故 15．（25-26高一上·广东·阶段检测）设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值. 【解析】（1）因为集合，，存在3个不同的元素，使得， 所以集合中必然同时含有元素或， 则或或 （2）因为集合是“等差集”， 所以或或， 计算可得或或或或， 又因为集合的元素为正整数，所以为正整数，所以， 经检验，当时，集合，满足题意，故. 16．（25-26高一上·天津南开·阶段检测）已知，集合，． (1)若，求的值； (2)若，，求，的值． 【解析】（1）， ，解得或； （2）若，则 解得或． 17．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，非空集合.若，求实数m的值. 【解析】因为，所以．由题知， 当时，， 即，解得或． 若，则，得到，满足题意； 若，则，不符合题意． 当时，，即，解得或． 若，则，不合题意． 当时，由韦达定理得，同理可得符合题意. 综上所述，实数的值为3． 18．已知或. （1）若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 【解析】（1）即的范围小于的范围. 当，即时，，满足； 当，即时，要使，由图1得， ①②等号不同时成立，解得. 综上所述，的取值范围为或. （2）BA即的范围小于的范围. 要使BA，优先考虑是否为空集. 当，即时，，满足BA； 当，即时，要使BA，由图2得或， 解得.又因为，所以. 综上所述，的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 子集、全集、补集 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：子集 3 知识点二：韦恩图 3 知识点三：真子集 3 知识点四：集合的相等与子集的关系 3 知识点五：有限集合的子集个数 3 知识点六：补集 4 03 题型精讲举一反三 5 题型一：辨析集合间的包含关系 5 题型二：集合相等的判定与应用 5 题型三：空集的定义、性质及相关计算 6 题型四：求解子集与真子集的数量 6 题型五：补集的理解与运算应用 7 题型六：根据集合关系求参数范围 7 题型七：综合运用问题 8 04 过关测试 10 知识点一：子集 1、一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集．，记作 A⊆B（或 B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）． 2、规定：空集是任何集合的子集，即． 3、子集的性质： （1）任何一个子集都是它本身的子集，即． （2）若，且，则． 知识点二：韦恩图 韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用下图表示： B A 知识点三：真子集 1、如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作（或），读作：A真包含于B（或B真包含A）． 2、真子集的性质 （1）空集是任何非空集合的子集． （2）若A B，B C，则A C． 知识点四：集合的相等与子集的关系 1、如果A⊆B且B⊆A，则A=B． 2、如果A=B，则A⊆B且B⊆A． 知识点五：有限集合的子集个数 若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2． 知识点六：补集 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用表示． 2、如果集合A是全集的一个子集，则由中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在中的补集，记作． 3、数学表达式：． 4、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： U A 5、给定全集的子集及其任意一个子集A，则 ①； ②； ③． 题型一：辨析集合间的包含关系 【例1】（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D．⫋ 【变式1-2】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【变式1-3】给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 题型二：集合相等的判定与应用 【例2】（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 【变式2-1】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式2-3】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知集合，，若，则（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 题型三：空集的定义、性质及相关计算 【例3】（24-25高一上·辽宁大连·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】（24-25高三上·山西晋中·阶段检测）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）下列说法中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】（23-24高一上·山西太原·阶段检测）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型四：求解子集与真子集的数量 【例4】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合 (1)若，写出的所有子集 (2)若集合中只含有一个元素，求的值． 【变式4-1】（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合，且. (1)求实数的值； (2)写出集合的所有子集. 【变式4-2】（25-26高一上·全国·期末）已知集合，求A的子集、真子集、非空真子集个数. 【变式4-3】已知集合． (1)用列举法表示集合，并求集合的真子集的个数； (2)若，求所有满足条件的集合； (3)若，求满足条件的集合的个数． 题型五：补集的理解与运算应用 【例5】（25-26高一上·上海·期末）已知全集，集合，则________． 【变式5-1】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，则_____ 【变式5-2】（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）已知集合，则用列举法可表示为___________. 【变式5-3】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）设集合{小于7的质数}，，则___________. 题型六：根据集合关系求参数范围 【例6】设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，且.若，求实数的值. 【变式6-2】（19-20高一上·山西太原·阶段检测）已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式6-3】（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 题型七：综合运用问题 【例7】（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 【变式7-1】（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值； 【变式7-2】关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)求证： (2)若，求实数的取值范围． 【变式7-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合、； (2)若集合且， ①若，求证：； ②若，求证：. 1．（2026·湖南永州·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江西赣州·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 5．（25-26高一下·河北保定·开学考试）集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 6．（25-26高一上·河北衡水·期末）集合的真子集个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 7．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 8．（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 9．（多选题）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 10．（多选题）（25-26高一上·江苏·阶段检测）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·上海·期中）已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 13．（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 14．（2026·上海奉贤·二模）已知集合，，若，则实数________． 15．（25-26高一上·广东·阶段检测）设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值. 16．（25-26高一上·天津南开·阶段检测）已知，集合，． (1)若，求的值； (2)若，，求，的值． 17．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，非空集合.若，求实数m的值. 18．已知或. （1）若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $