精品解析：河南焦作市第一中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试卷

2025级高一下学期6月月考 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 2. 如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 南开中学八角形校徽由两个正方形叠加组合而成，体现“方方正正做人”之意，又体现南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神．如图的多边形，由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成．已知向量，，则向量（ ） A. B. C. D. 6. 设，则有（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图像如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图像与轴的交点，为图像的最高点，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在下列各线段中，线段所在直线是异面直线的是（ ） A. 直线和直线 B. 直线和直线 C. 直线和直线 D. 直线和直线 10. 在半径为r的圆中，扇形的弧长，面积为，圆心角，弦，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 11. 如图，为边长为的等边三角形，以的中点为圆心，为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在中，三个内角，，的对边分别是，，，若，，，则______. 13. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，过点的平面∥平面，则平面截该正方体所得截面的面积为________． 14. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示：已知，，路宽米.设，则制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小值为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数满足. （1）求； （2）已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，分别求 的值. 16. 已知向量. （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值； （3）当为钝角时，求的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. （1）求证：点，，，四点共面 （2）求证：平面平面. （3）在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）若，． ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； （2）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一下学期6月月考 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】复数的虚部为. 2. 如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法即可得解. 【详解】因为是用斜二测画法得到的直观图， 且其中， ， 所以 ， 所以中，， ， 所以． 3. 设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线、面的位置关系有关的概念和定理，对四个选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，由 ，得直线与可能平行、也可能是异面直线，A错误； 对于B，由，得可能平行，也可能相交，B错误； 对于C，由线面平行的判定定理可知C错误； 对于D，过直线作平面，且， 因为，所以， 过直线作平面，且， 同理可得， 所以， 因为，（若，则与重合） 所以， 因为，且， 所以，，故D正确. 4. 已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合的范围及正弦函数的性质，求出的取值范围． 【详解】， 因为，所以， 要使在上有两个零点，则，解得， 故的取值范围为． 5. 南开中学八角形校徽由两个正方形叠加组合而成，体现“方方正正做人”之意，又体现南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神．如图的多边形，由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成．已知向量，，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性可得线段的长度关系以及点共线，再由向量的加法法则可求解. 【详解】根据题意可得，已知该图形是由以正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形与原正方形组合而成， 如图，由对称性可得，． 由图可知点，，，共线，点，，共线， 所以，， 所以． 6. 设，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， ，因为在上单调递增， 所以，又因为，所以 即，综上. 7. 函数的部分图像如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图像与轴的交点，为图像的最高点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，过作轴于点，结合函数图像可得函数的解析式，从而可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】 过作轴于点，则， 因为是等腰直角三角形，所以，故， 则，且，则， 因为，所以， 所以，，， 所以，解得，， 因为，所以，则， 则， 故. 故选：A 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出角的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到周长的取值范围. 【详解】因为是锐角三角形，所以， 又，所以，所以，由，得， 所以，所以，解得，所以. 由，，，得， ， 所以的周长为． 令，则， 则， 函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以， 所以周长的取值范围为． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在下列各线段中，线段所在直线是异面直线的是（ ） A. 直线和直线 B. 直线和直线 C. 直线和直线 D. 直线和直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】将正方体还原，从而得到线段所在直线是否为异面直线. 【详解】还原为正方体，如下： A选项，直线和直线是异面直线，A正确； B选项，直线和直线是异面直线，B正确； C选项，直线和直线是异面直线，C正确； D选项，直线和直线是相交直线，不是异面直线，D错误. 10. 在半径为r的圆中，扇形的弧长，面积为，圆心角，弦，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】设扇形半径为，根据弧长公式，扇形面积公式，逐一分析每个选项进行求解. 【详解】 设扇形半径为，作， 在直角中，，A选项错误， 结合弧长公式，B选项正确； 根据扇形的面积公式，，C选项正确 ； ，D选项错误. 故选：BC 11. 如图，为边长为的等边三角形，以的中点为圆心，为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；对C，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，根据条件可得，即可求解；对D，利用C中结果，可得，由三角函数的性质，即可求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由A知， 所以 ，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，设， 而，所以， 当时，的最大值为5，故C正确； 对于D，由C知，， 则，又， 则，整理得到， 所以， 当时，取到最大值，最大值为，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在中，三个内角，，的对边分别是，，，若，，，则______. 【答案】或 【解析】 【详解】在中，由正弦定理得， 又，，，所以，所以， 又因为，所以或. 13. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，过点的平面∥平面，则平面截该正方体所得截面的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】取、的中点分别为，根据面面平行的判定定理可得平面平面，所以平面α截该正方体所得截面的面积为梯形的面积，利用梯形的面积公式即可求解. 【详解】取、的中点分别为， 易知， 平面，平面， 所以平面， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 平面，平面， 所以平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 所以平面α截该正方体所得截面的面积为四边形的面积， ，所以四边形为梯形， ，， 所以梯形的高为， 所以梯形的面积为. 所以平面α截该正方体所得截面的面积为. 故答案为：. 14. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示：已知，，路宽米.设，则制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用正弦定理及三角变换得到，即可求解. 【详解】因为与地面垂直，，所以， 在中，因，则， 由正弦定理，得，得， 在中， ， 由正弦定理，得，得， 又由正弦定理，可得，得 ， 所以 ， 因为，所以， 则当，即时，取得最小值. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数满足. （1）求； （2）已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，分别求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设复数，利用复数的运算和复数相等解出即可求解； （2）根据已知条件，推得也为实系数一元二次方程的一个根，再结合韦达定理，即可求解. 【小问1详解】 设复数，所以， 又， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 由题意得：是关于的实系数一元二次方程的一个根， 所以也是实系数一元二次方程的另一个根， 所以，解得. 16. 已知向量. （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值； （3）当为钝角时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ， 因为， ， 所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以， . 【小问3详解】 角为钝角，即，且与不能反向共线， 所以，因为，可得， 且， 综上. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. （1）求证：点，，，四点共面 （2）求证：平面平面. （3）在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）易得，进而可得，再由平面公理即可证明； （2）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可； （3）取中点，连接，，，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果. 【小问1详解】 证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. 【小问2详解】 由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. 【小问3详解】 线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，此时． 18. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）若选②，，若选③，， 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，求得，即可求解； （2）根据题意，分别选择条件，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由余弦定理得， 因为，可得. 【小问2详解】 解：选择条件①：，且 由正弦定理，可得， 因为，所以这样的不存在； 选择条件②，因为，且， 所以，则， 由，可得， 因为，所以，解得，所以 由正弦定理，可得， 设边上的高为，可得的面积为，所以， 因为，可得， 又因为，可得，所以. 选择条件③：由， 根据向量的数量积的公式，可得，所以， 因为且，所以，解得， 由余弦定理， 可得，所以 设边上的高为，可得的面积为，所以， 所以. 19. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）若，． ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； （2）求的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由已知条件结合三角恒等变换化简得，得解； ②由正弦定理求得，再由求得答案； （2）由结合内角和定理可得，，将所求式子由正弦定理边化角结合二倍角公式化简得，令，利用函数单调性求解. 【小问1详解】 ①， ，即得， 又，所以，所以， 所以或，即或， 因为，所以，即，故， 因为，所以. ②由①得. 在中，由正弦定理，得， 因为，所以 所以， . 【小问2详解】 ，，， 、B、C为的内角，， 由正弦定理得 令，， ，在单调递增， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $