河南登封市第一高级中学2025-2026学年下学期4月份素养评估高一数学

**基本信息** 高一数学4月素养评估覆盖复数、向量、解三角形、立体几何等核心模块，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学眼光（空间观念、几何直观）、思维（推理能力、运算能力）及语言（模型应用），适配月考学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5题/77分|立体几何（四面体体积与最值）、解三角形（外接圆与周长）|结合空间想象与逻辑推理，如18题截四面体求体积及动点最值，体现数学思维的严谨性；19题以内心为背景求周长最大值，渗透模型意识|

2025-2026学年下学期4月份素养评估 高一数学 一､单项选择题（每题5分）： 1. 已知，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，，，则平面图形的面积为（　　） A. 2 B. C. D. 3 3. 在中，边上的中线为，点满足，则（ ） A. B. C. D. 4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5. 若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（    ） A．1 B．4 C．1或2 D．1或4 6.已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 一个高为圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）内部能完全容纳的最大球的半径为，若，则这个圆锥的体积与这个最大球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知为锐角，，若最小值为，则 A. B. C. D. 二､多项选择题(每题6分)： 9. 已知复数：，，则下列说法正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若为实数，则 C. 复数对应的点不可能在第一、三象限的角平分线上 D. 设，复数z满足，则的最大值为 10. 如图，已知长方形中，则（ ） A. 的最小值为2 B. 当时，与的夹角余弦值为 C. 当时， D. 对任意的 11. 在锐角中，角的对边分别为，且满足，，则下列说法正确的有（ ） A. 外接圆面积是 B. 面积的最大值是 C. 周长的取值可以是 D. 内切圆半径的取值范围是 三､填空题 （每题5分）： 12. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为          ． 13. 已知向量，则向量在上的投影向量为_________ 14. 如图，在多面体中，已知是边长为2的正方形，且均为正三角形，则该多面体的体积为__________ 四､解答题 15. （13分）（1）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，，且，求； （2）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 16.（15分） 已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 17.（15分） 如图，已知的内角所对的边分别是，，且的外接圆面积为. (1)求边； (2)若，延长至，使得，求. 18.（17分） 如图，已知四面体的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到三棱台. （1）求三棱台体积； （2）若为棱上的动点，求的最小值，并求取最小值时线段的长度. 19. （17分）在中，内角所对的边分别为，已知，. （1）求的外接圆面积； （2）若为的内心，求周长的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期4月份素养评估 高一数学答案 ACCB DADC 9、AD 10、AC 11、ABD 12、 13、8 14、 8. 【详解】设的内角的对边分别为. 因为， 所以当时，取得最小值，则，所以，又为锐角，故.因为，所以，所以，所以，所以.故选:C 10.【详解】以为坐标原点，分别以向量的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则. 对于A，显然， 则，当，即时，取得最小值2，A正确； 对于B，当时，与的夹角余弦值为 ，B错误； 对于C，当时，，而，C正确； 对于D，，当时，取得最小值， 当或1时，的值为1，所以对任意的，D错误.故选：AC 11由结合正弦定理得. 因为在锐角三角形中，，所以. ，又为锐角，所以.对A：设的外接圆半径为，由，所以，所以外接圆面积为：. 对B：由余弦定理（当且仅当时取“”）.所以.故B正确； 对C：因为为锐角三角形，所以，，，所以. 由正弦定理：，所以，， ，因为，所以，所以，所以周长的取值范围为.因为，故C错误； 对D：设内切圆半径为，则. 又， ，，所以， 由，所以.故D正确.故选：ABD 14.【分析】由已知，将多面体分成两个同样的三棱锥和一个直三棱柱，然后分别求出其体积相加即可.如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，连接， 则平面，平面将多面体分成两个同样的三棱锥和一个直三棱柱， 因为是边长为2的正方形，且均为正三角形， 则，取的中点，连接，，，，则多面体的体积 15. 【详解】（1）设，由，且，得，解得， 而复数在复平面内对应的点在第一象限，，所以. （2），由复数在复平面内对应的点在第二象限，得，解得，所以实数的取值范围是. 16. （1），， . （2）三点共线，由得，，即， ，. 17.【详解】（1）设的外接圆半径为，由题意，解得. 由和正弦定理，可得：，又由余弦定理，可得，因为，故由正弦定理，； （2）由（1）已得，则， 化简得：，解得，（舍去）.由余弦定理，可得， 所以.由，可得. 故 ，在中，由正弦定理，, 即得. 18. 【小问1详解】作点在平面内的射影，连接.根据题意可知，是等边三角形的中心，则，，即四面体的高为.所以，所以. 【小问2详解】如图所示，将平面与展开到同一平面，可知. 在中，， 由余弦定理得，即. 因为，所以所以，在中， 设，由余弦定理得，即， 解得或，结合图可知.综上，的最小值为，且取最小值时. 19. 【小问1详解】由条件可得， 所以， 因为，故，则，故. 所以的外接圆半径，面积为. （2）由题可知，，故. 设，则，且，在中，由正弦定理可得，所以，故的周长，因为，所以，所以当，即时，的周长最大，且最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $