16.1 幂的运算 课件 2026-2027学年数学人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦整式乘法中的幂的运算，涵盖同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方。以“神威·太湖之光”运算问题导入，通过乘方意义推导法则，再类比探究幂的乘方、积的乘方，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是用问题链驱动探究，通过乘方意义证明法则培养推理意识，例题含多项式底数、逆用公式等提升运算能力。小结系统梳理法则及逆用，助学生构建知识网络。学生能提升逻辑推理和运算能力，教师可利用结构化资源实施探究式教学。

第十六章 整式的乘法 16.1 幂的运算 16.1.1 同底数幂的乘法 1.理解并掌握同底数幂的乘法法则. 2.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算. 3.通过对同底数幂的乘法运算法则的推导与总结，提升推理能力. 难点 重点 学习目标 学习重难点 理解并掌握同底数幂的乘法法则. 能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算. 新课导入 搭载国产芯片的“神威·太湖之光”是世界上首台运行速度超过每秒10亿亿次的超级计算机. 一种电子计算机每秒可进行1亿亿（1016）次运算，它工作103 s可进行多少次运算？ 问题1 怎样列式？ 1016 ×103 知识点1 同底数幂的乘法 思考 问题2 在103中，10，3分别叫什么？表示的意义是什么？ =10×10×10 3个10 相乘 103 底数 幂 指数 5 问题3 观察算式1016 ×103，两个因式有何特点？ 观察可以发现，1016 和103这两个因数底数相同，是同底数的幂的形式. 我们把形如1016 ×103这种运算叫作同底数幂的乘法. 6 问题4 根据乘方的意义，想一想如何计算1016 ×103？ 1016×103 =(10×10×10 ×…×10) 16个10 ×(10×10×10) 3个10 =10×10×…×10 19个10 =1019 =1016+3 (乘方的意义) (乘法结合律) (乘方的意义) 7 （1）105×102=10 （ ） 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ 探究 =(10×10×10×10×10) ×(10×10) =10×10×10×10×10×10×10 =107 （2）a3·a2=a（ ） =(a﹒a﹒a) (a﹒a) =a﹒a﹒a﹒a﹒a =a5 7 5 8 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 （3）5m× 5n =5（ ） =(5×5×5×…×5) m个5 ×(5×5×5 ×…×5) n个5 =5×5×…×5 (m+n)个5 =5m+n 猜一猜 am · an =a（ ） m+n 注意观察：计算前后，底数和指数有何变化? 9 am·an =(a·a·…·a) ( 个a) (a·a·…·a) ( 个a) =(a·a·…·a) ( __ 个a) =a( ) (乘方的意义) (乘法结合律) (乘方的意义) m n m+ n m+n 证一证 · 10 am · an = am+n (m，n都是正整数). 同底数幂相乘, 底数　　，指数 　　. 不变 相加 结果：①底数不变 ②指数相加 注意 条件：①乘法 ②底数相同 同底数幂的乘法法则 新课讲授 11 (1) 105×106=_____________; (2) a7 ·a3=_____________; (3) x5 ·x7=_____________; 练一练 计算： (4) (-b)3 ·(-b)2=_____________. 1011 a10 x12 (-b)5 =-b5 12 a · a6 · a3 类比同底数幂的乘法公式 am · an = am+n (当m，n都是正整数) am· an· ap = am+n+p （m，n，p都是正整数) 想一想： 当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？用字母表示 等于什么呢？ am · an · ap 比一比 = a7 · a3 =a10 13 例1 计算： (1) x2·x5； (2) a·a6； (3) (-2)×(-2)4×(-2)3； (4) xm·x3m+1. 解：(1) x2·x5=x2+5=x7； (2) a·a6=a1+6=a7； (3) (-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)1+4+3=(-2)8=256； (4) xm·x3m+1=xm+3m+1=x4m+1. a的指数为1 例题解读 14 例2 计算： (1)(a+b)4 · (a+b)7 ; (2)(m-n)3 ·(m-n)5 ·(m-n)7 ; (3)(x－y)2·(y－x)5. 解：(1) (a+b)4 · (a+b)7 = (a+b)4+7 =(a+b)11; (2)(m-n)3 ·(m-n)5 ·(m-n)7 =(m-n)3+5+7=(m-n)15; (3)(x－y)2·(y－x)5=(y－x)2(y－x)5 =(y－x)2+5=(y－x)7. 15 1.同底数幂相乘时，指数是相加的； 2.不能忽略指数为1的情况； 3.公式中的a可为一个数、单项式或多项式，如 (x －y)m • (x －y)n = (x －y) m+n ； 4.当底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算： 总结 n为偶数， n为奇数. 16 想一想：am+n可以写成哪两个因式的积？ am+n = am · an 填一填：若xm =3 ，xn =2，那么， （1）xm+n = × = × = ； （2）x2m = × = × = ； （3）x2m+n = × = × = . xm xn 6 3 2 xm xm 3 3 9 x2m xn 9 2 18 知识点2 同底数幂的乘法法则的应用 17 已知am＝9，an＝81，求am＋n的值． 例3 导引： 将同底数幂的乘法法则逆用，可求出值． 解： am+n =am • an ＝9×81＝729. 当幂的指数是和的形式时，可逆向运用同底数幂的乘法法则，将其转化为同底数幂相乘的形式，然后把幂作为一个整体代入变形后的幂的运算式中求解． 总结 18 例4 已知23x＋2＝32，求x的值. 解： ∵ 23x＋2＝32＝25， ∴3x＋2＝5， ∴x＝1. 将等式两边转化为底数相同的形式，然后根据指数相等列方程解答. 总结 19 同底数幂的乘法 法则 am·an=am+n (m,n都是正整数） 注意 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数） 直接应用法则 底数相同时 底数不相同时 先变成同底数再应用法则 小 结 20 1. 22 022可以写成( ) A 2+22 021 B 2·22 021 C 22·21 011 D 0.22· 0.21 011 B 2. 下列计算结果正确的是( ) A a3 · a3=a9 B m2 · n2=mn4 C xn · x3=x3n D y · yn=yn+1 D 随 堂 小 测 21 (1) x·x2·x( )=x7; (2) xm·（ ）=x3m; (3) 8×4=2x，则x=( ). 4 5 x2m 4. 填空： 3. 计算： (1) xn+1·xn=_______; (2) (a-b)2·(a-b)3=_______; (3) -a4·(-a)2=_______; (4) y4·y3·y2·y =_______. x2n+1 (a-b)5 -a6 y10 22 5. 计算下列各题： (4)－a3·(－a)2·(－a)3. (2)(a-b)3·(b-a)4; (3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3; (1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3； 解：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3=(2a＋b)2n＋4； (2)(a-b)3·(b-a)4=(a-b)7； (3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3=36； (4)－a3·(－a)2·(－a)3=a8. 23 （2）已知an-3·a2n+1=a10,求n的值; 解：n-3+2n+1=10, n=4. 6.（1）已知xa=8, xb=9,求xa+b的值； 解：xa+b=xa·xb=8×9=72. （3） 3×27×9 = 32x-4,求x的值; 解：3×27×9 =3×33×32=32x-4, 2x-4=6, x=5. 24 第十六章 整式的乘法 16.1.2 幂的乘方与积的乘方 学习目标 1.理解幂的乘方与积的乘方运算. 2.会用幂的乘方与积的乘方的运算性质进行相关运算. 难点 重点 进行幂的乘方与积的乘方运算. 探究幂的乘方与积的乘方的运算性质. 知识回顾 怎样做同底数幂的乘法？ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. am · an = am+n m，n都是正整数，a不等于零. 新课讲授 ⑴ ⑵ ⑶ (m是正整数）． 根据乘方的意义及同底数幂的运算性质填空,观察计算结果，你能发现什么规律？ 6 3m 6 知识点1 幂的乘方法则 探究 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n,（am ）n = ? 幂的乘方，底数 ，指数 ． 不变 相乘 幂的乘方法则 (am)n n个am n个m （am ）n = amn (m，n都是正整数). 29 例1 计算： （1）（103）5 ； 解: (1) (103)5 = 103×5 = 1015； (2) (a4)4 = a4×4 = a16； (3) (am)2 =am×2=a2m； （3）（am）2； （2）（a4）4； （4）-（x4）3. (4) -(x4)3 =-x4×3=-x12； 例题解读 30 总结 同底数幂的乘法与幂的乘方的比较 运算 种类 公式 法则 中运算 计算结果 底数 指数 同底数幂的乘法 幂的乘方 乘法 乘方 不变 不变 指数 相加 指数 相乘 31 思考：下面这道题该怎么进行计算呢？ 拓展——幂的乘方的乘方: ＝(a6)4 =a24 [(y5)2]2=______=________ [(x5)m]n=______=________ 练一练： (y10)2 y20 (x5m)n x5mn 32 知识点 幂的乘方法则既可以正用，也可以逆用. 当其逆用时可写为amn =(am)n =(an)m( m , n都是 正整数). 知识点2 幂的乘方法则的应用 33 例2 已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值. (1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n． 解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27； (2)102n＝(10n)2＝22＝4； (3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108. 方法总结：此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可. 34 变式训练 若xm • x2m ＝3，求x9m的值． 解： 因为xm • x2m ＝3，所以x3m＝3， 因此x9m＝(x3m) 3＝33＝27. 将x3m看作一个整体 35 例3 点拨： 这四个数的底数不同，指数也不相同，不能直接比较．通过观察发现这四个数的指数都是11的倍数，故考虑用幂的乘方先转化，再比较. 解： 在255，344，433，522这四个幂中，数值最大的一个是哪个. 255=25×11=(25)11=3211 344=34×11=(34)11=8111 433=43×11=(43)11=6411 522=52×11=(52)11=2511 因为8111>6411>3211>2511,所以数值最大的一个是344. 36 方法总结：比较底数大于1的幂的大小的方法有两种: (1)底数相同,指数越大,幂就越大; (2)指数相同,底数越大,幂就越大. 故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其转化为同底数的幂或同指数的幂，然后再进行大小比较. 37 知识点3 积的乘方法则 探究 填空，下面的运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？ （1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a（ ）b（ ）； （2）（ab）3= = =a（ ）b（ ）. （ab）·（ab）·（ab） （a·a·a）·（b·b·b） 2 2 3 3 我们可以根据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行运算. (ab)n =? 38 思考问题：积的乘方(ab)n =? (ab) n= (ab)· (ab)· ··· ·(ab) n个ab =(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b) n个a n个b =anbn. 证明： 猜想结论： (ab)n=anbn (n是正整数) 因此可得：(ab)n=anbn (n是正整数). 39 积的乘方法则 (ab)n = anbn （n是正整数） 积的乘方,等于把积的每一个因式分别_____，再把所得的幂________. 想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？ (abc)n = anbncn （n是正整数） 乘方 相乘 40 例4 计算: (1) (2a)3 ； (2) (-5b)3 ； (3) (xy2)2 ； (4) (-2x3y)4. 解：(1)原式= (2)3a3 = 8a3； (2)原式= (3)原式= (4)原式= =-125b3； =x2y4； =16x12y4. (-5)3b3 x2(y2)2 (-2)4(x3)4y4 注意：运用积的乘方法则时，每个因式都要乘方，不要漏掉任何一个因式；系数应连同它的符号一起乘方，系数是－1时不可忽略． 41 变式训练 1.计算：(1)(－5ab)3； (2)－(3x2y)2； (3)(－3ab2c3)3； (4)(－xmy3m)2. 解：(1)(－5ab)3＝(－5)3a3b3＝－125a3b3； (2)－(3x2y)2＝－32x4y2＝－9x4y2； (3)(－3ab2c3)3＝(－3)3a3b6c9＝－27a3b6c9； (4)(－xmy3m)2＝(－1)2x2my6m＝x2my6m. 42 例5 计算: (1) －4xy2·(xy2)2·(－2x2)3； (2) (－a3b6)2＋(－a2b4)3. 解：(1)原式=－4xy2·x2y4·(－8x6) =32x9y6; (2)原式=a6b12+(－a6b12) =0. 方法总结：涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减． 43 知识点4 积的乘方法则的应用 积的乘方法则既可以正用，也可以逆用. 当其逆用时，即anbn =(ab)n (n是正整数) . 44 例6 计算: 解：原式 逆用幂的乘方的运算性质 幂的乘方的运算性质 逆用同底数幂的乘法运算性质 逆用积的乘方的运算性质 45 小 结 幂的乘方与积的乘方 法则 （am）n=amn (m,n都是正整数） 应用 幂的乘方，底数不变，指数相乘 [(am)n]p=amnp（其中 m,n,p都是正整数） (abc)n = anbncn （n是正整数） 法则的逆用:amn=(am)n=(an)m，anbn =(ab)n (ab)n=anbn ( n是正整数) 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 46 随 堂 小 测 1. (x4)2等于 ( ) A．x6 B．x8 C．x16 D．2x4 B 2. 下列各式的括号内，应填入b4的是( ) A．b12＝(　　)8 B．b12＝(　　)6 C．b12＝(　　)3 D．b12＝(　　)2 C 47 3. 判断: (1)（ab2)3=ab6 ( ) (2) (3xy)3=9x3y3 ( ) (3) (-2a2)2=-4a4 ( ) (4) -(-ab2)2=a2b4 ( ) × × × × 4. 下列运算正确的是（ ） A. x.x2=x2 B. (xy)2=xy2 C.(x2)3=x6 D.x2+x2=x4 C 48 5. 下列计算中，错误的是( ) A．[(a＋b)2]3＝(a＋b)6 B．[(a＋b)2]5＝(a＋b)7 C．[(a－b)3]n＝(a－b)3n D．[(a－b)3]2＝(a－b)6 B 6. 如果(9n)2＝312，那么n的值是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 B 49 7. 计算： (1)(102)8； (2)(xm)2； (3)[(－a)3]5 (4)－(x2)m. 解：(1)(102)8＝1016. (2)(xm)2＝x2m. (3)[(－a)3]5＝(－a)15＝－a15. (4)－(x2)m＝－x2m. 50 8. 计算： (1)5(a3)4－13(a6)2； (2)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2； (3)[(x＋y)3]6＋[－(x＋y)2]9. 解：(1)原式＝5a12－13a12＝－8a12. (2)原式＝－7x9·x7＋5x16－x16＝－3x16. (3)原式＝(x＋y)18－(x＋y)18＝0. 51 9. 计算: (1) (ab)8 ; (2) (2m)3 ; (3) (-xy)5; (4) (5ab2)3 ; (5) (2×102)2 ; (6) (-3×103)3. 解：(1)原式=a8·b8; (2)原式= 23 ·m3=8m3; (3)原式=(-x)5 ·y5=-x5y5; (4)原式=53 ·a3 ·(b2)3=125 a3 b6; (5)原式=22 ×(102)2=4 ×104; (6)原式=(-3)3 ×(103)3=-27 ×109=-2.7 ×1010. 52 10. 计算: （1） 2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7; （2）(3xy2)2+(-4xy3) · (-xy) ; （3）(-2x3)3·(x2)2. 解：原式=2x6·x3-27x9+25x2·x7 = 2x9-27x9+25x9 = 0; 解：原式=9x2y4 +4x2y4 =13x2y4; 解：原式= -8x9·x4 =-8x13. 先乘方，再乘除， 最后加减. 53 11.如果（an•bm•b)3=a9b15,求m, n的值. 解：∵（an•bm•b)3=a9b15,  （an）3•（bm）3•b3=a9b15,  a 3n •b 3m•b3=a9b15 ,  a 3n •b 3m+3=a9b15,  3n=9 ,3m+3=15. n=3,m=4. 54 $