16.3.2.1完全平方公式（培优课件）2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式，涵盖和差公式、结构特征及变形公式。通过硬纸片拼图和农田面积问题导入，从几何直观和实际情境引导学生从多项式乘法过渡到公式推导，搭建知识支架。 亮点在于结合图形面积验证公式培养几何直观，通过多项式乘法推导发展推理意识，设置简便计算（如99²）和综合应用提升应用能力。采用口诀记忆和分步例题，助学生理解本质，教师可直接使用系统资料提高教学效率。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 16.3.2.1完全平方公式 第十六章 整式的乘法 16.3.2.1 完全平方公式 练习题 一、核心知识点（必背） 1. 两个核心完全平方公式 完全平方和公式：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ 完全平方差公式：$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ 2. 万能口诀（永不记错） 首平方，尾平方，首尾两倍放中央，同号得正，异号得负 3. 公式结构特征 ① 左边：两个相同的二项式相乘（整体平方）； ② 右边：二次三项式，包含首项平方、尾项平方、两倍首尾积； ③ 首尾平方永远为正，中间项符号看原式。 4. 常用高频变形（考试必考） $$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$ $$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$$ $$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$$ 二、重点易错点（扣分重灾区） 1. 致命错误：$$(a\pm b)^2 eq a^2\pm b^2$$，绝对不能漏掉中间的 $$2ab$$！ 2. 首尾平方必须整体平方：$$(2a)^2=4a^2$$，不是 $$2a^2$$； 3. 中间项是2倍×首×尾，不要漏乘2； 4. 严格区分：平方差是两项、完全平方是三项。 三、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 计算 $$(x+2)^2$$ 的结果是（） A. $$x^2+4$$ B. $$x^2+2x+4$$ C. $$x^2+4x+4$$ D. $$x^2-4$$ 2. 计算 $$(2x-1)^2$$ 的结果正确的是（） A. $$4x^2-1$$ B.$$4x^2-4x+1$$ C. $$2x^2-2x+1$$ D. $$4x^2-2x+1$$ 3. 下列计算正确的是（） A. $$(a+b)^2=a^2+b^2$$ B. $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ C. $$(a+2)^2=a^2+2a+4$$ D. $$(a-1)^2=a^2-1$$ 4. $$(-x+y)^2$$ 的结果是（） A. $$x^2-2xy+y^2$$ B. $$x^2+2xy+y^2$$ C. $$-x^2-2xy+y^2$$ D. $$x^2-y^2$$ 5. 若 $$(x+m)^2=x^2-6x+9$$，则 $$m$$ 的值为（） A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 四、填空题（每题4分，共20分） 1. $$(a+b)^2=$$________。 2. $$(a-b)^2=$$________。 3. $$(x-4)^2=$$________。 4. $$(3x+2y)^2=$$________。 5. $$a^2+$$________$$+b^2=(a+b)^2$$。 五、解答题（共60分） 1.（20分）计算：$$(2x-3y)^2$$ 2.（20分）简便计算：$$99^2$$ 3.（20分）化简：$$(x+3)^2-(x-1)(x+1)$$ 六、参考答案与解析 （一）选择题 1. C 解析：$$(x+2)^2=x^2+4x+4$$，注意中间项两倍乘积。 2. B 解析：$$(2x-1)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot1+1^2=4x^2-4x+1$$。 3. B 解析：A漏中间项；C中间项应为4a；D完全平方公式误用。 4. A 解析：$$(-x+y)^2=(y-x)^2=x^2-2xy+y^2$$。 5. B 解析：$$(x-3)^2=x^2-6x+9$$，故$$m=-3$$。 （二）填空题 1. $$a^2+2ab+b^2$$ 2. $$a^2-2ab+b^2$$ 3. $$x^2-8x+16$$ 4. $$9x^2+12xy+4y^2$$5. $$2ab$$ （三）解答题 1. 解：原式$$=(2x)^2-2\cdot2x\cdot3y+(3y)^2=4x^2-12xy+9y^2$$ 2. 解：原式$$=(100-1)^2=100^2-2\times100\times1+1^2=10000-200+1=9801$$ 3. 解：原式$$=(x^2+6x+9)-(x^2-1)=x^2+6x+9-x^2+1=6x+10$$ 理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释. 灵活应用完全平方公式进行计算. 体验归纳添括号法则. 现有如图所示的三种规格的硬纸片各若干张,请你根据二次三项式a2+2ab+b2,选取相应种类和数量的硬纸片,拼出一个正方形,并探究所拼出的正方形的代数意义. 导入新知 相等 新课导入 一块边长为 a 米的正方形农田，将其边长增加 b 米，形成四块农田，以种植不同的品种（如图）. 你能用几种方式表示农田的总面积？ a b b a 直接求：总面积 = 间接求：总面积 = ab b2 a2 ab (a + b)2 a2 + 2ab + b2 探究新知 （1）(p + 1)2 = (p + 1)(p + 1) = __________； （2）(m + 2)2 = (_____)(_____) = __________ ； （3）(p – 1)2 = (_____)(_____) = __________ ； （4）(m – 2)2 = (_____)(_____) = __________. 计算下列多项式的积. p2 + 2p + 1 m + 2 探 究 m + 2 m2 + 4m + 4 p – 1 p – 1 p2 – 2p + 1 m – 2 m – 2 m2 – 4m + 4 5 （1）(p + 1)2 = p2 + 2p + 1； （2）(m + 2)2 = m2 + 2m + 4； （3）(p – 1)2 = p2 – 2p + 1； （4）(m – 2)2 = p2 – 2p + 1. p2 + 2·p·1 + 12 m2 + 2·m·2 + 22 p2 – 2·p·1 + 12 m2 – 2·m·2 + 22 你能发现什么规律？ 探 究 都是形如 (a ± b)2 的多项式相乘 右边第一项、最后一项分别是左边第一项、第二项的平方，中间一项是左边两项乘积的2倍 猜想： (a + b)2 =____________ (a – b)2 =____________ a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2 7 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 完全平方公式： (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 是多项式乘法 (a+b)·(p+q) 中 p = a，q = b 的特殊情形. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 首平方，尾平方，积的2倍放中央 说一说完全平方公式的特点： 积为二次三项式 积中两项为两数的平方和 另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同 公式中的字母 a、b 可以为数、单项式、多项式 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 观察 思 考 你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗？ a a b b a b b 直接求：S = 间接求：S = (a + b)2 a2 + 2ab + b2 a S = S = (a – b)2 a2 – 2ab + b2 ab b2 a2 ab ab b2 ab 例3　运用完全平方公式计算：　 (1) (4m + n)2； (2) 解：(1) (4m + n)2 = (4m)2 + 2·(4m)·n + n2 = 16m2 + 8mn + n2 分析：(1) a = ___，b = ____ (2) a = ___，b = ____ 4m n y 例4　运用完全平方公式计算：　 (1) 1022； (2) 992 . 解： (1) 1022 = (100 + 2)2 = 1002 + 2×100×2 + 22 = 10000 + 400 + 4 = 10404 (2) 992 = (100 – 1)2 = 1002 – 2×100×1 + 12 = 10000 – 200 + 1 = 9801 通过合理变形， 利用完全平方公式，可以简化运算. 思考 （1）(a + b)2 与 (– a – b)2 相等吗？ (–a – b)2 = [–(a + b)]2 = (a + b)2 (–a – b)2 = (–a)2 – 2·(–a)·b + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 或 （2）(a – b)2 与 (b – a)2 相等吗？ (a – b)2 = [–(b – a)]2 = (b – a)2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 = b2 – 2ab + a2 或 = (b – a)2 （3）(a – b)2 与 a2 – b2 相等吗？ (a – b)2 = (a – b)(a – b) a2 – b2 = (a + b)(a – b) 相等 相等 不相等 阅读与思考 杨辉三角 利用完全平方公式计算： (1)(5–a)2； (2)(–3m–4n)2； (3)(–3a＋b)2. (3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2. 解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2. (2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2. 巩固练习 随堂练习 利用乘法公式计算： (1)982–101×99； (2)20252–2025×4048＋20242. ＝(2025–2024)2＝1. 解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1) ＝1002–400＋4–1002＋1＝–395. (2)原式＝20252–2×2025×2024＋20242 巩固练习 随堂练习 16 (1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_____. 52 对应训练. (2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果， 则k=________ . 18或–18 (3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为______. 1 巩固练习 随堂练习 计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)． ＝1–4x2＋4xy–y2. 解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2 ＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c ＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc. (2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)] ＝12–(2x–y)2 巩固练习 随堂练习 1. 给出下列算式： ； ； ； .其中错误的 有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 考试考法 19 2. 如果,则 的值是( ) A. 4 B. 或4 C. 8 D. 或8 【点拨】 , , , . D 返回 考试考法 3. 如图，可验证的乘法公式是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 21 4.若，则 的值为____. 5.若，则代数式 为______. 6.［2025广州越秀区期中］若 ，那么多项式 的值是___. 8 返回 考试考法 22 7.母题教材P115例4 利用完全平方公式计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ; 原式 . 考试考法 23 利用完全平方公式进行数值运算时，可以将底数拆 成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式： 一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整 千的数与相差的数的和或差；二是将带分数拆分成整数与真 分数的和或差. . . . . . . 返回 考试考法 24 课堂小结 完全平方公式： 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 $