15.3.1 等腰三角形课件 2026-2027学年数学人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的性质与判定，通过埃及金字塔等情境引入，结合折叠剪纸实验探究性质，从定义出发衔接性质证明与判定定理推导，构建完整知识支架。 其亮点在于以实验操作培养几何直观，多种证法发展推理能力，例题融入方程思想体现模型意识。学生能深化理解，教师可高效教学，助力核心素养落地。

15.3.1 等腰三角形 第十五章 轴对称 第1课时 等腰三角形的性质 学习目标 1.理解并掌握等腰三角形的性质. 2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题. 学习重难点 等腰三角形三线合一的性质的理解及应用. 难点 重点 1.等腰三角形的概念及性质.2.等腰三角形性质的应用. 情境引入 图中有些你熟悉的图形吗? 它们有什么共同特点? 斜拉桥梁 埃及金字塔 屋顶构造 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角. A C B 腰 腰 底边 底角 底角 知识回顾 顶角 新课讲授 知识点 等腰三角形的性质 实验探究 如图，把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？ A B C 剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形. A B C 折一折 △ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 等腰三角形是轴对称图形.折痕所在的直线是它的对称轴. 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入表中. 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 猜一猜 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想. AD是BC边上的中线 AD是∠BAC 的平分线 两底角相等 ∵∠ADB+∠ADC=180° ∴∠ADB=∠ADC=90° ∴AD是BC边上的高线 发现 1. 等腰三角形的两个底角∠B =∠C. 2.折痕AD是等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线，也是底边BC边上的中线，还是底边BC边上的高线. 猜想 1. 等腰三角形的两个底角相等. 2.等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合. 如何论证你们的猜想呢？证明一个命题有哪些步骤呢？ A B C 已知：△ABC中，AB=AC, 求证：∠B=C. 思考 如何构造两个全等的三角形？ 猜想 等腰三角形的两个底角相等. 如何证明两个角相等呢？ 可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. 证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD. AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， ∴ △BAD≌△CAD (SSS). ∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等). 在△BAD和△CAD中 证法1：作底边上的中线 还有其他的证法吗？ A B C D 作顶角∠BAC的平分线AD， 交BC于点D，则∠1＝∠2. 在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD≌△ACD（SAS）， ∴ ∠B＝∠C. A B C D ( ( 1 2 证法2：作顶角的平分线 证明： 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. 过点A作AD⊥BC，交BC于点D. ∵AD⊥BC， ∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°. 在Rt△ABD与Rt△ACD中， AB＝AC（已知）， AD＝AD（公共边）， ∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL）， ∴ ∠B＝∠C. 证法3：作底边上的高线 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. 证明： A B C D 知识要点 等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 几何语言： 如图，在△ABC中， ∵ AB =AC， ∴ ∠B= ∠C． A B C 应用“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中. 由△BAD≌△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？ 解：∵△BAD≌△CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD. 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ ∠ADB=∠ADC= 90°， 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 . A B C D 想一想 知识要点 等腰三角形的性质2 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）. 几何语言： 如图，在△ABC中， ①∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD=CD. ②∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC ，BD=CD. ③∵AB=AC，BD=CD， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC. A B C D A B C D 例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，BD=BC=AD.求△ABC各角的度数. （1）找出图中所有相等的角； （2）指出图中有几个等腰三角形？ ∠A=∠ABD, ∠C=∠BDC=∠ABC； △ABC, △ABD, △BCD. 分析： 例题解读 例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，BD=BC=AD.求△ABC各角的度数. 分析： （3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？ ∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2∠A=2∠ABD, ∠ABC= ∠BDC=2 ∠A, ∠C= ∠BDC=2 ∠A. （4）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含 x的式子表示出来. ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 ° ∴x+2x+2x=180 °, A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，BD=BC=AD.求△ABC各角的度数. A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD. 设∠A=x, 则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ， 解得x=36 °， ∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. 总结 含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解. 证明：(1)如图①，过A作 AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE. (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC. 图② 图① G 例2 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. （1）如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE； （2）如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC. 总结 在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线.作“三线”中“一线”，利用“三线合一”是等腰三角形中常用的方法． 小结 等腰三角形的性质 等边对等角 注意是在同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质. 三线合一 随堂小测 1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（　） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° 2.如图，AB//CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数为（ ） A. 50° B.60° C.65° D.70° B A 3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____ __； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ____________________； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_ ___ __. 75°, 30° 72°,72°或36°,108° 30°，30° 结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论. ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2 ④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90° 4.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（ ） A.40° B.36° C.80° D.25° B 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是 (　　) A．AD⊥BC B．∠EBC＝∠ECB C．∠ABE＝∠ACE D．AE＝BE D  6．如图，在△ABE中，BA＝BE，F为AE的中点．若∠ABC＝34°，∠C＝50°，则∠ADB的度数为(　　) A．60° B．63° C．67° D．70° C 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的 平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F. （1）若∠BAD＝25°，求∠C的度数； （2）求证：EF＝ED. (1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠BAD＝50°. ∵AB＝AC， ∴ ∠C＝∠ABC ＝ (180°－ ∠A) = (180°－50°)＝65°. (2)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴ED⊥BC， 又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED. 15.3.1 等腰三角形 第十五章 轴对称 第2课时 等腰三角形的判定 学习目标 学习重难点 难点 重点 理解和运用等腰三角形的判定定理. 1.掌握等腰三角形的判定定理. 2.能运“等腰三角形的判定定理”进行证明和计算. 3.培养论证几何图形问题的能力，体会证明的必要性. 探索并掌握等腰三角形的判定的过程，并用以解决实际问题. 复习导入 1.等腰三角形是怎样定义的？ 有两条边相等的三角形,叫作等腰三角形. ①等腰三角形是轴对称图形. ③等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”). ②等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) . 2.等腰三角形有哪些性质？ 既是性质又是判定 A B C D 新课讲授 知识点1 等腰三角形的判定 思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 猜想 如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等. 你能证明这个结论吗？ 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C． 求证：AB=AC． 如图，作△ABC的角平分线AD. 在△ABD和△ACD中， ∠B=∠C， ∠BAD=∠CAD， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（AAS）. ∴ AB=AC. 证明： A C B D 你能得到什么结论呢？ 知识要点 等腰三角形的判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）. 几何语言： 如图，在△ABC中， ∵ ∠B= ∠C， ∴ AB =AC． A B C 应用“等角对等边”的前提条件是在同一个三角形中. 这又是一个判定两条线段相等的根据之一 即△ABC为等腰三角形. A B C D 2 1 ∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC （等角对等边）. ∵∠1=∠2, ∴ DC=BC A B C D 2 1 （等角对等边）. 错，因为都不是在同一个三角形中. 如图,下列推理正确吗? 辨一辨 “等边对等角”与“等角对等边”的区别： 等腰三角形的性质： 两边相等 这两边所对的角相等（等边对等角） 等腰三角形的判定： 两角相等 这两角所对的边相等（等角对等边） 总结 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2.所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系. 已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD//BC. 求证：AB=AC. A B C D E 1 2 例题解读 证明：∵AD//BC， ∴∠1=∠B,（两直线平行，同位角相等） ∠2=∠C.（两直线平行，内错角相等） 又AD平分∠CAE， ∴∠1=∠2，∴∠B=∠C， ∴AB=AC.（等角对等边）． A B C D E 1 2 AB//CD，∠1=∠2 ∠1= ∠B, ∠2= ∠C ∠B= ∠C AB= AC 变式 如图，已知OC是∠AOB的平分线，CD//OB交OA于点D. 求证：△DOC是等腰三角形. 证明：∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC， ∵CD∥OB， ∴∠DCO=∠BOC， ∴∠AOC=∠DCO， ∴OD=CD, ∴△DOC是等腰三角形. 角平分线+平行线可以推出等腰三角形. 解：∵在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°， ∴∠ABC=72°. ∵∠DBC=36°，∴∠2=∠ABC-∠DBC=36°. ∴∠1=∠A+∠2=72°， ∴∠A=∠2，∠ABC=∠C=∠1， ∴AD=BD=BC，AB=AC. 图中的等腰三角形有△ABC，△ABD，△BCD. 1. 如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,分别计算∠1,∠2的度数,并说明图中有哪些等腰三角形. 2 1 A C D B 练一练 作法：如图. （1）作线段AB=a. （2）作线段AB的垂直平分线MN， 与AB相交于点D. （3）在MN上取一点C，使得DC=h. （4）连接AC，BC. 则△ABC就是所求作的等腰三角形. 例2 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形. a h A B C D M N 小结 等腰三角形的判定 等角对等边 注意是在同一个三角形中 有两个角相等的三角形是等腰三角形 定义 随堂小测 1.在△ABC中, 已知∠A=50°，∠B=65°，判断△ABC是什么三角形，为什么? △ABC是等腰三角形, 因为∠B=65°, ∠A=50°, 所以∠C=65°, ∠B =∠C=65°,所以△ABC是等腰三角形. 2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，这个三角形是（ ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 C 1 3.如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 O a b D A 4.如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ B C A D E 是 由折叠可知，∠EBD=∠CBD. ∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD， ∴∠EDB=∠EBD， ∴BE=DE，△EBD是等腰三角形. 5.在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ A B C 3种“补出”方法： 方法1：量出∠C度数，画出∠B＝∠C， ∠B与∠C的边相交得到顶点A． 方法2：作BC边上的中垂线，与∠C的一边相交得到顶点A． 方法3：对折． $