3.2.2 函数的奇偶性及应用讲义-2025年暑假初升高数学衔接

3.2.2 函数奇偶性及应用 知识梳理 一、函数的奇偶性 1．函数奇偶性的定义与图象特征 偶函数 奇函数 条件 对于函数f(x)定义域内的任意一个x 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 等价变形 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 注：具有奇偶性的函数，定义域关于原点对称 2． 判断函数奇偶性的方法 （1）定义法 ①奇函数图像关于原点对称 f(－x)＝－f(x) 或 或 ②偶函数图像关于轴对称 f(－x)＝f(x) 或 （2） 复合函数——有偶则偶，都奇才奇 （3） 组合函数（运算性质） ① f(x)+g(x)——“加减看自身“(同奇同偶) 奇奇奇； 偶偶偶； 偶奇=非奇非偶 ② 、——“乘除看正负”（同号为偶，异号为奇） （注：将偶函数看成“+”号，将奇函数看成“-”号） 奇奇偶；偶偶偶；奇偶奇 奇÷奇偶；偶÷偶偶；奇÷偶奇；偶÷奇=奇 3． 函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)定义域能取到0的奇函数，有f(0)＝0． (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 二．补充拓展：常见函数的奇偶性 常见奇函数 幂函数 一次 反比例 奇次幂 组合函数 如： 如： 复合函数 如： 与（） 如： 常见偶函数 幂函数 二次 偶次幂 绝对值函数|x| 组合函数 如： 复合函数 偶函数值域 如： 与 【考点一 函数奇偶性的判断与证明】典例剖析 【总结归纳】判断函数奇偶性的方法 1.定义法： 2.图象法 3.性质法 组合函数：在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 复合函数：有偶则偶，都奇才奇 具体函数奇偶性的判断 1．（25山西大同高一下月考）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性的定义依次判断即可. 【详解】对A，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故A不符合题意； 对B，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故B不符合题意； 对C，函数定义域为，关于原点对称，，满足，故C符合题意； 对D，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故D不符合题意. 故选：C. 2．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数 【分析】（1）（2）（3）求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． 3．判断下列函数的奇偶性： 【归纳总结】分段函数奇偶性的判断——定义法 ①先判断函数的定义域是否关于原点对称 ②判断与的关系. 分段去看，如x＜0时，-x＞0，代入到原解析式中x＞0的那一段解析式，看化简后的解析式是否与原来x＜0的那段解析式，满足相等还是相反的关系，从而按奇偶函数的定义去判断。 (1)； (2). 【答案】(1)是偶函数 (2)是奇函数 【分析】（1）（2）利用奇偶函数的定义，结合的解析式即可判断. 【详解】（1）对于，其定义域为，关于原点对称， 当时，， 则， 当时，， 则， 综上，对于任意，都有， 所以是偶函数. （2）对于，其定义域为，关于原点对称， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，满足， 综上所述，对于任意，都有， 所以为奇函数. 【考点二 函数奇偶性的应用】 【题型一 根据奇偶性求函数值】 【归纳总结】根据奇偶性求函数值 1. 先将要求自变量转化到已知区间上，利用解析式求出对于对应函数值 2. 再根据奇偶性，利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)的关系求解要求函数值； 【注意】有时需要根据解析式特点，构造奇函数或偶函数，以便于求值． （整体奇偶性） 4．（25山西咸阳高一下期末）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（   ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【分析】偶函数满足 对所有定义域内的 成立，因此，求等价于求，因为 . 【详解】因为是定义在R上的偶函数， 所以. 当，. 所以. 故选：B. 【变式】（24内蒙古高一上期末）已知函数是上的奇函数，当时，，则（    ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 【答案】D 【来源】内蒙古2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题 【分析】根据函数为上的奇函数，得到，利用求出答案. 【详解】因为是上的奇函数，且当时，， 所以，即，故， 又，则. 故选：D （局部奇偶性） 5．（24山东高三上联考）已知函数，若，则的值是（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】令，证明函数为奇函数，再求出即可. 【详解】令，则 因为，所以为奇函数， 所以， 所以. 故选：B. 【变式】（24山东淄博高一上期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，确定函数为奇函数，代入计算得到答案. 【详解】设，函数定义域为， ，函数为奇函数， ，故， . 故选：D. 【题型二 根据奇偶性求最值】 【归纳总结】利用函数的奇偶性求最值 1.奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数； 即函数是定义在区间上的奇函数，则 2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数． 即函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。 6．（24重庆二外高一上期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 令，（） 则，即为奇函数， 则， 又函数，（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048. 【变式】（25山东青岛高二下期末）函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质，可证明函数关于点成中心对称图形，即可求得. 【详解】由函数， 因为函数是定义在上的奇函数，所以有， 则， 所以可得函数关于点成中心对称图形， 因为函数的最大值为，最小值为， 所以最大值点与最小值点关于点成中心对称图形， 即， 故答案为：. 【题型二 利用奇偶性求函数解析式】 【归纳总结】利用奇偶性求函数解析式 1.方程组法：已知两个函数f(x)，g(x)组合运算及它们的奇偶性，→ 把x换为－x，构造方程组求解． 2.定义法：已知一个函数在某区间上的解析式，求其对称区间上的函数的解析式。 →设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． 【注意】若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. （方程组法） 7．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则之间的大小关系是 ． 【答案】 【详解】在中，用替换x，得．因为分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以，所以，解得，于是，故． 【变式】（25西南名校联盟高考模拟）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数、偶函数的定义可得出关于、的等式组，求出的解析式，代值计算可得的值. 【详解】因为函数为奇函数，即， 所以，可得①， 因为函数是偶函数，即， 所以，可得②， 联立①②可得，因此. 故选：C. （定义法）知一半求另一半 8．（25安徽阜阳高一下期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 【变式】（25河北保定高一下月考）若函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 【答案】 【分析】由奇函数的性质求解即可. 【详解】因为为奇函数，且当时，， 所以当时，时， 所以，即， 所以. 故答案为： 【题型四 利用奇偶性求参数】 类型1：参数在区间——根据定义域关于原点对称求解 9．（24重庆西藏中学高一上期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 【变式】已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【答案】0 【详解】因为函数的定义域为，所以，得．因为，即，得，所以，所以． 类型2：参数在解析式——根据定义，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立求解 【归纳总结】根据奇偶性求解析式中的参数 1.通用法：列出f(-x)，化简变形，判断f(-x)与f(x)的关系，从而判断是奇函数还是偶函数 2.特殊值法： ①对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可利用f(0)＝0求解； ②任取定义域内的一个x值及其相反数-x，利用奇偶函数f(-x)与f(x)的关系来确定参数的值。 【注意】①前提：定义域关于原点对称 ②解答题中要带回原解析式进行检验 10．（25上海高一下期末）已知．若为偶函数，则 ． 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出参数值. 【详解】函数的定义域为R，由为偶函数，得， 即，而不恒为0， 所以. 故答案为：0. 【变式】已知为奇函数，则的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可得，结合二次函数单调性分析求解即可. 【详解】令，解得可知函数的定义域为， 因为为奇函数，则，解得， 则，可得， 可知为奇函数，即符合题意， 则，该二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， 所以的单调递增区间是． 故答案为：. 11．（25广东高三下月考）若函数是奇函数，则 ． 【答案】3 【分析】根据函数的奇偶性求出的值，再求分段函数值即可. 【详解】因为函数为奇函数，所以， 设，则，所以， 所以，则， 所以. 故答案为：3 【考点三 函数单调性、奇偶性的综合】 【题型一 判断函数图象】 【归纳总结】函数图象的识别 分析思路：（排除法） ①先看定义域 ②再看奇偶性：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称 ③取特殊值 ④看单调性 12．（25天津高考）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 【练习】（24陕西西安高一上期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】，所以BD选项错误. ，所以C选项错误. 故选：A 【题型二 比较大小】 【归纳总结】利用函数的性质比较大小 关键：先看自变量是否在同一单调区间上，再利用单调性比较 ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，先利用函数的奇偶性转化为同一单调区间上的两函数值，然后利用单调性比较大小． 13．（25山东日照高三下模拟）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可. 【详解】因为定义在上的函数满足条件， 所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以，， 因为时，函数是增函数， 所以，即， 故选：A 【变式】（24海南海口高一上月考）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合条件，利用偶函数的性质，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在区间上单调递增，所以在单调递减， 因为， 所以，即， 故选：C. 【题型三 解不等式】 【归纳总结】利用函数性质解不等式 1.步骤 ①根据奇偶性，把要求不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据单调性，脱掉不等式中的“f”，转化为自变量的大小比较，即将f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)转化为x1<x2(或x1>x2)． 2. 注意点 ①在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上； ②当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0= f(l),f(x-1)<0，则f(x-1)< f(1). ③利用好偶函数性质f(x)=f(|x|)可以避免讨论，简化计算 14．（1）（25广东揭阳高一下期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的单调性列绝对值不等式求解即可. 【详解】因为为偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 而，则，所以． 故选：C． （2）（24浙江杭州高一上期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质结合单调性解抽象不等式可得. 【详解】将不等式变形可得， 因为函数是上单调递增的奇函数，所以不等式等价于， 所以，即的取值范围为. 故选：D 15．（24重庆名校联盟高一上月考）已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单调性的定义，在上为增函数，又函数为定义在上的奇函数，所以当时，，当时，即可得解． 【详解】根据题意，在上为增函数， 又函数为奇函数，所以在上也为增函数， 又，所以， 所以当时，， 当时，， 若，则， 又，所以当时，． 故选：D 【变式】（25广东高一下六校联考）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是奇函数且在单调递增，即可利用函数单调性解不等式. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且，所以. 因为函数在上单调递增，则该函数在上也单调递增， 当时，，由可得，解得； 当时，，由可得，可得，此时不存在； 当时，，由可得，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 16．（24河北沧衡高一上期末）已知是定义在上的奇函数. (1)求的解析式. (2)证明：在上单调递增. (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据及求出，，检验后得到答案； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）根据函数奇偶性和（2）中结论得到在上单调递增，从而得到不等式，求出不等式解集. 【详解】（1）因为为定义在上的奇函数，故， 即，解得， ， 又，故， 故，所以，解得， 故，经检验，满足要求； （2）任取且， 则， 因为且，所以且， 所以， 所以，故在上单调递增； （3）因为为定义在上的奇函数，且在上单调递增， 所以在上单调递增， ，故，解得， 的解集为. 【变式】（25河北保定高二下月考）已知函数是奇函数. (1)求的值. (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值； (3)若函数满足不等式，求出的范围. 【答案】(1) (2)增函数，理由见解析，最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值； （2）判断出函数是区间上的增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断差值的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）由变形得出，结合函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为在是奇函数，则， 即，可得，解得，故. （2）是区间上的增函数，理由如下： 任取、且， 则 ， 因为所以，，， 所以，即， 所以是区间上的增函数， 所以函数的最小值为，最大值为. （3）因为是区间上的增函数，且是奇函数， 由可得， 所以，解得，故实数的取值范围是. 【考点四 抽象函数的奇偶性】 17．（河北保定高一下期末）已知定义域为的函数满足，，且时，，则下列说法正确的（    ） A． B．为减函数 C．为奇函数 D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】首先令得到，令，求出可判断A；当时，由可得进而确定单调性可判断B；令，结合得可判断C；根据的单调性和解不等式可判断D. 【详解】令，则，得， 对于A，令，则，故A错误； 对于B，若，则，此时， 所以， 即时，，所以为上的增函数，故B错误； 对于C，令，则，所以， 不满足，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，因为为上的增函数，且， 所以当时，；当时，， 不等式的解集为，故D正确. 故选：D 18．（24河北高一上期末）（多选）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【分析】由条件等式取，可求，取，可求，取，求，判断A，取，判断B，结合减函数定义及的大小判断C，取，结合奇函数定义判断D. 【详解】因为，， 令，可得，则， 令，可得，则. 对于A选项：令，可得，所以A正确； 对于B选项：令可得，所以B正确； 对于C选项：因为、，所以不可能为上减函数，故C错误； 对于D选项：函数的定义域为，定义域关于原点对称， 令，可得， 所以，所以为奇函数，所以D正确. 故选：ABD. 19．（24湖北高一上月考）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，理由见解析 (3)1 【分析】（1）令得，令得，所以是奇函数； （2）利用是奇函数，得到时，，根据单调性的定义，得到在上单调递减； （3）由奇函数结合，得，再由，即可求得答案. 【详解】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 第 2 页 共 20 页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2 函数奇偶性及应用 知识梳理 函数的奇偶性 1．函数奇偶性的定义与图象特征 偶函数 奇函数 条件 对于函数f(x)定义域内的任意一个x 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 等价变形 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 注：具有奇偶性的函数，定义域关于原点对称 2． 判断函数奇偶性的方法 （1）定义法 ①奇函数图像关于原点对称 f(－x)＝－f(x) 或 或 ②偶函数图像关于轴对称 f(－x)＝f(x) 或 （2） 复合函数——有偶则偶，都奇才奇 （3） 组合函数（运算性质） ① f(x)+g(x)——“加减看自身“(同奇同偶) 奇奇奇； 偶偶偶； 偶奇=非奇非偶 ② 、——“乘除看正负”（同号为偶，异号为奇） （注：将偶函数看成“+”号，将奇函数看成“-”号） 奇奇偶；偶偶偶；奇偶奇 奇÷奇偶；偶÷偶偶；奇÷偶奇；偶÷奇=奇 3． 函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)定义域能取到0的奇函数，有f(0)＝0． (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 二．补充拓展：常见函数的奇偶性 常见奇函数 幂函数 一次 反比例 奇次幂 组合函数 如： 如： 复合函数 如： 与（） 如： 常见偶函数 幂函数 二次 偶次幂 绝对值函数|x| 组合函数 如： 复合函数 偶函数值域 如： 与 【考点一 函数奇偶性的判断与证明】典例剖析 【总结归纳】判断函数奇偶性的方法 1.定义法： 2.图象法 3.性质法 组合函数：在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 复合函数：有偶则偶，都奇才奇 具体函数奇偶性的判断 1．（25山西大同高一下月考）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 2．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 3．判断下列函数的奇偶性： 【归纳总结】分段函数奇偶性的判断——定义法 ①先判断函数的定义域是否关于原点对称 ②判断与的关系. 分段去看，如x＜0时，-x＞0，代入到原解析式中x＞0的那一段解析式，看化简后的解析式是否与原来x＜0的那段解析式，满足相等还是相反的关系，从而按奇偶函数的定义去判断。 (1) ； (2). 【考点二 函数奇偶性的应用】 【题型一 根据奇偶性求函数值】 【归纳总结】根据奇偶性求函数值 1. 先将要求自变量转化到已知区间上，利用解析式求出对于对应函数值 2. 再根据奇偶性，利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)的关系求解要求函数值； 【注意】有时需要根据解析式特点，构造奇函数或偶函数，以便于求值． （整体奇偶性） 4．（25山西咸阳高一下期末）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（   ） A． B．7 C． D．5 【变式】（24内蒙古高一上期末）已知函数是上的奇函数，当时，，则（    ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 （局部奇偶性） 5．（24山东高三上联考）已知函数，若，则的值是（   ） A．3 B． C． D．5 【变式】（24山东淄博高一上期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型二 根据奇偶性求最值】 【归纳总结】利用函数的奇偶性求最值 1.奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数； 即函数是定义在区间上的奇函数，则 2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数． 即函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。 6．（24重庆二外高一上期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【变式】（25山东青岛高二下期末）函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 . 【题型二 利用奇偶性求函数解析式】 【归纳总结】利用奇偶性求函数解析式 1.方程组法：已知两个函数f(x)，g(x)组合运算及它们的奇偶性，→ 把x换为－x，构造方程组求解． 2.定义法：已知一个函数在某区间上的解析式，求其对称区间上的函数的解析式。 →设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． 【注意】若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. （方程组法） 7．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则之间的大小关系是 ． 【变式】（25西南名校联盟高考模拟）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（   ） A． B． C． D． （定义法）知一半求另一半 8．（25安徽阜阳高一下期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25河北保定高一下月考）若函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 【题型四 利用奇偶性求参数】 类型1：参数在区间——根据定义域关于原点对称求解 9．（24重庆西藏中学高一上期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【变式】已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 类型2：参数在解析式——根据定义，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立求解 【归纳总结】根据奇偶性求解析式中的参数 1.通用法：列出f(-x)，化简变形，判断f(-x)与f(x)的关系，从而判断是奇函数还是偶函数 2.特殊值法： ①对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可利用f(0)＝0求解； ②任取定义域内的一个x值及其相反数-x，利用奇偶函数f(-x)与f(x)的关系来确定参数的值。 【注意】①前提：定义域关于原点对称 ②解答题中要带回原解析式进行检验 10．（25上海高一下期末）已知．若为偶函数，则 ． 【变式】已知为奇函数，则的单调递增区间为 ． 11．（25广东高三下月考）若函数是奇函数，则 ． 【考点三 函数单调性、奇偶性的综合】 【题型一 判断函数图象】 【归纳总结】函数图象的识别 分析思路：（排除法） ①先看定义域 ②再看奇偶性：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称 ③取特殊值 ④看单调性 12．（25天津高考）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【练习】（24陕西西安高一上期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数的图象大致是（     ） A．B．C．D． 【题型二 比较大小】 【归纳总结】利用函数的性质比较大小 关键：先看自变量是否在同一单调区间上，再利用单调性比较 ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，先利用函数的奇偶性转化为同一单调区间上的两函数值，然后利用单调性比较大小． 13．（25山东日照高三下模拟）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24海南海口高一上月考）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型三 解不等式】 【归纳总结】利用函数性质解不等式 1.步骤 ①根据奇偶性，把要求不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据单调性，脱掉不等式中的“f”，转化为自变量的大小比较，即将f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)转化为x1<x2(或x1>x2)． 2. 注意点 ①在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上； ②当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0= f(l),f(x-1)<0，则f(x-1)< f(1). ③利用好偶函数性质f(x)=f(|x|)可以避免讨论，简化计算 14．（1）（25广东揭阳高一下期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（24浙江杭州高一上期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．（24重庆名校联盟高一上月考）已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25广东高一下六校联考）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 16．（24河北沧衡高一上期末）已知是定义在上的奇函数. (1)求的解析式. (2)证明：在上单调递增. (3)求不等式的解集. 【变式】（25河北保定高二下月考）已知函数是奇函数. (1)求的值. (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值； (3)若函数满足不等式，求出的范围. 【考点四 抽象函数的奇偶性】 17．（河北保定高一下期末）已知定义域为的函数满足，，且时，，则下列说法正确的（    ） A． B．为减函数 C．为奇函数 D．不等式的解集为 18．（24河北高一上期末）（多选）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 19．（24湖北高一上月考）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 第 2 页 共 20 页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$