第02讲 集合间的基本关系（3大知识点+7大题型）（讲义）-2026年新高一数学暑假衔接进阶讲义（人教A版2019）

第02讲 集合间的基本关系 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一．集合与集合的关系 3 知识点二．真子集 3 知识点三．空集 3 03 题型精讲举一反三 5 题型一：子集、真子集的书写与个数计算 5 题型二：韦恩图的绘制与综合应用 5 题型三：由集合包含关系确定参数范围 7 题型四：集合间基本关系判定 8 题型五：集合相等的判定方法 8 题型六：集合相等问题中的参数求解 9 题型七：空集的性质探究 9 04 过关测试 10 知识点一．集合与集合的关系 （1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集． 记作： 读作：A包含于B（或B包含A）． 图示： （2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等． 记作： 读作：A等于B． 图示： 知识点诠释： （1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出． （2）当不是的子集时，我们记作“（或）”，读作：“不包含于”（或“不包含”）． 知识点二．真子集 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记作：A⫋B（或BA） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 知识点三．空集 不含有任何元素的集合称为空集，记作：． 规定：空集是任何集合的子集． 结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 题型一：子集、真子集的书写与个数计算 【例1】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【变式1-1】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【变式1-2】（25-26高一上·全国·期末）已知集合，求A的子集、真子集、非空真子集个数. 【变式1-3】已知集合满足，求集合及其个数． 题型二：韦恩图的绘制与综合应用 【例2】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-1】能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R| x2＝x}关系的Venn图是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（17-18高一上·广东佛山·期末）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】设集合M={y|y=x2+1}，N={x|y=x2+1}，能正确表示集合M与集合N的关系的Venn图是（    ） A． B． C． D． 题型三：由集合包含关系确定参数范围 【例3】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值范围； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【变式3-1】（24-25高一上·安徽六安·阶段检测）（1）已知集合，，若，求实数m的取值集合. （2）设集合，若，则实数a的值是多少？ 【变式3-2】设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【变式3-3】（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 题型四：集合间基本关系判定 【例4】（25-26高一上·广东广州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【变式4-2】已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）以下四个选项中，正确的为（    ） A． B． C． D． 题型五：集合相等的判定方法 【例5】（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·江苏南京·期中）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式5-2】（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，则与集合M相等的集合为（   ） A． B． C． D． 题型六：集合相等问题中的参数求解 【例6】已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【变式6-1】已知集合，若，则__，__. 【变式6-2】（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 【变式6-3】设，集合，则________． 题型七：空集的性质探究 【例7】（25-26高一上·上海·阶段检测）若集合的没有真子集，则实数________． 【变式7-1】（25-26高一上·山东德州·阶段检测）关于的方程的解集是空集，______________． 【变式7-2】（25-26高一上·天津·阶段检测）下列关系中：①，②，③，④正确的序号__________. 【变式7-3】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 1．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·西藏日喀则·模拟预测）集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 3．（2026·贵州黔西南·二模）集合的子集个数为（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 4．（25-26高一下·云南普洱·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 5．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·四川成都·二模）设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·广东·一模）已知集合，若，则（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 8．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 9．（多选题）（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，则（   ） A． B． C．M的子集个数为4 D．M的子集个数为8 11．（多选题）（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 13．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 14．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 15．关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)求证： (2)若，求实数的取值范围． 16．已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 17．已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 18．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，且.若，求实数的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 集合间的基本关系 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一．集合与集合的关系 3 知识点二．真子集 3 知识点三．空集 3 03 题型精讲举一反三 5 题型一：子集、真子集的书写与个数计算 5 题型二：韦恩图的绘制与综合应用 6 题型三：由集合包含关系确定参数范围 7 题型四：集合间基本关系判定 10 题型五：集合相等的判定方法 12 题型六：集合相等问题中的参数求解 13 题型七：空集的性质探究 14 04 过关测试 16 知识点一．集合与集合的关系 （1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集． 记作： 读作：A包含于B（或B包含A）． 图示： （2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等． 记作： 读作：A等于B． 图示： 知识点诠释： （1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出． （2）当不是的子集时，我们记作“（或）”，读作：“不包含于”（或“不包含”）． 知识点二．真子集 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记作：A⫋B（或BA） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 知识点三．空集 不含有任何元素的集合称为空集，记作：． 规定：空集是任何集合的子集． 结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 题型一：子集、真子集的书写与个数计算 【例1】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【解析】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 【变式1-1】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【解析】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . 【变式1-2】（25-26高一上·全国·期末）已知集合，求A的子集、真子集、非空真子集个数. 【解析】集合，有3个元素， 所以子集有个；真子集有个；非空真子集有个. 综上，集合，子集有8个，真子集有7个，非空真子集有6个. 【变式1-3】已知集合满足，求集合及其个数． 【解析】当中含有两个元素时，为； 当中含有三个元素时，为； 当中含有四个元素时，为； 当中含有五个元素时，为； 所以满足条件的集合为， 集合的个数为8． 题型二：韦恩图的绘制与综合应用 【例2】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 【变式2-1】能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R| x2＝x}关系的Venn图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N  M. 故选：B 【变式2-2】（17-18高一上·广东佛山·期末）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B. 故选：B 【变式2-3】设集合M={y|y=x2+1}，N={x|y=x2+1}，能正确表示集合M与集合N的关系的Venn图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵M={y|y=x2+1}={y|y≥1}，N={x|y=x2+1}=R， ∴M⫋N，对应的Venn图是D. 故选：D 题型三：由集合包含关系确定参数范围 【例3】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值范围； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【解析】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值范围为或或. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 【变式3-1】（24-25高一上·安徽六安·阶段检测）（1）已知集合，，若，求实数m的取值集合. （2）设集合，若，则实数a的值是多少？ 【解析】（1）由题知，则， 若，则或， 当时，方程无实数解； 当时，，解得:， 此时，，符合题意， 所以m的取值集合为； （2）时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 若，即，无实根，不符合题意． 所以． 【变式3-2】设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【解析】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 【变式3-3】（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 题型四：集合间基本关系判定 【例4】（25-26高一上·广东广州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得或，因此集合， 选项A，是集合中的元素，所以，选项A正确； 选项B，是一个集合，集合与集合之间的关系应为包含（），而非属于（），选项B错误； 选项C，是集合中的元素，元素与集合的关系是属于（），而非包含（），选项C错误； 选项D，集合，而只包含元素，不包含，选项D错误. 故选：A. 【变式4-1】集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【解析】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 【变式4-2】已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 【变式4-3】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）以下四个选项中，正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，混淆元素与集合，集合与集合的关系，为的真子集，故错误； 对于B，是的真子集 ，不存在大小关系，故错误； 对于C，，正确； 对于D，空集是任何集合的子集，即，不是的元素，故错误. 故选：C 题型五：集合相等的判定方法 【例5】（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 【变式5-1】（25-26高一上·江苏南京·期中）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】对于集合，当时，， 当时，，所以. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，集合中只有一个元素，所以A错误， 对于B，集合的元素是点，所以B错误， 对于C，由，解得或， 所以，故C正确， 对于D，集合中有二个元素，，所以D错误， 故选：C. 【变式5-3】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，则与集合M相等的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A，B是点集，不符合题意； 对于C：当为奇数时，当为偶数时，所以C等价于，不符合题意； 对于D：因为，由知可取，所以D等价于，符合题意. 故选：D. 题型六：集合相等问题中的参数求解 【例6】已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【答案】1 【解析】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）. 由A＝B， 得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性； ②解得，此时A＝B＝，符合题意. 综上，，所以. 【变式6-1】已知集合，若，则__，__. 【答案】 5 6 【解析】因为， 所以一元二次方程的两个实数根为， 所以有. 【变式6-2】（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 【答案】 【解析】，，且且且， 或， 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 故答案为：. 【变式6-3】设，集合，则________． 【答案】8 【解析】由，得，故， 因为，又， 因此，解得或， 当时，集合与集合不相等，不符合题意； 当时，集合与集合相等，符合题意，所以. 故答案为：8 题型七：空集的性质探究 【例7】（25-26高一上·上海·阶段检测）若集合的没有真子集，则实数________． 【答案】 【解析】因为集合没有真子集， 所以，即无解，则. 故答案为：0 【变式7-1】（25-26高一上·山东德州·阶段检测）关于的方程的解集是空集，______________． 【答案】/0.5 【解析】由方程整理得， 当，即时，方程可化为，解集为空集，符合题意； 当，即时，由得且， 解得且，因为方程的解集为空集，故即． 故答案为：. 【变式7-2】（25-26高一上·天津·阶段检测）下列关系中：①，②，③，④正确的序号__________. 【答案】①② 【解析】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素完全不同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 故答案为：①②. 【变式7-3】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 1．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 2．（2026·西藏日喀则·模拟预测）集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 【答案】D 【解析】由知是的子集，若，则中有重复元素0，不合题意舍去； 若，则无解；若，则，经检验符合题意. 所以 3．（2026·贵州黔西南·二模）集合的子集个数为（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【解析】，故子集的个数为. 4．（25-26高一下·云南普洱·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】C 【解析】由题意得，其元素个数为3，子集个数为． 5．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 6．（2026·四川成都·二模）设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合，因为，所以. 7．（2026·广东·一模）已知集合，若，则（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 【答案】B 【解析】由于集合，， 则，故 8．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以. 故选：B 9．（多选题）（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】，解得，集合， 中元素均属于集合，是集合的子集，故A正确； 中有元素不属于集合，不是集合的子集，故B错误； 等于集合，是集合A的子集，故C正确； 中元素均属于集合，是集合的子集，故D正确． 10．（多选题）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，则（   ） A． B． C．M的子集个数为4 D．M的子集个数为8 【答案】BD 【解析】由题可知，则，B选项正确， ，A选项错误， 的子集个数为8，C选项错误，D选项正确． 故选：BD. 11．（多选题）（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】，， 因为，且集合中至多有一个元素，所以或或， 若，则； 若，则； 若，则； 故选：ABD. 12．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 【答案】63 【解析】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． 13．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【解析】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 14．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 【答案】72 【解析】因为，， 集合B可以为， 所有元素之和为. 故答案为：. 15．关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)求证： (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）设，∴，故， ∴是方程的解，∴，∴； （2）∵，∴有实根， ∴，∴， ∵集合为方程即的根的集合， 由（1）的结论且集合为方程根的集合， ∴因式分解后必定含有因式， 由多项式的除法：， ∵，∴无实根或其根为方程的根， 当无实根时， ，解得， 当的根为方程的根时， ①当有两不等实根时，由韦达定理，其根不可能与的根相同； ②当有两相等实根时，即即时， 方程的根为，此根刚好是的根，满足条件． 综上：故的取值范围是. 16．已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【解析】（1）若，则， 若，则，不符合题意， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （2）若的子集有两个，则集合只含有一个元素， 若，则，符合题意； 若，，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 17．已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 【解析】（1）由于，所以是的实数根， 故，故； （2）由已知可得中最多有一个元素，故中可能无任何元素，或者只有一个元素， 当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素， 中最多有一个元素，或． 18．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，且.若，求实数的值. 【解析】因为 所以 解得或， 所以， 因为且， 所以或或， 当时，，方程无解； 当时，； 当时，，方程无解； 综上所述：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $