8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦直线与圆、圆与圆的位置关系高考核心考点，以几何法与代数法判定为基础，串联弦长计算、切线方程、公共弦等知识模块，构建“知识清单-自主诊断-命题探究-跟踪训练”的复习体系，通过考点梳理、方法归纳、真题演练帮助学生突破重点难点。 资料突出高考命题规律，如例2结合新高考弦长问题，引导学生用几何法与代数法分析，培养数学思维与推理能力。设置分层训练与即时反馈，助力学生在有限时间内掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支持。

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 知识清单 1.直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 位置关系 几何法 代数法 相交 d________r Δ________0 相切 d________r Δ________0 相离 d________r Δ________0 2.圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝， 则圆心距d＝|C1C2|＝ . 两圆C1，C2有以下位置关系： 位置 关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心 距与 半径 的 关系 ________ ________ ________ ________ ________ 图示 公切 线条数 4 0 2 1 3 【常用结论】 1．圆的切线方程的常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， (1)若两圆相交，将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程．两圆圆心的连线垂直平分公共弦． (2)若两圆相切，将两圆方程直接作差，得到两圆公切线所在的直线方程． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．(　　) (2)在圆中最长的弦是直径．(　　) (3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交．(　　) (4)联立两相交圆的方程，并消去二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在直线的方程.(　　) 2．(人教A版选修一P93练习T1(2)改编)直线3x＋4y＋2＝0与圆x2＋y2－2x＝0的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 3．(人教A版选修一P98练习T1改编)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是 (　　) A．外切　　B．相交 C．外离　　D．内切 4．(人教A版选修一P93T3改编)直线2x－y＋2＝0被圆(x－1)2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　直线与圆的位置关系 例1 (1)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 (2)(2025·全国Ⅰ卷)已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线 y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则 r 的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(1，3) C．(3，＋∞) D．(0，＋∞) [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(源自人教A版选修一P99习题T13)圆x2＋y2＝4上恰有三个点到直线l：y＝x＋b的距离等于1，此时b＝________． 学霸笔记：(1)几何法：利用d与r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆上或圆内，可判断直线与圆相交或相切． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法更适用于动直线问题． 命题点二　圆的弦长、切线问题 考向1　圆的弦长问题 例2 (链接·2023年新高考Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(源自人教A版选修一P98习题T4)求圆心在直线3x－y＝0上，与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程． 学霸笔记：(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 考向2　圆的切线问题 例3 (1)(链接·2023年新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1 B． C． D． (2)已知P为直线l：3x－4y＋9＝0上一点，过P作圆C：(x－2)2＋y2＝4的切线，则最短切线长为________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)过一点求圆的切线方程的两种求法． ①代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.注意斜率不存在的情况； ②几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d ＝r，进而求出k.注意斜率不存在的情况． 特别地，当点在圆上时，可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切线方程． (2)过圆外一点P引圆的切线，求切线长时，常利用点P、圆心、切点构成的直角三角形求解． 　跟踪训练　(1)圆O：x2＋y2＝25在点P(4，3)处的切线方程为(　　) A．4x＋3y－25＝0 B．3x＋4y－25＝0 C．4x－3y－25＝0 D．2x＋3y－17＝0 (2)过圆外一点P(－1，1)作圆x2＋y2－4x－4y＝1的切线，则切线方程为________________． 命题点三　圆与圆的位置关系 例4 (1)(多选)已知圆O1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆O2：x2＋y2＝r2(r>0)，下列选项正确的有(　　) A．若r＝1，则两圆外切 B．若r＝1，则直线x＝－1为两圆的一条公切线 C．若r＝3，则两圆公共弦所在直线的方程为x＋2y＝0 D．若r＝3，则两圆公共弦的长度为4 (2)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记： (1)处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断，一般不采用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． (3)求两圆公共弦长时，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解． 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P103T13改编)圆x2＋y2－10x－10y＝0与圆x2＋y2－6x＋2y－40＝0的公共弦长是________． (2)(衔接·人教A版选修一P98T10改编)经过点M(3，－1)，且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点N(1，2)的圆的方程为________________． 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 必备知识·助学教材 知识清单 1．<　>　＝　＝　>　< 2．d>r1＋r2　0≤d<|r1－r2|　|r1－r2|<d<r1＋r2　 d＝|r1－r2|　d＝r1＋r2 自主诊断 1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．解析：由圆的方程得圆心(1，0)，半径r＝1，∵圆心到直线3x＋4y＋2＝0的距离d＝＝1＝r，∴直线与圆相切． 答案：B 3．解析：易知圆C1：x2＋y2＝4的圆心为C1(0，0)，半径为r1＝2，圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9，圆心为C2(4，3)，半径为r2＝3；圆心距|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，所以两圆外切． 答案：A 4．解析：圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝2，圆心到直线的距离d＝＝，所以弦长l＝2＝2＝. 答案： 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)圆心C(0，0)到直线l的距离d＝，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD. 解析：(2)圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的圆心的坐标为(0，－2)，圆心到直线y＝x＋2的距离d＝＝2， 由题意得|r－d|<1，即|r－2|<1，解得1<r<3.故选B. 答案：(1)ABD　 答案：(2)B 真题探源　解析：由题意得圆的圆心O(0，0)，半径为2，若圆上恰有三个点到直线l的距离为1，则圆心O到直线l：x－y＋b＝0的距离等于1，∴＝1，解得b＝±. 答案：± 例2　解析：由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径r＝2，C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝.由S△ABC＝，得＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±. 答案：2(答案不唯一，可以是±，±2中任意一个) 真题探源　解析：设圆心坐标为(a，3a)，半径r2＝(3a)2＝9a2， (a，3a)到直线x－y＝0的距离d＝＝|a|， 所以()2＋(|a|)2＝9a2，解得a＝1或a＝－1. 当a＝1时，圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9； 当a＝－1时，圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝9. 例3　解析： (1)如图，x2＋y2－4x－1＝0得＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2.由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝＝＝，所以cos ＝，所以sin α＝2sin cos ＝2×＝.故选B. 解析： (2)依题意，圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2，0)，半径r＝2，过点P作圆C的切线PA，A为切点，连接PC，AC，如图，显然AC⊥PA，在Rt△PAC中，|PA|＝＝＝，因此，要切线长PA最短，当且仅当线段PC长最短即可，而线段PC长是定点C与直线l上任意一点P之间的距离，于是得线段PC长的最小值是点C到直线l的距离d，而d＝＝3，因此，|PA|min＝＝，所以切线长最短为. 答案：(1)B　 答案：(2) 跟踪训练　解析：(1)kOP＝＝，由切线l与直线OP垂直，得kl·kOP＝－1，得kl＝－，又因为切线l经过P(4，3)，所以切线l的方程为y－3＝－(x－4)，即4x＋3y－25＝0.故选A. (2)设圆x2＋y2－4x－4y＝1的圆心为C(2，2)，半径r＝3，若切线斜率不存在，则切线方程为x＝－1，此时圆心C(2，2)到直线x＝－1的距离为3，等于半径，符合题意；若切线斜率存在，设斜率为k，则切线方程为y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0，由题意可得圆心C(2，2)到直线kx－y＋k＋1＝0的距离等于半径，即＝3，解得k＝－，所以切线方程为4x＋3y＋1＝0.综上，过圆外一点P(－1，1)作圆x2＋y2－4x－4y＝1的切线，则切线方程为x＝－1或4x＋3y＋1＝0. 答案：(1)A　(2)x＝－1或4x＋3y＋1＝0 例4　解析：(1)圆O1的圆心为O1(1，2)，半径为2；圆O2的圆心为O2(0，0)，半径为r，对于A，若两圆外切，则|O1O2|＝＝＝2＋r，解得r＝－2，A错误；对于B，若r＝1，圆心O1到直线x＝－1的距离为2，则直线x＝－1与圆O1相切，圆心O2到直线x＝－1的距离为1，则直线x＝－1与圆O2相切，故当r＝1时，直线x＝－1为两圆的一条公切线，B正确；对于C，若r＝3，因为3－2<|O1O2|＝<3＋2，此时两圆相交，将两圆方程相减得2x＋4y－5＝5，即x＋2y－5＝0，故当r＝3时，两圆公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＝0，C错误；对于D，当r＝3时，圆心O2到直线x＋2y－5＝0的距离为d＝＝，此时两圆的公共弦长度为2＝2＝4，D正确．故选BD. (2)由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图， 设切点为A(x，y)．由O1A＝，得A().因为＝，所以切线l1的斜率k1＝－，所以l1：y－＝－(x－)，即3x＋4y－5＝0.由图象易得两圆均与直线l2：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l：y＝x.联立解得故直线l与l2的交点为P(－1，－).由切线定理得两圆的另一公切线l3过点P.设：y＋＝k(x＋1)，由点到直线的距离公式得＝1，解得k＝，所以l3：y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0． 答案：(1)BD　 答案：(2)3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可) 跟踪训练　解析：(1)由两式相减得两圆公共弦所在直线的方程为x＋3y－10＝0，圆x2＋y2－10x－10y＝0的圆心坐标为(5，5)，半径为5，圆心(5，5)到直线x＋3y－10＝0的距离d＝＝，∴两圆的公共弦长为2＝4. (2)圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圆心C(－1，3)，半径r＝＝，设所求圆的圆心A(a，b)，半径为R. ∵圆A过M(3，－1)，N(1，2)，且与圆C相切， ∴解得a＝，b＝，R2＝，∴所求圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝. 答案：(1)4　 答案：(2)(x－)2＋(y－)2＝ 学科网（北京）股份有限公司 $