第47讲 两条直线的位置关系与距离公式 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦两条直线的位置关系与距离公式核心考点，按位置关系（平行、垂直、相交）、距离公式（两点间、点到直线、平行直线间）、对称问题（点对称、线对称）逻辑架构梳理知识，通过基础回顾、题型分类讲解、方法指导及真题训练，帮助学生构建系统知识网络，突破参数求解、距离计算等难点。 讲义突出数学思维与几何直观培养，如对称问题中用“中点在对称轴”和“垂直关系”推导对称点坐标，强化推理能力。设置单选、多选分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题方法，为教师提供精准复习路径，提升学生应考能力与复习节奏把控效率。

第47讲 两条直线的位置关系与距离公式 题型一 由两条直线的交点及求参数 2 题型二 与距离有关的问题 8 题型三 关于点对称问题 13 题型四 关于线对称问题 18 【基础回顾】 知识点1．两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2方程系数满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 垂直 k1k2＝－1 相交 k1≠k2 直线l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2))的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 l3，l4方程系数满足的条件 平行 v1∥v2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0) 垂直 v1⊥v2 A1A2＋B1B2＝0 相交 v1与v2不共线 A1B2－A2B1≠0 注意：两条直线平行时，不要忘记它们的斜率都不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 知识点2．两条直线的交点 直线l1和l2的交点坐标即为两条直线的方程组成的方程组的解． 相交⇔方程组有唯一解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 注意：虽然利用方程组解的情况可以判断两条直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． 知识点3．三种距离公式 （1）两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． ②结论：|P1P2|＝． ③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝． （2）点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． (3)两条平行直线间的距离公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝． 【必备知识】 1．直线系方程 （1）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． （2）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． （3）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2． 2．五种常用对称关系 (1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)． (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)． (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)． (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)． 题型一 由两条直线的交点及求参数 一、判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况． (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论． 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 二、求过两条直线交点的直线方程的方法 (1)直接法：先求出两条直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)共点直线系法：先设直线方程为f(x，y)＋λg(x，y)＝0，再结合其他条件求出λ，从而得到所求的直线方程． 1．若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 2．已知集合，．若，则的所有取值是（    ） A．0，1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的描述，问题化为两条直线无交点，分情况讨论求参数值，即可得. 【详解】， ， 当时，，满足， 当时，， 或点在直线上，即， 整理得，解得或， 综上，的取值为， 故选：D 3．若的图像与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图像与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 4．若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 5．在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点后，根据点在的高线上，且的中点在的中线所在直线上，列出两个方程，求解即可. 【详解】 设点,线段的中点为,则. 因为点必在的高线上，故有； 因为边的中线所在直线方程为上,即点在该直线方程上,故有. 联立,解得. 即点. 故选：B. 6．若既是的中点，又是直线与直线 的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以，     所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 7．已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【答案】B 【分析】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值. 【详解】已知直线的斜率为，直线的斜率为． 又两直线垂直，则，解得． ，即， 将交点代入直线的方程中，得． 将交点代入直线的方程中，得． 所以，． 故选：B． 8．（多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出两条已知直线的交点，再分别考虑第三条直线过该交点或与其中一条直线平行这三种不能构成三角形的情况，从而排除对应的值. 【详解】由得所以两条直线交于点． 当也过时，，解得，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形，所以且且． 故选：ACD． 9．（多选）已知，且直线与直线互相垂直，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由两直线垂直得，由，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，即． 又，所以． 所以，当且仅当 ， 即时，取等号． 故选：ABC. 10．（多选）下列说法正确的是（   ） A．直线在轴上的截距为 B．若三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为 C．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 D．过，两点的直线方程为 【答案】AD 【分析】根据截距式判断A选项，根据平行与交点坐标求参数的值判断B选项，直线在两坐标轴上截距相等也可能是直线经过坐标原点以此判断C选项，由两点式判断D选项. 【详解】由直线的截距式方程可知直线在轴上的截距为，故A选项正确； 当直线与直线平行，即时三条直线不能构成三角形， 当直线与直线平行，即时三条直线不能构成三角形， 当三条直线相交于同一点时此三条直线不能构成三角形，联立解得，把点代入直线可得，所以实数a的取值集合为，故B选项错误； 过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为和，故C选项错误； 由直线的两点式方程变形可得出过，两点的直线方程为，故D选项正确； 故选：AD 题型二 与距离有关的问题 求解距离问题的思路 (1)点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两条平行直线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两条平行直线间的距离公式． 提示：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|． (2)求两条平行直线间的距离时，应先将两条直线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等． 1．一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先求出点A关于直线的对称点C坐标，根据反射的性质，结合两点间距离公式，即可得答案. 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是.    故选：B 2．已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式求解. 【详解】到直线：的距离为， 到直线：的距离为， ，两点到直线：的距离相等， ，，， ，或， 或. 故选：C. 3．如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，直线的方程为，设关于直线的对称点为， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， 所以光线所经过的路程为. 4．已知直线与圆相交于点，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得圆心，半径. 过点作，垂足为，如图所示： 由题意可得. ，，，，得； 即圆心到直线的距离. ，解得. 5．已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析两条直线的定点，再求交点的轨迹，最后计算直线的斜率的最值之和. 【详解】直线整理为， 令，得定点； 直线整理为， 令，得定点； 因为，所以，则交点在以为直径的圆上. 的中点为，半径， 圆的方程为. 设直线的方程为，则圆心到直线的距离， 整理得，解得， 所以斜率的最大值为，最小值为，最值和为. 故选： 6．实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】设，，，问题转化为直线上的动点到直线和点的距离之和的最小值，数形结合求最小值即可. 【详解】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和，    令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 选择：D 7．若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 8．（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设点，利用两点间距离公式列出方程，即可得解. 【详解】设，则，整理得， 解得或.当时，；当时，， 所以点的坐标是或， 故选：BD. 9．（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（    ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】首先求出点A，B的坐标，可判断选项A的正误；判断两条直线的位置关系可判断选项B的正误；根据基本不等式链可判断选项C，D的正误. 【详解】由，得． 因为，所以，得． 由，得． 因为，所以，得． 所以，A正确． 由直线：和直线：，知． 所以．所以．所以，为定值，B正确． ，当且仅当时，等号成立，C错误． 因为，所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：ABD． 10．（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（    ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】求出定点，，由两点间距离公式可判断A；根据方程判断两条直线垂直，由勾股定理可判断B；设，结合三角恒等变换可判断CD. 【详解】对A，的方程化为，由得定点的坐标为； 的方程化为，由得定点的坐标为. 所以，正确； 对B，因为，所以，即， 所以，正确； 对C，因为，所以设， 则， 所以当时，取得最大值，正确； 对D，， 当且仅当时，取得最大值时，D错误. 故选：ABC 题型三 关于点对称问题 两类中心对称问题 (1)点关于点对称：点P(x，y)关于点M(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 (2)直线关于点对称的两种方法 (3)若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)对称，则由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标． (4)求直线l1关于直线l对称的直线l2的两种方法 ①在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程． ②设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程． 特别地，若直线l1与直线l平行，则在直线l1上取一点，求出该点关于直线l的对称点，由点斜式可得直线l2的方程． 1．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 2．已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 3．下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 【答案】D 【分析】求出三角形的面积判断A；求出两点的中点坐标判断B；在直线上取点，求出对称点判断C；求出关于点的对称直线的方程判断D. 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，则所求三角形面积为，A错误； 对于B，点和的中点不在直线上，则点关于直线的对称点不是，B错误； 对于C，在直线上取点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，而点不在直线上，C错误； 对于D，在所求方程的直线上任取点，则该点关于点的对称点为在直线上， 于是，即，因此所求的直线方程为，D正确. 故选：D 4．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 5．点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 6．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 7．直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 8．（多选）以下四个命题为真命题的是（    ） A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．直线关于对称的直线方程为 【答案】BCD 【分析】举例说明判断A；求出直线斜率的范围，进而得倾斜角范围判断B；求出直线所过定点计算判断C；利用对称求出直线方程判断D. 【详解】对于A，在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线可以过原点，方程为，A错误； 对于B，直线的斜率，当时，倾斜角； 当时，倾斜角，因此倾斜角的范围是，B正确； 对于C，直线恒过定点，当且仅当与直线垂直时，点到该直线距离最大，此时直线的斜率，因此，C正确； 对于D，设所求直线上任意点，则它关于对称的点在直线上， 则，整理得，D正确. 故选：BCD 9．（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．点斜式可以表示任何直线 B．直线在轴上的截距为 C．直线关于点对称的直线方程是 D．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 【答案】BC 【分析】根据直线点斜式方程的限制条件可判断A选项；利用直线截距的定义可判断B选项；利用点到直线的距离公式求出对称的直线方程，可判断C选项；求出过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，点斜式不表示倾斜角为的直线，A错； 对于B选项，在直线的方程中，令，可得， 所以，直线在轴上的截距为，B对； 对于C选项，直线关于点对称的直线方程为，其中， 则，可得，因为，解得， 所以，直线关于点对称的直线方程是，C对； 对于D选项，若所过直线过原点，该直线的斜率为，此时，所求直线方程为， 若所求直线不过原点，设所求直线方程为，则，解得， 此时，所求直线方程为， 综上所述，过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是或，D错. 故选：BC. 10．（多选）下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 【答案】ABD 【分析】利用点关于直线的对称的性质求解判断A；利用直线关于点对称直线的求法求解以判断B；利用平行求出斜率，再利用点斜式求出直线方程判断C，利用直线垂直的系数关系判断D. 【详解】对于A，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点关于直线的对称点为，正确； 对于B，设直线上的点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，正确； 对于C，直线的斜率为2，所以所求直线的斜率也是2， 则所求直线为，即，错误； 对于D，当时，， 故直线与垂直，正确； 故选：ABD. 题型四 关于线对称问题 知识点1：点 关于直线 的对称点 的问题,主要依据两项原则: 1 的中点在对称轴直线上； 2 与点 所在的直线垂直. 3 设点 关于直线 的对称点为 ,则 可求 . 知识点2：求直线 关于点 对称的直线 的步骤: 方法一:回代法 (1)在 上任取一点 ； (2) 求 关于 的对称点 ； (3) 将 的坐标代入直线 的方程，化简得所求 的方程. 方法二: (1)直线 与直线 的斜率相同，所以只需要求出直线 所过一点,即可求出直线 的方程; (2)在直线 上任取一点 ; (3)求 关于 的对称点 . (4)将 的坐标代入所设直线 的方程，化简得所求 方程 方法三: 在已知直线上找两点,求出这两点关于点 的对称点, 根据求出的两个对称点求出对称直线. (5)方法四:直线 与直线 的斜率相同,根据对称点到两直线距离相等求出对称直线. 1．一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为，且经过点，结合直线的点斜式方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点和点，结合直线的两点式方程运算求解. 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． 2．直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用关于直线的对称点为求解. 【详解】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求. 故选：B. 3．在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】在等腰直角中，，建立如图所示的直角坐标系，则，    直线方程为，且的重心为， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 而关于轴的对称点为， 由光的反射定律知四点共线，且，， 因此直线的方程为，即， 由直线过，得，而，解得， 即点，，，则， 所以的周长为. 故选：B 4．在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】结合题设条件将所求式理解为直线上的点到轴的距离与到的距离之和．通过点关于直线对称，由三点共线时可得其最小值. 【详解】如图： 作点关于直线的对称点，则． 设，则有，解得，所以． 已知点，则， 而，所以点到轴的距离为， 所以可理解为直线上的点到轴的距离与到的距离之和． 过作轴，由图知 ，当且仅当，，三点共线时，和有最小值． 因直线与轴交于点，此时轴，且， 由图知，当点移动到点时，取得最小值为4． 故选：B. 5．点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设对称点坐标，再利用两个核心条件列方程：一是两点中点在已知直线上，代入得关于对称点坐标的方程；二是两点连线与已知直线垂直，由斜率乘积为-1得另一方程,联立方程组求解，最终得对称点为. 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 故答案选：B. 6．如图，已知两点，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出点P关于直线与y轴的对称点，从而得到结果. 【详解】由题意易得AB所在的直线方程为，即. 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以点P关于直线AB对称的点为， 点P关于y轴对称的点为，则直线MN即直线， 则直线MN的方程为， 故选：D 7．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由反射光线所在直线与直线关于直线对称，利用对称性求出在反射光线上的两个点坐标，再由点斜式写出方程，即可得. 【详解】由题意，反射光线所在直线与直线关于直线对称， 联立，可得，则它们的交点为， 又点在直线上，令点关于的对称点为， 所以，可得，则点在反射光线所在直线上， 综上，点、均在反射光线所在直线上， 所以，所求直线为，即. 故选：A 8．（多选）已知直线，以下结论正确的有（    ） A．无论为何值，与都互相垂直 B．无论为何值，与都关于直线对称 C．与分别经过定点和 D．存在实数，使得与的交点在轴上 【答案】ACD 【分析】对于A，根据恒成立判断；对于B，任取直线上的点，求其关于直线对称的点为代入的方程检验判断；对于C，根据直线的斜截式方程直接判断；对于D，根据直线与轴交点为代入求解判断D. 【详解】对于A，由恒成立，故无论为何值，与都互相垂直，正确； 对于B，任取直线上的点，其关于直线对称的点为，代入得显然不恒成立，故错误； 对于C，由题知，进而直线与分别经过定点和，故正确； 对于D，令，代入得，即直线与轴交点为，代入得，故存在实数，使得与的交点在轴上，正确. 故选：ACD 9．（多选）下列说法正确的是（  ） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．点关于直线的对称点为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是9 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AB 【分析】应用倾斜角和斜率定义判断A，设对称点应用中点及斜率计算求解判断B，应用截距计算得出面积判断C，分过原点和不过原点两种情况设直线计算求解判断D. 【详解】对选项A，任意一条直线都有倾斜角，当倾斜角为时，不存在斜率，故A正确. 对选项B，设关于直线对称的点为， 则，即关于直线对称的点为，故B正确. 对选项C，直线，令，得，令，， 则直线与坐标轴围成的面积，故C错误. 对选项D，当所求直线过原点时，设直线为， 因为点在上，所以，所求直线为. 当直线不过原点时，设所求直线为， 因为点在上，所以，所求直线为. 综上所求直线为：或，故D错误. 故选：AB. 10．（多选）已知直线，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．当时，关于轴对称的直线为 C．点到直线的最大距离为 D．与两坐标轴围成的三角形面积为2的直线有2条 【答案】BCD 【分析】将直线方程整理成点斜式，令，即可得直线的定点，即可判断A；当时，得直线方程，取，，求点关于轴对称的点，进而得对称的直线方程即可判断B；当直线时，点到直线的距离最大，利用两点的距离公式即可判断C；先求直线与坐标轴的交点，进而由三角形的面积公式即可求出，进而判断D. 【详解】对于A：由直线，即， 令，得， 所以直线过定点，故A错误； 对于B：当时，直线，取， 分别关于轴对称的点为，， 所以关于轴对称的直线为，故B正确； 对于C：由A选项可知直线过定点，当直线时， 点到直线的距离最大，最大距离为，故C正确； 对于D：由直线，令，得， 当时，，此时直线与轴没有交点，所以， 令，得，依题意：， 解得，所以满足条件的直线有2条，故D正确， 故选：BCD. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第47讲 两条直线的位置关系与距离公式 题型一 由两条直线的交点及求参数 2 题型二 与距离有关的问题 4 题型三 关于点对称问题 5 题型四 关于线对称问题 7 【基础回顾】 知识点1．两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2方程系数满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 垂直 k1k2＝－1 相交 k1≠k2 直线l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2))的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 l3，l4方程系数满足的条件 平行 v1∥v2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0) 垂直 v1⊥v2 A1A2＋B1B2＝0 相交 v1与v2不共线 A1B2－A2B1≠0 注意：两条直线平行时，不要忘记它们的斜率都不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 知识点2．两条直线的交点 直线l1和l2的交点坐标即为两条直线的方程组成的方程组的解． 相交⇔方程组有唯一解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 注意：虽然利用方程组解的情况可以判断两条直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． 知识点3．三种距离公式 （1）两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． ②结论：|P1P2|＝． ③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝． （2）点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． (3)两条平行直线间的距离公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝． 【必备知识】 1．直线系方程 （1）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． （2）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． （3）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2． 2．五种常用对称关系 (1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)． (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)． (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)． (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)． 题型一 由两条直线的交点及求参数 一、判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况． (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论． 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 二、求过两条直线交点的直线方程的方法 (1)直接法：先求出两条直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)共点直线系法：先设直线方程为f(x，y)＋λg(x，y)＝0，再结合其他条件求出λ，从而得到所求的直线方程． 1．若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 2．已知集合，．若，则的所有取值是（    ） A．0，1 B． C． D． 3．若的图像与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．若既是的中点，又是直线与直线 的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 8．（多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 9．（多选）已知，且直线与直线互相垂直，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）下列说法正确的是（   ） A．直线在轴上的截距为 B．若三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为 C．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 D．过，两点的直线方程为 题型二 与距离有关的问题 求解距离问题的思路 (1)点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两条平行直线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两条平行直线间的距离公式． 提示：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|． (2)求两条平行直线间的距离时，应先将两条直线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等． 1．一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 2．已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 3．如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 4．已知直线与圆相交于点，，，则（     ） A． B． C． D． 5．已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． 6．实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 7．若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 8．（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（    ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 10．（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（    ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 题型三 关于点对称问题 两类中心对称问题 (1)点关于点对称：点P(x，y)关于点M(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 (2)直线关于点对称的两种方法 (3)若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)对称，则由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标． (4)求直线l1关于直线l对称的直线l2的两种方法 ①在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程． ②设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程． 特别地，若直线l1与直线l平行，则在直线l1上取一点，求出该点关于直线l的对称点，由点斜式可得直线l2的方程． 1．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 4．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 5．点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 6．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 7．直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 8．（多选）以下四个命题为真命题的是（    ） A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．直线关于对称的直线方程为 9．（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．点斜式可以表示任何直线 B．直线在轴上的截距为 C．直线关于点对称的直线方程是 D．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 10．（多选）下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 题型四 关于线对称问题 知识点1：点 关于直线 的对称点 的问题,主要依据两项原则: 1 的中点在对称轴直线上； 2 与点 所在的直线垂直. 3 设点 关于直线 的对称点为 ,则 可求 . 知识点2：求直线 关于点 对称的直线 的步骤: 方法一:回代法 (1)在 上任取一点 ； (2) 求 关于 的对称点 ； (3) 将 的坐标代入直线 的方程，化简得所求 的方程. 方法二: (1)直线 与直线 的斜率相同，所以只需要求出直线 所过一点,即可求出直线 的方程; (2)在直线 上任取一点 ; (3)求 关于 的对称点 . (4)将 的坐标代入所设直线 的方程，化简得所求 方程 方法三: 在已知直线上找两点,求出这两点关于点 的对称点, 根据求出的两个对称点求出对称直线. (5)方法四:直线 与直线 的斜率相同,根据对称点到两直线距离相等求出对称直线. 1．一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 3．在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知两点，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 8．（多选）已知直线，以下结论正确的有（    ） A．无论为何值，与都互相垂直 B．无论为何值，与都关于直线对称 C．与分别经过定点和 D．存在实数，使得与的交点在轴上 9．（多选）下列说法正确的是（  ） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．点关于直线的对称点为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是9 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 10．（多选）已知直线，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．当时，关于轴对称的直线为 C．点到直线的最大距离为 D．与两坐标轴围成的三角形面积为2的直线有2条 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $