第24讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦同角三角函数基本关系及诱导公式核心考点，以平方关系、商数关系和诱导公式为基础，通过“基础回顾-必备知识-题型突破-课时精练”的逻辑架构，系统梳理已知三角函数值求其他值、弦切互化等四大题型，结合考点梳理、方法指导与真题训练，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 讲义以“题型驱动-方法提炼-素养落地”为特色，如弦切互化题型中通过齐次式转化培养数学运算能力，诱导公式化简结合“奇变偶不变”口诀训练符号推理，发展数学思维。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈，确保学生高效掌握解题技巧，为教师精准把控复习进度、提升学生应考能力提供实用指导。

第24讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式 题型一 已知一个三角函数值求其他三角函数值 2 题型二 的关系 3 题型三 弦切互化 4 题型四 利用诱导公式化简求值 5 课时精练 7 【基础回顾】 知识点1：同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α . 知识点2：三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【必备知识】 同角三角函数的基本关系式的常见变形： (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α 题型一 已知一个三角函数值求其他三角函数值 利用平方关系：同角三角函数基本关系式有，．若已知，要求，则，正负号根据角所在象限确定． 结合商数关系：在求出后，再根据求出的值．如果已知，可通过与联立求解和，将代入，得到，进而求出，再求出． 【例题精讲】 1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为第二象限角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知角的终边在第三象限，且，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 5．若，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，且是第三象限角，那么的值是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知角为第一象限角，且，则__________. 9．已知，，则_____. 10．已知，且为第三象限的角，则__________. 题型二 的关系 关系为：，先利用的值得到的正负，从而判断出的象限角。 【例题精讲】 1．已知，，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 3．若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 4．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（   ） A． B． C． D．1 8．（多选 ）已知，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（多选 ）已知为锐角，且，则下列选项正确的有（    ）． A． B． C． D． 10．（多选 ）已知，且，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三 弦切互化 对于齐次分式：形如（）的式子，分子分母同时除以（因为，否则不存在），将其化为，然后将的值代入求解． 对于齐次整式：形如的式子，可将其看作分母为的分式，分子分母同时除以，化为，再代入的值计算． 【例题精讲】 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D．1 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．若，是方程的一个根，则（   ） A． B． C． D． 5．若向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（多选 ）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选 ）已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（多选 ）下列结论正确的是（    ） A．是第三象限角 B．若，则 C．始边相同而终边不同的角一定不相等 D．终边经过点的角的集合是 题型四 利用诱导公式化简求值 【例题精讲】 1．化简 2．已知，是关于的方程的两个根． (1)求的值； (2)求的值． 3．平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线上． (1)求和的值； (2)若，化简并求值． 4．已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点． (1)求 (2)求的值． (3)若，求的值． 5．角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 6．已知，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 7．求下列三角函数值： (1)cos390°； (2)； (3). 8．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 9．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点. (1)求，； (2)求的值. 10．已知角的终边经过点． (1)求的值； (2)求的值． 课时精练 一、单选题 1．已知是角终边上一点，则（   ） A． B． C． D．3 2．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 3．函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．若，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 6．已知，且，则（   ） A．-2 B． C． D．2 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选 ）已知，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 10．（多选 ）已知，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（多选 ）已知，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，则________. 13．已知，，则________，________． 14．已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答） 四、解答题 15．已知是三角形的内角，且．求： (1)； (2)的值． 16．已知，求下列各式的值. (1)； (2). 17．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 18．已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 19．已知函数． (1)化简； (2)求的值； (3)求函数的值域． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式 题型一 已知一个三角函数值求其他三角函数值 2 题型二 的关系 4 题型三 弦切互化 8 题型四 利用诱导公式化简求值 12 课时精练 17 【基础回顾】 知识点1：同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α . 知识点2：三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【必备知识】 同角三角函数的基本关系式的常见变形： (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α 题型一 已知一个三角函数值求其他三角函数值 利用平方关系：同角三角函数基本关系式有，．若已知，要求，则，正负号根据角所在象限确定． 结合商数关系：在求出后，再根据求出的值．如果已知，可通过与联立求解和，将代入，得到，进而求出，再求出． 【例题精讲】 1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，故. 2．已知为第二象限角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用同角三角函数基本关系化简所求表达式，再结合的象限求出的值，代入计算即可得到结果. 【详解】， 已知为第二象限角，故， 因为，所以 ， 将，代入得： . 3．已知角的终边在第三象限，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 角的终边在第三象限，        ∴ . ∵ ，， ∴ . ∴ . 4．已知，是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，且为第二象限角， ． 5．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，可知位于第四象限，则， 又因为，则， 且，可得， 即，所以. 6．已知，且是第三象限角，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，且是第三象限角，则也为负， 由，得， 因此. 7．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，，，得； ，， “”是“”的充分不必要条件. 故选：A 8．已知角为第一象限角，且，则__________. 【答案】 【分析】根据同角的三角函数关系式求解即可. 【详解】因为角为第一象限角，且， 所以. 9．已知，，则_____. 【答案】 【详解】因为，， 所以， 所以. 10．已知，且为第三象限的角，则__________. 【答案】 【详解】由于，且为第三象限的角，故， 故 题型二 的关系 关系为：，先利用的值得到的正负，从而判断出的象限角。 【例题精讲】 1．已知，，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将两边同时平方，整理得，解得，D正确； 因为且，则， ，A正确； 由，得，，C正确，B错误． 2．已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【详解】因为， 所以， 而，所以． 3．若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的平方关系及商数关系求解即可. 【详解】平方得，即， 所以. 4．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方关系求出，的值，再切化弦即可求得所求代数式的值. 【详解】因为，所以， 因为，等式两边平方得， 所以，故，所以， 所以，故， 因此. 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，得 ，所以 ， 于是 ，故 ， 由于 ，且 ，则 ，， 因此 ，. 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 即， 则. 7．已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】把已知式平方后求得，然后解方程组得，从而可得. 【详解】将等式，① 两边平方，得到， 整理得，即， 所以，则得，② 联立①和②，解得，， 故． 故选：A. 8．（多选 ）已知，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由，两边平方即可判断A项；利用A项结论及可得，再利用平方关系即可求出即可判断B；将与的值联立求出即得C，D项． 【详解】， ，解得，故A正确； ， ，， ，，故B错误； ，解得， ，故C正确； ，故D正确． 9．（多选 ）已知为锐角，且，则下列选项正确的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】∵， ∴， ∵为锐角， ∴，A正确； ∵，两边同时平方得， ∴，B正确； ∵，又为锐角， ∴，C错误； 联立与可得，，故，D正确． 10．（多选 ）已知，且，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对A，两边同平方即可判断；对B，根据和即可判断；对C，利用完全平方式的变形即可判断；对D，联立方程组即可判断. 【详解】对A，因为，两边平方得：，A错误； 对B，因，且，所以，B正确； 对C，因为，所以，，所以， 因为，，则，即：，故C正确； 对D，联立：及，解得：，，故D错误. 故选：BC． 题型三 弦切互化 对于齐次分式：形如（）的式子，分子分母同时除以（因为，否则不存在），将其化为，然后将的值代入求解． 对于齐次整式：形如的式子，可将其看作分母为的分式，分子分母同时除以，化为，再代入的值计算． 【例题精讲】 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将弦化为切后计算即可得. 【详解】. 2．已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为，所以， 上下同除即可得， 代入，可得. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 4．若，是方程的一个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方程的根为或， 因为，所以，即， . 5．若向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量平行的坐标运算得，利用同角三角函数的商数关系式即可得的值，进而将化为齐次式可求值. 【详解】向量，，且，则，故. . 6．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 7．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由已知条件求出，再结合求出，最后代入 化简求值. 【详解】由，可得. 利用三角恒等式，将代入： 得，，. 则. 所以，的值是. 故选：D. 8．（多选 ）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A：根据三角函数值的符号分析判断即可；对于B：根据同角三角关系结合齐次式问题运算求解即可；对于CD：根据、与之间的关系运算求解，注意三角函数值的符号. 【详解】对于选项A：因为，，则，， 所以，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：因为， 所以 ，故C正确； 对于选项D：因为 ， 所以，故D错误． 9．（多选 ）已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，化为齐次式，求得，结合选项，结合三角函数的基本关系式和“齐次式”的运算，即可求解. 【详解】由，可得， 对于A，由，所以A正确； 对于B，由， 所以，所以B不正确； 对于C，由 ，所以C正确； 对于D，由 ，所以D正确. 故选：ACD. 10．（多选 ）下列结论正确的是（    ） A．是第三象限角 B．若，则 C．始边相同而终边不同的角一定不相等 D．终边经过点的角的集合是 【答案】BCD 【分析】根据角的定义即可求解ACD，根据齐次式即可求解B. 【详解】，是第二象限角，故A错误； 若，则，故B正确； 始边相同而终边不同的角一定不相等，故C正确； 终边经过点，该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是，故D正确； 故选：BCD 题型四 利用诱导公式化简求值 【例题精讲】 1．化简 【答案】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的关系化简即可． 【详解】 ． 2．已知，是关于的方程的两个根． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1)根据二次方程根的个数得到参数范围，再由韦达定理可以得出，和与积的关系，解出具体的函数值，由诱导公式化简代值计算； (2)根据三角函数商数关系，代入，的值，根据诱导公式化简计算即可． 【详解】（1）因为有两个根，则，或； 又因为，是关于的方程的两个根， 故，， 因为，， 或， 因为或，所以， 由诱导公式：； （2）． 3．平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线上． (1)求和的值； (2)若，化简并求值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义分析求解即可； （2）利用诱导公式化简，并结合齐次式问题分析求解. 【详解】（1）由题意，角的终边在射线上，可取角的终边上一点为， 则，. （2）由， 由（1）可知：， 所以. 4．已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点． (1)求 (2)求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再利用二倍角的正切公式求出; （2）先利用诱导公式对原式进行化简，再结合三角函数的定义求出和的值，最后代入化简后的式子求值; （3）利用诱导公式将和进行变形，再结合已知条件求解. 【详解】（1）已知角的终边过定点，所以, . （2）角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点，则， 所以． 所以 （3）因为， 所以 所以． 5．角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义求解即可. （2）根据任意角三角函数的定义求解，然后代入原式计算即可. （3）先对原式进行化简，然后再代入求解即可. 【详解】（1）根据任意角三角函数的定义可得 （2）根据任意角三角函数定义可得. . （3）由（2）可得.    原式. 6．已知，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)7 (2) (3) 【详解】（1）. （2）. （3）. 7．求下列三角函数值： (1)cos390°； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）. （3）. 8．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意角的终边过点，则， 根据任意角三角函数的定义可得，． （2）由诱导公式得 ． 9．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点. (1)求，； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义求解； （2）利用诱导公式化简，再求解； 【详解】（1）； （2）. 10．已知角的终边经过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)，，； (2)． 【详解】（1）因为角的终边经过点，故； ； ． （2）根据诱导公式：因为，， ，， 所以， . 课时精练 一、单选题 1．已知是角终边上一点，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】由已知得： ． 2．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求解. 【详解】A.由诱导公式得，，故A错误； B.，故B正确； C.，故C错误； D.，故D错误． 3．函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的基本关系式，化简函数为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 当且仅当时，取得最大值，最大值为. 4．若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件两侧平方整理得，结合求出，即可得. 【详解】由题设， 所以，即， 而，则， 所以，即. 故选：A 5．已知，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将条件式平方化简，再利用与的关系，结合求解，最后由平方差公式即可. 【详解】对于选项A，由，式子两边同时平方，得，即， 又，上式化为，故A错误； 对于选项B，，则，由，，即， ，，故B错误； 对于选项C，由，解得，，故C错误； 对于选项D，，故D正确. 故选：D. 6．已知，且，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】解法一：应用诱导公式结合同角三角函数关系计算求解；解法二：应用诱导公式结合弦切互化计算求解；解法三：应用辅助角公式结合正切函数值计算求解. 【详解】解法一：由，得，所以， 联立，得，所以. 解法二：由，得，所以， 所以 则，所以. 解法三：由，得， 所以，其中，. 所以，，则. 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，， 则. 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，由. 分子分母同除以，得 . 代入， 原式. 二、多选题 9．（多选 ）已知，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由诱导公式化简得，再利用同角基本关系式求解. 【详解】，， ， ． 故选：BC 10．（多选 ）已知，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】，故A不成立； ，故B不成立； ，故C成立； ，故D成立． 11．（多选 ）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用弦化切计算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 三、填空题 12．已知，则________. 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，代入计算，即可求解. 【详解】由，则 13．已知，，则________，________． 【答案】 / / 【分析】利用、与的关系，结合所处象限可得空一；结合所得可求出、，再利用同角三角函数基本关系可得空二. 【详解】由，平方得， 即，所以， 又因为，所以，， 则，所以； 由，， 则，， 故. 14．已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答） 【答案】 【分析】利用韦达定理，结合三角函数的平方关系求解. 【详解】，是关于x的方程的两个根， ，解得或， 且， ，， ，，， 或，， . 四、解答题 15．已知是三角形的内角，且．求： (1)； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算得解. 【详解】（1）由题可知：， ． （2）由题可知：， ． 16．已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角的三角函数关系式可得； （2）根据关系可得. 【详解】（1）由，两边平方可得：， 解得：； （2）由， 因，且，故，则， 故. 17．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式将已知条件化简为​​，再对等式两边平方，结合同角三角函数的平方关系，直接求出； （2）由（1）的结果，先通过求出的值，再联立方程组解出和，最后将其代入目标式计算出结果． 【详解】（1）因为， 且，， 所以， 所以，即， 所以，解得； （2）由（1）得 ， 又因为，所以，，所以， 所以， 由，解得， 所以． 18．已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角α终边上点的坐标，结合任意角三角函数定义求出、，代入目标式计算即可； （2）利用三角函数诱导公式化简原式为，再结合终边上点的坐标求的值. 【详解】（1）点到坐标原点的距离， 根据任意角三角函数的定义： ，， 代入得； （2）利用诱导公式化简原式： 分子部分：，， ，， 因此分子， 分母部分：，，， 因此分母， 约分化简得原式， 根据定义. 19．已知函数． (1)化简； (2)求的值； (3)求函数的值域． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用诱导公式及同角公式化简函数. （2）由（1）的结论，结合诱导公式及特殊角的三角函数值求解. （3）由（1）的结论，求出含正弦的二次函数值域. 【详解】（1）依题意，，而且有意义， 则且，即， 所以. （2）由（1）得. （3）由（1）得函数的定义域为， ，而或， 当时，；当时，， 所以函数的值域是. 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $