第48讲　第1课时　变量的相关关系及线性回归模型课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“成对数据的统计分析”专题，覆盖变量相关关系判断、样本相关系数计算、线性回归方程求解及应用等核心考点，对接高考评价体系中数据分析、数学建模素养要求，通过近三年真题及模拟题统计，明确相关关系判断（占比30%）、回归方程应用（占比45%）等高频考点，归纳选择、填空、解答三类常考题型。 课件亮点在于“真题精讲+素养训练+技巧总结”，如以2022全国乙卷树木材积量问题为例，详解样本相关系数公式应用，培养学生数据观念与数学思维，提供“回归方程五步法”及“相关系数符号判断”等应试技巧，帮助学生高效突破考点，教师可据此精准开展专题复习，提升备考效率。

第九章 第48讲　成对数据的统计分析 统　计 第1课时　变量的相关关系及线性回归模型 1 1．(2024·上海卷)已知气候温度和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描述正确的是 (　　) A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 C 2．(教材经典题改编)已知两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系依次是 (　　) A．①②③　 B．②③① C．②①③　 D．①③② 【解析】 　　　　第一个散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，是正相关；第三个散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，是负相关；第二个散点图中的点的分布没有规律，是不相关． D 3．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(单位：t)与相应的生产能耗y(单位：t)的几组对应数据： 【解析】 x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 3 【解析】 1 1．变量的相关关系 (1) 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． (2) 相关关系的分类：正相关和负相关． (3) 线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在____________附近，我们就称这两个变量线性相关． 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 一条直线 2．样本相关系数 (1) 样本相关系数r的计算 变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下： (2) 样本相关系数r的性质 当r______0时，称成对样本数据_____相关；当r______0时，称成对样本数据_____相关；当r＝0时，称成对样本数据间没有线性相关关系． ＞ 正 ＜ 负 3．一元线性回归模型 Y与bx＋a之间 目标 1 变量的相关关系 　　　某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下： 1 【解析】 　　　　由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系，排除C和D；其属于正相关关系，A正确，B错误． 月份 1 2 3 4 5 6 人均销售额 6 5 8 3 4 7 利润率/% 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3 根据表中数据，下列说法正确的是 (　　) A．利润率与人均销售额成正相关关系 B．利润率与人均销售额成负相关关系 C．利润率与人均销售额成正比例函数关系 D．利润率与人均销售额成反比例函数关系 A 判定两个变量相关性的方法 (1) 画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关． (2) 样本相关系数：当r＞0时，正相关；当r＜0时，负相关；|r|越接近于1，相关性越强． 变式1　在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制成如图所示的人体脂肪含量与年龄的关系的散点图．下列结论正确的是 (　　) A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20% 【解析】 　　　　观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%． B B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20% C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20% D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20% 目标 2 样本相关系数 　　　(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 2 样本号i 1 2 3 4 5 6 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34   样本号i 7 8 9 10 总和   根部横截面积xi 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6   材积量yi 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9   (1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； 【解答】 　　　(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 2 样本号i 1 2 3 4 5 6 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34   样本号i 7 8 9 10 总和   根部横截面积xi 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6   材积量yi 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9   (2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； 【解答】 　　　(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 2 样本号i 1 2 3 4 5 6 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34   样本号i 7 8 9 10 总和   根部横截面积xi 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6   材积量yi 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9   【解答】 目标 3 线性经验回归方程 　　　(2026·蚌埠期初)据统计，某电影在中国内地最终斩获154.4亿元票房，总观影人次3.24亿，两项数据均创下中国影史纪录，并遥遥领先第二名，成为了又一部现象级电影．下表统计了该电影上映前15天累计票房到达y(单位：亿元)与所用时间x(单位：天)的数据： 3 累计票房y 20 40 60 80 100 用时x 4 7 9 10 15 (1) 利用表中的数据，计算样本相关系数r(结果精确到0.01)，并推断两个变量的线性相关程度； 【解答】 　　　(2026·蚌埠期初)据统计，某电影在中国内地最终斩获154.4亿元票房，总观影人次3.24亿，两项数据均创下中国影史纪录，并遥遥领先第二名，成为了又一部现象级电影．下表统计了该电影上映前15天累计票房到达y(单位：亿元)与所用时间x(单位：天)的数据： 3 累计票房y 20 40 60 80 100 用时x 4 7 9 10 15 (2) 求y关于x的经验回归方程(系数精确到0.01)，并预测153天时的累计票房，判断这种预测方法是否合理． 【解答】 求经验回归方程的步骤 变式3　(2025·龙岩5月质检)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示： 参考公式：见本讲聚焦知识． 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 (1) 根据表中的数据，计算样本相关系数r； 【解答】 变式3　(2025·龙岩5月质检)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示： 参考公式：见本讲聚焦知识． 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 (2) 求特征量y关于x的经验回归方程，并预测当特征量x为12时特征量y的值． 【解答】 1．(2024·天津卷)下列图中，样本相关系数最大的是 (　　) A A　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　　D A．－1　 B．0 C．1　 D．2 【解析】 C 3．(2025·南京二模)(多选)某研究所研究耕种深度x(单位：cm)与水稻每公顷产量y(单位：t)的关系，所得数据如下表： 耕种深度x/cm 8 10 12 14 16 每公顷产量y/t 6.0 7.5 7.8 9.2 9.5 【解析】 【答案】BD 配套练习题 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．(2023·天津卷)调查某种花的花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中样本相关系数r＝0.824 5，下列说法正确的是 (　　) A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是0.824 5 【解析】 　　　　根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，故A错误； 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，故B错误，C正确； 由于r＝0.824 5是全部数据的样本相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，也可能变弱，即取出的数据的样本相关系数不一定是0.824 5，故D错误． 【答案】C 2 【解析】 由图知点(x，y)比(v，u)更加集中在一条直线附近，则|r1|＞|r2|，又r1＜0，r2＞0，得r1＋r2＜0，故C错误，D正确． 【答案】D 3．(2025·九江二模)植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官．已知在一定范围内，小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系．某盆栽小麦实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度x(单位：cm)与氮元素吸收量y(单位：mg/天)的相关数据如下表所示： x 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 y 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 B．变量y与x的样本相关系数r＜0 C．在一定范围内，小麦的根长度每增加1 cm，它一天的氮元素吸收量平均增加0.025 mg D．若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计，则对应回归方程不变 【解析】 小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有正相关关系，故样本相关系数r＞0，故B错误； 若研究小麦的根长度与钾元素吸收量的相关关系，回归方程可能发生改变，故D错误． 【答案】C 4．(2025·莆田二模)为了解女儿身高与其母亲身高的关系，随机抽取5对母女的身高数据如下： 【解析】 母亲身高x/cm 164 166 166 166 168 女儿身高y/cm 165 165 166 167 167 根据最小二乘法，y关于x的经验回归方程为 (　　) C 二、多项选择题 【解析】 因为zi＝yi－2(i＝1，2，…，n)，所以成对数据(xi，zi)对应点相当于把成对数据(xi，yi)对应的点向下平移2个单位长度，不改变变量的相关性，故B正确； 因为zi＝2yi(i＝1，2，…，n)，则成对数据(xi，zi)对应点相当于把成对数据(xi，yi)对应的点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，变量间的相关性不变，故C错误； 【答案】ABD 【解析】 　　　　对于A，当r＞0时，成对样本数据成线性正相关，A正确． 对于B，当|r|越大时，成对样本数据的线性相关程度越强．当r1＝－0.98，r2＝0.9时，r1对应的样本数据的线性相关程度更强，B错误． 【答案】ACD 三、填空题 7．已知变量x和变量y的3对随机观测数据(2,2)，(3，－1)，(5，－7)，则成对样本数据的样本相关系数是_______． 【解析】 －1 【解析】 x 5 6 7 8 9 y 3.5 4 5 6 6.5 7.4 【解析】 54.5 四、解答题 10．(2025·上海卷)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列． 【解答】 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1) 求这组数据的极差与中位数； 10．(2025·上海卷)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列． 【解答】 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (2) 从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； 10．(2025·上海卷)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 【解答】 11．(2026·青岛期初)下表是某公司从2021年至2025年某种产品盈利额的近似值(单位：万元)： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号x 1 2 3 4 5 盈利额y 50 56 64 72 83 (1) 求y关于x的样本相关系数r的值(精确到0.001)，并判断它们是否具有较强的线性相关关系(如果|r|≥0.75，则认为y与x的线性相关关系较强，否则认为线性相关关系较弱)； 【解答】 11．(2026·青岛期初)下表是某公司从2021年至2025年某种产品盈利额的近似值(单位：万元)： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号x 1 2 3 4 5 盈利额y 50 56 64 72 83 (2) 求y关于x的经验回归方程，并预测2027年该种产品的盈利额． 【解答】 B组　教材经典回归 12．试推导经验回归方程中回归系数公式的两种形式等价，即 【解答】 $