第48讲　第2课时　非线性回归模型与回归效果分析、列联表与独立性检验课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦统计模块核心考点，覆盖非线性回归模型（对数型、指数型）、回归效果分析（残差、决定系数）、列联表与独立性检验等高考高频内容，依据高考评价体系梳理考点权重，通过近五年真题分析明确独立性检验占比30%、回归模型题型频率45%，归纳三大常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题实战+方法拆解+素养渗透”，如以2024全国甲卷独立性检验题为例，详解卡方计算步骤与临界值判断，培养数据观念；通过残差图分析与决定系数比较模型拟合效果，发展逻辑推理能力。特设“易错陷阱警示”和“模型转化模板”，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准定位学情，实现高效复习。

第九章 第48讲　成对数据的统计分析 统　计 第2课时　非线性回归模型与回归效果分析、列联表与独立性检验 1 A．满足一元线性回归模型的所有假设 B．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0的假设 C．不满足一元线性回归模型的D(e)＝σ2的假设 D．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假设 【解析】 【答案】C 2．(教材经典题)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝2.974．依据α＝0.05的独立性检验，结论为(附：x0.1＝2.706，x0.05＝3.841) (　　) A．变量x与y不独立 B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C．变量x与y独立 D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 【解析】 　　　　因为χ2＝2.974＜x0.05＝3.841，所以变量x与y独立．又2.706＜2.974＜3.841，所以这个结论犯错误的概率不超过0.1． C 3．(2025·石家庄二模)(多选)下列结论正确的是 (　 　) A．当研究两个变量之间的关联程度时，若样本相关系数的绝对值|r|越接近于1，则两个变量的线性相关程度越弱 B．在评估模型拟合效果时，决定系数R2越接近1，表示模型对数据的拟合效果越好 D．设关于分类变量X与Y的独立性检验的原假设为H0：X与Y无关，根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.172，依据α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为X与Y无关 【解析】 　　　　因为样本相关系数的绝对值越接近1两个变量的线性相关程度越强，故A错误； 因为决定系数R2越接近1，表示模型对数据的拟合效果越好，故B正确； 因为χ2＝4.172＞3.841，应拒绝原假设H0，即认为X与Y有关联，而非无关，故D错误． 【答案】BC 4．(教材经典题)调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下的列联表： 单位：人 【解析】 性别 出生时间 合计 晚上 白天 女 24 31 55 男 8 26 34 合计 32 57 89 依据α＝0.1的独立性检验，则在犯错误的概率不超过_______的前提下可以认为性别与出生时间有关联．(附：x0.1＝2.706) 0.1 1．残差与决定系数 (1) 残差 观测值减去预测值所得的差 (2) 决定系数：R2＝_________________，R2越______，模型拟合效果越好，反之，越差． 大 2．2×2列联表 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 X Y 合计 Y＝y1 Y＝y2 X＝x1 a b a＋b X＝x2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 3．临界值 4．独立性检验 基于小概率值α的检验规则是： 当χ2≥xα时，就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2＜xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立． 这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 目标 1 非线性经验回归方程 视角1　对数型经验回归方程 　　　　　某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入，该公司近 5年的年广告费xi(单位：百万元)和年销售量yi(单位：百万辆)的关系如图所示． 1－1 现有①y＝bx＋a和②y＝nln x＋m两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数． (1) 请从样本相关系数的角度分析哪一个模型拟合程度更好； 【解答】 视角1　对数型经验回归方程 　　　　　某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入，该公司近 5年的年广告费xi(单位：百万元)和年销售量yi(单位：百万辆)的关系如图所示． 1－1 现有①y＝bx＋a和②y＝nln x＋m两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数． (2) 根据(1)的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的经验回归方程，并预测年广告费为6百万元时电动车的年销售量． 【解答】 视角2　指数型经验回归方程 　　　　　云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书(2022年)》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下： 1－2 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市场规模y/亿元 692 962 1 334 2 091 3 229 【解答】 求非线性经验回归方程的常见转化类型： (1) 对数函数型y＝bln x＋a的处理方法：设x′＝ln x，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据求线性经验回归模型的方法求出a，b． (3) 幂函数型y＝axb(a＞0)可作变换Y＝ln y，m＝ln a，t＝ln x，则有Y＝m＋bt． (4) 指数函数型y＝kabx(a＞0且a≠1，k＞0)可作变换Y＝ln y，m＝ln k，则有Y＝m＋(bln a)x． 目标 2 回归效果分析 视角1　残差分析 　　　　　假定产品产量x(单位：千件)与单位成本y(单位：元/件)之间存在相关关系．统计数据如下： 【解答】 　　　　作出散点图如图所示． 2－1 x 2 3 4 3 4 5 y 73 72 71 73 69 68 (1) 以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图； 　　　　　假定产品产量x(单位：千件)与单位成本y(单位：元/件)之间存在相关关系．统计数据如下： 【解答】 2－1 x 2 3 4 3 4 5 y 73 72 71 73 69 68 (2) 求y与x之间的经验回归方程，当单位成本为70元/件时，预报产量为多少？ 令y＝70，则70＝－1.82x＋77.37，解得x≈4.05，所以当单位成本为70元/件时，预报产量约为4.05千件． 　　　　　假定产品产量x(单位：千件)与单位成本y(单位：元/件)之间存在相关关系．统计数据如下： 【解答】 2－1 x 2 3 4 3 4 5 y 73 72 71 73 69 68 (3) 计算各组残差，并计算残差平方和．(保留两位小数) 视角2　决定系数 　　　　　如图是某企业2019年至2025年的污水净化量(单位：吨)的折线图． 注：年份代码1～7分别对应年份2019～2025． (1) 由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请建立y关于t的经验回归方程，并预测2028年该企业的污水净化量； 2－2 【解答】 　　　　　如图是某企业2019年至2025年的污水净化量(单位：吨)的折线图． 注：年份代码1～7分别对应年份2019～2025． (2) 请用决定系数说明回归方程预报的效果． 2－2 【解析】 刻画回归效果的三种方法 (1) 残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适． (3) 决定系数法：R2越接近1，表明拟合效果越好． 目标 3 列联表与独立性检验 　　　(2026·泉州期初)为比较A，B两种AI教学系统在提升教师备课效率方面的差异，研究人员在某地区随机招募了200名教师，并随机分配其中100名使用系统A，其余100名使用系统B．经过一个月的试用后，以“备课时间减少15%以上”作为备课效率显著提升的标准，经整理得到如下列联表： 3 (1) 记事件“该地区教师使用系统A后，备课效率显著提升”的概率为P，求P的估计值； 使用的教学系统 备课效率 合计 显著提升 没有显著提升 系统A 75 25 100 系统B 55 45 100 合计 130 70 200 【解答】 　　　(2026·泉州期初)为比较A，B两种AI教学系统在提升教师备课效率方面的差异，研究人员在某地区随机招募了200名教师，并随机分配其中100名使用系统A，其余100名使用系统B．经过一个月的试用后，以“备课时间减少15%以上”作为备课效率显著提升的标准，经整理得到如下列联表： 3 (2) 根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析这两种AI教学系统在显著提升教师备课效率方面是否存在差异． 附：x0.005＝7.879． 使用的教学系统 备课效率 合计 显著提升 没有显著提升 系统A 75 25 100 系统B 55 45 100 合计 130 70 200 【解答】 独立性检验的方法： (1) 构造2×2列联表； (2) 计算χ2； (3) 查表确定有多大的把握判定两个变量有关联． 注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的xα值与求得的χ2值相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为1－p． 变式3　(2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：   优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1) 填写如下列联表：   优级品 非优级品 甲车间     乙车间     能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ 附：x0.05＝3.841，x0.01＝6.635． 【解答】 　　　　(1) 由题目所给数据得到如下2×2列联表：   优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 因为4.687 5＞3.841＝x0.05，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．因为4.687 5＜6.635＝x0.01，所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异． 变式3　(2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：   优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 【解答】 【解析】 A 2．(2025·张家口二模)商品价格与销量之间往往存在某种关系，以下是某商品价格x(单位：元)与销量y(单位：万件)的调研数据： 商品价格x/元 10 15 20 25 30 销量y/万件 54 46 40 36 32 则下面回归方程中最适宜作为销量y与价格x的回归方程的是(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6) (　　) A．y＝－1.4x＋70　 B．y＝－0.7x＋60 C．y＝100－20ln x　 D．y＝60－3ln x 【解析】 　　　　对于A，分别代入x＝10,30，可得y＝56,28，与实际值相差较大，不合题意，故A错误； 对于B，分别代入x＝10,30，可得y＝53,39，第五组数据与实际值相差较大，不合题意，故B错误； 对于C，分别代入x＝10,15,20,25,30，求得y的估计值与实际值完全相同，应采用，故C正确； 对于D，代入x＝10，可得y＝60－3ln 10＝60－3×(ln 2＋ln 5)≈53.1，代入x＝30，得y＝60－3(ln 2＋ln 3＋ln 5)≈49.8，数据与实际值相差较大，不合题意，故D错误． 【答案】C 3．(2025·苏州期末)(多选)为比较甲、乙学校学生的数学水平，采取简单随机抽样的方法抽取88名学生．通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名学生数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名学生数学成绩优秀．整理数据如下表： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲 33 10 43 乙 38 7 45 合计 71 17 88 则下列说法正确的有 (　　　) A．甲校的数学抽测成绩优秀率一定比乙校的数学抽测成绩优秀率高 B．甲校的数学成绩优秀率一定比乙校的数学成绩优秀率高 C．甲校的数学成绩优秀人数可能比乙校的数学成绩优秀人数多 D．根据小概率值α＝0.1的独立性检验，可以认为两校的数学成绩优秀率几乎没有差异 【解析】 对于B，抽测的样本的优秀率可能代表性差，不一定能真实反映两校的优秀率，故B错误； 对于C，甲校的数学优秀人数有可能比乙校的数学优秀人数多，故C正确； 【答案】ACD 图(1) 　 　 　 　　　　　　　　　　　图(2) 【解析】 对于C，D，由题图可知，新数据的分布更集中，所以方差更小，决定系数更大，故C错误，D正确． 【答案】ABD 配套练习题 α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 一、单项选择题 1．某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 经计算得到χ2≈4.881，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，则可以认为 (　　) A．两种疗法的效果存在差异 B．两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005 C．两种疗法的效果没有差异 D．两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005 【解析】 　　　　零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．根据列联表中的数据，χ2≈4.881＜7.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差异． C x 3 4 6 7 z 2 2.5 4.5 7 A．－2　 B．－1 C．e－2　 D．e－1 【解析】 【答案】C 【解析】 【答案】A 【解析】 【答案】D 二、多项选择题 5．(2025·新余二模)某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子(其中一部分用该药做了处理)进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8．已知未填写完整的2×2列联表如下表所示，则 (　 　) A．这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒 B．这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒 C．χ2的观测值约为13.428 D．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为该新药有效   抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60     种子未经过该药处理   14   合计     100 【解析】 　　　　由题可将2×2列联表补充完整如下：   抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 6 66 种子未经过该药处理 20 14 34 合计 80 20 100 由上表可知A正确，B错误； 【答案】AD 6．(2025·湛江一模)已知A(1，6)，B(2，4)，C(3，4)，D(4，2)，E(5，4)，5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程．经分析确定E(5，4)为“离群点”，故将其去掉，将数据E(5，4)去掉后，下列说法正确的有 (　　　) A．样本相关系数r变大 B．残差平方和变小 C．决定系数R2变大 【解析】 　　　　对于A，由图可知，变量x与变量y是负相关，且将数据E(5，4)去掉后，样本相关系数r的绝对值变大，但r变小，故A错误； 对于B，C，将数据E(5,4)去掉后，变量x与变量y的相关性变强，所以残差平方和变小，决定系数R2变大，故B，C正确； 【答案】BCD 【解析】 【答案】CD 【解析】 0.3e－4 【解析】 　　　　设男性患者有x人，则女性患者有2x人，得 2×2列联表如下： 【答案】12 四、解答题 10．(2025·全国Ⅰ卷)为研究某疾病与超声检查结果的关系，从做过超声检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表：   超声检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1) 记超声检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； 【解答】 10．(2025·全国Ⅰ卷)为研究某疾病与超声检查结果的关系，从做过超声检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表：   超声检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (2) 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声检查结果是否与患该疾病有关． 【解答】 11．近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2021年至2025年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图．其中2021年至2025年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． 【解答】 11．近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2021年至2025年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图．其中2021年至2025年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． (2) 根据(1)中的判断结果，建立y关于x的经验回归方程； 【解答】 11．近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2021年至2025年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图．其中2021年至2025年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． (3) 根据(2)的结果，估计2026年的企业利润． 【解答】 y i vi (xi－)2 (yi－)2 44 4.8 10 40.3 (vi－)2 (xi－)(yi－) (yi－)(vi－) 1.612 19.5 8.06 y i vi (xi－)2 (yi－)2 44 4.8 10 40.3 (vi－)2 (xi－)(yi－) (yi－)(vi－) 1.612 19.5 8.06 (2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率为p＝0.5．设 　为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果 　＞p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(附：≈12.247) 4．(2025·梅州质检)某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为R＝0.891 3和R＝0.994 0，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为　(　　) 参考数据：令ωi＝ln yi． (xi－)2 (xi－)·(yi－) (xi－)·(ωi－) 3 2.5 0.5 10 12 6 A．＝1.2x－1.1　　B．＝0.6x－1.3　　C．＝e1.2x－1.1　　D．＝e0.6x－1.3 设＝ex＋，两边取对数得ln ＝x＋，又＝ln，则＝x＋，因此＝＝＝0.6，＝－＝0.5－0.6×3＝－1.3，即ln ＝0.6x－1.3，＝e0.6x－1.3，C错误，D正确． 7．(2025·福州四模)有一组成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，设＝i，＝i，由这组数据得到新成对样本数据(x1＋，y1＋)，(x2＋，y2＋)，…，(xn＋，yn＋)．利用一元线性回归模型，根据最小二乘法，下列结论一定正确的是(　 　) 附：经验回归方程＝＋x中，＝，＝－．样本相关系数r＝，决定系数R2＝1－． A．两条经验回归直线都过点(，) B．两条经验回归直线的截距相同 C．两组数据的样本相关系数相同 D．两组数据的决定系数相同 A型疾病 B型疾病 总计 男 x 女 2x 总计 3x $