专题7 复数 重要考点期末复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数重要考点（解析） 知识点1：复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足 知识点2：复数的分类 知识点3：共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数，复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点4：复数的几何意义 1、复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 2、复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 3、复数的模 ①向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 ②复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 例1（多选）．已知复数，下列说法正确的是（   ） A．的实部为1 B．的虚部为 C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：的实部，说法正确； 选项B：的虚部是实数，不是，说法错误； 选项C：，说法正确； 选项D：共轭复数实部不变、虚部变号，得，说法正确. 例2．已知是虚数单位，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) 或 (2) (3) 【详解】（1）因为为实数，所以，即，所以或； （2）因为为纯虚数，所以，即，所以； （3）若在复平面内对应的点位于第二象限,所以，即，所以. 知识点5：复数的四则运算 （1）复数的加法法则 （2）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 （3）复数的乘法法则 （4）复数代数形式的除法运算 （） 例3.（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 例4．已知复数，则为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】由复数的乘法运算和模长公式即可求解. 【详解】，． 所以． 故． 例5．复数在复平面对应点为，则复数的虚部为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出复数，代入计算即可. 【详解】由在复平面对应点为，可得， 则，所以虚部为. 例6．若复数z满足（其中是虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， . 例7．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据复数乘法与除法及复数的模计算即可. 【详解】由，得. 所以 例8（多选）．已知复数，为的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】，共轭复数，则 ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 例9（多选）．已知为虚数单位，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，互为共轭复数，，则 C．若复数满足，则的最大值为 D．若复数是实系数方程的一个根，则 【答案】BCD 【分析】根据复数的运算、共轭复数性质、复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根的特征，需逐一分析选项即可. 【详解】对于A，取反例，满足，但均不为0，故A错误； 对于B，先化简，其共轭复数， 由于的幂次周期为4，，故，故B正确； 对于C，的几何意义是复平面上对应点的轨迹为以为圆心、半径为的圆，是圆上点到原点的距离， 原点到圆心距离为，故最大值为，故C正确； 对于D，实系数方程的虚根互为共轭复数，因此另一根为， 由韦达定理：两根和为，解得；两根积为，解得 故，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数重要考点 知识点1：复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足 知识点2：复数的分类 知识点3：共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数，复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点4：复数的几何意义 1、复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 2、复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 3、复数的模 ①向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 ②复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 例1（多选）．已知复数，下列说法正确的是（   ） A．的实部为1 B．的虚部为 C． D． 例2．已知是虚数单位，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 知识点5：复数的四则运算 （1）复数的加法法则 （2）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 （3）复数的乘法法则 （4）复数代数形式的除法运算 （） 例3.（     ） A． B． C． D． 例4．已知复数，则为（   ） A． B． C．5 D． 例5．复数在复平面对应点为，则复数的虚部为（     ） A． B． C． D． 例6．若复数z满足（其中是虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 例7．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 例8（多选）．已知复数，为的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 例9（多选）．已知为虚数单位，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，互为共轭复数，，则 C．若复数满足，则的最大值为 D．若复数是实系数方程的一个根，则 学科网（北京）股份有限公司 $