期末复习讲义02 复数5大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期末复习讲义02 复数 【考点一】数系的扩充和复数的概念 【考点四】 复数的乘、除运算 【考点二】复数的几何意义 【考点五】 复数的三角表示 【考点三】复数的加、减运算及其几何意义 一、复数的概念 1. 虚数单位 核心定义：（突破实数范围，实现负数开平方）。 幂的周期性（高频考点）：周期为4，推广公式（）： 2. 复数的代数形式 标准形式：，其中 （ 为实部， 为虚部）。 关键提醒：虚部是实数，不含 （易错点：不可写成 ）。 符号表示：实部 ，虚部 。 3. 复数的分类（必考选填） 对于复数 ，分类如下： 实数：（此时 ，与实数完全等价）； 虚数：，分为两类： 纯虚数：且 （如 ）； 非纯虚数： 且 （如 ）。 简洁表示： 4. 复数相等的条件 核心公式：。 关键提醒：只有两个复数均为实数时，才能比较大小；非实数的复数不能比较大小（易错点）。 5. 共轭复数 定义：复数 的共轭复数记为 ，即 （实部不变，虚部变号）。 核心性质（高频应用）： （共轭两次回到原复数） 二、复数的几何意义 1. 复平面的概念 复平面：以横轴为实轴（表示复数的实部 ），纵轴为虚轴（表示复数的虚部 ）的平面，也叫高斯平面。 一一对应关系（核心）： 2. 复数的模（绝对值） 定义：复数 的模记为 ，公式为：。 几何意义：复平面内点 到原点 的距离；向量 的模长。 核心性质（高频考点）： （复数与其共轭复数的模相等） （积的模等于模的积） （商的模等于模的商） （核心恒等式，常用于化简、求模 3. 复平面内两点间距离 若复数 对应点 ，复数 对应点 ，则两点间距离为： 应用：求复数模的最值（转化为复平面内点到点的距离问题）。 三、复数的四则运算（高频必考） 设 ，所有运算均遵循“实部与实部运算、虚部与虚部运算”的原则。 1. 加法运算 公式：（实部相加，虚部相加）。 几何意义：对应向量的加法，遵循平行四边形法则（以 、 为邻边作平行四边形，对角线即为 ）。 2. 减法运算 公式：（实部相减，虚部相减）。 几何意义：对应向量的减法，遵循三角形法则（差向量 ）。 3. 乘法运算 公式：（类比多项式乘法，注意 ，合并同类项）。 运算律：交换律 、结合律 、分配律 均成立。 常用特例：（复数与共轭复数相乘，结果为实数，即模的平方）。 4. 除法运算（核心难点） 核心方法：分母实数化（乘以分母的共轭复数，消去分母中的虚数单位 ）。 公式： 关键步骤：分母 的共轭复数为 ，分子分母同乘后，分母化为 （实数），再化简分子即可。 四、复数的三角表示（了解性考点） 期末考查以基础认知为主，无需深入掌握复杂运算，重点掌握形式与互化。 1. 三角形式的定义 标准形式：，其中： （模，）； 为复数 的辐角，满足 （需结合点 所在象限确定 的值）。 辐角主值：规定 ，即辐角的取值范围在 内的唯一值。 2. 代数形式与三角形式的互化 代数形式 → 三角形式：先求模 ，再求辐角 ，代入三角形式即可。 三角形式 → 代数形式：展开化简，即 （实部 ，虚部 ）。 3. 三角形式的乘除运算（了解） 乘法：模相乘，辐角相加 除法：模相除，辐角相减 . 五、复数范围内解方程（高频解答题） 1. 一元二次方程（核心考点） 方程形式：。判别式与根的关系： 当 时，方程有两个不相等的实根：； 当 时，方程有两个相等的实根：； 当 时，方程有一对共轭虚根（实数范围内无解，复数范围内有解）： 关键提醒：复数范围内，一元二次方程的根满足韦达定理（根与系数的关系），即 ，。 2. 简单高次方程（了解） 重点考查：（ 为正整数）的根，即 次单位根。 根的形式（三角形式）：。 特例： 的根为 和 ； 的根为 和 。 【考点一】数系的扩充和复数的概念 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）若复数z满足，则z的虚部为（  ） A．1 B． C．i D． 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 3．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知命题p：、，使得，则命题p的否定为（    ） A．，，使得 B．、，使得 C．，，都有 D．、，都有 4．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）设为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B． C．5 D．或5 5．（24-25高一下·云南昆明·月考）已知复数为纯虚数，则实数的值为_____． 6．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数_________. 7．（24-25高一下·广西百色·期末）已知，则______. 8．（23-24高一下·河南开封·期末）已知复数，，且，则λ的取值范围是______． 9．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为虚数单位，，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值． 10．（24-25高一下·四川自贡·期末）复数z满足 (1)若复数z为实数，求m的值； (2)若复数z为纯虚数，求m的值； (3)设复数，若，求的取值范围． 11．（24-25高一下·安徽滁州·期末）欧拉公式：（是自然对数的底数，为虚数单位，），建立了指数函数和三角函数之间的关系，进而可以化成复数的代数形式. (1)根据欧拉公式将化成复数的代数形式； (2)设函数，，求的值域. 12．（23-24高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 【考点二】复数的几何意义 13．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）复数，其中为虚数单位，则（    ） A．25 B．3 C．5 D． 14．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．（24-25高一下·山东青岛·期末）在复平面中，为坐标原点，，，Z所对应的复数分别为，，，且，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（多选）（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）下列使得复数对应的点在第三象限的的值为（    ） A． B． C．0 D．1 18．（多选）（24-25高一下·广东深圳·期末）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 B．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 C．若是关于的方程的一个根，则 D．若，则的模为13 19.（24-25高一下·内蒙古·期末）________． 20．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，，则的最大值为______. 21．（24-25高一下·贵州安顺·期末）已知纯虚数z满足，则z可以是______． 22．（24-25高一下·广东广州·期末）设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________. 23.（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知复数（是虚数单位），. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 24．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数（，为虚数单位）. (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 25．（24-25高一下·河南南阳·期末）设复数和复平面内的点对应，若点的位置满足下列要求，分别求实数的取值范围. (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 26．（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数，则 (1)当实数m取什么值时，z是实数； (2)当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 【考点三】复数的加、减运算及其几何意义 27.（25-26高一上·福建厦门·期末）已知复数，则等于（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知，则复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 29．（24-25高一下·河北邯郸·期末）若复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B． C．3 D． 30．（24-25高一下·广东广州·期末）已知，，则在复平面内对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 31.（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 32.（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数满足，且，则＝______． 33．（24-25高一下·甘肃白银·期末）若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______. 34．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知，，则________． 35．（23-24高一下·吉林长春·期末）已知复数，复数满足，则的最小值为________． 36.（24-25高一下·云南·期中）已知复数，． (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 37．已知复数. (1)若，求和的值； (2) 求. 38．若定义一种运算：.已知为复数，且. (1)求复数； (2)设为实数，若为纯虚数，求的最大值. 【考点四】复数的乘、除运算 39.（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 40．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知复数满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 41．（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ）. A． B． C． D． 42．（24-25高一下·河北沧州·期末）已知复数是虚数，且是实数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43.（多选）（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的虚部为 D．若，则 44．（多选）（24-25高一下·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（    ） A．对于复数，若，则 B．若互为共轭复数，则为实数 C．若是关于的二次方程的根，则 D．复数满足，则的最小值是 45.（多选）（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知复数，的共轭复数为，复数在复平面中对应的点为M，则下列说法正确的是（    ） A．M在第一象限 B． C． D． 46.（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）若复数，则______. 47．（24-25高一下·辽宁大连·期末）若关于的方程的一个虚根的模为3，则的值为_____. 48．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知复数为方程的根，则_____. 49．（24-25高一下·福建莆田·期中）已知复数z满足，则________． 50.（24-25高一下·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 51．（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数，且是纯虚数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 52．（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知复数z的共轭复数为，在复平面内对应的点为，为虚数单位. (1)求复数z； (2)若是方程（a，）的根，求a，b的值. 53．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 【考点五】复数的三角表示 54.（23-24高一下·四川达州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 55．（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 56．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 57.（多选）（24-25高一下·云南玉溪·期末）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且若，，则（    ） A． B． C． D． 58.（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知复数，则复数的辐角 ______________. 59．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知复数，则________. 60.（23-24高一下·福建福州·期末）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义02 复数 【考点一】数系的扩充和复数的概念 【考点四】 复数的乘、除运算 【考点二】复数的几何意义 【考点五】 复数的三角表示 【考点三】复数的加、减运算及其几何意义 一、复数的概念 1. 虚数单位 核心定义：（突破实数范围，实现负数开平方）。 幂的周期性（高频考点）：周期为4，推广公式（）： 2. 复数的代数形式 标准形式：，其中 （ 为实部， 为虚部）。 关键提醒：虚部是实数，不含 （易错点：不可写成 ）。 符号表示：实部 ，虚部 。 3. 复数的分类（必考选填） 对于复数 ，分类如下： 实数：（此时 ，与实数完全等价）； 虚数：，分为两类： 纯虚数：且 （如 ）； 非纯虚数： 且 （如 ）。 简洁表示： 4. 复数相等的条件 核心公式：。 关键提醒：只有两个复数均为实数时，才能比较大小；非实数的复数不能比较大小（易错点）。 5. 共轭复数 定义：复数 的共轭复数记为 ，即 （实部不变，虚部变号）。 核心性质（高频应用）： （共轭两次回到原复数） 二、复数的几何意义 1. 复平面的概念 复平面：以横轴为实轴（表示复数的实部 ），纵轴为虚轴（表示复数的虚部 ）的平面，也叫高斯平面。 一一对应关系（核心）： 2. 复数的模（绝对值） 定义：复数 的模记为 ，公式为：。 几何意义：复平面内点 到原点 的距离；向量 的模长。 核心性质（高频考点）： （复数与其共轭复数的模相等） （积的模等于模的积） （商的模等于模的商） （核心恒等式，常用于化简、求模 3. 复平面内两点间距离 若复数 对应点 ，复数 对应点 ，则两点间距离为： 应用：求复数模的最值（转化为复平面内点到点的距离问题）。 三、复数的四则运算（高频必考） 设 ，所有运算均遵循“实部与实部运算、虚部与虚部运算”的原则。 1. 加法运算 公式：（实部相加，虚部相加）。 几何意义：对应向量的加法，遵循平行四边形法则（以 、 为邻边作平行四边形，对角线即为 ）。 2. 减法运算 公式：（实部相减，虚部相减）。 几何意义：对应向量的减法，遵循三角形法则（差向量 ）。 3. 乘法运算 公式：（类比多项式乘法，注意 ，合并同类项）。 运算律：交换律 、结合律 、分配律 均成立。 常用特例：（复数与共轭复数相乘，结果为实数，即模的平方）。 4. 除法运算（核心难点） 核心方法：分母实数化（乘以分母的共轭复数，消去分母中的虚数单位 ）。 公式： 关键步骤：分母 的共轭复数为 ，分子分母同乘后，分母化为 （实数），再化简分子即可。 四、复数的三角表示（了解性考点） 期末考查以基础认知为主，无需深入掌握复杂运算，重点掌握形式与互化。 1. 三角形式的定义 标准形式：，其中： （模，）； 为复数 的辐角，满足 （需结合点 所在象限确定 的值）。 辐角主值：规定 ，即辐角的取值范围在 内的唯一值。 2. 代数形式与三角形式的互化 代数形式 → 三角形式：先求模 ，再求辐角 ，代入三角形式即可。 三角形式 → 代数形式：展开化简，即 （实部 ，虚部 ）。 3. 三角形式的乘除运算（了解） 乘法：模相乘，辐角相加 除法：模相除，辐角相减 . 五、复数范围内解方程（高频解答题） 1. 一元二次方程（核心考点） 方程形式：。判别式与根的关系： 当 时，方程有两个不相等的实根：； 当 时，方程有两个相等的实根：； 当 时，方程有一对共轭虚根（实数范围内无解，复数范围内有解）： 关键提醒：复数范围内，一元二次方程的根满足韦达定理（根与系数的关系），即 ，。 2. 简单高次方程（了解） 重点考查：（ 为正整数）的根，即 次单位根。 根的形式（三角形式）：。 特例： 的根为 和 ； 的根为 和 。 【考点一】数系的扩充和复数的概念 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）若复数z满足，则z的虚部为（  ） A．1 B． C．i D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得复数z的虚部为. 故选：B. 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】若复数(是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：A 3．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知命题p：、，使得，则命题p的否定为（    ） A．，，使得 B．、，使得 C．，，都有 D．、，都有 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】将“∃”与“∀”互换，“＝”与“≠”互换， 可得否定命题为：、，都有. 故选：D． 4．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）设为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B． C．5 D．或5 【答案】C 【分析】由纯虚数的概念，建立方程与不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：C. 5．（24-25高一下·云南昆明·月考）已知复数为纯虚数，则实数的值为_____． 【答案】 【分析】根据纯虚数的定义列式计算即可. 【详解】由题可得． 故答案为：． 6．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数_________. 【答案】3 【分析】根据纯虚数的特征列出不等式组，求解即得. 【详解】因是纯虚数， 可得，解得. 故答案为：3. 7．（24-25高一下·广西百色·期末）已知，则______. 【答案】3 【分析】根据复数相等的定义列式求解即可. 【详解】因为， 则，解得. 故答案为：3. 8．（23-24高一下·河南开封·期末）已知复数，，且，则λ的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用复数相等建立关系，再消去并结合二次函数求出范围即得. 【详解】由，得， 消去并整理得， 显然，当时，，当时，， 所以λ的取值范围是. 故答案为： 9．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为虚数单位，，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值． 【答案】(1)1或3 (2)5 【分析】（1）由是实数，则解出即可； （2）由是纯虚数，则，解出即可. 【详解】（1）若是实数，则有，解得或； （2）若是纯虚数，则有. 10．（24-25高一下·四川自贡·期末）复数z满足 (1)若复数z为实数，求m的值； (2)若复数z为纯虚数，求m的值； (3)设复数，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由复数z为实数，则虚部为0可解； （2）由复数z为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0； （3）由复数相等的条件，可得，然后利用二次函数性质求值域即可. 【详解】（1）复数z为实数，所以. （2）复数z为纯虚数， 所以，解得. （3）， ， 即， 又，所以时，，时，， 所以的取值范围为. 11．（24-25高一下·安徽滁州·期末）欧拉公式：（是自然对数的底数，为虚数单位，），建立了指数函数和三角函数之间的关系，进而可以化成复数的代数形式. (1)根据欧拉公式将化成复数的代数形式； (2)设函数，，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据欧拉公式，代入求解即可； （2）变形得到，并得到，从而得到的最值，求出值域. 【详解】（1）根据欧拉公式，可得； （2） ， ∵，，. 当，即时，； 当，即时，； 所以的值域为. 12．（23-24高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 【答案】(1) (2)或 (3)且 【分析】（1）根据复数为实数的条件，列方程和不等式组m的值； （2）根据复数为纯虚数的条件，列方程和不等式求m的值； （3）根据复数为虚数的条件，列不等式组求m的值即可. 【详解】（1）当且时，复数为实数，解得， 所以时，复数为实数； （2）当且且时，复数为纯虚数， 解得或， 所以或时，复数为纯虚数； （3）当且时，复数为虚数，解得且， 所以且时，复数为虚数. 【考点二】复数的几何意义 13．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）复数，其中为虚数单位，则（    ） A．25 B．3 C．5 D． 【答案】C 【分析】根据复数模的计算公式计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：C. 14．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由复数的几何意义求解即可. 【详解】由，得， 所以复数在复平面内对应的点到点的距离恒等于1， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以的最小值为圆心到原点的距离减去半径， 即. 故选：B. 15．（24-25高一下·山东青岛·期末）在复平面中，为坐标原点，，，Z所对应的复数分别为，，，且，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可设，与相交于点，则，利用三点共线可得即可求解. 【详解】设，与相交于点， 又，所以， 则，又三点共线， 所以，则， 所以，即的面积为. 故选：B. 16．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义得到不等式组，求解即可． 【详解】由， 则在复平面内对应的点为，且位于第一象限， 所以，解得， 所以的取值范围为． 故选：A． 17．（多选）（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）下列使得复数对应的点在第三象限的的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】AB 【分析】由复数的几何意义求出实数的取值范围对比选项即可得解. 【详解】若复数对应的点在第三象限，则，解得， 对比选项可知，只有AB符合题意. 故选：AB. 18．（多选）（24-25高一下·广东深圳·期末）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 B．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 C．若是关于的方程的一个根，则 D．若，则的模为13 【答案】BC 【分析】本题根据复数的模长，复数的几何意义以及根与系数的关系即可求解. 【详解】A选项，因为点的坐标为，则对应的点为，所以在第四象限，故A选项错误； B选项，，则依据复数模长的几何意义可知，表示一个圆环，面积为，故B选项正确； C选项，是关于的方程的一个根， 则，即， 整理得，解得，所以，故C选项正确； D选项，，则，故D选项错误； 故选：BC. 19.（24-25高一下·内蒙古·期末）________． 【答案】 【分析】根据复数模的定义计算即得. 【详解】． 故答案为：. 20．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，，则的最大值为______. 【答案】7 【分析】由复数的模、几何意义将转换为关于的三角函数即可求解. 【详解】因为，所以设， 而，从而 ， 其中，等号成立当且仅当， 所以的最大值为7. 故答案为：7. 21．（24-25高一下·贵州安顺·期末）已知纯虚数z满足，则z可以是______． 【答案】（答也可以） 【分析】利用先设纯虚数，代入求模，即可求得参数，从而得解. 【详解】设纯虚数，，， 由于，所以或， 即或， 故答案为：（也可以答） 22．（24-25高一下·广东广州·期末）设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义确定图形，进而求出面积. 【详解】由，则在复平面内点Z构成的图形是以原点为圆心， 分别以1和为半径的两个圆构成的圆环， 所以所求面积为. 故答案为： 23.（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知复数（是虚数单位），. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合纯虚数的定义，通过复数化简后的实部和虚部建立方程与不等式求解； （2）根据复平面第四象限点的坐标特征，列不等式组求解取值范围. 【详解】（1）， 若是纯虚数，则实部为0且虚部不为0，即 且 ，解得. （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0且虚部小于0， 即 ，，解得，即. 24．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数（，为虚数单位）. (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据纯虚数定义求参数，进而求复数的模长； （2）由第一象限得，即可求范围. 【详解】（1）复数是纯虚数， ，解得，则，故. （2）若在复平面内对应的点位于第一象限， 则，解得，则的取值范围为. 25．（24-25高一下·河南南阳·期末）设复数和复平面内的点对应，若点的位置满足下列要求，分别求实数的取值范围. (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合复数的几何意义，建立方程，求解参数即可. （2）根据题意，结合对应点所在的位置，建立不等式求解参数范围即可. 【详解】（1）因为复数和复平面内的点Z对应， 且复数在虚轴上，则满足，所以解得. （2）因为复数和复平面内的点Z对应， 且复数在第三象限，则满足，所以解得. 26．（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数，则 (1)当实数m取什么值时，z是实数； (2)当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据复数的类型得到方程和不等式，求出答案； （2）根据所在象限得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）由题意得且，解得； （2）由题意得，解得， 故当时，z在复平面内对应的点在第二象限. 【考点三】复数的加、减运算及其几何意义 27.（25-26高一上·福建厦门·期末）已知复数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的加法运算法则求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：B 28．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知，则复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据复数的减法运算求出复数，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面对应的点为，位于第四象限． 故选：D. 29．（24-25高一下·河北邯郸·期末）若复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】借助复数运算法则计算即可得. 【详解】由，则， 则复数的虚部为. 故选：C. 30．（24-25高一下·广东广州·期末）已知，，则在复平面内对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的加法运算和复数的几何意义即可得到判断. 【详解】已知，，则, 所以在复平面内对应的点是，即该点位于第四象限， 故选：D 31.（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数加法运算法则求解. 【详解】由，， 则， 故选：D 32.（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数满足，且，则＝______． 【答案】 【分析】先设根据给定条件，结合复数相等和复数模公式计算作答. 【详解】设， 又，所以， 又，所以， 所以， 所以， 所以 ． 故答案为：. 33．（24-25高一下·甘肃白银·期末）若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______. 【答案】1+i 【分析】，代入条件求解即可. 【详解】由已知. 故答案为： 34．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知，，则________． 【答案】 【分析】先根据复数的加法计算复数，再根据求模公式计算得到答案； 【详解】， 故答案为：. 35．（23-24高一下·吉林长春·期末）已知复数，复数满足，则的最小值为________． 【答案】2 【分析】设，代入中化简可得，则点在以为圆心，3为半径的圆上，从而可求得结果. 【详解】设，因为，， 所以， 所以， 所以点在以为圆心，3为半径的圆上， 所以的最小值为. 故答案为：2 36.（24-25高一下·云南·期中）已知复数，． (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据纯虚数的定义列方程求出，再利用复数的模长公式计算即可； （2）根据复数的几何意义列不等式组，求解即可. 【详解】（1）因为是纯虚数，所以，解得， 则，所以，故． （2）由题意可得，解得， 所以的取值范围为． 37．已知复数. (1)若，求和的值； (2) 求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的相等，可得答案； （2）根据复数的加减运算法则，可得答案. 【详解】（1）因为复数， 故由可得； （2）由于，故. 38．若定义一种运算：.已知为复数，且. (1)求复数； (2)设为实数，若为纯虚数，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，可求，由条件可得，解得，的值，即可得到的值； （2）由题意可求为纯虚数，根据实部为0，虚部不为0即可求解的表达式，根据三角恒等变换以及三角函数的性质即刻求解最值． 【详解】（1）设复数,，是虚数单位），则， 因为， 解得，， 可得． （2）， 由题意可得， 当时，取最大值 【考点四】复数的乘、除运算 39.（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为，所以 40．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知复数满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由复数的除法运算得，再计算即可． 【详解】根据题意，， ． 故选：A． 41．（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求根公式求出，由为纯虚数求出，确定. 【详解】由已知，因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 所以， 因为为纯虚数，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 42．（24-25高一下·河北沧州·期末）已知复数是虚数，且是实数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是实数，可得，则，然后由a的范围可得答案. 【详解】因为是虚数，则， 所以． 因为是实数，所以，解得或． 因为，所以， 则． 因为，且，所以，所以， 所以，则， 即的取值范围是． 故选：D 43.（多选）（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的虚部为 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据复数的相关概念及除法运算即可逐项判断. 【详解】对于A，由纯虚数不能比较大小，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，若，则的虚部为，故C正确； 对于D，，则，故D错误. 故选：BC. 44．（多选）（24-25高一下·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（    ） A．对于复数，若，则 B．若互为共轭复数，则为实数 C．若是关于的二次方程的根，则 D．复数满足，则的最小值是 【答案】BC 【分析】对于A，通过举特例可判断选项正误；对于B，由共轭复数概念可判断选项正误；对于C，将代入方程结合复数相等定义可判断选项正误；对于D，设，由题可得，然后由三角变换可得最小值. 【详解】对于A，取，，可得，，故A错误； 对于B，因互为共轭复数，设，则，从而为实数，故B正确； 对于C，将代入方程可得，则，故C正确； 对于D，设，则，令，. 则 ，当且仅当，即时取等号，故D错误. 故选：BC 45.（多选）（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知复数，的共轭复数为，复数在复平面中对应的点为M，则下列说法正确的是（    ） A．M在第一象限 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据已知复数，写出对应点坐标和共轭复数，再应用复数加法、乘法等运算依次判断各项的正误. 【详解】由，对应点为在第一象限，且， 所以，，， 所以A、D对，B、C错. 故选：AD 46.（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）若复数，则______. 【答案】 【分析】利用复数的乘方运算及乘法运算求出，进而求出. 【详解】复数，所以. 故答案为： 47．（24-25高一下·辽宁大连·期末）若关于的方程的一个虚根的模为3，则的值为_____. 【答案】9 【分析】求出方程的根，再利用复数模的意义列式求出. 【详解】由方程，得，依题意，，解得， 由，所以. 故答案为：9 48．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知复数为方程的根，则_____. 【答案】 【分析】设复数，代入方程中，根据复数的运算及复数相等概念列方程组解的值，从而可得复数. 【详解】设复数，若复数是方程的根， 则，整理得 所以， 若，则，，则在实数范围内无解，不符合题意， 故，从而解得， 所以复数， 故答案为：. 49．（24-25高一下·福建莆田·期中）已知复数z满足，则________． 【答案】 【分析】先根据复数的除法运算求解，再根据共轭复数定义及模长公式求出模长. 【详解】复数z满足， 则，所以 则． 故答案为：. 50.（24-25高一下·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值； （2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值. 【详解】（1）因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或. 当时，    ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； （2）当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数. 所以由韦达定理可得， 解得. 51．（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数，且是纯虚数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据复数的除法及乘法计算，再应用纯虚数的概念计算求参； （2）根据共轭复数及加法计算，最后根据点在第四象限，列出不等式计算求参. 【详解】（1）因为， 所以， 由是纯虚数，得， 解得， 所以； （2）由（1）知 所以 因为在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是. 52．（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知复数z的共轭复数为，在复平面内对应的点为，为虚数单位. (1)求复数z； (2)若是方程（a，）的根，求a，b的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意求出复数为即可求复数z； （2）由方程的两复数根结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）由题可得，所以； （2）由（1）可得是方程（a，）的根， 则是方程的另一复数根， 所以，即. 53．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z； （2）代入可得，求得，进而得到答案； （3）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可. 【详解】（1）设，则为实数，所以. 为实数，所以， 所以. （2）因为复数是方程的一个解， 代入可得， 整理可得，解得，， 所以. （3）， 由在第四象限，得， 解得或， 故的取值范围为. 【考点五】复数的三角表示 54.（23-24高一下·四川达州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，配方得，进而得，，解得，结合即可． 【详解】由题知，，即， ， ，又时，， ，即， ， 得，即， ． 故选：D． 55．（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转后对应的复数为. 【详解】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A. 56．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【详解】， 所以辐角的主值为. 故选：A 57.（多选）（24-25高一下·云南玉溪·期末）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据所给公式逐一验算各个选项即可得解. 【详解】由题可得，，，， 故选：ABD． 58.（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知复数，则复数的辐角 ______________. 【答案】 【分析】根据复数的运算先计算复数，进而得，再转化为三角形式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 所以， 所以， 故答案为：. 59．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知复数，则________. 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用复数乘法的三角表示求出，进而求出模. 【详解】复数， 所以. 故答案为：1 60.（23-24高一下·福建福州·期末）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数有界性即可求解. 【详解】（1）设， ，，， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， （3），设， 则， ，， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $