期末复习专题07 立体几何概念、斜二测画法与几何体的表面积、体积【7大题型+强化训练】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题07 立体几何概念、斜二测画法与几何体的表面积、体积 知识点1：空间几何体的定义及分类 1．空间几何体：如果只考虑物体的 形状 和 大小 ，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的 空间图形 就叫做空间几何体． 2．空间几何体的分类 类别 定义 图示 多面体 一般地，由若干个 平面多边形 围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个 多边形 叫做多面体的面；两个面的 公共边 叫做多面体的棱； 棱与棱 的公共点叫做多面体的顶点 旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的 一条定直线 旋转所形成的 曲面 叫做旋转面，封闭 的旋转面围成的几何体叫做旋转体． 这条定直线 叫做旋转体的轴 【注意】多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱． 知识点2：棱柱的结构特征 1．棱柱的结构特征 棱柱 图形及表示 定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′ 2．棱柱的分类 (1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)按侧棱是否与底面垂直： 侧棱垂直于底面的棱柱叫做 直棱柱 (如图①③)； 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做 斜棱柱 (如图②④)；底面是正多边形的直棱柱叫做 正棱柱 (如图③)； 底面是平行四边形的四棱柱也叫做 平行六面体 (如图④)． 【注意】常见的几种四棱柱之间的转化关系： 知识点3：棱锥、棱台的结构特征 1．棱锥的结构特征 定义 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 图示及相关概念 如图可记作： 棱锥 S-ABCD 底面： 多边形 面； 侧面：有公共顶点的各个 三角形面 ； 侧棱：相邻侧面的 公共边 ； 顶点：各侧面的 公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥，四棱锥，五棱锥……其中三棱锥又叫四面体．底面是 正多边形 ，并且顶点与底面中心的连 线垂直 于底面的棱锥叫做正棱锥 2．棱台的结构特征 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 图示及相关概念 如图可记作：棱台 ABCD-A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面以外的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 由几棱锥截得的棱台叫做几棱台，如三棱台、四棱台…… 知识点4：旋转体的结构特征 结构特征 图形 表示 圆柱 以 矩形的一边所在直线 为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作 圆柱O′O 圆锥 以 直角三角形的一条直角边 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作 圆锥SO 圆台 用平行于 圆锥底面 的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作 圆台O′O 球 半圆以它的 直径所在直线 为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 球常用表示球心的字母来表示，如图中的球可记作 球O 知识点5：斜二测画法 1．直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形． 2．斜二测画法 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的 平行投影 画法． 3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 【注意】 1．斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出． 2．斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变． 空间几何体的直观图的画法 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个 z 轴，直观图中与之对应的是 z′ 轴． (2)画底面： O′x′y′平面 表示水平平面，O′y′z′平面 和 O′x′z′平面 表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图． (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线 ． (5)直观图与原图形面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′， 则有S′＝ S或S＝ 2 S′． 知识点6：棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 知识点7：棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的 底面积 ，h为棱柱的 高 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的 底面积 ，h为棱锥的 高 棱台 V棱台＝h· S′，S分别为棱台的 上、下底面面积 ，h为棱台的 高 知识点8：简单组合体的表面积与体积 图形 表面积公式 圆柱 底面积：S底＝ 2πr2 ； 侧面积：S侧＝ 2πrl ； 表面积：S＝ 2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝ πr2 ； 侧面积：S侧＝ πrl ； 表面积：S＝ πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝ πr′2 ； 下底面面积：S下底＝ πr2 ； 侧面积：S侧＝ π(r′l＋rl) ； 表面积：S＝ π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 知识点9：圆柱、圆锥、圆台的体积 (1)V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (2)V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (3)V圆台＝πh(r2＋r′r＋r′2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)． 考点一 基本立体图形的概念 考点二 直观图中长度与面积问题 考点三 棱柱、棱锥、棱台的表面积 考点四 棱柱、棱锥、棱台的体积 考点五 圆柱、圆锥、圆台的表面积 考点六 圆柱、圆锥、圆台的体积 考点七 组合体的体积与表面积 考点一 基本立体图形的概念 1．（25-26高一下·重庆·期中）（多选）下列结论正确的是（   ） A．圆锥的轴截面是等边三角形 B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C．用一个平面去截三棱锥，必得到一个三棱锥和一个三棱台 D．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 2．（25-26高一下·四川绵阳·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．平行六面体的各个面都是平行四边形 B．圆柱的侧面展开图是一个正方形 C．将棱台的侧棱延长后必交于一点 D．将直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周形成的旋转体是圆锥 3．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列命题正确的是（   ） A．过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆 B．球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径 C．用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 4．（25-26高二·全国·暑假作业）下列命题正确的是_________．（填序号） ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥； ④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球面； ⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． 考点二 直观图中长度与面积问题 5．（25-26高一下·贵州黔西南·期中）如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·贵州贵阳·期中）如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图所示的是水平放置的的斜二测画法的直观图，已知，，则在中，_________． 8．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）（多选）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（     ） A．是钝角三角形 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 考点三 棱柱、棱锥、棱台的表面积 9．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）（多选）两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1，1，，将它们拼成一个新的棱柱，则这个新棱柱的表面积可以是（    ） A．12 B． C．10 D． 10．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 11．（25-26高一下·山西·阶段检测）在四面体中，，则该四面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·福建漳州·期中）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 考点四 棱柱、棱锥、棱台的体积 13．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，M为PC上一点且=，则平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为____. 14．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，，， 则该组合体的体积为_______________； 15．（25-26高一下·山东济宁·期中）正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（   ） A． B． C．28 D．56 16．（25-26高一下·天津武清·期中）如图，在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______． 考点五 圆柱、圆锥、圆台的表面积 17．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱. (1)求圆锥的表面积与体积； (2)设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少. 18．（25-26高一下·重庆·期中）如图，梯形中，，现将该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·山东德州·三模）圆锥的底面直径和高均是，从圆锥的底面挖去一个圆柱，该圆柱的上底面为过中点作的平行于底面的截面，剩下几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一下·重庆·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且．    (1)求原平面图形的面积； (2)将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积． 考点六 圆柱、圆锥、圆台的体积 21．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 23．（2026·陕西咸阳·模拟预测）圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________． 24．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积和体积为（ ） A．， B．， C．， D．， 考点七 组合体的体积与表面积 25．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕旋转一周所成几何体的体积． 26．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）如图，已知等腰梯形的上底，下底，底角，现绕腰所在的直线旋转一周，求所得的旋转体的体积． 27．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）下图是正三棱柱和正四棱台的组合体.已知正四棱台的侧棱、下底的长度分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为，则该组合体的表面积为_____. 28．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，以菱形ABCD的一边AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，已知，.求该几何体的表面积. 1．（2026高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（   ） A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体 B．圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的 C．用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台 D．棱台的所有侧棱所在直线交于同一点 3．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，为平面四边形用斜二测画法作出的直观图，其中，，，则四边形的面积为（   ）．    A． B． C．5 D． 4．（2026·山东泰安·模拟预测）某数学课外兴趣小组，制造了一个模型，该模型由两部分构成，上面部分是一个圆台，其上底的直径是下底直径的2倍，下面部分是一个共底的圆柱，且圆柱的高是圆台高的3倍．若圆台的母线长为12，且与底面所成的角为60°，则该模型的容积是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河南开封·模拟预测）已知圆台的上底面半径为，母线长为，表面积为，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·福建龙岩·期中）（多选）如图，下图是边长为2的正三角形ABC的直观图，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的面积 9．（25-26高三上·贵州·期中）（多选）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ）    A． B． C． D． 10．（24-25高一下·山东青岛·期末）（多选）已知正四棱台的上、下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台（    ）． A．上底面边长 B．下底面边长 C．高为2 D．体积为 11．（24-25高一下·山东泰安·期中）（多选）如图，四边形是直角梯形，，，且，.以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体.则（   ） A．该几何体是由圆锥和圆柱组合而成的 B．该几何体的体积是 C．该几何体的侧面积是 D．若，分别是边，的中点，从该几何体中将四边形旋转而成的几何体挖去，则减少的体积为 12．（2026·河南·模拟预测）若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为2，则其体积为__________． 13．（25-26高一下·广东广州·期中）若正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是3，则它的表面积为________. 14．（2026·浙江金华·三模）已知一个圆台的轴截面为梯形，若，则该圆台的侧面积为______． 15．（25-26高一下·河北石家庄·期中）某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的表面积为________． 16．（2026·浙江·三模）设圆台的上下底面半径分别为和，母线长为，圆台的侧面积等于上下底面的面积之和，当取到最小值时，____________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 立体几何概念、斜二测画法与几何体的表面积、体积 知识点1：空间几何体的定义及分类 1．空间几何体：如果只考虑物体的 形状 和 大小 ，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的 空间图形 就叫做空间几何体． 2．空间几何体的分类 类别 定义 图示 多面体 一般地，由若干个 平面多边形 围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个 多边形 叫做多面体的面；两个面的 公共边 叫做多面体的棱； 棱与棱 的公共点叫做多面体的顶点 旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的 一条定直线 旋转所形成的 曲面 叫做旋转面，封闭 的旋转面围成的几何体叫做旋转体． 这条定直线 叫做旋转体的轴 【注意】多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱． 知识点2：棱柱的结构特征 1．棱柱的结构特征 棱柱 图形及表示 定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′ 2．棱柱的分类 (1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)按侧棱是否与底面垂直： 侧棱垂直于底面的棱柱叫做 直棱柱 (如图①③)； 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做 斜棱柱 (如图②④)；底面是正多边形的直棱柱叫做 正棱柱 (如图③)； 底面是平行四边形的四棱柱也叫做 平行六面体 (如图④)． 【注意】常见的几种四棱柱之间的转化关系： 知识点3：棱锥、棱台的结构特征 1．棱锥的结构特征 定义 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 图示及相关概念 如图可记作： 棱锥 S-ABCD 底面： 多边形 面； 侧面：有公共顶点的各个 三角形面 ； 侧棱：相邻侧面的 公共边 ； 顶点：各侧面的 公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥，四棱锥，五棱锥……其中三棱锥又叫四面体．底面是 正多边形 ，并且顶点与底面中心的连 线垂直 于底面的棱锥叫做正棱锥 2．棱台的结构特征 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 图示及相关概念 如图可记作：棱台 ABCD-A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面以外的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 由几棱锥截得的棱台叫做几棱台，如三棱台、四棱台…… 知识点4：旋转体的结构特征 结构特征 图形 表示 圆柱 以 矩形的一边所在直线 为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作 圆柱O′O 圆锥 以 直角三角形的一条直角边 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作 圆锥SO 圆台 用平行于 圆锥底面 的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作 圆台O′O 球 半圆以它的 直径所在直线 为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 球常用表示球心的字母来表示，如图中的球可记作 球O 知识点5：斜二测画法 1．直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形． 2．斜二测画法 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的 平行投影 画法． 3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 【注意】 1．斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出． 2．斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变． 空间几何体的直观图的画法 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个 z 轴，直观图中与之对应的是 z′ 轴． (2)画底面： O′x′y′平面 表示水平平面，O′y′z′平面 和 O′x′z′平面 表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图． (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线 ． (5)直观图与原图形面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′， 则有S′＝ S或S＝ 2 S′． 知识点6：棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 知识点7：棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的 底面积 ，h为棱柱的 高 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的 底面积 ，h为棱锥的 高 棱台 V棱台＝h· S′，S分别为棱台的 上、下底面面积 ，h为棱台的 高 知识点8：简单组合体的表面积与体积 图形 表面积公式 圆柱 底面积：S底＝ 2πr2 ； 侧面积：S侧＝ 2πrl ； 表面积：S＝ 2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝ πr2 ； 侧面积：S侧＝ πrl ； 表面积：S＝ πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝ πr′2 ； 下底面面积：S下底＝ πr2 ； 侧面积：S侧＝ π(r′l＋rl) ； 表面积：S＝ π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 知识点9：圆柱、圆锥、圆台的体积 (1)V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (2)V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (3)V圆台＝πh(r2＋r′r＋r′2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)． 考点一 基本立体图形的概念 考点二 直观图中长度与面积问题 考点三 棱柱、棱锥、棱台的表面积 考点四 棱柱、棱锥、棱台的体积 考点五 圆柱、圆锥、圆台的表面积 考点六 圆柱、圆锥、圆台的体积 考点七 组合体的体积与表面积 考点一 基本立体图形的概念 1．（25-26高一下·重庆·期中）（多选）下列结论正确的是（   ） A．圆锥的轴截面是等边三角形 B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C．用一个平面去截三棱锥，必得到一个三棱锥和一个三棱台 D．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 【答案】BD 【分析】由圆锥的轴截面是等腰三角形，可判断A;由长方体和直四棱柱的定义判断B；由用一个平行于底的平面去截三棱锥，才得到一个三棱锥和一个三棱台，从而判断C；由四棱柱、四棱台、五棱锥和六面体的定义判断D. 【详解】对于A，圆锥的轴截面中有两边都是母线，相等，故轴截面是等腰三角形，但底面直径不一定等于母线，故不一定为等边三角形，故A错误； 对于B，长方体是直四棱柱，直四棱柱的底面不一定是矩形， 所以直四棱柱不一定是长方体，故B正确； 对于C，用一个平行于底的平面去截三棱锥，才得到一个三棱锥和一个三棱台，故C错误； 对于D，四棱柱、四棱台、五棱锥都有六个面，所以都是六面体，故D正确. 2．（25-26高一下·四川绵阳·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．平行六面体的各个面都是平行四边形 B．圆柱的侧面展开图是一个正方形 C．将棱台的侧棱延长后必交于一点 D．将直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周形成的旋转体是圆锥 【答案】AC 【分析】根据平行六面体、棱台、圆锥的概念判断ACD；根据圆柱展开图的特征判断B. 【详解】平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，各个面都是平行四边形，A正确； 圆柱的侧面展开图是一个矩形，只有当底面周长和高相等时才是正方形，B错误； 棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是棱台，因此延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，C正确； 将直角三角形绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体不是圆锥，是两个共底面的圆锥，D错误. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列命题正确的是（   ） A．过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆 B．球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径 C．用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 【答案】BCD 【详解】当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故A错； 球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径，B正确； 用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面，C正确； 根据球的半径的定义可知D正确． 4．（25-26高二·全国·暑假作业）下列命题正确的是_________．（填序号） ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥； ④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球面； ⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． 【答案】③④⑤ 【详解】①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台，错误；②它们的底面为圆面错误；③④⑤正确． 考点二 直观图中长度与面积问题 5．（25-26高一下·贵州黔西南·期中）如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法即可得解. 【详解】因为是用斜二测画法得到的直观图， 且其中， ， 所以 ， 所以中，， ， 所以． 6．（25-26高一下·贵州贵阳·期中）如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案. 【详解】过作，垂足为，如下图： 由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图： 易知，，， 所以原梯形面积为. 7．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图所示的是水平放置的的斜二测画法的直观图，已知，，则在中，_________． 【答案】 【详解】，，取中点，连结，则， ， ， ， 把直观图还原成平面图形如下： ， ． 8．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）（多选）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（     ） A．是钝角三角形 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 【答案】BC 【详解】作出如图所示，由图可得是等腰直角三角形，A错误； ，，所以的周长为，B正确； 的面积为，C正确；的面积为，D错误． 考点三 棱柱、棱锥、棱台的表面积 9．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）（多选）两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1，1，，将它们拼成一个新的棱柱，则这个新棱柱的表面积可以是（    ） A．12 B． C．10 D． 【答案】BCD 【分析】根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解. 【详解】记两直三棱柱为直三棱柱和直三棱柱，如图所示： 当拼成三棱柱时有三种情况， 第一种情况： 表面积为； 第二种情况： 表面积为； 第三种情况： 表面积为. 故B，C，D正确，A错误. 10．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 【答案】AC 【分析】根据正三棱台的结构特征和表面积公式进行计算求解即可. 【详解】对于选项A： 因为正三棱台的上底面为正三角形，其边长为2， 所以上底面面积为，所以A正确； 对于选项B： 正三棱台的侧面为等腰梯形，所以侧面积为： ，所以B错误； 对于选项C： 该正三棱台的下底面面积为. 所以该正三棱台的表面积为，所以C正确； 对于选项D： 设为正三棱台的高，根据勾股定理可得， 解得，所以D错误. 故选：AC. 11．（25-26高一下·山西·阶段检测）在四面体中，，则该四面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用三角形面积公式及余弦定理计算求解，最后结合同角三角函数关系及面积公式计算求值. 【详解】记，，，的面积分别为， 则，， ， 而由余弦定理得，故，而显然， 由勾股定理得， 于是， 由得， 故， 故四面体的表面积． 12．（25-26高一下·福建漳州·期中）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得该三棱锥的表面积由四个全等的等边三角形构成，求其面积之和即可. 【详解】因为正三棱锥的所有棱长均为，所以每个面均为等边三角形，其面积为， 所以三棱锥的表面积为. 考点四 棱柱、棱锥、棱台的体积 13．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，M为PC上一点且=，则平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为____. 【答案】/ 【分析】设四棱锥的总体积为，利用同高不同底的棱锥体积比等于对应底边长（底面积）的比，结合已知比例，分割几何体计算出平面上方（含顶点）部分的体积，即可求得上下两部分的体积之比. 【详解】设四棱锥P-ABCD的体积为V，在PD上取一点N，使，连接MN，AN，BD，BN， 如图.因为，所以且，又，所以， 则，所以A，B，M，N四点共面，即为截面. 又，其中， ，所以， 即截面截四棱锥所得的上半部分的体积为，则下半部分的体积为， 所以平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为. 14．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，，， 则该组合体的体积为_______________； 【答案】/ 【分析】根据题意，利用锥体和柱体的体积公式，列式计算，即可求解. 【详解】因为该组合体的上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体， 正四棱锥的高为1， 且， 所以该组合体的体积为：. 15．（25-26高一下·山东济宁·期中）正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（   ） A． B． C．28 D．56 【答案】A 【分析】将正四棱台补成正四棱锥，根据长度比例关系结合锥体的体积运算求解即可. 【详解】将正四棱台补成正四棱锥，O为底面中心，如图所示， 则，，可得，， 所以该棱台的体积是. 16．（25-26高一下·天津武清·期中）如图，在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______． 【答案】# 【详解】因为分别为的中点，则 所以，则. 考点五 圆柱、圆锥、圆台的表面积 17．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱. (1)求圆锥的表面积与体积； (2)设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可； （2）根据相似计算出圆柱的高，再写出表面积公式再结合二次函数得出最大值. 【详解】（1）如图：圆锥的母线； ； （2）记圆柱的表面积为，圆柱高为，则. ，即， 解得，其中； 所以， 当时，. 18．（25-26高一下·重庆·期中）如图，梯形中，，现将该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体为圆台，圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，母线长为，再结合圆台的表面积公式计算即可. 【详解】因为梯形中，， 所以，， 将该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体为圆台， 圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，母线长为， 所以该圆台的表面积为， 即旋转形成的几何体的表面积为 19．（2026·山东德州·三模）圆锥的底面直径和高均是，从圆锥的底面挖去一个圆柱，该圆柱的上底面为过中点作的平行于底面的截面，剩下几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出相应图形后，可得剩下几何体的表面积为圆锥侧面积、圆锥底面积、圆柱侧面积总和，分别计算各面积即可得. 【详解】由题意可画图如下： 底面直径​，故底面半径​​，高， 过的中点作平行于底面的截面，该截面半径为， 由相似三角形性质，有，所以， 以该截面为底面挖去一个圆柱，圆柱的高， 圆锥的母线长； 则； ； ； 故. 20．（25-26高一下·重庆·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且．    (1)求原平面图形的面积； (2)将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜二测画法的规则还原平面图形，得到原图形为直角梯形，利用梯形面积公式求解. （2）旋转体的结构特征：该几何体为一个圆柱内部挖去一个同底的圆锥，分别计算圆柱底面积和侧面积、挖去的圆锥侧面积，这些面积之和即为所求. 【详解】（1）如图所示，由斜二测的画法规则，得到原图形为直角梯形且，， ，，. 所以，.    （2）将原平面图形绕旋转一周，所形成的几何体为一个圆柱内部挖去一个同底的圆锥，如图所示： 圆柱的底面半径为3，母线长为6；圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5. 则圆柱侧面积，圆柱底面积，圆锥侧面积. 则几何体的表面积为.    考点六 圆柱、圆锥、圆台的体积 21．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆台的下底面半径为r， 由题意知， 整理得，解得（负值舍去）， 设圆台的母线长为，则， 所以该圆台的侧面积为. 22．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 则圆锥的表面积为， 又，解得， 所以圆锥的高为：， 所以该圆锥的体积为： 23．（2026·陕西咸阳·模拟预测）圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________． 【答案】 【分析】由圆锥侧面展开图的弧度确定圆锥的母线，进而可求锥体和柱体的高，以此分别求体积后相减即可. 【详解】设圆锥的母线长为l，由题意得底面圆的半径， 则，可得，即母线， 所以圆锥的高， 因为是的中点，由三角形相似易得挖去圆柱的底面半径为1， 且圆柱的高，则该圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 则剩下几何体的体积． 24．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积和体积为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先根据圆台的轴截面得出圆台的高及母线，最后应用圆台的表面积公式计算求解. 【详解】依题意，圆台的上、下底面半径分别为2和4，则， 由题意的正切值为2， 设圆台的高为，即该等腰梯形的高， 则母线， 所以圆台的表面积. 圆台的体积. 考点七 组合体的体积与表面积 25．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕旋转一周所成几何体的体积． 【答案】 【分析】根据四边形绕旋转一周所成几何体是一个圆台挖去一个圆锥求解. 【详解】如图，过作垂直于，交延长线于， 则所求几何体的体积可看成是由梯形绕旋转一周所得的圆台的体积，减去绕旋转一周所得的圆锥的体积． 因为，，所以， 所以所求几何体的体积 ． 26．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）如图，已知等腰梯形的上底，下底，底角，现绕腰所在的直线旋转一周，求所得的旋转体的体积． 【答案】 【分析】作交的延长线于点，作交于点，所得旋转体是以为底面半径的圆锥和圆台，挖去以为顶点，以为底面半径的圆锥的组合体． 【详解】如图，作交的延长线于点，作交于点，，，， 在中，，． ，， 在 中，，． 又在等腰梯形中可求得， ， ， 旋转后所得几何体的体积为 , 故所得的旋转体的体积为 ． 27．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）下图是正三棱柱和正四棱台的组合体.已知正四棱台的侧棱、下底的长度分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为，则该组合体的表面积为_____. 【答案】/ 【分析】设正四棱台的高为，侧面与底面所成二面角为，上底为，利用几何关系构建方程组解出，再求表面积即可. 【详解】 设正四棱台的高为，侧面与底面所成二面角为，上底为， 由题意可得， 结合侧棱关系可得， 联立两方程可得， 所以正四棱台的斜高为， 所以，该几何体的表面积为. 故答案为：. 28．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，以菱形ABCD的一边AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，已知，.求该几何体的表面积. 【答案】 【分析】应用圆锥及圆柱侧面积公式计算求解. 【详解】因为，，设圆锥的底面半径为，所以， 圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， 所以该几何体的表面积为. 1．（2026高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（   ） A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【答案】D 【分析】根据三棱锥、圆锥、棱锥、圆锥母线的定义及几何性质，逐一判断各选项的正确性。 【详解】对选项A：棱锥的定义为“有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形”，若将两个全等的三棱锥底面重合拼接，所得几何体各面均为三角形，但不存在所有侧面共有的公共顶点，不是三棱锥，故A错误； 对选项B：仅当旋转的三角形为直角三角形，且旋转轴为直角边所在直线时，其余两边旋转围成的几何体才是圆锥；若三角形为非直角三角形，或旋转轴为斜边，所得几何体均不是圆锥，故B错误； 对选项C：若存在侧棱长与底面边长相等的六棱锥，其底面必为正六边形，底面中心到各顶点的距离等于底面边长，设棱锥顶点在底面的投影为中心，侧棱长为，则，与侧棱长等于底面边长矛盾，故不存在这样的六棱锥，C错误； 对选项D：由圆锥母线的定义可知，圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线，故D正确。 2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体 B．圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的 C．用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台 D．棱台的所有侧棱所在直线交于同一点 【答案】D 【详解】棱柱可能有多组平面平行，如正方体有三组平面平行，并非“有且仅有两个平面平行”，故A错误； 圆柱由矩形绕其一边旋转得到，任意四边形旋转不一定得到圆柱，故B错误； 只有当截面与圆锥底面平行时，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台，否则不是，故C错误； 棱台是由棱锥截得的，其侧棱延长线交于同一点，故D正确． 3．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，为平面四边形用斜二测画法作出的直观图，其中，，，则四边形的面积为（   ）．    A． B． C．5 D． 【答案】C 【详解】四边形为直角梯形，且，，，，    4．（2026·山东泰安·模拟预测）某数学课外兴趣小组，制造了一个模型，该模型由两部分构成，上面部分是一个圆台，其上底的直径是下底直径的2倍，下面部分是一个共底的圆柱，且圆柱的高是圆台高的3倍．若圆台的母线长为12，且与底面所成的角为60°，则该模型的容积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先作出轴截面后，利用条件求出圆台与圆柱的各个长度，即可求出两个几何体的体积. 【详解】作出该模型的轴截面，如图所示，四边形是等腰梯形，四边形是矩形，其中， 分别过两点作的垂线，垂足分别为，则，所以． 因为上底的直径是下底直径的倍， 所以， 解得．又圆柱的高是圆台高的倍，所以． 设圆台上底半径为，下底半径为，则，， 所以圆台的体积为， 圆柱的体积为， 所以该模型的容积为． 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正三角形面积比等于边长比的平方求出上下底面积比，再利用棱台体积公式求出棱台体积，最后通过三棱锥体积公式求出两部分体积并计算体积比. 【详解】已知正三角形面积比为边长比的平方， 又因为正三棱台上、下底面边长为和， 因此上下底面积比， 设上底面积，则下底面积， 设棱台的高，即上下底面的距离为， 根据棱台体积公式可得： ， 又因为在上底面，到下底面的距离就是棱台的高， 因此：， ， 因此体积比：. 6．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出圆锥的母线长，从而计算出圆锥的表面积. 【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为， 由解得：， 所以圆锥的表面积为. 7．（2026·河南开封·模拟预测）已知圆台的上底面半径为，母线长为，表面积为，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆台的表面积公式求出该圆台的下底面半径，即可得出该圆台的高. 【详解】设圆台的下底面半径为，则该圆台的表面积为， 整理可得，因为，解得. 故该圆台的高为. 8．（25-26高一下·福建龙岩·期中）（多选）如图，下图是边长为2的正三角形ABC的直观图，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的面积 【答案】ABD 【分析】利用斜二测画法规则，结合余弦定理求解判断. 【详解】由斜二测画法规则得，，，ABD正确； 在中，， 由余弦定理得，C错误. 9．（25-26高三上·贵州·期中）（多选）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设，则.根据棱锥的体积公式分别计算出，将题中多面体补成正方体，可求得，然后依次判断各选项即可. 【详解】因为平面，，所以平面. 设，则. 所以，. 把多面体补成如图正方体：    则. ，. 所以. 所以，，，. 故选：CD. 10．（24-25高一下·山东青岛·期末）（多选）已知正四棱台的上、下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台（    ）． A．上底面边长 B．下底面边长 C．高为2 D．体积为 【答案】ACD 【分析】依题意作出棱台的轴截面，利用切线长定理和射影定理求出上下底面边长，进一步求得高，代入棱台的体积公式计算即得. 【详解】 如图，作出正四棱台的轴截面,设上底面边长为，则下底面边长为， 则，, 故, 在中，,则由射影定理，得，解得， 所以上、下底面的边长分别为， 于是棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为2， 故该正四棱台的体积为：. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·山东泰安·期中）（多选）如图，四边形是直角梯形，，，且，.以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体.则（   ） A．该几何体是由圆锥和圆柱组合而成的 B．该几何体的体积是 C．该几何体的侧面积是 D．若，分别是边，的中点，从该几何体中将四边形旋转而成的几何体挖去，则减少的体积为 【答案】ACD 【分析】利用旋转体性质可得A；利用圆锥与圆柱体积公式计算可得B；利用圆锥与圆柱侧面积公式计算可得C；利用台体体积公式计算可得D. 【详解】对A：旋转而成的几何体为一个圆柱上叠一个圆锥，故A正确； 对B：，故B错误； 对C： ，故C正确； 对D：四边形绕旋转一周形成的图形为圆台， 该圆台体积 ， 即减少的体积为，故D正确. 12．（2026·河南·模拟预测）若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为2，则其体积为__________． 【答案】/ 【分析】由棱台体积公式进行求解． 【详解】由正四棱台得，上底面和下底面都为正方形， 则体积． 13．（25-26高一下·广东广州·期中）若正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是3，则它的表面积为________. 【答案】 【详解】正六棱台的表面积， 而，， ， 所以. 14．（2026·浙江金华·三模）已知一个圆台的轴截面为梯形，若，则该圆台的侧面积为______． 【答案】 【分析】根据题意得到圆台上下底面半径及母线长，再利用圆台侧面积公式求解． 【详解】 易知上底面圆的半径，下底面圆的半径， 母线长， 所以该圆台的侧面积． 15．（25-26高一下·河北石家庄·期中）某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的表面积为________． 【答案】 【分析】根据已知条件首先求出圆锥的母线长，再利用圆锥的表面积公式即可求解. 【详解】如图所示，设球与圆锥底面相切于点，与母线相切于点， 所以，设，所以， 又，所以，即， 化简得：，解得或（舍去）， 所以圆锥的表面积为：. 16．（2026·浙江·三模）设圆台的上下底面半径分别为和，母线长为，圆台的侧面积等于上下底面的面积之和，当取到最小值时，____________． 【答案】 【分析】由圆台的侧面积等于上下底面的面积之和求出的关系式，再用表示，再结合均值不等式求解. 【详解】设圆台的侧面积为，，， 由圆台的侧面积等于上下底面的面积之和得， 化简得：，所以， ，令， 得 ， 等号当且仅当时成立， 此时有，即，因为，所以满足题意， 故当取到最小值时，. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $