1.5 全称量词与存在量词 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦全称量词与存在量词，引导学生理解量词定义、识别命题类型、掌握否定规则及真假判断，通过表格对比量词符号与关键词，结合例题解析搭建从概念到应用的学习支架，衔接前后逻辑知识。 资料以表格化梳理知识、易错点精准警示、分层作业设计为特色，帮助学生用数学眼光抽象概念，通过逻辑推理训练数学思维，规范命题否定表达提升数学语言能力，助力学生高效掌握重点，培养理性精神与应用意识。

1.5 全称量词与存在量词 一、学习目标 1. 理解全称量词、存在量词的定义，能识别全称命题、特称命题； 1. 掌握全称命题、特称命题的否定规则，能正确写出命题的否定； 1. 能利用命题否定解决简单的真假判断问题。 二、知识点精讲 1. 量词定义与命题形式： 量词类型 符号 关键词 命题形式（全称 / 特称命题） 命题真假判断 全称量词 ∀ 所有、任意、每一个 ∀x∈M，p (x)（全称命题） 对 M 中所有 x，p (x) 都成立才真 存在量词 ∃ 存在、有一个、至少一个 ∃x∈M，p (x)（特称命题） M 中至少有一个 x 使 p (x) 成立就真 1. 命题否定规则： 全称命题否定：∀x∈M，p (x) 的否定是 ∃x∈M，¬p (x)（量词换，结论否）； 特称命题否定：∃x∈M，p (x) 的否定是 ∀x∈M，¬p (x)（量词换，结论否）； 注意：否定结论时要否定整个命题的核心性质（例：“x>0” 的否定是 “x≤0”，不是 “x 三、例题解析 例 1：判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定 （1）∀x∈R，x²+1>0； （2）∃x∈Z，x²=4； （3）所有的矩形都是平行四边形。 解：（1）全称命题；否定：∃x∈R，x²+1≤0； （2）特称命题；否定：∀x∈Z，x²≠4； （3）全称命题（隐含∀）；否定：存在一个矩形不是平行四边形。 例 2：判断下列命题及其否定的真假 （1）p：∀x∈{x|x≥0}，x+1>1； （2）q：∃x∈R，x²+2x+3=0。 解：（1）p：x∈{x|x≥0}时 x+1>1 恒成立，故 p 真；否定：∃x∈{x|x≥0}，x+1≤1 ⇒ x≤0，与x∈{x|x≥0}矛盾，故否定假； （2）q：x²+2x+3=(x+1)²+2≥2>0，故 q 假；否定：∀x∈R，x²+2x+3≠0，恒成立，故否定真。 例 3：已知命题 p：∀x∈{x|1≤x≤2}，x²-a≥0 为真命题，求实数 a 的取值范围 解：p 为真 ⇔ ∀x∈{x|1≤x≤2}，a≤x² 恒成立； x∈{x|1≤x≤2}时，x² 的最小值为 1（x=1 时），故 a≤1（a 要小于等于 x² 的最小值，才能满足对所有 x 都成立）。 四、课堂练习 1. 写出命题 “∃x∈R，x³＜0 的否定：________ 答案：∀x∈R，x³≥0 1. 判断命题 “所有的质数都是奇数” 的否定的真假 答案：原命题为全称命题，否定为：存在一个质数不是奇数； 判断真假 数字2是质数，且2是偶数，存在满足条件的数，因此该否定命题为真命题。 1. 已知命题 q：∃x∈{x|0≤x≤3}，x²-2x+a=0 为真命题，求实数 a 的取值范围 答案：命题为真，说明存在满足0≤x≤3的实数x，使得等式成立，对式子变形： a = -x² + 2x 令 y = -x² + 2x，整理得 y = -(x-1)² + 1 二次函数图像开口向下，对称轴是x=1，x可取0到3之间的实数。当x=1时，y取得最大值1； 当x=3时，y = -3² + 2×3 = -3，y取得最小值-3。 因为a和y取值相同，所以-3 ≤ a ≤ 1。 综上：实数a满足 {a|-3 ≤ a ≤ 1}。 五、易错点总结 1. 命题否定：只否定结论不换量词（错误），例：“∀x>0，x>1” 的否定不是 “∀x>0，x≤1”，而是 “∃x>0，x≤1”； 1. 结论否定：“>” 否定为 “≤”，“≥” 否定为 “，“=” 否定为 “≠”，勿遗漏等号； 1. 全称命题真：需 “所有 x 都满足”，特称命题真：需 “至少一个 x 满足”，勿混淆真假判断标准。 6、 课后作业 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.命题“，”的否定是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知命题“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题为(    ) A. 某班至多有一个男生爱踢足球 B. 某班至少有一个男生不爱踢足球 C. 某班所有的男生都不爱踢足球 D. 某班所有的女生都爱踢足球 3.命题“，”的否定是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是(    ) A. 对任意的、，都有 B. 菱形的两条对角线长相等 C. ， D. 正方形是矩形 5.命题“”的否定是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.下列命题中是真命题的有(    ) A. 存在两个等边三角形，它们不是相似三角形 B. 对任意的，方程有实根 C. 对任意的整数，是偶数 D. 存在两个非零的有理数，它们的商是无理数 7.下列说法中正确的是(    ) A. 若集合中只有一个元素，则 B. 已知，，则“”是“”的必要不充分条件 C. “是方程的一个实数根”的充要条件是“” D. “，”是假命题 三、解答题：本题共1小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 8.本小题分 已知集合，集合或，全集． 若，求实数的取值范围 若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 课后作业答案 1.【答案】  【解析】解：命题“，”的否定是，． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考察全称量词命题的否定，属于基础题． 某班所有的男生都爱踢足球的否定是某班至少有一个男生不爱踢足球． 解：根据全称量词命题的否定可知，某班所有的男生都爱踢足球的否定是某班至少有一个男生不爱踢足球，故选B． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称量词命题的否定是存在量词命题是解决本题的关键，是基础题． 根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断即可． 解：命题是全称量词命题，则否定是存在量词命题， 即，， 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 根据全称量词命题的定义可判断各选项中命题的类型，并判断出各选项中命题的真假，由此可得出合适的选项． 本题考查全称量词命题的定义以及命题的真假，基础题． 解：对于选项，命题“对任意的、，都有”为全称量词命题， 但，该命题为假命题； 对于选项，命题“菱形的两条对角线相等”为全称量词命题，该命题为假命题； 对于选项，命题“，”为全称量词命题，当时，，该命题为假命题； 对于选项，命题“正方形是矩形”为全称量词命题，该命题为真命题． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查全称量词命题的否定，属于基础题． 根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可得到答案． 解：命题“”为全称量词命题， 其否定为存在量词命题，即． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了存在量词与存在量词命题，全称量词与全称量词命题，是基础题． 根据命题的真假判定可得结论． 解：任意两个等边三角形都相似，则是假命题； 因为，所以对任意的，方程有实根，则是真命题； 当为奇数时，设，则是偶数，从而是偶数， 当为偶数时，是偶数， 综上，对任意的整数，是偶数，则是真命题； 任意的两个非零的有理数，它们的商都是有理数，则是假命题． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：对于，当时，，解得，此时集合，也满足题意，故A错误 对于，中，中，所以可以推出，但不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确 对于，是方程的一个实数根，故C正确 对于，“，”的否定是“，”，显然当时，，该命题是真命题，所以原命题是假命题，故D正确． 故选BCD． 8.【答案】解因为对任意恒成立，所以， 因为， 则解得， 所以实数的取值范围为． 若“，”是真命题，则， 则或，所以或， 即实数的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 全称量词与存在量词 一、学习目标 1. 理解全称量词、存在量词的定义，能识别全称命题、特称命题； 1. 掌握全称命题、特称命题的否定规则，能正确写出命题的否定； 1. 能利用命题否定解决简单的真假判断问题。 二、知识点精讲 1. 量词定义与命题形式： 量词类型 符号 关键词 命题形式（全称 / 特称命题） 命题真假判断 全称量词 ∀ 所有、任意、每一个 ∀x∈M，p (x)（全称命题） 对 M 中所有 x，p (x) 都成立才真 存在量词 ∃ 存在、有一个、至少一个 ∃x∈M，p (x)（特称命题） M 中至少有一个 x 使 p (x) 成立就真 1. 命题否定规则： 全称命题否定：∀x∈M，p (x) 的否定是 ∃x∈M，¬p (x)（量词换，结论否）； 特称命题否定：∃x∈M，p (x) 的否定是 ∀x∈M，¬p (x)（量词换，结论否）； 注意：否定结论时要否定整个命题的核心性质（例：“x>0” 的否定是 “x≤0”，不是 “x 三、例题解析 例 1：判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定 （1）∀x∈R，x²+1>0； （2）∃x∈Z，x²=4； （3）所有的矩形都是平行四边形。 例 2：判断下列命题及其否定的真假 （1）p：∀x∈{x|x≥0}，x+1>1； （2）q：∃x∈R，x²+2x+3=0。 例 3：已知命题 p：∀x∈{x|1≤x≤2}，x²-a≥0 为真命题，求实数 a 的取值范围 四、课堂练习 1. 写出命题 “∃x∈R，x³＜0 的否定：________ 1. 判断命题 “所有的质数都是奇数” 的否定的真假 1. 已知命题 q：∃x∈{x|0≤x≤3}，x²-2x+a=0 为真命题，求实数 a 的取值范围 五、易错点总结 1. 命题否定：只否定结论不换量词（错误），例：“∀x>0，x>1” 的否定不是 “∀x>0，x≤1”，而是 “∃x>0，x≤1”； 1. 结论否定：“>” 否定为 “≤”，“≥” 否定为 “，“=” 否定为 “≠”，勿遗漏等号； 1. 全称命题真：需 “所有 x 都满足”，特称命题真：需 “至少一个 x 满足”，勿混淆真假判断标准。 6、 课后作业 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.命题“，”的否定是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知命题“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题为(    ) A. 某班至多有一个男生爱踢足球 B. 某班至少有一个男生不爱踢足球 C. 某班所有的男生都不爱踢足球 D. 某班所有的女生都爱踢足球 3.命题“，”的否定是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是(    ) A. 对任意的、，都有 B. 菱形的两条对角线长相等 C. ， D. 正方形是矩形 5.命题“”的否定是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.下列命题中是真命题的有(    ) A. 存在两个等边三角形，它们不是相似三角形 B. 对任意的，方程有实根 C. 对任意的整数，是偶数 D. 存在两个非零的有理数，它们的商是无理数 7.下列说法中正确的是(    ) A. 若集合中只有一个元素，则 B. 已知，，则“”是“”的必要不充分条件 C. “是方程的一个实数根”的充要条件是“” D. “，”是假命题 三、解答题：本题共1小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 8.本小题分 已知集合，集合或，全集． 若，求实数的取值范围 若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $