第1章 集合与常用逻辑用语 章末总结-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 一、集合的概念、集合的基本关系 (1)集合的有关概念主要有：元素与集合之间的关系、集合的表示方法、集合中元素的特性等，对于元素的特征，要特别注意元素的互异性． (2)集合与集合之间的关系有包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素． (3)已知两集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的条件． 提醒：(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)求其中参数的取值范围时，要注意等号是否能取到． 典例1　(1)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m＝(　　) A．－3 B．－3或－1 C．3 D．3或1 [解析]　当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1，5，13}，符合题意；当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1.若m＝1，M＝{1，3，5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，不符合题意．综上，m＝3或m＝1.故选D. [答案]　D (2)已知集合A＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋3，b∈R}，则下列关系正确的是(　　) A．A＝B B．BA C．A⊆B D.BA [解析]　∵A＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，B＝{y|y＝(2b＋1)2＋2，b∈R}＝{y|y≥2}，∴BA. [答案]　B (3)设集合A＝{x|x＋1≤0，或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2}．若B⊆A，则实数a的取值范围是________． [解析]　由题意得A＝{x|x≤－1，或x≥4}．因为B⊆A.①当B＝∅时，满足B⊆A，则2a>a＋2⇒a>2；②当B≠∅时，则或即a≤－3或a＝2.综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－3，或a≥2}． [答案]　{a|a≤－3，或a≥2} [素养训练1]　(1)如果集合P＝{x|x＝2k，k∈N}，M＝{x|x＝22k＋1，k∈N}，那么集合P与M之间的关系是(　　) A．M⊆P B．P⊆M C．P＝M D．P，M互不包含 答案：A 解析：由P＝{x|x＝2k，k∈N}可得集合P是由全体非负偶数构成的，即P＝{0，2，4，6，…}，M＝{x|x＝22k＋1，k∈N}＝{x|x＝2×4k，k∈N}，集合M是由4k(k∈N)的2倍构成的，即M＝{2，8，32，128，…}，∴M⊆P.故选A. (2)已知集合A＝{x|ax＝1，a∈R}，B＝{x|x2＋x－2＝0}，若A⊆B，则所有a的取值构成的集合为(　　) A. B. C．{0，1} D. 答案：D 解析：因为B＝{x|x2＋x－2＝0}＝{1，－2}，当a＝0时，A＝∅，满足题意；当a≠0时，由ax＝1，得x＝，所以＝1或＝－2，即a＝1或a＝－.故所求集合为.故选D. 二、集合的基本运算 集合的基本运算主要包括并集、交集和补集运算，这也是高考对集合部分的主要考查点．有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义即可求解．有些题目与解不等式(组)或方程(组)相结合，需要先正确求解不等式(组)或方程(组)，再进行集合运算．还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图或利用数轴等，采用数形结合思想方法解决． 典例2　(1)设集合M＝{x|0≤x<4}，N＝，则M∩N＝(　　) A. B. C．{x|4≤x<5} D．{x|0<x≤5} [解析]　集合M，N在数轴上表示如图所示．由图可得M∩N＝.故选B. [答案]　B (2)如图，已知全集U＝{－2，－1，3，4，5}，集合A＝{－1，3，5}，B＝{－2，5}，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A．{－2，－1，3，5} B．{－2，5} C．{5} D．{－2} [解析]　由图可知阴影部分表示的集合是B∩(∁UA)，因为U＝{－2，－1，3，4，5}，A＝{－1，3，5}，B＝{－2，5}，所以∁UA＝{－2，4}，故B∩(∁UA)＝{－2}．故选D. [答案]　D (3)已知A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}．若B∪A≠A，则实数a的取值范围为________． [解析]　若B∪A＝A，则B⊆A.∵A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2，4}，∴集合B有以下三种情况：①当B＝∅时，Δ＝a2－4(a2－12)<0，即a2>16，∴a<－4或a>4.②当B是单元素集时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0，∴a＝－4或a＝4.若a＝－4，则B＝{2}，不符合题意；若a＝4，则B＝{－2}⊆A，符合题意．③当B＝{－2，4}时，－2，4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两根，∴∴a＝－2.综上所述，当B∪A＝A时，实数a的取值范围为{a|a<－4，或a＝－2，或a≥4}，∴当B∪A≠A时，实数a的取值范围为{a|－4≤a<4，且a≠－2}． [答案]　{a|－4≤a<4，且a≠－2} [素养训练2]　(1)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪(∁UN)＝(　　) A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8} C．{1，2，4，6，8} D．U 答案：A 解析：由题意可得∁UN＝{2，4，8}，则M∪(∁UN)＝{0，2，4，6，8}．故选A. (2)已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x<2}，则A∩(∁RB)＝(　　) A．{x|x>2} B．{x|x≥3} C．{x|－1<x≤2} D．{x|2≤x≤3} 答案：D 解析：∵B＝{x|x<2}，∴∁RB＝{x|x≥2}，∴A∩(∁RB)＝{x|2≤x≤3}． 三、充分条件与必要条件 利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解． 典例3　已知α：1≤x≤2，β：1≤x≤a. (1)若α是β的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)求证：a≥2是α⇒β的充要条件． [解]　(1)设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}， 若α是β的必要不充分条件，则B是A的真子集． 当B＝∅时，a<1，此时满足B是A的真子集，符合题意； 当B≠∅时，若B是A的真子集，则所以1≤a<2. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a<2}． (2)证明：充分性： 若a≥2，则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}， 所以α：1≤x≤2可得出β：1≤x≤a，故充分性成立； 必要性： 若α：1≤x≤2可得出β：1≤x≤a， 则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}， 所以a≥2，故必要性成立． 综上所述，a≥2是α⇒β的充要条件． [素养训练3]　已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a}，且B≠∅. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围； (2)若A∩B＝∅，求a的取值范围． 解：∵B＝{x|a<x<3a}且B≠∅，∴a>0. (1)∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B. ∴解得≤a≤2. ∴a的取值范围为. (2)若A∩B＝∅，则或 解得0<a≤或a≥4. ∴a的取值范围为. 四、全称量词命题与存在量词命题 (1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词． (2)要判定一个全称量词命题为真，必须对限定集合M中每一个x，验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假，只需举出一个反例即可． 要判定一个存在量词命题为真，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题为假． (3)已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路． 典例4　(1)命题p：“∀x∈R，x2>0”，则(　　) A．p是假命题；綈p：∃x∈R，x2<0 B．p是假命题；綈p：∃x∈R，x2≤0 C．p是真命题；綈p：∀x∈R，x2<0 D．p是真命题；綈p：∀x∈R，x2≤0 [解析]　由于02>0不成立，故“∀x∈R，x2>0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”．故选B. [答案]　B (2)已知命题p：∀x∈R，2|x|＋a＋2≥0，命题q：∃x∈，x2－a＋1＝0.若命题p为真命题，则实数a的取值范围为________；若命题q为真命题，则实数a的取值范围为________． [解析]　因为命题p：∀x∈R，2|x|＋a＋2≥0为真命题，即a≥－2|x|－2恒成立，又－2|x|－2≤－2，所以a≥－2，所以实数a的取值范围为{a|a≥－2}．因为命题q：∃x∈，x2－a＋1＝0为真命题，即x2＋1＝a在x∈上有解，又当－3≤x≤－时，≤x2＋1≤10，所以实数a的取值范围为. [答案]　{a|a≥－2}　 [素养训练4]　(1)已知命题p：∃x≥0，x2＝－x，命题q：∀x<0，x3＋1<0，则(　　) A．p和q均为真命题 B．p和綈q均为真命题 C．綈p和q均为真命题 D．綈p和綈q均为真命题 答案：B 解析：因为当x＝0时，x2＝－x成立，故命题p为真命题，綈p为假命题；当x＝－1时，x3＋1＝0，故命题q为假命题，綈q为真命题．故选B. (2)已知命题“∀x∈{x|－3≤x≤－2}，mx>12”是假命题，则m的取值范围为(　　) A．{m|m>－4} B．{m|m≥－4} C．{m|m>－6} D．{m|m≥－6} 答案：D 解析：命题“∀x∈{x|－3≤x≤－2}，mx>12”是假命题，则命题“∃x∈{x|－3≤x≤－2}，mx≤12”是真命题，故m≥＝－6.故选D. 7 学科网（北京）股份有限公司 $