四川省南充市高坪中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

高坪中学高2024级高二上学期第一次月考 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求． 1．为了解某地参加计算机水平测试的500名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽到的200名学生是（ ） A．总体 B．样本 C．个体 D．样本量 2．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（ ） A． B． C． D． 3．在空间四边形中，E，F分别为，的中点，则（ ） A． B． C． D． 4．总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成．利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ） （第一行）1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637 （第二行）1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087 A．20 B．26 C．17 D．03 5．已知点关于x轴的对称点为B，则（ ） A． B． C． D． 6．某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行．比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束．根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响．这次比赛甲获胜的概率为（ ） A． B． C． D． 7．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A． B． C． D． 8．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对．其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”．在不超过的素数中，任选两个不同的素数、，令事件，，，记事件、、发生的概率分别为、、，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题不正确的是（ ） A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场 B．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈 C．随机试验的频率与概率相等 D．用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为 10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．的最小值为 11．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，，则下列正确的是（ ） A． B． C． D．的长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，．若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码被成功破译的概率为_________． 13．已知一组数，，…，的方差是2，则，，…，的方差是_________． 14．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，都有（其中），则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 16．（本题满分15分） 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图． （1）求直方图中的值； （2）估计月平均用电量的第50百分位数； （3）已知该城市一共有36万户居民，试估计该市月平均用电量在的用户有多少户？ 17．（本题满分15分） 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求“星队”在两轮活动中全都猜对的概率； （2）求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率； （3）求“星队”在两轮活动至少中猜对1个成语的概率． 18．（本题满分17分） 4月23日是世界读书日，某中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图：（以各组的区间中点值代表该组的各个值） 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 （1）从一周课外阅读时间为的学生中按比例分配抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求恰好一男一女的概率； （2）分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数，； （3）估计总体的样本平均数和方差． 参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为和．，和分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中． 19．（本题满分17分） 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为． ①求证：平面平面； ②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高坪中学高2024级高二上学期第一次月考 数学参考答案 一、选择题：（每小题5分，共40分） 1．B； 2．C； 3．A； 4．D； 5．A； 6．B； 7．D； 8．C； 二、选择题：（每小题6分，共18分） 9．ABC； 10．AD； 11．BC； 三、填空题：（每小题5分，共15分） 12．； 13．； 14．； 四、解答题：（共77分） 15．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， （1）， 所以 所以，故 （2）， 所以 ， 所以 故异面直线与所成角的余弦值为 16．（1）有题意知， 解得， （2）因为 所以月均用电量的第50百分位数在内，设第50百分位数为 由 解得， 故月均用电量的第50百分位数是224 （3）因为月均用电量在的频率为 所以月均用电量在的用户为（户） 17．设，分别表示甲乙每轮猜对成语的事件，，，表示第一轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，，，表示第二轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，，，，，表示两轮猜对0个、1个、2个、3个、4个成语的事件． ，，，， 根据独立性的假定得： （1） （2） （3） 18．一周课外阅读时间为的学生中男生有3人，女生有人， 若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为，女生有5人，记为，，，，从中任取2人，则样本空间 记事件“恰好一男一女”，则 所以 故从这6人中任意抽取2人恰好一男一女的概率为 （2）估计男生一周课外阅读时间平均数 估计女生一周课外阅读时间平均数 （3）估计总样本的平均数 因为， 所以， ， 所以 故估计总样本的平均数和方差分别为3.6和3 19．（1）证明：取的中点F，连接， 为的中点，且 又，，且 四边形是平行四边形， 平面，平面 平面 （2）①由题意知， 又，，所以，即 又因为且 所以平面，又平面 故平面平面 ②取的中点，连接、，则， 因为平面平面，且平面平面 所以平面 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， 所以，，， 因为点在直线上，设 所以 设是平面的法向量，则 ，取，则 假设存在点，使得平面，则 所以，此方程组无解 故不存在点，使得平面 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $