福建省福州第四中学2024-2025学年第二学期第二学段试卷高二数学

福州四中2024-2025学年第二学期第二学段试卷 高二数学 命题:郭菁 审核:林铭辉 一、单选题:(每题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求) 1.已知复数z=2+i(为虚数单位),三是z的共轭复数,则|z+i z=() A.2 B.3 C.32 D.2√2 2.已知随机变量5服从正态分布N(2,4),记函数f(x)=P(E≤x),则() A.f(2)<f1) B.f(3)<f(2) C.f(1)-f3)=0 D.fI)+f(3)=1 3.在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,CE=-3DE,则( ) A.OF=-14B+AD B.OF=-14B+AD C.OF=1AB-LaD D.OF=1AB-LAD 21 4 4 4.已知a(a+孕=7,则s血2a的值是( B c.2 24 25 D. 2 5.已知正三角形ABC的边长为2,点E满足AB=4C-A8),则A丽=() A.4 B.2 C.1 D.0 6.己知{a,}为等差数列,其前n项和为S,若S1=11,则下列各式值不能确定的是( A.d B.42+43+43 C.S+21 D. S.Sn 220 7.函数f(=6c0s2x-x在[- , ]上的大致图象为() 元52红买- 2红5 x 52r 3 26 B 高二数学第1页(共4页) 8.已知函数f)=sinm-cos r(o>0,xeR)在区间行,)内没有零点,则f)周期 的最小值是() A.12 B.2元 C.12x D.4 5 二、多选题:(每题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。 全部选对得6分,有选错得0分,部分选对得部分分) 9.已知向量a=1,2),a-b=(3,1),则() A.b=(-2,1) B.a//b C.a⊥bD.a-b在a上的投影向量为a 10.己知函数f(x)=x-3x+1,则() A.f(x)有两个极值点 B.若方程f(x)=a有三个实根,则a≤-1或a>3 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=9x-15是曲线y=f(x)的切线 11.已知变量x和变量y,根据最小二乘法估计得到成对数据组(1,),(2,),(3,), (4,y4),(5,)的经验回归方程1:少=x+ ,成对数据组1,片-),(2,巧)(3,),(4,y4), 6+D的经验回归方程%:9-压+,记-安,则() (参考公式,对于一组成对数据(x,),(:,y2),.,(飞,y),其经验回归直线=bx+ 2年-(y-可 的斜率和截距的最小二乘估计公式为b= a=可-bx) 4-可 A.直线1经过点(3,) B.直线l,不经过点(3, C.b<d D.ase 高二数学第2页(共4页) 三、填空题:(每题5分,共15分) 12.在(2x-的展开式中,x的系数为 (用数字作答) 13.函数f(x)=-x+1,若存在x∈(0,+o),使f(x)≥0有解,则m的取值范围为一 14.已知不共线的向量a,b,c,满足|a=1,a.五=2,|a-c曰2 +c,则b-c的最小 值为一 四、解答题:(共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, ABC的面积为 La(csin C+bsin B-asinA). (1)求A; (2)若a=2,且 ABC的周长为5,设D为边BC中点,求AD. 16.(15分)为了解不同年龄的游客对上下杭景区的满意度,某组织进行了一次抽样调查, 分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200人作为样本,每位参与调查的游客 都对上下杭景区给出满意或不满意的评价.设事件A=“游客对上下杭景区满意”,事件 B=“游客年龄不超过35周岁”,据统计,PAB)=等,P(8A= 8 (1)根据已知条件,填写下列2 2列联表并说明理由; 年龄 满意 不满意 合计 年龄不超过35周岁 200 年龄超过35周岁 200 合计 400 (2)由(1)中2 2列联表数据,根据小概率值 =0.01的独立性检验,能否认为游客对 “上下杭景区”的满意度与年龄有关联? n(ad-be) 附:r=a+bc+d0a+cb+d1 n=a+b+c+d. 高二数学第3页(共4页) P(K) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17.(15分)己知数列{a}的前n项和为Sn,且S.=2a-n,n∈N. (1)求证:{a+1}为等比数列,并求数列{a}的通项公式: (2)设b=(a+1),求数列{亿}的前n项和Tn. 18.(17分)某篮球俱乐部由篮球I队和 队组成.I队球员水平相对较高,代表俱乐部 参加高级别赛事: 队是I队的储备队,由具有潜力的运动员组成.为考察I队的明星队 员甲对球队的贡献,教练对近两年甲参加过的60场与俱乐部外球队的比赛进行统计:甲 在前锋位置出场12次,其中球队获胜6次;中锋位置出场24次,其中球队获胜16次: 后卫位置出场24次,其中球队获胜18次.用该样本的频率估计概率,则: (1)甲参加比赛时,求I队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率; (2)为备战小组赛,I队和 队进行10场热身赛,比赛没有平局,获胜得1分,失败得 0分.已知I队在每场比赛中获胜的概率是p(0.5<p<1),若比赛最有可能的比分是7:3, 求p的取值范围: (3)现由I队代表俱乐部出战小组赛,小组共6支球队,进行单循环赛(任意两支队伍 间均进行一场比赛),若每场比赛均派甲上场,在已知I队至少获胜3场的条件下,记其 获胜的场数为X,求X的分布列和数学期望. 19.(17分)己知函数f(x)=e-ax+bsinx. (1)若a=b,求曲线y=f(x)在点( ,e)处的切线的斜率; (2)若b=0,讨论f(x)的单调性; (3)若b=1,且≥0时,f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围. 高二数学第4页(共4页) 2024-2025学年福州四中第二学期第二学段试卷 高二数学参考答案 一、单选题:(每题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求) 1.已知复数z=2+i(亿为虚数单位),三是z的共轭复数,则1z+z=() A.2 B.3 C.32 D.25 【解答】解::复数z=2+(i为虚数单位),三是z的共轭复数, ∴|z+z曰2+i+i(2-)曰3+3i=3V2.故选:C, 2.已知随机变量5服从正态分布N(2,4),记函数f(x)=P(5≤x),则() A.f(2)<fI) B.f(3)<f(2) C.f1)-f3)=0D.fI)+f(3)=1 【解答】解:已知随机变量5服从正态分布N(2,4),则该正态分布曲线的对称轴为4=2, 又函数fx)=P(5≤),则f(2)>f(1),f(3)>f(2),f1)=1-f(3) 故选:D 3.在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,CE=-3DE,则() A.OE=-14B+LAD B.OR=-14B+LAD 4 2 2 C.OE=1AB-LAD D.OF=1AB-1AD 2 4 4 2 【解答】解:C2=-3DE,Cz=3CD=- AB, 4 4 元-号4c-证+而,丽-元+西-西+而-亚=西+号而. 故选:A D E 0 B 高二数学第5页(共4页) 4.已知tan(a+=7,则sin2a的值是( 41 A.3 . 12 C. D. 25 5 【解答】解:由tan(a+)=7, 得sm2a=-co2a+孕-ara+孕+smr(a+7 -ora+孕+sna+2.-1+aa+214r24 4 smra+孕+cos(a+孕1+tF(a+孕 1+7225 故选:D. 5.已知正三角形ABC的边长为2,点B满足A正=(4C-AB),则函.B历=() A.4 B.2 C.1 D.0 【解答】解:已知正三角形AC的边长为2,点E满足正=c-), 则酝=+=扇+(c-丽=c-3, 则丽-正-B亚=dc-)c-3M=4ac'+3a正-4s4C) C+3x2-4x2x2x-2.即丽=2. 故选:B. 6.已知{a}为等差数列,其前n项和为S,,若S,=11,则下列各式值不能确定的是() A.6 B.42+4+43 C.S+S21 D.S+0 220 【解答】解:对于A,S,=11a+4)=1a,=11,则4=1,A不是: 2 对于B,设等差数列{a}的公差为d,4+4+43=4-4d+4-3d+6+7d=3=3,B 不是: 对于C,S+S1=4+21a+210d=22(4+5d)+100d=22+100d,而d值不确定, 因此S+S1不确定,C是: 高二数学第6页(共4页) 对于D,8=4+ -a.则受+-4+ 1 220 +d+4+ 21=2a+50=2,D不是. 19 故选:C. 7.函数f(:=6cos2x-x在[- , 上的大致图象为() 【解答】解:函数f(x)=6Cos2x-x在[- , ]是偶函数,所以D不正确; f"(x)=-12sin2x-2x,令-12sim2x-2x=0,可得-6sin2x-x=0,x=0是方程的一个根, y=6sim2x与y=-x在[- , ]上共有5个交点,如图: 面激有5个极值点,选项B铝灵,宁6a心行学<0,所以选项c不正确。4正 确. 故选:A 8。已知函数f)=sinr-cos r(@>0,t∈R)在区间(内没有零点,则f)周期 的最小值是() A.12 B.2 C.12z D.4 5 【解答】解:f)-sin o-o=V5smox-孕, k + 令f)-0,得or-年-k,则=。,kez 0 高二数学第7页(共4页) 4< “0在区间停约内没有零点, ⊙ k元+ 5 47 3 解得2k+5s2k+,ke2. 2 3 6 令k=0,得 6 5 :w>0, 的取值范围是(0, 礼U片名 ()周期的最小值是2严_12 5=5 6 故选:C. 二、多选题:(每题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。 全部选对得6分,有选错得0分,部分选对得部分分) 9.已知向量a=1,2),a-b=(3,1),则() A.b=(-2,1) B.a//b C.alb D.a-b在a上的投影向量为a 【解答】解:因为向量a=1,2),a-b=(3,1),所以b=a-(3,1)=(-2,1),选项A正确: 因为,1 1≠2 (-2),所以a与b不平行,选项B错误: 因为a.b=1x(-2)+2x1=0,所以a1b,选项C正确: d-5在上的投影n屋为80ai:五=,透项0正瑞 故选:ACD. 10.已知函数f(x)=x-3x+1,则() A.f(x)有两个极值点 高二数学第8页(共4页) B.若方程f(x)=a有三个实根,则a≤-1或a>3 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=9x-15是曲线y=f(x)的切线 【解答】解:由f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0解得x=-1,x2=1, 则函数f(x)在(-∞,-1),1,+o)上单调递增,在(-1,1)上单调递减, 所以(x)在x=-1,x=1处取得极值 所以函数有两个极值点,所以选项A正确: 由选项A可知,若方程f(x)=a有三个实根,需要a的取值介于两个极值点之间,即f(1) <a<f(-l),即-1<a<3,所以选项B错误; 计算得f(仁x)+f(x)=2, 则点(O,1)是曲线y=f(x)的对称中心,所以选项C正确: 当f'(x)=3x2-3=9时,解得x= 2, 而f(-2)=-1,f(2)=3, 所以直线y=9x-15是曲线y=f(x)在点(2,3)处得切线,所以选项D正确. 故选:ACD. 11.已知变量x和变量y,根据最小二乘法估计得到成对数据组(1,),(2,),(3,3), (4,y4),(5,y)的经验回归方程1:=bx+ ,成对数据组1,y-),(2,y),(3,),(4,4), (5,y+)的经验回归方程马: =k+,记= ∑,则() (参考公式,对于一组成对数据(,片),(x,),,(x,yn),其经验回归直线)=bx+ 呵斜率和截距的最小三乘估计公式为6上司 a=-bx) 2w-可 A.直线1经过点(3,) B.直线,不经过点(3,) C.B<d D.a<c 高二数学第9页(共4页) 【解答】解:两组成对数据的变量x的平均值都是3,变量y的平均值都是),所以直线!, 1都经过点(3,),故A正确,B错误: 4+∑化-)y-) i=-2x0-1-可-1 0,=列+0+1x0:-可+2x+1-)_4+日 >b, 1复1-0 24列 故C正确; c=-=-3d,a=-=可-36,所以c< ,故D错误. 故选:AC. 三、填空题:(每题5分,共15分) 12.在(2x-的展开式中,x的系数为80 (用数字作答) 【解答】解:展开式的通项公式为T+=C5(2x)-.( =( 1.2-.Cx-2, 由5-2k=1得k=2,所以I=(-1)2.2-2.Cx=8 10x=80.x, 即x的系数为80. 故答案为:80. 13.函数f(x)=-x+1,若存在x∈(0,+o),使f(x)≥0有解,则m的取值范围为 【解答】解:若存在x∈(0,+o),使得f(x)≥0有解, 因为函数f(x)=lx-x+1, 所以x-x+10,即m≤+)n 设g6)=1+,x>0,则g0W=上0+四-0 x 令g'(x)=0,解得x=1, 当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增: 当x∈1,+o)时,g()<0,8(x)单调递减, 所以g()ma=g(1)=1.故m的取值范围为(-0,刂 故答案为:(-0,] 高二数学第10页(共4页) 14.已知不共线的向量a,b,c,满足a=1,a.b=2,|a-c日2a+c|,则b-c的最小 值为一 【解答】解:由a-c曰2 +c|,两边平方整理得:-2a.c+c2=4+4a.c+c2,又|a=1, 整理得ac=-1 设a=OA,b=OB,c=OC,则b-c=OB-OC=CB, 设A1,0),C(x,y),则a=1,0),c=(x,), 所以ac==一分即点c在直线x:号上: 2 设b=(m,m,由 .万=2,得m=2,即点B直线x=2上, 而1万-曰CB1的几何意义为直线x=2上的点B到直线x=-】上的点C的距离, 所以6-ca⑧l=2- =3 即1石-c的最小值为 故答案为: 四、解答题:(共6小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, ABC的面积为 1 a(csinC+bsin B-asinA). (1)求A: (2)若a=2,且 ABC的周长为5,设D为边BC中点,求AD. 【解答】解:(1)依题意,1 a(csinC+bsinB-asin4④=-absinC, 2. 2 所以c sin C+bsin B-asin A=bsinC, 由正弦定理可得,c2+b2-2=bc, 由余弦定理,c2+b2-d2=2 bc cosA,解得cosA=} 因为A∈(0,),所以A= 3 高二数学第11页(共4页) (2)依题意,b+c=5-a=3, 因为c2+b-bc=亿+c2-3bc=a2,解得bc= 因为4D=西+4C), 所而-(丽+a公+e+c6+e-c子- =311 4 4 6 所以4D=V6 16.(15分)为了解不同年龄的游客对上下杭景区的满意度,某组织进行了一次抽样调查, 分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200人作为样本,每位参与调查的游客 都对上下杭景区给出满意或不满意的评价.设事件A=“游客对上下杭景区满意”,事件 4 B=“游客年龄不超过35周岁”据统计,P心AB)-于,P(B到A) 8 15 (1)根据已知条件,填写下列2 2列联表并说明理由: 年龄 满意 不满意 合计 年龄不超过35周岁 200 年龄超过35周岁 200 合计 400 (2)由(1)中2 2列联表数据,根据小概率值 =0.01的独立性检验,能否认为游客对 上下杭景区的满意度与年龄有关联? 附:K2= n(ad-be) n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(Kzk) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 4 【解答】解:(1)因为PAB)= 5 所以不超过35岁的人中,对上下杭景区满应的有200号160人 高二数学第12页(共4页) 又因为P(B|A)= 8 15 所以对上下杭景区满意的有18030人, 15 所以对上下杭景区满意的人中不超过35岁的有300-160=140人, 由此完成2 2列联表如下: 年龄 满意 不满意 合计 年龄不超过35周岁 160 40 200 年龄超过35周岁 140 60 200 合计 300 100 400 (2)零假设H。:游客对上下杭景区的满意度与年龄没有关联, 由T=40x060x60-140x40-16=5333<6635, 200 200 300 1003 依据小概率值=0.01的独立性检验,我们推断H。成立,即认为性别与满意度没有关联. 17.(15分)己知数列{a}的前n项和为Sn,且Sn=2a,-n,n∈N. (1)求证:{a+1}为等比数列,并求数列{a}的通项公式; (2)设b=n(a+1),求数列{b}的前n项和T. 【解答】解:(1)已知数列{a,}的前n项和为Sn,且S=2a,-n①,n∈N, 所以4=24-1,解得4=1, 又Snt1=2a+1-n-1②, ②-①得a1=2a-2a-1, 即a+1=2a+1, 所以a1+1=2a+1+1=2(a+1), 高二数学第13页(共4页) 即4+1=2, 9+1 因为4+1=2,所以数列{4+1}是以2为首项,2为公比的等比数列, 所以a+1=2 2”-1=2”, 则数列{a}的通项公式为a=2”-1: (2)因为b=(a+1)=n:2”, 所以T=12+222+3.2++n2”③, 2T=122+22+…+(n-1)-2”+n.2+1④, ③-④得-7=2+2+2++2-n-21=20-2)-n-2 1-2 =2+1-2-.21, 所以数列{化}的前n项和为T=(1-1) 21+2. 18.(17分)某篮球俱乐部由篮球I队和 队组成.I队球员水平相对较高,代表俱乐部 参加高级别赛事: 队是I队的储备队,由具有潜力的运动员组成.为考察I队的明星队 员甲对球队的贡献,教练对近两年甲参加过的60场与俱乐部外球队的比赛进行统计:甲 在前锋位置出场12次,其中球队获胜6次;中锋位置出场24次,其中球队获胜16次; 后卫位置出场24次,其中球队获胜18次.用该样本的频率估计概率,则: (1)甲参加比赛时,求I队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率; (2)为备战小组赛,I队和 队进行10场热身赛,比赛没有平局,获胜得1分,失败得 0分.已知I队在每场比赛中获胜的概率是p(0.5<卫<1),若比赛最有可能的比分是7:3, 求p的取值范围; (3)现由I队代表俱乐部出战小组赛,小组共6支球队,进行单循环赛(任意两支队伍 间均进行一场比赛),若每场比赛均派甲上场,在已知I队至少获胜3场的条件下,记其 获胜的场数为X,求X的分布列和数学期望. 【解答】解:(1)设A=“甲担任前锋”4=“甲担任中锋”:A=“甲担任后卫”; 高二数学第14页(共4页) B=“某场比赛中该球队获胜”, 则:心4)=2-,P4)=242,p4)=242 605 605 605 RBA0-8片P4)-子14-器 由全概率公式可得: PB)=P4)PB14)+P4)PB14)+P4)PB14)=x+2 2+2 3_2 5253543 所以甲参加比赛时,I【队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率是 3 (2)设这10场比赛,I队获胜的场数是k,则P(I队获胜k场)=C0p1-p)-, 由题意,k=7时,P(I队获胜k场)最大,所以有 fC0p1-p)3>C8p1-p)2 c%p'a-pP>C略P1-p解得 HpH' 所以p的取值范围为(?,8 11'11 (3)由题意,I队一共需要打5场比赛,设C=“5场比赛中I队获胜i场”=3,4, 5),D=“5场比赛中I队至少获胜3场”, c)-器Pe-cr9-0 -243 nC)=c-是 P(D)=P(C)+P(C)+P(C)=192 243 P(X=3)=P(C3|D)= P(C3D)P(C3)805 P(D)P(D)19212 同理可得P(X=4)=P(C4lD)= P(C4D)P(C4)805 P(D)P(D)19212 R(X=5)-P(C,D)=P(C,D)P(C) 321 P(D) P(D)1926 则X的分布列为: X 3 4 5 P 5 5 12 12 1-6 高二数学第15页(共4页) B()=3x 2+4x 5 +5 14515 12 6124 19.(17分)已知函数f(x)=e-ax+bsinx. (1)若a=b,求曲线y=f(x)在点( ,e")处的切线的斜率; (2)若b=0,讨论f(x)的单调性; (3)若b=1,且≥0时,f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围. 【解答】解:(1)因为a=b,,f()=e-ax+bsinx, 所以f(x)=e-ax+asinx, 所以f'(x)=e*-a+acosx, 又因为函数f(x)的图象过点( ,e), 所以f( )=e,即e"-a +asin =e,解得a=0, 所以f'(x)=e”,即曲线y=f(x)在点( ,e")处的切线的斜率为e"; (2)因为b=0,所以f(x)=e-ax, 所以f'(x)=e"-a, 当a≤0时,f'(x)>0, ∴f(x)在区间(-n,+o)上单调递增; 当a>0时,令f'()=e-a=0,解得x=la,当x<1a时,f'(x)<0,当x>lma时, f'(x)>0, 所以函数f(x)在(-o,l单调递减,在(na,+o)单调递增: 综上:当a<0时,f(x)在区间( m,+o)上单调递增:当a>0时,f(x)在( n,la上单调 递减,在(a,+o)上单调递增: (3)因为b=1, 所以f()=e-ax+sinx(≥0), 高二数学第16页(共4页) 所以f'(w)=e"+cosx-a, 设g(w=e+cosx-a(x≥0),则g'()=e-sinx, 当>0时,g'(x)>0, 所以g(x)在(0,+o)上单调递增,且g(O)=2-a, ①当a≤2时,g(x)≥g(0)=2-a>0,即f"(x)≥0, 所以函数f(x)在(O,+o)上单调递增, 所以当>0时,f(x)≥f(0)=1,所以a≤2符合题意: ②当a>2时,又g(x)在(0,+m)上单调递增,且g(0)=2-a<0,当x +o时,g(x) +0, ∴x∈(0,+0),使得g(x)=0, x∈(0,x),8(x)<0,即f'()<0,所以fx)在(0,)上单调递减, .x∈(,+o),g()>0,即f'(x)>0,所以f(x)在(,+w)上单调递增, 所以fx)mn=f()<f(0)=1,所以a>2不合题意. 综上,实数a的取值范围为(-∞,2] 高二数学第17页(共4页)