25.3 第3课时 循环问题（课件）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决循环问题，涵盖单循环和双循环两种类型。通过排球邀请赛单循环问题导入，结合握手、主客场足球赛等实例，逐步引导学生从具体情境抽象出数量关系，构建从实例到公式的学习支架。 其亮点在于以真实问题情境驱动教学，如用握手次数、比赛场数等实例培养学生用数学眼光观察现实世界，通过方程推导与公式归纳（单循环n(n-1)/2、双循环n(n-1)）发展数学思维，用规范解题步骤强化数学语言表达。助力学生提升实际应用能力，为教师提供清晰教学逻辑和丰富实践案例。

人教版九年级（上） 25.3 实际问题与一元二次方程 25.3 第3课时 循环问题 第二十五章 一元二次方程 1 问题1：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛一场)，受场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 导入新课 解：设应邀请 x 支球队参赛，每支球队要与其他 (x－1) 支球队各赛 1 场. 因此，比赛组织者应邀请 8 支球队参赛. 解方程，得 x1＝8，x2＝−7(不合题意，舍去). 所以可列得方程 . 知识点：循环问题与一元二次方程 探究新知 1. 某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了 10 次手，有多少人参加聚会？ 解：设共有 x 人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手 x(x −1) 次，但每人都重复了一次，故根据题意得 解得 x1＝5，x2＝−4(舍去)．∴ x＝5. 答：共有 5 个人参加聚会． 练一练 单循环指所有参赛选手只相遇一次，如握手、单循环赛等； 总次数 = ，其中 n 为参与对象的数量. 归纳总结 问题2：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是 300. 他算得对吗？为什么？ 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛，如果有 n 支球队参赛，那么比赛的总场数为 n(n－1). 假设这个人算得对，即 n 支球队进行主客场双循环比赛的总场数为 300， 那么 n(n－1)＝300. 解方程，得 n＝. 由于 1201 不是完全平方数，所以 n 不可能为整数. 因此，总场数不可能为 300，这个人算得不对. 由总场数为 n(n－1) 可知，其必为两个连续正整数的乘积，如 2，6，12，20，···，240，272，306，···. 2.某中学组织初三学生开展足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制 (即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排 72 场比赛，则共有多少个班级参赛？ 解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得 x(x－1)＝72. 解得 x1＝9，x2＝−8(舍去). ∴ x＝9. 答：共有 9 个班级参赛． 归纳：关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列方程. 双循环：指所有参赛选手相遇两次，如足球双循环赛、互发邮件等. 双循环问题：总次数 = n(n－1)，其中 n 为参与对象的数量. 归纳总结 一元二次方程解决实际问题 循环问题 单循环： 双循环：n(n－1) 课后小结 1.[教材变式]某校九年级组织一次篮球比赛， 每两班之间都比赛一场，共进行了55场比赛，则该 校九年级共有班级个数为(　C　) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 C 当堂练习 2. 一个两位数的个位数字与十位数字的和为 11，并且个位数字与十位数字的平方和为 85，求这个两位数. 解：设个位数字为x，则十位数字为(11－x). 由题意得x2＋(11－x)2＝85，解得x1＝2，x2＝9.当x ＝2时， 两位数为92，当x＝9时，两位数为29. 答：这个两位数为92或29. 解：设个位数字为 x，则十位数字为 (11－x). 由题意得 x2＋(11－x)2＝85，解得 x1＝2，x2＝9. 当 x＝2 时， 两位数为 92，当 x＝9 时，两位数为29. 答：这个两位数为92或29. 3.商场以每件 100 元的价格购进纪念品，以每件 150元的价格出售，平均每天可销售 30 件.经试验发现，纪念品的销售单价每提高 1 元，平均每天的销售量就减少 10 件.若销售这种纪念品每天获得的利润为 520 元，求销售单价.x 解：设销售单价提高x元， 由题意得(150－100＋x)(30－10x)＝520. 化简得x2＋47x－98＝0，即(x－2)(x＋49)＝0. 解得x1＝2，x2＝－49(舍去). 故150＋2＝152(元). 解得x1＝2，x2＝－49(舍去). 故150＋2＝152(元). 答：当销售单价为152元时，每天获得的利润为 520元. 3. 商场以每件100元的价格购进纪念品，以每件150元的价格出售，平均每天可销售30件.经试验发现，纪念品的销售单价每提高1元，平均每天的销售量就减少10件.若销售这种纪念品每天获得的利润为520元，求销售单价.即(x－2)(x＋49)＝0. $