广西玉林市第一中学2025-2026学年高二下学期能力提升数学试卷（6.27）

**基本信息** 玉林一中高二数学周测试卷聚焦函数与概率统计核心，通过智能客服（科技）、疫情驰援（社会热点）等情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，适配高二自主提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|4题|函数性质、不等式范围|基础概念辨析，如函数图象单调性判断| |多选题|2题|正态分布、排列组合|结合疫情人员分配情境，考查逻辑推理| |填空题|4题|函数解析式、线性回归|产品色差色度检测体现数据意识| |解答题|2题|概率分布、导数应用|智能客服系统综合考查数学建模与运算能力|

玉林一中高二数学自主能力提升训练（2026.6.27） 一．选择题（共4小题） 1．设，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 二．多选题（共2小题） 5．在一次问答竞赛中，已知组的成绩与组的成绩均服从正态分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 6．近期，某市疫情爆发，全国各地纷纷派出医护人员驰援该市.某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的四个区参加防疫工作，下列选项正确的是（   ） A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法. B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法. C．若甲不去区，乙不去区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法. D．若该医院又计划向这四个区捐赠10箱防护服（每箱防护服均相同），且每区至少发放1箱，则共有84种不同的安排方法. 三．填空题（共4小题） 7．已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 8．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得的数据列于表中．已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则 ． 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 9. 设，且，则 . 10．已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ． 答题卡 选择题 ： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 填空题：7.____________ 8.____________ 9._______________ 10._______________ 四．解答题（共2小题） 11．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 12．已知． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若恰有1个极大值点和1个极小值点． ①求极大值与极小值的和； ②判断零点的个数． 玉林一中高二数学自主能力提升训练（2026.6.27）参考答案 1．D【详解】由已知，得， 由同向不等式相加得到． 2．A【详解】， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减，排除B，C，D. 3．C【详解】设，则， 令，即，解得，当时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减，且， ，，其中，则， 所以. 4．C【详解】令，则， 为奇函数，令，则 为奇函数， ， 的周期为4，所以. 5．ACD【详解】对于AB，因为，， 所以，，故A正确，B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，，故D对. 6．ABD【详解】对于A，若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法.故A正确； 对于B，若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法.故B正确； 对于C，若甲不去区,乙不去区，且每区均有人去，可考虑4人的全排列，去掉甲去区，乙去区，再加上甲去区同时乙去区，即共有种不同的安排方法.故C不正确；对于D，若该医院又计划向这四个区捐赠10箱防护服(每箱防护服均相同)，且每区至少发放1箱，即使用3块隔板将10箱隔成4份，且隔板不相邻、不在两端，则共有种不同的安排方法.故D正确. 7．【详解】由，得，联立两式消去，得，解得，所以的解析式是. 8．21.6【详解】由题意可知，，， 将代入，即，解得，所以， 当时，，则． 9．【详解】，,,， . 10．【详解】由函数的图象关于中心对称，则. 又因为在上单调递减，所以时，， 且在上单调递减，且，可得在上单调递减. 又因为，所以可得，则，得. 11．【详解】（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，，因此，所以智能客服的回答被采纳的概率为. （2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ，所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 12．【详解】（1）由题可得，函数的定义域为，， 当时，，， 故切点为，切线在该点处的斜率为， 故曲线在点处的切线方程为，即． （2）由（1）得， 因为分母在定义域内恒成立，所以导函数的符号取决于分子的符号， 令，其对应一元二次方程的判别式． 若，此时，则且不恒为0，所以且不恒为0，所以在上单调递增，故没有极值点， 若，此时或，则有两个不等实根，不妨设， 由一元二次方程根与系数的关系可得，则同号． 当时，，两根均为负数，则在上恒成立，所以，所以在上单调递增，则没有极值点； 当时，，两根均为正数，故当或时，，所以，所以的单调递增区间为，， 当时，，所以，所以的单调递减区间为，故有极大值点，极小值点． 故时，恰有1个极大值点和1个极小值点． ① ，故极大值与极小值的和为0． ②由①知，，，则， 又由①知，在，上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，，当时，；当时，， 故在，上各有一个零点，又，所以有3个零点． 玉林一中高二数学能力提升训练（2026.6.27） 第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $